2026年高一数学秋季开学分班考试仿真模拟练习卷（范围：初高衔接+集合、常用逻辑用语、不等式）

**基本信息** 2026年高一开学分班数学自测卷，以集合、逻辑、函数等核心知识为载体，通过基础题（如集合概念判断）、能力题（容斥原理应用）、创新题（新定义“容量”）三层设计，精准诊断学生初中升高中知识衔接情况，适配开学初学情分析需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合定义（题1）、充要条件（题3）、函数求值（题4）|结合“诗词大赛”情境（题3），考查数学思维中的推理能力| |多选|3/18|命题否定（题9）、立方和公式应用（题10）|引入多项式乘法公式迁移（题10），体现数学语言的应用意识| |填空|3/15|因式分解（题12）、文化情境条件判断（题13）|以“不破楼兰终不还”诗句（题13），培养数学眼光中的抽象能力| |解答|5/77|集合运算（题16）、企业工资调整应用（题18）、新定义“容量”（题19）|题18结合芯片研发现实背景，题19创新定义集合“容量”，发展创新意识与应用能力|

参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D C C C C A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．必要不充分 14． 3 2025 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）原式； （2）原式， 因为，，所以，， 所以原式； （3）当时，有，解得，此时无解， 当时，有，解得，此时， 综上，不等式的解为. 16．（15分） 【详解】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 17．（15分） 【详解】（1）由题意得，， 若时，； 若，则，则或，得或， 所以时，的值为； （2）由于，则且， 由（1）可知，当为非空集合且时，或； 当时，，， 因为，则，得，此时，符合题意； 当时，，， 因，则，得，此时，符合题意， 综上，或 18．（17分） 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 19．（17分） 【详解】（1）依题意，. （2）依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负， 记，不妨设或者， ①当时，且， 相乘得，解得， 因此，； ②当时，同理得到，， 所以或. （3）先证明中元素个数不小于13， 若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数， ①集合中没有负数， 不妨设，则 积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14， ②集合中至少有一个负数， 设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，， 于是有， 以上是中的个非正数元素，又， 它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13， 因此中元素个数不小于13， 取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年级开学分班自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用指数幂的运算律计算求解判断即可. 【详解】、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项正确，符合题意； D、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 3．3．甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】若甲不是冠军，则乙是冠军或丙是冠军； 若乙是冠军，则甲不是冠军， 所以“甲不是冠军”是“乙是冠军”的必要不充分条件. 故选：C. 4．已知 则 （    ） A．81 B．64 C．47 D．30 【答案】C 【详解】， 原式． 5．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，当且仅当时，取得最小值. 6．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论； ①、全部为负数时，则也为负数，则； ②、中有一个为负数时，则为负数，则； ③、中有两个为负数时，则为正数，则； ④、全部为正数时，则也正数，则； 则；分析选项可得符合． 故选：A. 7．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 8．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】AD 【分析】利用特称量词命题的否定求解选项A；利用不等式的性质确定选项B；利用全称量词命题的真假判断选项C;利用一元二次方程根与系数的关系确定选项D. 【详解】命题p的否定是，，故A正确； 不能推出，例如，但； 也不能推出，例如，而； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 当时，，故C错误； 若关于x的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 故选：AD. 10．由，可得：，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题干所给立方和公式，代入即可验证. 【详解】对于A选项，令,代入立方和公式，正确； 对于B选项，令,代入立方和公式，正确； 对于C选项，令,代入立方和公式，应该为，C选项错误； 对于D选项，令,代入立方和公式，正确； 故选：ABD. 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．不等式恒成立，则的最小值为 【答案】AB 【分析】根据条件，确定的关系，可逐项进行判断. 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为或， 所以，所以，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，所以不等式可化为， 所以或，故C错误； 因为不等式的解集为或，所以不等式恒成立，可转化为：不等式的解集为或. 所以，所以（），无最小值.故D错误. 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．分解因式：_______________________. 【答案】 【详解】. 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的___________条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立； “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 14．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则_______；若集合，且，则正整数的值是_______. 【答案】 3 2025 【分析】第一空，直接由定义即可求解，第二空，由新定义得到，再由元数个数即可求解； 【详解】，则集合， 所以. 若集合，则集合， 故，解得. 故答案为：3；2025 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）计算：；   （2）先化简再求值：，其中，；    （3）解不等式：. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）根据根式、特殊角三角函数值等运算求得正确答案； （2）化简所求表达式，从而求得正确的答案； （3）分段去绝对值结合一元一次不等式来求得正确答案. 【详解】（1）原式； （2）原式， 因为，，所以，， 所以原式； （3）当时，有，解得，此时无解， 当时，有，解得，此时， 综上，不等式的解为. 16．设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【详解】（1）由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． （2）若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 17．已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分、两种情况讨论； （2）结合第（1）问，根据且分类讨论即可. 【详解】（1）由题意得，， 若时，； 若，则，则或，得或， 所以时，的值为； （2）由于，则且， 由（1）可知，当为非空集合且时，或； 当时，，， 因为，则，得，此时，符合题意； 当时，，， 因，则，得，此时，符合题意， 综上，或 18．某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)50 (2)存在， 【分析】（1）根据题意得到不等式，求出答案； （2）由两个条件得到不等式，结合基本不等式求出答案 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为万元， 则，（），化简得， 解得， 因为且，所以， 所以调整后的技术人员的人数最少为50人； （2）假设存在实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件， 由条件①得，整理得； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 由条件②得，解得； 又因为，所以． 所以． 19．已知实数集，定义 (1)若，求； (2)若，求集合； (3)若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 【答案】(1)； (2)或； (3)13. 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可. （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算. （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【详解】（1）依题意，. （2）依题意，，且中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负， 记，不妨设或者， ①当时，且， 相乘得，解得， 因此，； ②当时，同理得到，， 所以或. （3）先证明中元素个数不小于13， 若将中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，则不妨设中正数个数不少于负数个数， ①集合中没有负数， 不妨设，则 积从小到大，至少共有1+7+6=14个数，它们都是的元素，则中元素个数不小于14， ②集合中至少有一个负数， 设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，， 于是有， 以上是中的个非正数元素，又， 它们是中的5个正数，即中元素个数不小于13， 因此中元素个数不小于13， 取，得中恰有13个元素. 所以中元素个数的最小值为13. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年级开学分班自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．3．甲，乙，丙三人参加“中学生诗词大赛”，若该比赛的冠军只有1人，则“甲不是冠军”是“乙是冠军”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 则 （    ） A．81 B．64 C．47 D．30 5．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 8．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的有（  ） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要条件 C．命题“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10．由，可得：，即①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．下列应用这个立方和公式进行的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A．且 B． C．不等式的解集为或 D．不等式恒成立，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．分解因式：_______________________. 13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的___________条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 14．已知有限集合，定义集合中的元素的个数为集合的“容量”，记为.若集合，则_______；若集合，且，则正整数的值是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）计算：；   （2）先化简再求值：，其中，；    （3）解不等式：. 16．设全集，集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 17．已知集合及非空集合. (1)若，求的值； (2)当为非空集合时，是否存在实数，使得，若存在，求出与的值，若不存在，请说明理由. 18．某企业原有200名科技人员，年人均工资a万元（）．现加大对某芯片研发力度，该企业把原有200名科技人员调整成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（且）．调整后，研发人员的年人均工资比调整前增加了，技术人员的年人均工资为万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前200名科技人员年总工资的1.5倍，求调整后的技术人员最少有多少人？ (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件： ①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资； ②技术人员的年人均工资始终不低于调整前200名科技人员的年人均工资． 请问是否存在这样的实数m？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由． 19．已知实数集，定义 (1)若，求； (2)若，求集合； (3)若中的元素个数为9，求的元素个数的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $