1.2空间向量基本定理 同步训练 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量基本定理为核心，通过基础概念辨析、几何体向量表示到综合证明的三阶分层设计，实现从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配新授课"基础巩固+能力提升"需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|基底概念、简单向量表示|单选1直接判断基底，填空8正方体中向量坐标表示，夯实概念理解| |提升层|复杂几何体向量分解、投影计算|单选5结合正四面体投影向量，多选6辨析基底性质，培养推理能力| |综合层|综合证明与长度计算|解答题10菱形底四棱锥中证明与计算，体现数学建模与应用意识|

1.2空间向量基本定理 同步训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 2．如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【详解】由为的中点，得， 所以. 故选：A 3．在平行六面体中，与交于点，记，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义得，即可得. 【详解】由. 故选：A 4．在四面体中，点满足，为的中点，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】用表示求出即可得解. 【详解】由题意知， 因为，所以，则. 故选：B 5．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的定义表示出在方向上的投影向量，利用线性运算、数量积公式，以及平面向量基本定理即可求解. 【详解】由题知，在方向上的投影向量为， 又 ， 且， 所以，所以. 故选：A 二、多选题 6．设构成空间的一个基底，下列说法正确的是（    ） A．两两共面，但不可能共面 B．有且仅有一对实数，使得 C．对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得 D．，，一定能构成空间的另一个基底 【答案】ACD 【分析】根据基底向量的定义结合空间向量的基本定理逐项分析判断. 【详解】对于A，由基底的定义知不可能共面，故A正确； 对于B，因为是空间一个基底，所以不共面，所以不存在实数，使得，故B不正确； 对于C，因为是空间一个基底，由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使得，故C正确； 对于D，因为不共面，且与平行，与平行，与平行，所以，，也不共面，因此一定能构成空间的一个基底，故D正确． 故选：ACD. 7．如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 【答案】CD 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得：， 故选：CD. 三、填空题 8．在正方体中，取为基，若点为平面的中心，且，则______． 【答案】2 【分析】根据图象将向量分解为的组合，进而得出相应的系数求和. 【详解】为的中点，由图可知，，所以. 故答案为：. 9．平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为_________． 【答案】 【分析】由平方即可求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以.故答案为： 四、解答题 10．如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 【答案】(1) 设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. (2). 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知， 所以 . 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $1.2空间向量基本定理同步训练 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.已知a五，为空同的年装底，能与a+6,a-6组成基底的向是是(） 86 Cc D.a+26 2.如图，在四面体0ABC中，O1=a.OB=6.OC-G点N在BC上，且CW-号8，M为O4的中点，则 2 MN 等于() 1 35 2 b+d B.2a-3b+3 312 1,2,1 c.2a-36-3 D.2a+5b+ M 3.在平行六面体 BCD-ABCA中，4C与BD交于点M,记DC=a,D1=b, DD=c MD,=() ,则 D 1→1 11÷一 A.-2 b+c 2 B.-2atzb-c C.-8 1→1 D.2 a+-b+c 2 2 4.在四面体O1BC中，点M满足401=50M,N为BC的中点，若 N=xOA+yOB+zOC ,则 5x+y+Z= () 试卷第1页，共3页 A.3 B.-3 C.4 D.-4 5.如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M,N分别为BC,AD的中点，且 MM在C方向上的投影向量为CN,则“的值为《) B M A.3 D. 二、多选题 6。设a,6构成空间的一个基底，下列说法正确的是() A a,b,c a,b,c 两两共面，但 不可能共面 元，L =ā+b B.有且仅有一对实数，使得 C.对空间任一向量P,总存在唯一的有序实数组 x,y,z ,使得D=a+b+C a 16 1 D.2“,3,4一定能构成空间的另一个基底 7.如图，在三楼柱MBC-4BG中，BC=（) 试卷第2页，共3页 A.AB-AC+AA B.-AB-AC+A4 BA+AA +AC D._4B+AC+ 三、填空题 8.在正方体ABCD-4BCD中，取{B,D,MM为基，若点G为平面BCC8的中心，且 AG=x+yAD+Ay+:= ABCD-ABCD 的底面MCD是边长为2的正方形，且 ∠AAD=∠AAB=60°A4=3 9.平行六面体 M为4G,BP的交点，则线段BM的长为 D A B D 四、解答题 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形， PC=4,∠ABC=∠BCP=∠DCP=120 试卷第3页，共3页 D (I)利用空间向量证明PA⊥BD: (2)求AP的长 试卷第4页，共3页