3.1 相似多边形 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦图形的相似，涵盖相似多边形、线段的比、成比例线段及性质等核心知识点。通过天坛、照片缩放等生活实例导入，搭建从直观形状感知到量化数学关系的学习支架，衔接全等图形与后续相似三角形知识。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过对比分析相似图形的边角关系发展推理能力，用规范符号语言表达数学关系。分层作业设计助力巩固，帮助学生建立知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

第三章 图形的相似 1. 相似多边形 相似多边形 授课教师：XX老师 授课班级：九年级（X）班 北师大新版数学九年级上册 1.7.2013 同学们好！今天我们将一起学习第三章《图形的相似》的第一节——相似多边形。在我们周围的世界里，相似的图形无处不在，这节课我们将揭开它们神秘的面纱，学习如何用数学的语言来描述和研究这些图形。 ‹#› 课程目录 01. 章节导入 02. 教学目标 03. 新知探究 04. 例题解析 05. 随堂练习 06. 课后小结 07. 课后巩固 1.7.2013 在开始本章学习之前，我们先来看这张天坛的图片，它的结构就体现了相似之美。请大家带着这两个问题开始我们的学习之旅：我们为什么要研究相似？以及我们将如何研究相似三角形？这些问题将贯穿我们整个章节的学习。 ‹#› 01章节导入 图形的相似是几何领域的核心内容之一，它将直观的形状感知转化为量化的数学关系，是连接全等图形与相似三角形、三角函数等知识的桥梁，在建筑设计、测绘等领域应用广泛。 思考：除了天坛，你还能在生活中找到哪些“形状相同”的图形？这些图形的边与角之间存在怎样的内在联系？ 探究路径 01. 感知生活中的相似 观察天坛祈年殿的结构、照片缩放、地图绘制等实例，直观感受“形状相同”的图形特点，从生活现象中提炼出相似图形的初步印象。 02. 探究相似的数学特征 对比相似图形的对应角与对应边，抽象出相似图形的本质属性：对应角相等，对应边成比例，学会用数学语言精准描述图形的相似关系。 03. 确立本课学习目标 理解相似图形的概念，能准确识别相似图形，掌握相似图形的基本性质；学会从生活中发现数学规律，培养观察、分析与抽象概括的能力。 1.7.2013 在开始本章学习之前，我们先来看这张天坛的图片，它的结构就体现了相似之美。请大家带着这两个问题开始我们的学习之旅：我们为什么要研究相似？以及我们将如何研究相似三角形？这些问题将贯穿我们整个章节的学习。 ‹#› 02教学目标 目标1：基础概念 理解线段的比、成比例线段的概念，熟练掌握比例的基本性质，能够运用性质进行简单的比例计算与变形推导。 （重点） 目标2：核心探索 理解相似多边形、相似比的定义，能准确识别相似多边形的对应角、对应边，把握相似图形的本质特征与判定依据。 （重点） 目标3：实际应用 理解等比性质，会利用“相似多边形周长比等于相似比”解决计算问题，能准确辨析多边形相似的判定条件与应用场景。 （难点） 学习建议：紧扣“对应”关系理解相似多边形；熟记比例性质的变形规则；结合图形直观分析，通过典型例题巩固相似判定与性质的应用，多动手画图辅助理解。 1.7.2013 本节课我们有三个核心目标。首先，我们要掌握线段的比、比例线段等基础概念。其次，我们将深入探索相似多边形的定义和性质。最后，我们要学会运用这些知识解决实际问题，特别是要攻克比例性质的灵活运用和相似多边形的判断这两个难点。 ‹#› 思考：观察图中的几何图形，哪些是形状相同的？它们的轮廓一样吗？大小有差别吗？ 小结：形状相同、大小不同的两个图形互为相似图形。它们可以通过放大或缩小其中一个图形得到，且对应角相等、对应边成比例。 探究要点 01 感知生活中的相似 从照片缩放、地图绘制到建筑模型，相似图形在生活中无处不在。它们保留了原图形的“形”，只改变了“体”的大小，给人以比例协调的美感。 02 解析相似的核心特征 相似图形的本质是“形状不变”。这意味着图形的各部分比例保持恒定，对应角的度数完全相等，只是整体尺寸按照一定的比例放大或缩小。 03 相似图形的学习价值 认识相似图形是学习相似三角形、位似变换的基础，也是解决测量、设计、建模等实际问题的重要工具，体现了数学在现实世界中的应用价值。 03新知探究 1.7.2013 请大家观察屏幕上的这些图形，你能找出哪些是形状相同的吗？没错，这些图形的形状是一样的，但大小不同。我们把这种形状相同、大小不同的图形称为相似图形，它们可以通过放大或缩小相互得到。 ‹#› 线段的比的核心概念 图形的缩放 形状相同而大小不同的两个平面图形，其中一个图形可以看成是由另一个的图形“放大”或“缩小”得到的， 对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们 的大小关系。 现在我们选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，来探究两条线段的关系。 03新知探究 1.7.2013 要精确描述相似图形的大小关系，我们首先学习“线段的比”。它就是两条线段长度的比值。大家要记住两个关键点：第一，计算比值前必须统一单位；第二，线段的比是一个没有单位的正数，它只反映两条线段之间的倍数关系，与具体使用的长度单位无关。 ‹#› 线段的比的核心概念 线段比的定义与表达式 定义：若线段AB、CD的长度为，则比为，或 = 01 相关概念解析 • 构成：前项为比的前线段(如AB)，后项为后线段(如CD)；比值：，即 ，反映两线段的长度倍数关系。 02 核心注意事项（必记） • 单位统一：计算前需将两条线段的长度单位化为一致（如都用cm）；无单位性：线段的比是没有单位的正数，仅表示长度的倍数关系。 03新知探究 1.7.2013 要精确描述相似图形的大小关系，我们首先学习“线段的比”。它就是两条线段长度的比值。大家要记住两个关键点：第一，计算比值前必须统一单位；第二，线段的比是一个没有单位的正数，它只反映两条线段之间的倍数关系，与具体使用的长度单位无关。 ‹#› 小练：线段的比计算 题目条件 已知两条线段的长度分别为：。 求：这两条线段的比值 。 ⚠️ 易错警示 计算时最容易忽略单位统一！ 错误做法：直接计算 2 : 40。 正确前提：先换算单位 。 解：∵ ∴， ∴比值为。 03新知探究 1.7.2013 我们来做一个简单的练习。已知线段a长2厘米，线段b长40毫米，求它们的比。这里最容易出错的地方就是单位不统一。我们必须先把40毫米转换成4厘米，然后再计算比值，得到a:b等于1:2。 ‹#› 成比例线段的概念与判定 如图，已知小方格的边长均为1，五边形 ABCDE与五边形 A'B'C'D'E' 的顶点都在格点上。 (1)AB，AE，AB'，A'E'的长度分别是多少? (2)分别计算，，，的值，你发现了什么? 计算结果： ， 计算发现： 四条线段中，前两条线段的比等于后两条线段的比。 03新知探究 1.7.2013 接下来是“成比例线段”的概念。简单说，如果四条线段中，两个比相等，我们就称这四条线段成比例。比如在这个方格图中，AB与A'B'的比，就等于BC与B'C'的比，所以它们是成比例线段。 ‹#› 成比例线段的概念与判定 核心定义：比例线段的判定法则 判定条件：四条线段 ，若满足，则称这四条线段为成比例线段（简称比例线段）。 定义内涵与变形规律 比例线段反映了线段间的倍数关系，是相似图形判定的基石。由 可交叉相乘得（外项积等于内项积），反之若 （），也可推导出线段成比例。 03新知探究 1.7.2013 接下来是“成比例线段”的概念。简单说，如果四条线段中，两个比相等，我们就称这四条线段成比例。比如在这个方格图中，AB与A'B'的比，就等于BC与B'C'的比，所以它们是成比例线段。 ‹#› 思考交流：比例的基本性质推导 在数学中，比例是重要的数量关系。若两个比相等，即（），能否通过等式的基本性质，推导出两外项之积等于两内项之积？ 步骤1：提出猜想与等式分析 已知比例式 ，利用“等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍成立”的性质，在等式两边同时乘以 消去分母。 步骤2：代数变形与结论推导 。这就是比例的基本性质——两外项之积等于两内项之积，也叫“交叉相乘相等”。 03新知探究 1.7.2013 大家思考一个问题，如果a/b等于c/d，我们能不能得到ad等于bc呢？答案是肯定的。我们可以在等式两边同时乘以bd，进行化简，就可以得到ad=bc。这就是比例的基本性质，也叫交叉相乘相等。 ‹#› 比例的基本性质（双向转化） 比例式 等积式互相转化 正向推导：； 逆向推导： 双向转化的应用价值 这是比例变形的基础，既可以把比例式直接转化为整式方程（等积式）进行求解，也可以将乘积相等的形式改写成比例式，用于判断四条线段是否成比例，是解决几何相似、代数分式方程的关键工具。 03新知探究 1.7.2013 比例的基本性质是双向的。也就是说，不仅可以从比例式推导出等积式，反过来，在a,b,c,d都不为0的情况下，我们也可以从等积式推导出比例式。这个性质在解方程和变形时非常有用。 ‹#› 基础小练习1：比例线段计算 题目条件 已知四条线段 成比例，即。若 ，请求出线段 的长度。 解：∵ ∴， ∴。 03新知探究 1.7.2013 我们来应用一下比例的基本性质。已知a,b,c,d成比例，a=3，b=2，c=6，求d。我们可以列出比例式3/2=6/d，然后交叉相乘得到3d=12，解得d=4厘米。 ‹#› 操作·思考：方格五边形（图3-2） 比较两个多边形的角和边 (1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角?设法验证你的猜测。 (2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例? ∠A与∠A'，∠B与∠B'，∠C与∠C'，∠B与∠B'，∠D=∠D'，∠E与∠E’是对应角。通过计算：交∠A与∠A'的两边的比相等，即 ， 两个多边形的各角分别相等、各边成比例。 03新知探究 1.7.2013 现在我们回到这个方格五边形的例子。请大家动手计算一下，首先求出AB, AE, A'B', A'E'的长度。然后，计算它们对应边的比值，以及同一个图形中两边的比值，看看能发现什么规律。 ‹#› 相似多边形的定义与表示 相似多边形的核心定义 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形，叫做相似多边形。这是判定多边形相似的充要条件，二者缺一不可。 01 相似的符号与读法 符号：∽（读作“相似于”）。例如：若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，记作“五边形ABCDE ∽ 五边形A'B'C'D'E'”。 02 书写规范与对应关系（重点） 书写原则：对应顶点字母必须写在对应位置。这一规范能直观体现角的对应相等关系和边的对应比例关系，是后续利用相似多边形性质解决问题的基础，切勿随意调换顺序。 03新知探究 1.7.2013 现在，我们可以给相似多边形下一个正式的定义了。如果两个多边形满足“各角分别相等”和“各边成比例”这两个条件，我们就称它们为相似多边形。我们用符号“∽”来表示相似。书写时一定要注意，对应顶点的字母要写在对应的位置上。 ‹#› 相似多边形的判定：两个条件缺一不可 相似多边形的定义核心要素 ① 角度条件：对应角全部相等（如四边形中∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠D=∠D'）。 ② 边长条件：对应边全部成比例（如 AB/A'B' = BC/B'C' = CD/C'D' = DA/D'A' = k，k为相似比）。 ⚠️ 特别警示：单一条件不成立 1. 只等角边不成比例：如正方形（边长2）与长方形（长3宽2），角均为90°，但边不成比例，不相似。 2. 只边成比例不等角：如正方形（角90°）与菱形（角60°和120°），边均相等，但角不对应相等，不相似。 结论：判定相似多边形，两个条件必须同时满足！ 03新知探究 1.7.2013 大家一定要记住，相似多边形的两个条件——“角相等”和“边成比例”——必须同时满足，缺一不可。只满足其中一个条件的两个多边形，不一定是相似的。 ‹#› 知识点4：相似比的概念与性质 相似比的核心定义 定义：相似多边形对应边的比，叫做这两个相似多边形的相似比。它是描述两个相似图形大小缩放关系的关键量。 01 示例解析 若六边形ABCDEF∽六边形A'B'C'D'E'F'，且，则：前者到后者的相似比，后者到前者的相似比。 02 核心易错点警示（必记） ⚠️ 相似比具有严格的顺序性！甲到乙的相似比与乙到甲的相似比互为倒数。计算时务必先明确“谁是前项，谁是后项”，切勿因顺序颠倒而出错。 03新知探究 1.7.2013 相似多边形对应边的比，我们称之为相似比。这里要特别注意，相似比是有顺序的。比如，一个图形到另一个图形的相似比是4/5，那么反过来，另一个图形到这个图形的相似比就是5/4。 ‹#› 思考交流——相似三角形的概念辨析与思考 问题1：全等与相似 两个全等三角形相似吗？ 问题2：正多边形的共性 任意两个正n边形相似吗？ 问题3：菱形的特殊性 任意两个菱形相似吗？ 相似。因为全等三角形对应角相等，对应边成比例（比例为1），是相似比为1的特殊相似三角形。 任意两个正n边形相似吗？相似。正边形各角相等、各边相等，故任意两个正边形的对应角相等，对应边成比例，满足相似条件。 不一定相似。菱形四边相等（对应边成比例），但内角不一定相等，只有内角分别相等的菱形才相似。 03新知探究 1.7.2013 接下来，我们来思考几个辨析题。第一，两个全等的三角形相似吗？第二，任意两个等边三角形、正方形或者正n边形相似吗？第三，任意两个菱形相似吗？请大家分组讨论一下。 ‹#› 辨析1：全等与相似的逻辑关系 思考：全等与相似是几何中紧密关联的概念，它们之间存在怎样的包含关系？为何说全等是相似的一种特殊形式？ 01 结论：全等一定相似 判定依据：全等三角形满足相似的两个核心条件：对应角完全相等，且对应边成比例（比例系数为 1），完全契合相似三角形的定义。 02 本质：特殊与一般的关系 核心总结：全等是相似比为 1 的特殊相似三角形，相似的范畴包含全等。全等是相似的一种极端（特殊）情况，而相似则是全等概念的一般化推广。 03新知探究 1.7.2013 我们来揭晓答案。首先，全等三角形一定相似。因为全等三角形的对应角相等，对应边的比为1，完全满足相似的定义。所以说，全等是相似的一种特殊情况。 ‹#› 辨析2：正多边形的相似性判断 思考：生活中的正多边形结构随处可见，比如蜂巢的正六边形、地砖的正方形。那么，任意两个边数相同的正多边形，它们是否满足相似图形的判定条件？背后的数学依据是什么？ 结论：同边数正多边形必相似 结论：任意两个边数相同的正n边形一定相似。无论是正三角形、正方形，还是正六边形，只要边数一致，它们的形状就完全相同，属于相似图形范畴。 原理剖析：角等且边成比例 原因：正边形内角均相等，故对应角相等；各边长度相等，因此对应边的比值为定值（成比例）。根据相似多边形判定定理，满足“对应角相等，对应边成比例”，故一定相似。 03新知探究 1.7.2013 第二个问题的答案也是肯定的。任意两个边数相同的正多边形，比如两个等边三角形，两个正方形，它们的对应角一定相等，对应边的比也一定相等，所以它们一定相似。 ‹#› 辨析3：菱形为什么不一定相似？ 相似多边形的判定需同时满足“对应角相等，对应边成比例”。菱形四条边都相等，那是否任意两个菱形都满足相似的条件呢？ 01 菱形的边与角特征拆解 边：四条边相等，任意两菱形对应边必成比例（比例为边长比）。角：内角由邻角互补决定，但不一定对应相等。 02 结论与反例验证 结论：虽满足边成比例，但角不一定相等，故任意两菱形不一定相似。反例：正方形（内角90°）与普通菱形（内角60°）不相似。 03新知探究 1.7.2013 第三个问题，菱形不一定相似。这是一个非常重要的反例。虽然菱形的四条边都相等，保证了对应边成比例，但它们的内角不一定相等。因为不满足“对应角相等”这个条件，所以两个菱形不一定相似。 ‹#› 03新知探究：操作·思考 如图，已知矩形 ABCD∽矩形 EFGH，相似比 2 。 (1)这两个图形相似吗? (2)你能求出 的值吗?由此你能得出什么结论? 1.7.2013 现在我们来做一个随堂练习。这里有两组矩形，请大家计算它们长和宽的比值，判断每组中的两个矩形是否相似。 ‹#› 03新知探究：操作·思考 如图，已知矩形 ABCD∽矩形 EFGH，相似比 2 。 ∵矩形 ABCD∽矩形 EFGH，相似比 2‘ ∴= ∴ ∴ 1.7.2013 现在我们来做一个随堂练习。这里有两组矩形，请大家计算它们长和宽的比值，判断每组中的两个矩形是否相似。 ‹#› 03新知探究：思考·交流 已知六个数。如果(), 那么 成立吗?为什么? 设，则，，， ∴. 等比性质：如果，那么. 1.7.2013 现在我们来做一个随堂练习。这里有两组矩形，请大家计算它们长和宽的比值，判断每组中的两个矩形是否相似。 ‹#› 04例题解析 例1. 如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为m，那么当为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似? 1.7.2013 现在我们来做一个随堂练习。这里有两组矩形，请大家计算它们长和宽的比值，判断每组中的两个矩形是否相似。 ‹#› 04例题解析 解：内部矩形的长为60-1.5×2=57（m）。 内部矩形的宽为（m). 根据多边形的对应边成比例： , 解得 . 所以那么当为1m 时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似 . 1.7.2013 现在我们来做一个随堂练习。这里有两组矩形，请大家计算它们长和宽的比值，判断每组中的两个矩形是否相似。 ‹#› 04例题解析 例2. 在△ABC与△DEF中，已知，且△ABC的周长为18cm，求△DEF的周长。 1.7.2013 现在我们来做一个随堂练习。这里有两组矩形，请大家计算它们长和宽的比值，判断每组中的两个矩形是否相似。 ‹#› 04例题解析 解：∵， ∴. 即 又∵△ABC的周长为18cm，即AB+BC+CA=18cm， ∴。 即△DEF的周长为24cm。 1.7.2013 现在我们来做一个随堂练习。这里有两组矩形，请大家计算它们长和宽的比值，判断每组中的两个矩形是否相似。 ‹#› 05随堂练习 1.下列各组线段中，成比例的一组是（         ） B 1.7.2013 这是详细的解题过程。我们利用等比性质，将三角形周长的比转化为对应边的比，列出比例式，解这个方程就能得到DEF的周长是24厘米。由此我们得出一个重要结论：相似多边形的周长比等于相似比。 ‹#› 05随堂练习 2.是成比例线段，其中，则线段的长为（        ） 3.如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（       ） A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.甲和乙和丙 C C 1.7.2013 这是详细的解题过程。我们利用等比性质，将三角形周长的比转化为对应边的比，列出比例式，解这个方程就能得到DEF的周长是24厘米。由此我们得出一个重要结论：相似多边形的周长比等于相似比。 ‹#› 05随堂练习 4.如图，四边形ABCD∼四边形A1B1C1D1，∠A=70°，∠B=65°，∠C=130°，求∠D1的度数． 解：∵∠A=70°，∠B=65°，∠C=130° ∴∠D=360°−70°−65°−130°=95° ∵四边形ABCD ∼四边形 A1B1C1D1, ∴∠D1=∠D=95°. 1.7.2013 这是详细的解题过程。我们利用等比性质，将三角形周长的比转化为对应边的比，列出比例式，解这个方程就能得到DEF的周长是24厘米。由此我们得出一个重要结论：相似多边形的周长比等于相似比。 ‹#› 05随堂练习 5.已知线段a，b，满足．求的值； 解：∵， ∴ ∴。 你还有其他方法求解吗？ 1.7.2013 这是详细的解题过程。我们利用等比性质，将三角形周长的比转化为对应边的比，列出比例式，解这个方程就能得到DEF的周长是24厘米。由此我们得出一个重要结论：相似多边形的周长比等于相似比。 ‹#› 06课堂小结 相似图形知识脉络 01. 基础铺垫 从线段的比入手，理解成比例线段的概念，这是探索相似图形性质与判定的逻辑起点。 02. 比例性质 掌握比例的基本性质与等比性质，这是解决比例变形、计算及证明问题的核心数学工具。 03. 相似定义 相似多边形需满足：对应角相等，且对应边成比例。这是判定图形相似的根本依据。 04. 性质延伸 相似比决定图形缩放程度，相似多边形的周长比等于相似比，体现了相似的比例规律。 梳理知识脉络，构建从基础到应用的完整体系，深刻理解相似图形的数学本质。 1.7.2013 这是我们本节课的知识结构图。我们从最基础的线段的比出发，逐步学习了比例线段、比例性质，最终引出了相似多边形的定义和性质。希望大家能理清这个脉络，构建完整的知识体系。 ‹#› 07课后巩固 分层作业设计——进阶式巩固与探索 01 基础作业 认真完成课本习题3.1的全部题目，通过基础题型的练习，巩固相似图形的判定条件与基本性质，熟练掌握相似比、对应边等核心概念，夯实本节课的知识基础。 02 提升作业 深入思考：两个矩形是否一定相似？两个正方形呢？请结合“对应角相等、对应边成比例”的相似定义进行分析，并尝试列举具体的数值反例来说明你的结论，锻炼逻辑推理能力。 03 拓展作业 自主预习下一节关于相似三角形的内容，尝试梳理相似三角形的判定方法与基本性质，标记出预习过程中遇到的疑问点，并尝试用自己的语言总结预习收获。 提示：基础作业请独立完成，提升作业鼓励小组讨论交流，拓展作业可结合教材自主探索；完成后对照课堂笔记自查，确保知识理解到位。 1.7.2013 今天的课后作业分为三个层次。基础作业是完成课本上的习题，帮助大家巩固今天学到的相似图形的基础知识。提升作业是一个思考题，需要大家结合定义去分析矩形和正方形的相似性，并尝试举出反例，这能锻炼大家的逻辑思维。拓展作业则是预习下一节课的内容，为明天的学习做好铺垫。请同学们根据自己的学习情况，认真完成对应的作业。 ‹#› 谢谢指导！ THANKS 课后小任务：请同学们课后及时复习本节课核心知识点，完成练习册对应习题巩固基础，并尝试梳理解题思路框架。 1.7.2013 今天的课就到这里。感谢同学们的积极参与和认真聆听！希望大家课后能及时复习，完成作业。我们下节课再见！ ‹#› $