第03讲 直线与平面间的位置关系讲义-2026-2027学年高二上学期数学沪教版必修第三册

本高中数学讲义聚焦直线与平面的位置关系，系统梳理线面位置关系的三类划分（面内、平行、相交），线面平行的判定与性质定理，线面垂直的定义、判定及性质，线面角的定义与计算，点面距离的求解方法，构建从基础分类到定理应用再到空间量计算的递进学习支架。 资料通过10个易错辨析（如纠正线面平行判定条件残缺等误区）和7类典例精讲（含变式训练），培养学生严谨的数学思维和规范的表达能力。课中辅助教师针对性教学，课后助力学生查漏补缺，强化空间观念与问题解决能力。

第03讲 直线与平面间的位置关系 （核心知识+10易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】线面位置关系命题判断 【题型五】求点面距离 【题型二】线面平行证明 【题型六】线面垂直证明线线垂直 【题型三】线面平行的性质 【题型七】线面角计算 【题型四】线面垂直证明 【知识点01】直线与平面的三类位置关系 依据公共点个数划分，线面平行、线面相交统称为直线在平面外。 ① 直线在平面内：无数公共点， ② 直线与平面相交：唯一公共点， ③ 直线与平面平行：无公共点， 【知识点02】直线与平面平行 （1）判定定理（线线平行 ⇒ 线面平行） 平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行。 必备三条件：线在面外、线在面内、两线平行，缺一不可。 （2）性质定理（线面平行 ⇒ 线线平行） 直线与平面平行，直线含于另一平面，两平面相交，则直线平行于交线。 【知识点03】直线与平面垂直 （1）线面垂直定义 若直线与平面内任意一条直线都垂直，则直线垂直于平面，记作：。直线为垂线，平面为垂面，交点为垂足。 （2）线面垂直判定定理 一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则直线垂直于该平面。 核心关键：必须垂直两条相交直线，两条平行线无法判定线面垂直。 （3）线面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 （4）常用推论 （线面垂直，则线垂直面内所有直线） 【知识点04】直线与平面所成的角 （1）基本定义 斜线与平面相交，过斜线上非斜足作平面垂线，垂足与斜足连线为斜线射影；斜线与射影的夹角即为线面角。 特殊规定： ① 直线在平面内/线面平行： ② 直线垂直平面： （2）取值范围 （3）核心公式 设斜线长、垂线段长，线面角为： （4）作图求角三步法 作垂线 → 找射影 → 定夹角 【知识点05】点到平面的距离 （1）定义 平面外一点向平面作垂线，点到垂足的垂线段长度，为点到平面的距离，是点到平面的最短距离。 符号：，垂足，则距离；点在平面内时。 （2）核心求解方法 ① 几何定义法：作垂线、找垂足、解三角形求值； ② 等体积法（万能解法）：利用三棱锥体积不变换底求值。 . 易错点1：线面平行判定条件残缺 误区：直线平行平面内一条直线 ⇒ 线面平行 正解：必须满足直线在平面外，三条件缺一不可。 易错点2：线面平行与面内直线关系误解 误区：线面平行，直线平行平面内所有直线 正解：直线与面内直线平行或异面，无相交可能。 易错点3：线面垂直判定误用平行线 误区：直线垂直平面内两条平行线 ⇒ 线面垂直 正解：必须垂直两条相交直线，平行线无法确定平面唯一性。 易错点4：线面垂直概念扩大 误区：直线垂直平面内无数条直线 ⇒ 线面垂直 正解：无数条平行直线不成立，必须垂直一组相交直线。 易错点5：线面角范围记错 误区：线面角可取钝角、不取0° 正解：范围，恒为锐角或直角、零角。 易错点6：射影与线面角混淆 误区：斜线与平面内任意直线夹角为线面角 正解：仅斜线与自身射影的夹角为线面角，是斜线与平面最小夹角。 易错点7：平面外直线等同于线面平行 误区：直线在平面外 ⇒ 线面平行 正解：平面外直线包含线面平行、线面相交两种情况。 易错点8：混淆距离定义 误：点到平面内任意线段长为点面距离 正：仅垂线段长度为距离，斜线段长度恒大于点面距离。 易错点9：等体积法公式出错 误： 正： 易错点10：线面距离认知错误 误：线面平行时，线上不同点到平面距离不等 正：线面平行，线上所有点到平面距离恒定相等。 【题型一】线面位置关系命题判断 【典例1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知是两条不同的直线，表示平面，则下列选项中正确的是（     ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【答案】C 【分析】依次判断选项即可． 【详解】对于A项，也可以，故A错； 对于B项，也可以或，故B错； 对于C项，显然成立，故C正确； 对于D项，也可以，故D错， 故选：C 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若点M、直线l、平面α，则下列命题中正确的是（    ） A．若，l不在平面上，则； B．若，，则； C．若，，则； D．若，，则． 【答案】D 【分析】根据点、线、面的位置关系逐个判断即可. 【详解】若，不在平面上，则或,故A错误； 若，，则或,故B错误； 若，，则或，故C错误； 若，，则，所以，故D正确. 故选：D. 【变式1-2】下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线面的位置关系逐项判断. 【详解】①若直线l上有无数个点不在平面α内，有可能直线与平面相交，故错误； ②若直线l与平面α平行，有可能直线与平面内的直线异面，故错误； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么有可能另外一条直线在面内，故错误； ④因为直线与平面平行时与平面内直线的位置关系为平行或异面，均没有公共点，正确； 故选：B. 【变式1-3】若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为___________. ①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线； ②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直； ③若mα，则在β内不一定存在与m垂直的直线； ④若mα，则在β内一定存在与m垂直的直线. 【答案】②④ 【分析】根据各项的线面关系，结合平面的基本性质判断正误即可. 【详解】若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误； 若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确； 若mα，在空间中其它平面都可找到与m平行的直线，故在面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确. 故答案为：②④ 【题型二】线面平行证明 【典例2-1】）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 【答案】 在中，因为，分别是、的中点，可得， 又因为平面，且平面， 所以平面. 【分析】根据线面平行的判定定理，即可证得平面. 【详解】略 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的中点．求证：DE∥平面ACF． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理，只需在平面找到一条直线与平行即可. 【详解】连接BD交AC于G，连接FG． ∵F、G分别为BE、BD的中点， ∴，平面ACF，DE 面， ∴平面ACF 【变式2-2】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知正方形ABCD．E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】先求得，再由线面平行的判定定理即可得证. 【详解】E、F分别为正方形ABCD的边AB、CD的中点， 所以，且，所以四边形EBFD为平行四边形， 所以，因为，而BF不在平面ADE上， 所以． 【变式2-3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线 平面.    【答案】 在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线 平面. 【分析】先证明四边形为平行四边形，得，再由线面平行的判断进行证明即可． 【题型三】线面平行的性质 【典例3-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用线面平行的判定和性质即可得出判断. 【详解】直线和平面，且， 若，则可能成立，也有可能， 若，又由，此时推不出直线； 所以是的既不充分也不必要条件, 故选：D. 【变式3-1】在空间四边形中，E、F、G、H分别是、、、上的点，，则与的位置关系是______ 【答案】平行 【分析】根据题意可得平面，由线面平行的性质即可得到结果. 【详解】因为，平面，在平面外，所以平面． 因为平面，平面平面，所以． 故答案为:平行 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，经过正方体的棱作一平面交平面于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理，结合平行线的性质进行证明即可. 【详解】因为是正方体，所以四边形是正方形， 所以，不在平面上，平面， ∴平面．又平面，平面平面， ∴，而， 所以. 【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由成比例得到，由线面平行的判定得到平面，由线面平行的性质得到，再由平行的传递性得到. 【详解】证明： ， ， 平面，平面， 平面． ，， 平面平面， 平面，平面，平面平面， ，又， . 【题型四】线面垂直证明 【典例4-1】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用底面ABCD，由，又点E是棱PB的中点得．再证平面得，利用线面垂直判断定理得证. 【详解】由底面ABCD，得， 由，知为等腰直角三角形， 又点E是棱PB的中点，故． 由题意知，又AB是PB在平面ABCD内的射影，故， 是平面内两条相交直线，从而平面，故． 因为，，是平面内两条相交直线, 所以平面． 【变式4-1】如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明：因为平面，平面， 所以，又由， 而，平面，平面， ∴平面. (2)证明： 如上图，连接交于，连接， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴. 又∵平面，平面， ∴平面. 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理分析论证即可得证. （2）利用线面平行的判定定理分析论证即可得证. 【变式4-2】正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）推导出，所以与的夹角为或其补角，求出的值，即可得解. 【详解】（1）因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面； （2）连接，如下图所示： 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，所以， 所以与的夹角为或其补角， 易知为等边三角形，故. 因此，与的夹角的余弦值为. 【变式4-3】如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接，，因为长方体中，所以， 因为底面，底面， 所以， 又因为，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）连接，，依题意可得，再由线面垂直的性质得到，即可得证； （2）因为与底面所成的角求得的值，再由，可得与所成的角等于异面直线与所成的角，在中，由余弦定理可得的余弦值，即求出所求的角的大小． 【详解】（1）略 （2）因为与底面所成的角为，底面， 所以为与底面所成的角，所以， 所以， 连接，所以， 又， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以与所成的角等于异面直线与所成的角， 在中，由余弦定理可得， 所以， 所以异面直线与所成的角为． 【题型五】求点面距离 【典例5-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若三点到平面的距离分别为，则点到平面的距离为_____. 【答案】 【分析】根据空间位置关系求得点到平面的距离. 【详解】如图： 过平行四边形的四个顶点作平面的垂线，垂足分别为，，，. 设，，则. 由， 又，所以 . 即点到平面的距离为. 故答案为： 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面外两点到平面的距离分别是2和4，则中点到平面的距离是_____. 【答案】3或1. 【分析】根据空间中点线面的位置关系，分情况讨论点与面的关系，分别求出结果. 【详解】设点、在平面的投影分别为点，， 线段中点为,点在平面的投影为点，则由题意可得，， 若，在同侧，如图所示， 到的距离为； 若，在异侧，如下图所示， 过作，交的延长线于点，延长交于点， 则到的距离为， 故答案为：3或1. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 【答案】(1) 取AC中点为O，连接，，由底面为矩形， 则分别为的中点，，又平面，平面， 则平面； (2). 【分析】（1）取AC中点为O，连接，通过证明可完成证明； （2）如图做，垂足为F，由题可证平面，据此可得到平面的距离 【详解】（1）略 （2）如图做，垂足为F， 又平面，平面，则， 又平面，则平面. 则到平面的距离为， 则.    【变式5-3】如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点．    (1)求点到平面的距离； (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法列方程，求解即可； （2）根据直线和直线平行，得为异面直线与所成的角，进而在中求解即可. 【详解】（1）在正方体中，为线段的中点，所以平面，且， 因为是线段的中点，所以， 故三棱锥的体积； 因为，分别为线段，的中点，所以， 又因为，，所以在中满足，故为直角三角形， 则，设点到平面的距离为， 则，解得， 因此点到平面的距离为. （2）   连接，，因为、分别为线段、的中点，所以，故异面直线与所成的角为； 又平面，平面，所以， 所以， 故异面直线与所成的角为. 【题型六】线面垂直证明线线垂直 【典例6-1】已知平面与平面相交于直线，直线垂直于平面，直线垂直于平面，其垂足分别为.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】作出图形，利用线面垂直的性质与判定定理即可得证. 【详解】连接CD，如图，    因为直线垂直于平面，，所以， 因为直线垂直于平面，，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以. 【变式6-1】如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】由等腰三角形、线面垂直性质有、，根据线面垂直的判定可得面，最后由线面垂直的性质即可证结论. 【详解】∵，M是BC的中点， ∴． 又平面PBC，平面PBC，则， ∵，面， ∴面，而面， ∴． 【变式6-2】如图，正方体中，求证. 【答案】证明:如图，连接， 是正方形，则， 又平面，平面，所以， ，平面，所以平面， 又因为平面，所以． 【分析】证明与平面垂直后可得线线垂直． 【详解】略. 【变式6-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，平面，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由平面，得，又，所以平面，则． 【详解】因为平面，平面， 所以， 又，所以， ，平面， 所以平面，又平面， 所以. 【题型七】线面角计算 【典例7-1】（25-26高二下·上海浦东新·期末）在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 【答案】 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与底面所成的角， 在中，，则， 即直线与底面所成角为. 【变式7-1】在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【分析】取中点，连接，利用线面垂直找到所求线面角，再利用边长关系计算可得. 【详解】 取中点，连接， 因为，所以， 由平面易得，又平面， 所以平面，所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 所以，即直线与平面所成的角的大小为. 【变式7-2】已知正方体，求直线与平面所成角的大小.    【答案】 【分析】作出线面角，然后根据三角函数定义可得. 【详解】设正方体棱长为，则， 由正方体性质可知，平面， 所以即为直线与平面所成角， 所以, 所以直线与平面所成角大小为. 故答案为：. 【变式7-3】如图，是矩形，平面，连接，，，若，．求直线，，与平面所成角的大小． 【答案】答案见解析 【分析】根据线面角的定义即可得出角，求出即可. 【详解】因为平面，所以即为直线与平面所成角，因为，所以； 连接，则即为直线与平面所成角，因为，，所以． 为直线与平面所成角，则． 1. 四大核心知识体系 线面位置关系分三类：面内、平行、相交；线面平行实现线线与线面平行双向转化；线面垂直核心是垂直平面内相交直线；线面角刻画直线倾斜程度，点面距离刻画空间最短距离。 2. 核心公式汇总 线面平行判定： 线面平行性质： 线面垂直判定： 线面角公式： 点面距离公式： 3. 解题核心思路 平行证明抓「内外平行三条件」，垂直证明抓「相交直线核心条件」；角度计算先找射影、限定范围；距离计算优先使用等体积法，规避垂足难找的问题。 4. 考场终极避坑 不残缺定理条件、不混淆空间角范围、不记错距离公式、不滥用平行垂直传递性，严格区分射影与任意斜线、垂线段与斜线段。 一、单选题 1．（24-25高二·上海·课堂例题）设m、n为平面M外的两条直线，且，则是的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充分必要条件； D．既非充分又非必要条件． 【答案】A 【分析】利用线面平行的判定性质，结合充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由，则存在过直线的平面，使得平面与平面相交，令交线为，则， 若，则，而平面，因此； 反之，当时，与可能相交，可能平行，也可能是异面直线， 所以是的充分非必要条件. 故选：A 2．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线及平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间中线面位置的判定和性质，判断选项中的结论是否正确. 【详解】对于A，由，得存在，使得，而， 所以，即，故A正确； 对于B，若，，则可能平行，与相交，，故B错误； 对于C，若，，则与平行，相交或异面，故C错误； 对于D，若，，则与平行或异面，故D错误. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，为正方体，    ①  ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】通过线面垂直的判定定理或性质定理判断①②，找出直线在平面上射影，求出线面角的正切值判断③，求出异面直线与所成的角，进一步确定与它们成等角的直线的条件判断④． 【详解】在正方体中，由正方形，则， 又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面， 平面，所以，故①正确； 因为，又平面，平面，则， 又是平面内两条相交直线，所以平面，又平面， 所以，同理可得，又是平面内两条相交直线， 所以平面，故②正确； 因为平面，易知是直线在平面内的射影， 则是直线与平面所成角，则，故③错误； 由可得直线与所成的角是， 抽象出图形如下，，，，是的平分线，是其补角的平分线，   与和夹角为，与和夹角为， 直线绕（在平面的垂直平面内，保持与成等角）旋转时， 与，的夹角（锐角）最大到，中间有成角的直线，共两条， 而直线同样旋转时，最小角是，不可能有角． 所以过点与异面直线与成角的直线有2条，故④正确． 综上，正确的有①②④. 故选：D. 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，体对角线与平面所成角的大小为_____. 【答案】 【分析】连接，判断出即为体对角线与平面所成角，直接求解. 【详解】 如图，在正方体中，连接， 因为平面， 所以即为体对角线与平面所成角， 设正方体棱长为，则 所以， 所以体对角线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线平面，，.点到平面距离为1，则点到平面的距离为______. 【答案】1或3 【分析】分点在平面的同侧和两侧讨论. 【详解】如图1：点在平面的同侧，      作，，垂足分别为，则直线为直线在平面上的射影. 因为，，，所以. 即点到平面的距离为3. 如图2：点在平面的两侧，    因为，，，所以，. 所以点到平面的距离为1. 故答案为：1或3 6．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列命题中，是两条直线，是一点，，是两个平面，则所有假命题的序号为__________. ①：若，，则        ②：若，，则 ③：若，，，则   ④：若，，则过点一定存在一平面与，都平行 【答案】①②④ 【分析】举出反例可得①④、结合平行的性质可得②③. 【详解】对①：当直线也位于平面内时，且，成立时，结论不成立（此时），故①错误； 对②：若，，则，可能平行或相交或异面，故②错误； 对③：由，，则或，又，故，故③正确； 对④：若、、在同一平面内，且与相交时， 此时过点不存在平面与，都平行，故④错误. 故答案为：①②④. 三、解答题 7．如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 【答案】(1)证明：取中点，连接，由是中点，且， 由是正方形，是中点，所以且， 从而且，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，不在平面内，所以平面. (2)作图： 【分析】（1）取中点，连接，结合已知可得四边形为平行四边形，可得，进而可得线面平行； （2）根据平行线可得共面，即可根据相似求解. 【详解】（1）略 （2）如图，过作直线与平行， 则，故共面. 延长与交于点，连接，与的交点即为点. 因为底面是正方形，是的中点， 所以，且， 因为是的中点，所以， 则，所以. 8．如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 【答案】(1)平行，理由： 当点为的中点时，与平面平行． 在中，分别为的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面． (2)是，定值． 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可判断； （2）根据线面垂直的性质定理及判定定理可得，即可判断. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面， 所以，又， ，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又，点是的中点， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面 所以． 即无论点在边的何处，与所成角都是定值． 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 且， ， 又， 直线与平面所成角的大小. 10．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 【答案】(1)点在底面上的射影是与的交点， 平面， 平面， ， 四边形为菱形， ， ，平面， 平面， 平面， ； (2) (3)点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）由题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使角最大，则需使最小，此时，从而求解. 【详解】（1）略 （2）由题意可得､与都是边长为2的等边三角形， ，， ， ， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得. 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时，要使最大，则需使最小，此时. 由题意可知：，， 平面，且， ，， 在中，由余弦定理可得： ， ， 由面积相等， 即，解得：， ，， 即点在线段上靠近点的4分点处，此时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直线与平面间的位置关系 （核心知识+10易错辨析+7典例精讲+课后作业） 【题型一】线面位置关系命题判断 【题型五】求点面距离 【题型二】线面平行证明 【题型六】线面垂直证明线线垂直 【题型三】线面平行的性质 【题型七】线面角计算 【题型四】线面垂直证明 【知识点01】直线与平面的三类位置关系 依据公共点个数划分，线面平行、线面相交统称为直线在平面外。 ① 直线在平面内：无数公共点， ② 直线与平面相交：唯一公共点， ③ 直线与平面平行：无公共点， 【知识点02】直线与平面平行 （1）判定定理（线线平行 ⇒ 线面平行） 平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行。 必备三条件：线在面外、线在面内、两线平行，缺一不可。 （2）性质定理（线面平行 ⇒ 线线平行） 直线与平面平行，直线含于另一平面，两平面相交，则直线平行于交线。 【知识点03】直线与平面垂直 （1）线面垂直定义 若直线与平面内任意一条直线都垂直，则直线垂直于平面，记作：。直线为垂线，平面为垂面，交点为垂足。 （2）线面垂直判定定理 一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则直线垂直于该平面。 核心关键：必须垂直两条相交直线，两条平行线无法判定线面垂直。 （3）线面垂直性质定理 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 （4）常用推论 （线面垂直，则线垂直面内所有直线） 【知识点04】直线与平面所成的角 （1）基本定义 斜线与平面相交，过斜线上非斜足作平面垂线，垂足与斜足连线为斜线射影；斜线与射影的夹角即为线面角。 特殊规定： ① 直线在平面内/线面平行： ② 直线垂直平面： （2）取值范围 （3）核心公式 设斜线长、垂线段长，线面角为： （4）作图求角三步法 作垂线 → 找射影 → 定夹角 【知识点05】点到平面的距离 （1）定义 平面外一点向平面作垂线，点到垂足的垂线段长度，为点到平面的距离，是点到平面的最短距离。 符号：，垂足，则距离；点在平面内时。 （2）核心求解方法 ① 几何定义法：作垂线、找垂足、解三角形求值； ② 等体积法（万能解法）：利用三棱锥体积不变换底求值。 . 易错点1：线面平行判定条件残缺 误区：直线平行平面内一条直线 ⇒ 线面平行 正解：必须满足直线在平面外，三条件缺一不可。 易错点2：线面平行与面内直线关系误解 误区：线面平行，直线平行平面内所有直线 正解：直线与面内直线平行或异面，无相交可能。 易错点3：线面垂直判定误用平行线 误区：直线垂直平面内两条平行线 ⇒ 线面垂直 正解：必须垂直两条相交直线，平行线无法确定平面唯一性。 易错点4：线面垂直概念扩大 误区：直线垂直平面内无数条直线 ⇒ 线面垂直 正解：无数条平行直线不成立，必须垂直一组相交直线。 易错点5：线面角范围记错 误区：线面角可取钝角、不取0° 正解：范围，恒为锐角或直角、零角。 易错点6：射影与线面角混淆 误区：斜线与平面内任意直线夹角为线面角 正解：仅斜线与自身射影的夹角为线面角，是斜线与平面最小夹角。 易错点7：平面外直线等同于线面平行 误区：直线在平面外 ⇒ 线面平行 正解：平面外直线包含线面平行、线面相交两种情况。 易错点8：混淆距离定义 误：点到平面内任意线段长为点面距离 正：仅垂线段长度为距离，斜线段长度恒大于点面距离。 易错点9：等体积法公式出错 误： 正： 易错点10：线面距离认知错误 误：线面平行时，线上不同点到平面距离不等 正：线面平行，线上所有点到平面距离恒定相等。 【题型一】线面位置关系命题判断 【典例1-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知是两条不同的直线，表示平面，则下列选项中正确的是（     ）. A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则． 【变式1-1】（24-25高二·上海·课堂例题）若点M、直线l、平面α，则下列命题中正确的是（    ） A．若，l不在平面上，则； B．若，，则； C．若，，则； D．若，，则． 【变式1-2】下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-3】若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为___________. ①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线； ②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直； ③若mα，则在β内不一定存在与m垂直的直线； ④若mα，则在β内一定存在与m垂直的直线. 【题型二】线面平行证明 【典例2-1】）如图，已知点是平行四边形所在平面外的一点，，分别是，的中点，求证：平面. 【变式2-1】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，点E不在平面ABCD上，ABCD是正方形，F为BE的中点．求证：DE∥平面ACF． 【变式2-2】（24-25高二·上海·随堂练习）如图，已知正方形ABCD．E、F分别是AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起．证明：． 【变式2-3】（24-25高二下·上海杨浦·期末）如图，在长方体中，证明：直线 平面.    【题型三】线面平行的性质 【典例3-1】（24-25高二上·上海·阶段检测）已知直线和平面，且， 则是的 （    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】在空间四边形中，E、F、G、H分别是、、、上的点，，则与的位置关系是______ 【变式3-2】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，经过正方体的棱作一平面交平面于．求证：． 【变式3-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，是空间四边形的对角线上任意一点，、分别在、上，且．又与相交于点，与相交于点，求证：． 【题型四】线面垂直证明 【典例4-1】（24-25高二上·上海·单元测试）如图，已知矩形，平面，，点E是PB的中点．求证：平面． 【变式4-1】如图，四边形是矩形，，，平面，，．点为线段的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【变式4-2】正方体中，求证： (1)平面； (2)与的夹角的余弦值． 【变式4-3】如图，长方体中，，与底面所成的角为． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小． 【题型五】求点面距离 【典例5-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段检测）已知平行四边形的四个顶点均在平面的同一侧，若三点到平面的距离分别为，则点到平面的距离为_____. 【变式5-1】（25-26高二上·上海·阶段检测）已知平面外两点到平面的距离分别是2和4，则中点到平面的距离是_____. 【变式5-2】（25-26高二上·上海·期中）四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 【变式5-3】如图，在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点．    (1)求点到平面的距离； (2)求异面直线与所成的角． 【题型六】线面垂直证明线线垂直 【典例6-1】已知平面与平面相交于直线，直线垂直于平面，直线垂直于平面，其垂足分别为.求证：. 【变式6-1】如图，已知平面PBC，，M是BC的中点，求证：． 【变式6-2】如图，正方体中，求证. 【变式6-3】（24-25高二·上海·课堂例题）如图，平面，，．求证：． 【题型七】线面角计算 【典例7-1】（25-26高二下·上海浦东新·期末）在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 【变式7-1】在四面体中，平面，，，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【变式7-2】已知正方体，求直线与平面所成角的大小.    【变式7-3】如图，是矩形，平面，连接，，，若，．求直线，，与平面所成角的大小． 1. 四大核心知识体系 线面位置关系分三类：面内、平行、相交；线面平行实现线线与线面平行双向转化；线面垂直核心是垂直平面内相交直线；线面角刻画直线倾斜程度，点面距离刻画空间最短距离。 2. 核心公式汇总 线面平行判定： 线面平行性质： 线面垂直判定： 线面角公式： 点面距离公式： 3. 解题核心思路 平行证明抓「内外平行三条件」，垂直证明抓「相交直线核心条件」；角度计算先找射影、限定范围；距离计算优先使用等体积法，规避垂足难找的问题。 4. 考场终极避坑 不残缺定理条件、不混淆空间角范围、不记错距离公式、不滥用平行垂直传递性，严格区分射影与任意斜线、垂线段与斜线段。 一、单选题 1．（24-25高二·上海·课堂例题）设m、n为平面M外的两条直线，且，则是的（    ） A．充分非必要条件； B．必要非充分条件； C．充分必要条件； D．既非充分又非必要条件． 2．（25-26高二上·上海浦东新·阶段检测）已知直线及平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高二上·上海·期中）如图，为正方体，    ①  ②平面 ③与底面所成角的正切值是 ④过点与异面直线与成角的直线有2条. 其中正确结论的个数是（   ）. A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）在正方体中，体对角线与平面所成角的大小为_____. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知直线平面，，.点到平面距离为1，则点到平面的距离为______. 6．（25-26高二上·上海杨浦·阶段检测）下列命题中，是两条直线，是一点，，是两个平面，则所有假命题的序号为__________. ①：若，，则        ②：若，，则 ③：若，，，则   ④：若，，则过点一定存在一平面与，都平行 三、解答题 7．如图，在空间几何体中，底面是正方形，分别是的中点.    (1)证明：平面； (2)若平面经过点，且与棱交于点.请作图画出在棱上的位置，并求出的值. 8．如图：平面，是矩形，，点是的中点，点在边上移动． (1)点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由； (2)无论点在边的何处，与所成角是否都为定值.若是，求出其大小；若不是，请说明理由． 9．（25-26高二上·上海·阶段检测）如图，长方体中，，，点为的中点. (1)求证:直线平面 (2)求直线与平面所成角的大小. 10．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $