25.2.3 因式分解法 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过物理竖直上抛问题导入，先引导学生用配方法、公式法尝试解题，发现不便后引出新方法，复习直接开平方法、配方法、公式法及因式分解公式作为学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以实际问题驱动探究，体现“用数学眼光观察现实世界”，通过对比解法、归纳“右化零，左分解，两因式，各求解”步骤培养“数学思维”，用歌诀和规范表达强化“数学语言”。实例含物理意义解释、不同类型方程练习及解法选择总结，帮助学生深化转化思想，教师可借助结构化流程提升教学效率。

数学人教版九年级上册 01 掌握因式分解法解一元二次方程步骤，理解零乘积原理，能规范用提公因式、平方差分解解方程. 02 会先移项整理方程为一边为 0 形式，辨析 “或” 逻辑含义，能根据方程特点择优选用三种解法. 03 经历实际列方程→因式分解降次→归纳解法的探究过程，深化 “二次转一次” 转化思想. 04 感受解法多样化与简便性，养成先观察再选法的运算习惯，体会数学简化思想的实用价值. 我们学过的解一元二次方程的方法有哪些? 将下列各题因式分解： (1)am +bm +cm= . (2)a2-b2= . (3) a22ab+b2 = . m(a+b+c) (a+b)(a-b) (ab)2 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度(单位：m)约为 10x-5x2 . 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 1 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为0 m ，即 10x-5x2= 0 自己尝试用学过的方法解这个一元二次方程. 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 解一元二次方程10x-5x2=0 . 2 方法一：配方法 二次项系数化为1，得： x2-2x=0 配方，得： x2-2x+12=12 (x-1)2=1 由此可得 x-1=1 即 x1=0，x2=2 用配方法或公式法解方程10x-5x2=0 都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗? 3 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0. 我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0. 如果ab=0， 那么a=0，或b=0. 知识小贴士 利用“因式的乘积为0”的性质，可以求解此类方程. 方程的右边为0，左边可以因式分解，得 x(10-5x) = 0 3 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 因式分解 原方程10x-5x2=0可因式分解为 x(10-5x)=0 求根 由乘积为零的性质，得 x=0，或(10-5x) = 0 解得 x1= 0，x2=2. 实际意义 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在 0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是 0 m ；而x2=2表示物体在抛离地面 2 s 时落回地面. 用配方法或公式法解方程10x-5x2=0 都不简单，你能想到别的简单方法解这个方程吗? 1 2 3 结论 方程10x-5x2=0的两个根是 x1= 0，x2=2 解方程10x-5x2=0时，二次方程是如何降为一次的? 4 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 方法分析 10x-5x2=0 x(10-5x) = 0 通过因式分解 解法思路 可以发现，在上述解法中，由10x-5x2＝0到x=0或10-5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 总结 因式分解法通过降次转化解一元二次方程，是这类方程重要解法之一. 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 适合用因式分解法求解的一元二次方程的特点：方程一边为0，另一边易于分解成两个一次因式乘积的形式. 因式分解法的理论依据：若两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0． 实质：将一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程． (1)解方程时需先将方程右边化为0，再对左边因式分解. (2)整理后缺项的一元二次方程用因式分解法求解较简单. 5 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 (1)左边因式分解，得 (x-2)(x+1)=0． 于是 x-2=0，或x+1=0． 即 x1=2，x2=-1． 因式分解法解一元二次方程，不必急于化为一般式，应先观察式子特征，有公因式就提取；如本例中把 x-2 看作一个整体提公因式，解题更简便． 5 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 常用方法：(1) 提公因式法：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式． (2) 逆用平方差公式(a+b)(a-b)＝a2-b2和完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab+b2来分解因式． 活动一：探究用因式分解法解一元二次方程 你能根据前面的解题过程，总结出用因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？ 6 (1)移：移项，将方程的右边化为0. (2)分：将方程左边分解为两个一次因式的乘积. (3)化：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程. (4)解：分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 简记歌诀： 右化零，左分解， 两因式，各求解. 不能随意在方程两边约去含未知数的代数式，如x(x-1)=x，若约去x，则会丢失x=0这个根. 活动二：探究择优合适方法解方程 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? 7 配方法 配方法要先配方，再开方，进而降次. 公式法 公式法直接利用求根公式解方程. 因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 因式分解法 活动二：探究择优合适方法解方程 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? 7 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便. 总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 一元二次方程的解法选择： 1.一般地，当一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法. 2.若常数项为0(ax2+bx=0)，应选用因式分解法. 3.化为一般式(ax2+bx+c=0)后，若一次项系数和常数项都不为0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法，系数含根式时也可选公式法. 活动二：探究择优合适方法解方程 例题1 等腰或等边 例题2 解：(1)左边因式分解，得 x(x+1)=0． 于是 x=0，或x+1=0． 即 x1=0，x2=-1． 1.解下列方程： (3) 3x2-6x=-3； (4) 4x2-81=0； 解：(3)移项，得 3x2-6x+3=0 二次项系数化为1，得 x2-2x+1=0 左边因式分解，得 (x-1)2=0． 即 x1=x2=1． 1.解下列方程： (5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x-4)2=(5-2x)2. (6)移项，得 (x-4)2-(5-2x)2=0 左边因式分解，得 (x-4-5+2x)(x-4+5-2x)=0 (3x-9)(1-x)=0 于是 3x-9=0，或1-x=0. 即 x1=3，x2=1． 2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为 9∶4. 求小圆形场地的半径. 一元二次方程解法择优探究小报告 自行选取三道不同形式一元二次方程：①可提公因式型；②平方差结构型；③不易因式分解型. 分别用因式分解法、公式法逐一求解，对比每道题两种方法的计算步骤多少、运算繁琐程度. 梳理什么样的方程优先用因式分解法，总结因式分解法 “降次求解” 的本质逻辑. 解题步骤书写规范，对比分析条理清楚，明确提炼选择解法的判断技巧. 独立完成，感悟转化思想，全文控制在 300 字左右. 任务 要求 1 2 1 2 3 $