入学摸底自检卷(一)-【重难点手册·预备新高一】2026-2027学年初升高数学衔接

入学摸底自检卷（一） 时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1.集合{x∈Nx<5}的另一种表示方法是( A{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 2.若集合M={x|-2≤x<2},N={0,1,2},则M∩N=(). A{0) B.{1} C.{0,1,2) D.{0,1} 3已知a,b是两个实数，且u≠h,有如下三个式子①a+6>a6+a26,②a2+6≥2(a-b-1),图6+6 a 2,其中恒成立的有( ). A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.若函数f(x)=(x-2)(ax十b)为偶函数，且在(0，十∞)上单调递增，则f(2-x)>0的解集为( A{xx<-2或x>2} B.{x-2<x<2} n 北 C.{x|x<0或x>4} D.{x0<x<4} 5.已知“(x十a)2-16>0”的必要不充分条件是“x≤-3或x≥2”，则实数a的最大值为(). A.-1 B.0 C.1 D.2 1,x为有理数， 6.设函数D(x)= 则下列结论中错误的是( 0,x为无理数， AD(x)的定义域为R B.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)是偶函数 D.D(x)是单调函数 中 设正实数x,y,2满足2二3zy十4纱一之=0，则当取得最大值时，兰+】-兰的最大值为 ) 哉 A.1 C.3 D.9 8设函数fx)=x和函数g)=xx4,若对任意的1x2∈0，，当1≠x:时，都有>2， 则实数t的最大值为( ) A号 B.1 C.2 D.4 箭 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)】 9.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列说法错误的是( AHx∈Q,有x∈P B.3x∈P,使得xtQC.]x∈Q,使得xP D.HxtQ,有x∈P 10.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.1]=2，[-3.5]=-4，[0]=0.若集合A={yly=[x],-1.1< x≤3.2}，B={y|一10≤y≤m},则下列说法正确的是(). A集合A={-1,0,1,2,3} B集合A的非空真子集有30个 C.若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则m≥3 D.若A∩B=⑦，则m<一2 11.若函数f(x)=|x十1|+|2x十a|的最小值为3，则实数a的值可能为( ) 九 A.-1 B.-4 C.5 D.8 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在题中的横线上） 12.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a十b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 入学摸底自检卷（一）第1页（共4页） 13.若关于x的不等式tx2-6x十t2<0的解集为{xx<a或x>l},则a=一t= .(本题第一空2 分，第二空3分) 14.函数f(x)为定义在R上的偶函数，g(x)=f(x)一x2十2在区间(-∞，0)上单调递减，则不等式f(x)一 f(x一2)>4x一4的解集为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤） 15.(13分)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={一1,0,1}，B={0,2. (1)求AUB; (2)求Cv(A∩B). 16.(15分)设a,b,c为△ABC的三边长，求证：方程x2+2ax十b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是 ∠A=90°. 入学摸底自检卷（一）第2页（共4页） 17.(15分)已知不等式x2一2x+1一m2<0的解集为A. (1)求A; (2)若0<m<1且A={xa<x<b,求ga+2b3a-36的最小值. 18.(17分)汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车 距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆车相向而行，发现情况 不对后，两辆车同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12，乙车的刹车距离略超 过10m.已知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位：km/h)之间分别有如下关系：s甲=0.lx十 0.01x2,sz=0.05x十0.005x2.问：甲、乙两车有无超速现象？ 入学摸底自检卷（一）第3页（共4页） 1.(17分)定义在（一1,1D上的函数fx)满足：对任意的x,y(一1,1，都有fx)+f)=f() (1)求证：函数f(x)是奇函数； (2)若当x∈(-1,0)时，有f(x)>0,求证：f(x)在(-1,1)上是减函数； ③)在(2)的条件下，若f(合）=-1，fc)≤：-2a+1对所有x∈[-，号]a∈[-1门恒成立，求实数： 的取值范围. 入学摸底自检卷（一）第4页（共4页）参考答案与解析 入学摸底自检卷（一）】 =2y2, 1.A2.D 3.B[①a5+b5-(a3b2+a2b3)=a3(a2-b2)+ 1,当且仅当y=1时取“=”，满足题意. b(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+b)· 2+-2的最大值为1，当且仅当x=2y=2 (a2+ab十b2)>0不恒成立； 时取“=”] ②(a2+b2)-2(a-b-1)=a2-2a+b2+2b+2= 8.B[依题意，不妨设x<x2,且x1,x2∈[0，t],则x (a一1)2十(b十1)2≥0恒成立； ③当a=16=-1时公+合-2，故号+白>2 7)手>2得8)g 一x<0,则由）8x2)、 x1一x2 a a 2,即g(x1)-g(x2)<2x1-2x2,则g(x1)-2x1< 不恒成立.故选B.] g(x2)-2x2.令h(x)=g(x)一2x,则h(x)在 4.C [0,t]上单调递增.又h(x)=g(x)一2x= 5.D[解(x十a)2-16>0,可得x<-4-a或x>4-a. x2-6x,x>4, (-4-a≤-3， 所以当x≤4时，h(x)=-x2+ 由题意可得， -x2十2x,x≤4， 4-a≥2， 2x,则函数y=一x2+2x的图象开口向下，对称轴 由题千得x≤-3或x≥2是(x十a)2-l6>0的必要不充 为直线x=1,所以h(x)在(-∞，1)上单调递增，在 分条件，刚{x1(x十a)2-16>0}军{xx≤-3或x≥2} (1,4)上单调递减；当x>4时，h(x)=x2-6x,函数 且等号不同时成立，解得一l≤a≤2，则实数a的最 y=x2一6x的图象开口向上，对称轴为直线x=3, 大值为2.故选D.] 所以h(x)在(4，+o∞)上单调递增.由此h(x)的大致 6.D 图象如图，由图可知0<t≤1，故t的最大值为1.故 7.A[.x2-3xy+4y2-x=0, 选B.] .x=x2-3xy+4y2. 又x,y之均为正实数， xy 1 1 ≤ 之23十g工+032七3 y x x =1,当且仅当x=2时取“=，六(）=1， 9.CD[可利用Venn图来判断.] 此时x=2y. 10.CD[当-1.1<x<-1时，y=[x]=-2;当-1≤ ∴z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3X2y·y+4y2 x<0时，y=[x]=-1;当0≤x<1时，y=[x]= 参考答案与解析第1页（共8页） 0;当1≤x<2时，y=[x]=1;当2≤x<3时，y= 证该命题是假命题.] [x]=2;当3≤x≤3.2时，y=[x]=3.所以A= 13.-3;-3.[不等式tx2-6x十t2<0的解集为 {一2，-1,0,1,2,3}，集合A的非空真子集有26一 {xx<a或x>1},.1,a是方程tx2-6.x+t2= 2=62个，所以AB错误若“y∈A”是“y∈B”的充 11+a= 6 0的两根，由根与系数的关系可得 ’解得 分不必要条件，则A是B的真子集，所以m≥3， a=t, C正确.若A∩B=0,则当B=必时，m<一10；当 a=2,a=-3, m≥-10， 或 B≠必时， 解得-10≤m<-2,综上可 t=2t=-3. m<-2, t<0,.a=-3,t=-3.] 得m<-2,所以D正确.] 14.(1,十∞).[因为函数f(x)为定义在R上的偶函 山.BD[当-受<-1即a≥2时，有 数，g(x)=f(x)-x2+2,所以g(-x)=f(-x) -(-x)2+2=f(x)-x2十2=g(x),则g(x)为 -3z-a-1,x≤-号， 偶函数.因为g(x)=f(x)-x2十2在区间（一∞， f(x)= xta-1,-号<x<-1. 0]上单调递减，所以函数g(x)=f(x)-x2+2在 区间[0，十o∞)上单调递增. 3x+a+1,x≥-1. 由f(x)-f(x-2)>4x-4,可知f(x)-x2+2> 易得，当x=-号时，f(x)m=f(号）=号-1 f(x-2)-(x-2)2+2,即g(x)>g(x-2),所以 =3,可得a=8. |x>x-21,解得x>1.] 当受>-1，即a<2时，有 15.(1)易知AUB={-1,0,1,2. (2)易知A∩B={0},.Cu(A∩B)={-1,1,2,3. 3x+a+1,>-8, 16.必要性：设方程x2十2ax十b2=0与x2十2cx f(x)= -z-a+1,-1<x≤-受， b2=0有公共根x,则x号+2ax0+b2=0,x6+ 2cx0-b2=0. -3x-a-1,x<-1. 两式相减，得(c一a)xo=b2, 易得，当x=-受时，xm=f(←号）=-号十 由62>0，可得c-a≠0，放= c-a 1=3. 将此式代入x+2axo十b2=0得 可得a=一4. 综上可得，所求a的值为-4或8.] (。)广+2a(a)+6=0, 12.-1,-2,-3(答案不唯一).[-1>-2>-3，-1 可得b2十c2=a2,故∠A=90°. 十(-2)=-3>-3，矛盾，所以-1，-2，-3可验 充分性：∠A=90°，b2=a2-c2. ① 参考答案与解析第2页（共8页） 将①代入方程x2+2a.x十b2=0, 10x-1200>0,解得x>30或x<-40(不符合实 可得x2+2ax十a2-c2=0, 际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30km/h. 即(x十a-c)(x十a十c)=0, 但根据题意知，甲车的刹车距离略超过12m,由此 则方程的两个根为x=c一a或x=一a一c, 估计甲车的车速不会超过限速40km/h. 将①代入方程x2+2cx-b2=0,可得x2+2cx+ 对于乙车，有0.05x+0.005x2>10,即x2+10.x c2-a2=0, 2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意 即(x+c-a)(x+c十a)=0, 义，舍去)，这表明乙车的车速超过40km/h,即超 则方程的两个根为x=a一c或x=一a一c, 过规定限速。 故两方程有公共根x=一(a十c). 综上所述，甲车没有超速，乙车超速了. .方程x2+2ax十b2=0与x2十2cx-b2=0有公 19.(1)令x=y=0,得f(0)=0. 共根的充要条件是∠A=90°. 设任意x∈(-1,1)，则-x∈(-1,1)，所以f(x)+ 17.(1)原不等式化为(x-1)2<m2. f(-x)=f(0)=0,即f(-x)=-f(x),所以函 当m=0时，A=;当m>0时，A={x|1-m< 数f(x)是奇函数. x<1十m};当m<0时，A={x|1十m<x<1-m. (2)设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)= 综上，当m<0时，A={x|1十m<x<1-m}: f+-=()》 当m=0时，A=⑦； 由-1<x1<x2<1知x1-x2<0,且|x1|<1,|x2|< 当m>0时，A={x|1-m<x<1十m. (2)若0<m<1,由(1)得A={x|1-m<x<1十 1,所以11，即1->0，所以名 m},所以a=1-m,b=1十m,故a十b=2. <0. (x=8a+2b>0, 设 则x+(-y)=x-y=5a+ -（-1)=1+)0=22>0,所以 1-x1x2 y=3a-3b0, 1 。1=1-1=1+1 5b=10,则8a+263a-36=立-y=x 产妥(-1,0，从面f()>0,即 1-x1x2 y f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),所以f(x)在 =(层+)+0”=(1+号+2+ (一1,1)上是减函数. )≥号，当且仅当x=-y=5,即a=，6-时 (3)由(2)知函数∫(x)在(-1,1)上是减函数，则 取等号。 当x∈[日，]时，函数f(x)的最大值为 6b11 因此，当a= 1 =6时，8a十23a-36的最小 f(-2)=-f(3)=1 值为导。 若f)≤-2a+1对所有xe[-7,2]ae 18.由题意知，对于甲车，有0.1x十0.01x2>12,即x2+ [-1,1]恒成立，则1≤t2-2at+1,即t2-2at≥0 参考答案与解析第3页（共8页） 对所有a∈[-l,1]恒成立. x=y时，等号成立] 设g(a)=t2-2at=-2ta十t2,则g(a)≥0对所有 5.A[由已知可得x≤1时f(x)=x2-1,显然f(x) g(1)≥0， 在(-∞，0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，所以 a∈[-1,1]恒成立，所以 即 g(-1)≥0， f(x)在x=0处取得最小值，f(0)=0-1=-1. [t2-2≥0， t≥2或t≤0， 当x>1时，若a>0,则f(x)=ax2-x+2的图象 即 解得t≥2或t=0 t2+2t≥0， t≥0或t≤-2， 开口向上，其对称轴为直线x一2a 1 或t≤-2. 综上，实数t的取值范围是(-∞，-2]U{0}U[2, 当a>0,2a>1,即0<a<2时，f(x)在(1，a]上 +o∞). 单调递减，在[品，十o∞)上单调递增，所以于(x)在 入学摸底自检卷（二） 六处取得最小值（）=>-1，解得 1.D[因为a十2∈{1,3，a2},所以a+2=1或3或 1 2<a< a2.当a十2=1，即a=-1时，集合中元素为1,3,1， 不满足集合中元素的互异性，舍去；当a十2=3，即 当a>0,0<名<1，即a≥2时，fx)=ar2-x+2 a=1时，集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的 在[1，十o∞)上单调递增，所以f(x)在x=1处取得 互异性，舍去；当a十2=a2时，解得a=2或a=-1 最小值f1)=a-1+2空-1，解得≥号 (舍去)，此时集合中元素为1,3,4，符合题意.] 若a<0,则f(x)=ax2-x十2的图象开口向下，则 2.C[由一元二次方程(x一a)(x-a-1)=0的两个 f(x)在(1，+∞)上必存在比一1小的值，不满足 根为a,a十1，又方程有一个正实数根和一个负实 题意 数根， 若a=0,则f(x)=-x十2，易得f(4)=-2<-1, fa<0, ∴.-1<a<0,即“一元二次方程(x 不满足题意， a+1>0, a)(x一a一1)=0有一个正实数根和一个负实数根” 综上，实数a的取值范周是[品+），故选A] 的充要条件为a∈(-1,0)，则其充分不必要条件a 6.B[由题可知，函数f(x)=(m2-m-1)xm3-1是幂 的范围应为（一1,0）的真子集，结合选项可得选项C 函数，则m2-m-1=1,解得m=2或m=-1. 符合题意] 对任意的x1,x2∈(0，十∞)且x1≠x2,满足 3.A[集合M={x|-3<x<2},M∩N={x|-3< fz)-f(x)>0,所以函数f(x)在(0，十∞)上单 x1一x2 x<2}∩{x|1≤x≤3}={xl1≤x<2}.] 调递增，故m=2.所以f(x)=x. 4.D[由题意知a十b=x十y,cd=xy,x>0,y>0, 又f(-x)=-x?=-f(x),所以f(x)为R上单调 则a+b)-x+y)≥2y四) cd =4,当且仅当 xy xy 递增的奇函数， 参考答案与解析第4页（共8页）