2026年高一数学秋季开学分班·学情自测卷03（全国通用，范围：初高衔接+集合、常用逻辑用语、不等式）

**基本信息** 2026年高一开学分班数学自测卷，聚焦初高衔接与集合、逻辑用语、不等式核心内容，通过古诗情境（如王昌龄诗句考充分必要条件）、中欧班列实际应用（不等式最值）及“平分集”创新问题，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合（1、6）、逻辑用语（3）、不等式（5）|题3以《从军行》诗句考必要不充分条件，体现文化传承| |选择题（多选）|3/18|逻辑用语（9）、集合关系（10）、不等式解集（11）|题10结合Venn图考集合命题，强化几何直观| |填空题|3/15|因式分解（12）、集合运算（13）、命题真假（14）|题13三科竞赛人数统计，考查集合实际应用| |解答题|5/77|集合运算（15）、方程与不等式（16、17）、应用建模（18）、创新探究（19）|题18中欧班列建保管员室考不等式最值，题19“平分集”探究考创新思维|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高一开学分班·学情自测卷 数 学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年秋季高一年级开学分班·学情自测卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：初高衔接+集合、常用逻辑用语、不等式 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 6．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 7．若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式：_______________________. 13．某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 14．若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设集合，． (1)当时，求，； (2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合 16．（15分） 已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . (1)求实数的值； (2)求和的值. 17．（15分） 已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． . 18．（17分） 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 19．（17分） 对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” (1)请你直接写出一个‘平分集’ (2)若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年级开学分班·学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为存在量词命题的否定为， 所以命题的否定为，． 3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先理解题意，再根据充分条件、必要条件的定义分析判断选项． 【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，但是并没有表明“攻破楼兰”后就一定会“返回家乡”， “攻破楼兰”“返回家乡”，满足必要性，而“返回家乡”不一定是“攻破楼兰”的唯一条件，如“进京述职”等，故不满足充分性， “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件． 故选：B． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由完全平方公式、立方和公式、立方差公式、两数差立方公式逐项分析即可. 【详解】因为完全平方公式． 立方和公式； 立方差公式； 两数差立方公式．故C正确. 故选：C. 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】由“1”的代换化简，利用基本不等式求最值. 【详解】因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时联立可得， 故选：C. 6．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项. 【详解】依题意，， ， 所以对任意，存在使， 令，则且，所以. 同理，对任意，存在使， 令，则且，所以，综上，. ，则， 所以的关系满足. 故选：A 7．若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 8．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【详解】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义逐项判断即得 【详解】对于A，取，满足，而， 因此“”不是“”的充分条件，故A错误； 对于B，，而当时，成立，显然不成立， 则“”是“”的必要不充分条件，故B正确； 对于C，取显然，但， 因此“” 不是“”的充要条件，故C错误； 对于D，“方程有一个正根和一个负根”的等价条件是， 所以“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 10．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 【答案】ACD 【分析】根据韦恩图（Venn diagram）可知，集合 与集合 有公共部分，但互不包含.结合集合的交集、补集、并集的定义及运算性质，逐一分析各选项即可. 【详解】选项A：由图可知，集合 与集合 有重叠部分，即公共元素，所以 ，故选项A正确； 选项B： 表示集合 在全集 中的补集，即图中 圆圈外部的区域. 由图可知，集合 中有一部分元素在 的外部（即 独有的部分）， 这部分元素属于 但也属于 ，因此“”意味着 中没有元素在 外，即 ， 这与图形不符，故选项B错误； 选项C：命题“，使得”等价于 . 由图可知两集合有交集，故存在这样的元素，选项C正确； 选项D：根据集合运算的德·摩根定律， 恒成立， 表示既不在 中也不在 中的元素集合等于不在 与 并集中的元素集合，故选项D正确. 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】当同号时，，即，亦即，此时解集相同； 当异号时，，即，亦即，显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误. 若，即的解集为， 则是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是3，故B正确. 若，即的解集为， 则是方程的两个根， 所以，所以， 则关于x的不等式，即， 两边同时除以负数a得，即，其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式：_______________________. 【答案】 【详解】. 13．某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 【答案】43 【分析】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C，根据题意画出维恩图求解. 【详解】设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A、B、C， 由题意画出维恩图，如图所示：    全班人数为（人）. 故答案为：43 14．若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 【答案】 【分析】先将全称命题“恒成立”转化为函数恒成立问题，对函数化简，再根据参数与的取值范围分析不等式的成立条件， 最后将符合题意的参数取值范围合并，得解即可. 【详解】因为命题“”为真， 则意味着对所有，恒成立； 当时，则表达式变为， 当时，，不满足恒成立，故； 当时，当时，，需对所有恒成立， 但是开口向上的二次函数，当时，， 无法满足恒小于等于0，故不成立； 当时，令，得（）， 将代入，得， 要使对所有恒成立， 需是的根（即两个因式在时同号或同时为0）， 因此，即，所以（负根舍去）， 验证：当时，，， 解方程，解得或（舍去） 而，故两因式的正零点重合于； 当时，，，故 ； 当时，，且，故 ； 当时，，且，故 ； 满足对所有，， 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设集合，． (1)当时，求，； (2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）求出集合A，B，根据集合的交集、并集运算求解； （2）由集合C子集个数确定集合中元素个数，据此结合中元素确定的取值即可. 【详解】（1）因为集合， ， ∴当时，，∴，． （2）因为集合的子集有8个， ∴集合中有3个元素， 而，故实数的取值集合为 16．（15分） 已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . (1)求实数的值； (2)求和的值. 【答案】(1)1； (2)3，. 【分析】（1）利用韦达定理及给定条件，建立方程求出. （2）由（1）求出，再借助因式分解计算即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，而，所以. （2）由（1）知，， 所以； . 17．（15分） 已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）根据交集的运算可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可知，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故. （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是. （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或. 18．（17分） 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 19．（17分） 对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” (1)请你直接写出一个‘平分集’ (2)若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 【答案】(1) (2)①为奇数，证明见解析 ②最小值为7 【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论； （2）①根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明；②由①知为奇数，根据的取值讨论后求解. 【详解】（1）; （2）①设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同, 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“平分集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“平分集”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数. ②由①知若集合A是平分集，并且集合A中元素个数为奇数， 当时，显然任意集合不是“平分集”. 当时，不妨设，若集合A为平分集， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“平分集”； 当，设集合， 去掉1后，， 去掉3后，， 去掉5后，， 去掉7后，， 去掉9后，， 去掉11后，， 去掉13后，， 故集合是平分集， 所以，集合A中元素个数, 中元素个数最小值为7. 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■ 2026年秋季高一开学分班·学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂 一、 选择题（每小题5分，共40分) 1[A]B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C][D] 40 3[A]B][C][D] 7[A][B][C][D] 棉 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A[B][C[D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 12. 妇 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年秋季高一年级开学分班·学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：初高衔接+集合、常用逻辑用语、不等式 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 3．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 6．已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 7．若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 8．非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项叙述正确的是（   ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件 C．若，则“”的充要条件是“” D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件 10．已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A． B．“”是真命题 C．“，使得”是真命题 D． 11．已知关于x的一元二次不等式的解集为M，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于x的不等式的解集也为M B．若，则的最小值是3 C．若，则关于x的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．分解因式：_______________________. 13．某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有__________人． 14．若命题“”是真命题，则实数a的取值集合为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设集合，． (1)当时，求，； (2)记，若集合的子集有8个，求实数的取值所构成的集合 16．（15分） 已知关于的一元二次方程的两个根为，其中，且 . (1)求实数的值； (2)求和的值. 17．（15分） 已知集合，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)设，，若是的充分条件，求实数的取值范围． . 18．（17分） 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 19．（17分） 对于正整数的子集（且），如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平分集” (1)请你直接写出一个‘平分集’ (2)若集合（且）是‘平分集’ ①判断的奇偶性并证明 ②求：集合中元素个数的最小值 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高一年级开学分班·学情自测卷 数学·答案及评分参考 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B C C A D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD ACD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．43 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）因为集合， ，（3分） ∴当时，，∴，．（6分） （2）因为集合的子集有8个， ∴集合中有3个元素，（10分） 而，故实数的取值集合为（13分） 16．（15分） 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，而，所以.（6分） （2）由（1）知，，（9分） 所以；（10分） .（15分） 17．（15分） 【详解】（1）当时，或，则， 又因为，故.（4分） （2）因为，集合或，且， 所以，解得，故实数的取值范围是.（9分） （3）因为是的充分条件，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是或.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即，（5分） 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元；（7分） （2）由题意可知，当对任意的恒成立，（10分） 即，所以，即，（13分） 因为，（15分） 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）;（3分） （2）①设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同, 如果为奇数，则也均为奇数，由于，所以为奇数. 如果为偶数，则均为偶数，此时设，则也是“平分集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“平分集”. 此时各项之和也为奇数，则集合中元素个数为奇数. 综上所述，集合中元素个数为奇数.（9分） ②由①知若集合A是平分集，并且集合A中元素个数为奇数， 当时，显然任意集合不是“平分集”. 当时，不妨设，若集合A为平分集， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有①，或者②； 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有③，或者④. 由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾； 由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾. 因此当时，集合一定不是“平分集”；（13分） 当，设集合， 去掉1后，， 去掉3后，， 去掉5后，， 去掉7后，， 去掉9后，， 去掉11后，， 去掉13后，， 故集合是平分集， 所以，集合A中元素个数, 中元素个数最小值为7.（17分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $: : 2026年秋季高一年级开学分班·学情自测卷 .: : O O (考试时间：120分钟分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 4.测试范围：初高衔接+集合、常用逻辑用语、不等式 第一部分（选择题共58分) : .: 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 % 求的。 ·: 1.下列各对象可以组成集合的是() A.与1非常接近的全体实数 B.中国著名的数学家 : C.高一年级视力比较好的同学 D.某学校2026~2027学年度第一学期全体高一学生 1 2.已知命慰P:,∈R6-名+40，则少为（） O A.VxeR-x+1>0 4 : C.e D.3eR-+0 3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城 遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的 : : A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 O O C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列运算正确的是() : A.(a-b)2=ad2-b2 B.(a-b)3=a2-b3 ·: C.a-b3=(a-b)(a2+ab+b2) D.a+b3=(a+b)(a+ab+b2) 区 5.已知>0，y>0,且x+2y=1,则2+1的最小值为() : x V : : A.2 B.3 C.4 D 2 试题第1页（共4页） : 6学科网·上好课 6.已知集合M={xx=m+ m=Z,N==号nez列.P==号+若=z,剥从NP的 6 关系满足() A.MCN-P B.M=NCP C.MCNCP D.NCPCM 7.若两个正实数，y满足2x+y=,且对任意的，y,不等式+2>m+2m恒成立，则实数m的取 xV 值范围是() A.{mm<-4或m>2} B.{m-2<<4 C.{m<-2或>4 D.{m4<<2} 8.非空数集A二R,同时满足如下两个性质：(1)若a,b∈A,则ab∈A;(2)若a∈A,则二∈A.则称A 为一个“封闭集”，以下叙述： ①若A为一个“封闭集”，则1eA: ②若A为-个封闭集咀abcA,则分e4: ③若A,B都是“封闭集”，则A⌒B是“封闭集"的充要条件是AcB或BcA: ④若A,B都是“封闭集”，则AUB是“封闭集"的充要条件是AB或BA. 正确的是() A.①③④ B.①②③④ c.①②③ D.①②④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共8分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列选项叙述正确的是() A.“x>4"是“x>5"的充分不必要条件 B.上是“a>5”的必要不充分条件 “a5 C.若a,b∈R,则“a<b2"的充要条件是“a<b” D.“a<2”是“方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根"的必要不充分条件 10.已知集合M,N的关系如图所示，则下列结论中正确的是() U A.MnN≠O B.“x∈N,xEM"是真命题 C.",∈M,使得∈N"是真命题 D.(瘳M)⌒(N)=u(MUN) 试题第2页（共4页） 6学科网·上好课 11.已知关于x的一元二次不等式m2+bx+c>0的解集为M,则下列说法正确的有（) a b c A.若 ，则关于x的不等式a,x+bx+c>0的解集也为M ao bo Co B.若M=(2,3),则，4+的最小值是3 b+16 C.若M=(-1,2),则关于x的不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2r的解集为N={xx<0或x>3} D.若一元二次函数y=a心+x+c的值域为0，+)，且a<b,则+3b+4c的最小值为5+25 b-a 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.分解因式：x3-x2-10x-8= 13.某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，己知参加数学竞赛的有27人，参加物理 竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、物理两科的有10人，同时只参加物理、 化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参加数学、物理、化学三科的有4人，则 全班共有 人 14.若命题“x>0,(m-1)(x2-2ax-1)≥0"是真命题，则实数a的取值集合为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 设集合A={x1(x-3-a)=0,aeR},B={x|x2-5x+4=0} (1)当a=4时，求A∩B,AUB; (2)记C=AUB,若集合C的子集有8个，求实数a的取值所构成的集合 16.(15分) 已知关于x的一元二次方程2.x2+4x-3=0的两个根为5,5，其中m>0,且|x1-x2上0. (1)求实数m的值： (2)求x2+x和x+x的值. 试题第3页（共4页） 17.(15分) :0 己知集合A={x3≤x≤6，集合B={xx≥2-1或x≤m-1,m∈R} (1)当m=3时，求AU(GB): (2)若A∩B=☑，求实数的取值范围： (3)设p:x∈A,q:x∈B,若P是q的充分条件，求实数m的取值范围. 18.(17分) O 中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站， 张 沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3，底面 积为12，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费.因此，甲工程队 给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150 游 元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为xm(2≤x≤4). 游 (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为o1+)元（a>0),若无论左右两面 墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求α的取值范围. 19.(17分) 对于正整数的子集A={a1,4,43,,an}（n∈Z且n>1),如果任意去掉其中一个元素4(i=1,2,3,n)之后， 剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集 世 合A为“平分集” (1)请你直接写出一个平分集1 (2)若集合B={a,2,,,a}(n∈Z且n>1)是平分集 ①判断n的奇偶性并证明 ②求：集合A中元素个数的最小值 试题第4页（共4页）