11.4.3 球的表面积 讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

【学生版】 第 11 章 简单几何体 11.4 球 11.4.3 球的表面积 本章将讨论柱体、锥体及球体等常见的空间几何体的形状、性质和度量；对简单几何体的研究有许多实际的应用；从粉墙黛瓦的传统民居到高耸入云的摩天大楼，各式建筑虽然千姿百态，但它们往往都是由简单几何体组合而成的．因此，简单几何体的研究自古以来就是数学的重要内容，《九章算术》中的“堑堵”、“阳马”、“鳖”等几何体就是一些特殊的柱体和锥体； 本教材延续了“二期课改”教材的内容编排顺序：先学习空间点、线、面的基本位置关系（第10章），再学习本章的简单几何体；这样编排的意图：一是通过第10章的学习，为本章理解几何体各个元素之间的位置关系提供逻辑基础；二是利用简单几何体模型，帮助学生进一步掌握空间图形的位置关系．，与全国其他一些版本的教材不同； 【学习目标】 学习目标 学科素养 1、了解球的表面积公式的； 2、掌握简单组合体侧面积和表面积的计算；(难点) 1、数学运算：球的表面积公式； 2、直观想象：球的表面积公式． 3、逻辑推理：简单组合体的转化； 【自主学习】 问题导学：预习教材P81－P82的内容，思考以下问题： 1、球的表面积公式及其特征； 【知识梳理】 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝ ， 即球的表面积等于它的大圆面积的 倍； 思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？ 提示：球没有底面，球面不能展开成平面图形． 【链接】球的表面积就是球面的面积； 由球的定义可以看出，球面是由一条半圆弧绕其直径旋转一周而成的曲面，它不能像圆柱面、 圆锥面那样展开为平面图，求它的面积就不能化为平面的问题； 实际上，球面面积公式的严格推导或证明需要用到极限与微积分等工具，本教材中无法完整给出．作为替代，本小节给出球面面积公式，并描述一种证明的思路，等同学们学了更多数学知识后，就有可能对这种思路有更深的理解，甚至可以自己把它补 成严格的数学证明； 【自我尝试】 1、判断下列命题的真假（正确的打“√”，错误的打“×”） ①两个球的半径之比为1∶3，则其表面积之比为1∶9；（ ） ②经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径；（ ） ③球的表面积等于它的大圆面积的2倍；（ ） ④过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆；（ ） ⑤球面展