精品解析：山西忻州市河曲县2025-2026学年第二学期期末学情诊断八年级数学

2025—2026学年第二学期期末学情诊断八年级数学（人教版） （本试卷共6页，满分120分） 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内） 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据，，，，，的众数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　） ①；②平分；③；④； A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 5. 有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 8. 小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 比赛得分数据集中在分之间 D. 比赛得分的上四分位数是分 9. 如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（ ） A. 货车的速度为 B. C. 当时，两车相遇 D. 当时，轿车刚好到达丙车站 二．填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在矩形中，，，则对角线的长为______． 12. 为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 13. 《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_______． 15. 如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为______． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； 17. 已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． （1）求的值； （2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 18. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 19. 为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下： a．名学生立定跳远成绩： b．名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 m n （1）写出表中m，n的值； （2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛： i．平均成绩高于已进入决赛的名学生中一半学生的成绩； ii．成绩最稳定． ①若甲学生前4次复活赛测试成绩为，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）； ②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 丙 则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”） ． 20. 如图，点是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足______时，四边形是矩形．并说明理由． 21. 已知甲、乙两地相距，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段、线段分别表示小宁、小波离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）小宁行驶的速度为_____． （2）求小波离开甲地的路程与时间的函数表达式； （3）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 22. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期末学情诊断八年级数学（人教版） （本试卷共6页，满分120分） 一．选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内） 1. 要使二次根式有意义，则的值可以是（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，涉及知识点：二次根式的被开方数非负．解题方法是根据被开方数列不等式，求解后判断选项；解题关键是牢记被开方数的非负性，易错点是忽略符号方向．解题思路：由被开方数列不等式，确定的取值范围，再匹配选项． 【详解】∵有意义， ∴， 解得． 选项中只有，满足条件． ∴的值可以是0． 故选D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意． 3. 一组数据，，，，，的众数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数据，统计得这组数据中，出现次，出现次，出现次，出现次， ∴ 是这组数据中出现次数最多的数，即众数为． 4. 如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　） ①；②平分；③；④； A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解． 【详解】解：①，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； ②平分，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ③，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ④，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 综上所述，由②③④可证得四边形是菱形． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 5. 有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据总人数判断哪个统计量对应前8名的分界位置即可求解． 【详解】解：∵15个成绩按大小排序后，中位数是排序后的第8个成绩， ∴小明只需将自己的成绩和中位数比较，若自己的成绩大于等于中位数，就进入前8名，否则不能进入， 因此只需要了解全部成绩的中位数即可． 6. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解题的关键． 根据不等式的解集为一次函数的函数值大于4时所对应的x的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：由图象可得：当时，， 故选：A． 7. 下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可． 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 8. 小伟参加如奕围棋学生社团年度校园挑战赛，共进行了场比赛．积分统计小组根据小伟这场比赛的得分作了如图统计图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 比赛得分数据集中在分之间 D. 比赛得分的上四分位数是分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图，解决本题的关键是根据箱线图中的各部分表示的意义逐项判断． 【详解】解：A选项：由箱线图可知，比赛的最高得分是分，故A选项错误； B选项：由箱线图可知，比赛得分的中位数是分，故B选项错误； C选项：由箱线图可知，得分的上四分位数是，下四分位数是，比赛得分数据集中在分之间，故C选项正确； D选项：由箱线图可知，比赛得分的下四分位数是，故D选项错误． 故选：C． 9. 如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点、两点嵌有一圈长度最短的金属丝．现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆柱的侧面展开图，解题的关键是根据由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：∵圆柱的侧面展开面为长方形， ∴展开后应该是两条线段，且有公共点． 故选：C． 10. 如图1所示，在甲、乙两地之间有一车站丙（离乙地较近），一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图2分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程与行驶时间之间的函数图象．则下列说法错误的是（ ） A. 货车的速度为 B. C. 当时，两车相遇 D. 当时，轿车刚好到达丙车站 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，有理数的除法运算．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 由图可知，甲地与丙地相距，货车的速度为，可判断A的正误；从甲地到乙地的距离为，则乙地与丙地相距，即，可判断B的正误；轿车的速度为，则两车的相遇时间为，可判断C的正误；轿车刚好到达丙车站的时间为，可判断D的正确． 【详解】解：由图可知，甲地与丙地相距， 货车的速度为，A正确，故不符合要求； ∴从甲地到乙地的距离为， ∴乙地与丙地相距， ∴，B正确，故不符合要求； 轿车的速度为， 两车的相遇时间为，C错误，故符合要求； 轿车刚好到达丙车站的时间为，D正确，故不符合要求； 故选：C． 二．填空题（本大题有5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在矩形中，，，则对角线的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、含有度角的直角三角形，根据矩形的性质，对角线相等，即，在中，已知和，结合度角直角三角形的边角关系，直接求解即可知答案．解题的关键是掌握相关知识． 【详解】解：四边形为矩形．，， ，， ． ． 故答案为：4． 12. 为了增强学生的体质，体育老师组织本班学生进行投篮比赛，每人投5次，现从班级45人中随机抽取5名同学的投中次数，得到数据如下：5，5，4，3，3，则这组数据的离差平方和为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了离差平方和，掌握离差平方和是每个数据与平均数的差的平方之和是解题关键．先求出平均数，再根据离差平方和的定义求解即可． 【详解】解：数据的平均数为 ． 离差平方和为． 故答案为：4． 13. 《九章算术）是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”其意思为：今有一门，高比宽多6尺，门对角线距离恰好为1丈，问门高、宽各是多少？（1丈=10尺）如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为___________（将方程化简并写成一般形式）． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出的长，再利用勾股定理建立方程即可． 【详解】解：由题可知 丈尺，门的对角线距离恰好为丈， 门的对角线距离恰好为尺， ∵高比宽多尺，设门高 为尺， ∴尺， ∴可列方程为：， 整理得： 故答案为：． 【点睛】本题属于数学文化题，考查了勾股定理及其应用，解决本题的关键是读懂题意，能将文字语言转化为几何语言，能用含同一个未知数的式子表示出直角三角形的两条直角边，再利用勾股定理建立方程即可． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质以及直角三角形斜边上中线是斜边的一半是解题的关键．根据菱形的面积公式求出对角线的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出菱形的边长，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，函数 的图象分别与x轴，y轴交于点 A，B，的平分线与轴交于点，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及立方根、绝对值、算术平方根及完全平方公式等知识点，正确计算是解题的关键． （1）先计算立方根，去绝对值，算术平方根，去括号，再合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知边长分别为的两个正方形的面积分别为． （1）求的值； （2）用一根长为的铁丝，能否围成这两个正方形？ 【答案】（1） （2）不能围成这两个正方形 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的加减，无理数的估算． （1）先求出，的代数式，再相加即可； （2）求出这两个正方形的总周长，进而判断即可． 【小问1详解】 解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为， ∵，，， ∴ ∴不能围成这两个正方形． 18. 实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过一个固定的轮子，一端固定在滑块上，另一端固定在物体上；（可以视作三个点）②滑块可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体的高度． 初始状态 （图1）垂直，且，设． 实验条件 绳子始终绷紧，轮子、滑块及物体的大小均可忽略． 任务： （1）求绳子的总长度； （2）（图2）若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2）滑块向左滑动的距离为 【解析】 【分析】（1）设，则，利用勾股定理建立方程求解即可； （2）求出此时的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可． 【小问1详解】 解：在图1中， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ∴， 绳子长度； 【小问2详解】 解：在图2中， 若物体升高，则此时， 在中，由勾股定理得， 答：滑块向左滑动的距离为． 19. 为了增强学生体质，某校九年级举办了小型运动会．其中男子立定跳远项目初赛成绩前名的学生直接进入决赛．现将进入决赛的名学生的立定跳远成绩（单位：厘米），数据整理如下： a．名学生立定跳远成绩： b．名学生立定跳远成绩的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 m n （1）写出表中m，n的值； （2）现有甲、乙、丙三名未进入决赛的学生，要通过复活赛进入决赛．在复活赛中每人要进行5次测试，每人的5次测试成绩同时满足以下两个条件方可进入决赛： i．平均成绩高于已进入决赛的名学生中一半学生的成绩； ii．成绩最稳定． ①若甲学生前4次复活赛测试成绩为，要满足条件i，则第5次测试成绩至少为______（结果取整数）； ②若甲、乙、丙三名学生的5次复活赛测试成绩如下表： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 乙 丙 则可以进入决赛的学生为______（填“甲”“乙”或“丙”） ． 【答案】（1）， （2）①；②丙 【解析】 【分析】（1）将成绩从小到大依次排序，然后根据中位数，众数的定义求解作答即可； （2）①设第5次测试成绩为，依题意得，，计算求解然后作答即可；②由题意知，，，，由，可知乙、丙的成绩更高，由题意知，乙的成绩分布为，丙的成绩分布为，可得丙的数据波动较小，具有更好的稳定性，然后作答即可． 【小问1详解】 解：将成绩从小到大依次排序为， ∴中位数为第5、6位数的平均数为， 众数为， ∴，； 【小问2详解】 ①解：设第5次测试成绩为， 依题意得，， 解得，， ∴第5次测试成绩至少为， 故答案为：； ②解：由题意知，，，， ∵， ∴乙、丙的成绩更高， 由题意知，乙的成绩分布为，丙的成绩分布为， ∴丙的数据波动较小，具有更好的稳定性， 故答案为：，丙． 【点睛】本题考查了中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数等知识．熟练掌握中位数，众数，一元一次不等式的应用，算术平均数是解题的关键． 20. 如图，点是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当满足______时，四边形是矩形．并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及判定，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形进行判定即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：当满足时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 21. 已知甲、乙两地相距，小宁、小波两人分别开车沿同一条公路从甲地出发到乙地，如图，线段、线段分别表示小宁、小波离开甲地的路程与时间的函数关系的图象，根据图象解答下列问题： （1）小宁行驶的速度为_____． （2）求小波离开甲地的路程与时间的函数表达式； （3）当时间为何值时，都在行驶中的两人恰好相距． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象及应用，看懂函数图象是解题的关键． （）根据函数图象解答即可求解； （）利用待定系数法解答即可求解； （）利用待定系数法求出线段的函数表达式，再分相遇前两人恰好相距和相遇后两人恰好相距进行解答即可求解； 【小问1详解】 解：由图可得，小宁行驶的速度为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设线段的函数表达式为，把点代入，得， 解得， ∴小波离开甲地的路程与时间的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设线段的函数表达式为，把和代入得， ， 解得， ∴线段的函数表达式为， 相遇前两人恰好相距，则， 解得； 相遇后两人恰好相距，则， 解得； 当或时，都在行驶中的两人恰好相距． 22. 【问题背景】 新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满电，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间（分钟） 增加的电量 实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量与行驶里程（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程（千米） 显示电量 （1）【建立模型】：观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出关于的函数表达式及关于的函数表达式． （2）【解决问题】：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点千米处的目的地，若电动汽车行驶千米后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为，则电动汽车在服务区充电多长时间？（直接写出） 【答案】（1）， （2）分钟 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求出行驶千米后电动汽车仪表盘显示电量，再计算充电分钟后增加的电量，从而计算出充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量；计算出在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量，从而求出行驶完剩余的路程消耗的电量，再根据“充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量消耗的电量”列方程，求出的值即可． 【小问1详解】 解：①设关于的函数表达式为（为常数，且）， 将，代入，得， 解得， 关于的函数表达式为； ②设关于的函数表达式为（、为常数，且）， 将，和，分别代入得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，， 行驶千米后，电动汽车仪表盘显示电量为，充电分钟后，增加的电量为， 充电分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为， 若在充满电的情况下，行驶完剩余的路程，电动汽车仪表盘显示电量为， 行驶完剩余的路程消耗的电量为， ， 解得， 答：电动汽车在服务区充电分钟． 23. 综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景，添加适当条件后，探究图形元素之间的关系．已知矩形，善思小组添加条件如下：如图1，点是边上的一点，且，过点作于点． 初步分析：（1）善思小组发现图1中线段，请证明这个结论； 深度探究：（2）好问小组将图1中的“点是边上的一点”改为“点是的中点”，得到图2，其余条件不变．他们提出如下问题，请你解答． ①判断图2中线段与的数量关系，并说明理由； ②将图2中的绕点逆时针旋转得到（点，分别是的对应点），设直线，交于点．在绕点逆时针旋转过程中，当以点为顶点的四边形是菱形时，连接，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）①，理由见解析；②或2 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据矩形的性质，证明，即可得到结论； （2）①利用全等三角形的性质证明即可； ②先得到是等边三角形，当点落在的延长线上时，四边形是菱形，此时，，求出比值；当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形，根据的直角三角形的性质和勾股定理求出，然后计算比值即可． 【详解】（1）证明：∵四边形都是矩形， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①结论： ，理由： ∵四边形都是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ； ②如图中， 连接， ∵，，， ∴， ∴， 是等边三角形， 当点落在的延长线上时，四边形是菱形， 此时，， ； 当点G和E关于直线对称时，四边形为菱形， 此时，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $