§1.2.1 空间向量基本定理 同步练习- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学空间向量基本定理同步练，以“夯基础-提能力-迎挑战”分层，题量配比合理，知识从单一概念到综合应用递进，培养数学抽象、空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯基础|基底概念与线性表示|选择/填空/多选结合，巩固基底判断、向量分解（如三棱柱中点向量表示）| |提能力|基底综合应用与几何转化|解答题为主，培养推理能力（如平行六面体中向量关系证明）| |迎挑战|复杂情境下的向量应用|探究性问题，发展创新意识（如最值求解、定值证明）|

人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.2.1 空间向量基本定理 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（24-25高二上·贵州·期末） ，，是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基底，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】根据基底的定义，可知，若 ，，是三个不共面的单位向量，则可为空间的一个基底， 反过来，若为空间的一个基底，则，，是三个不共面的向量，不一定是单位向量， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高二上·四川·阶段检测）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义判断即得. 【详解】向量是空间的一个基底，显然，即向量分别与向量共面，A、B不是； 假定向量与向量共面，显然不共线，即存在实数，使得， 即有，所以共面，与已知矛盾，因此向量与向量不共面， 所以向量可以与一起构成空间的另一个基底，C对，D错. 故选：C 3．（24-25高二下·全国·课后作业）为空间的一个基底，且存在实数，，使得，则，，的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据基底的定义、向量共面的充要条件，利用反证法运算分析即可得解. 【详解】解：假设，，中存在一个不为0的数，不妨设， 则由可得：， ∴由向量共面的充要条件知向量共面， 这与是空间的一个基底矛盾，故假设不真， 即，，中不存在一个不为0的数， ∴. 故选：B. 4．（24-25高二上·江西·期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算，用为基底表示出，可得选项. 【详解】 故选：D 5．（24-25高二上·陕西·期末）已知、、是空间的一个基底，，，，，若，则、、的值分别为（    ） A．，，1 B．，1， C．1，， D．，，1 【答案】D 【解析】本题首先根据得出，然后根据即可列出算式并通过计算得出结果. 【详解】因为，，，， 所以， 因为， 所以，解得， 故选：D. 6．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B．已知向量，则与任何向量都能构成空间的一个基底 C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果． 【详解】对于选项：，，可以作为空间的一个基底， ，，不共面， 与共线，， ，，不共面，故正确． 对于选项：向量， ，与任何向量都共面， ，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故错误． 对于选项： ，，不能构成空间的一个基底， ，，共面，，，，共面，故正确． 对于选项：，，是空间的一个基底， ，，不共面， ， ，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确． 故选：． 7．（24-25高二下·江苏·阶段检测）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（    ） A． B．= C．= D．= 【答案】B 【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量 【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON， 由G是的重心，可得， 则 则 故选：B 8．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，用、、作为基向量，则__________. 【答案】 【分析】利用向量加法、数乘的运算，用表示出. 【详解】 ，所以. 故答案为： 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为_______. 【答案】 【分析】利用空间向量的基本定理及运算即可求解. 【详解】由题意知：在梯形中，，，可得：， 所以：，即：， 所以：. 故答案为：. 10．（24-25高二上·福建·开学考试）点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接，，再利用空间向量的线性运算以及空间向量基本定理即可求解. 【详解】取的中点，连接， 则 ， 又因为， 由空间向量基本定理可得： 故选：D. 11．（25-26高二上·甘肃·期中）如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，点E是上底面A'B'C'D'的中心，取向量为基底的基向量，在下列条件下，分别求x，y，z的值. （1）=x+y+z; （2）=x+y+z. 【答案】（1）x=1，y=-1，z=1；（2）x=，y=，z=1. 【分析】根据几何体的特征，结合选定的基向量，即可通过向量运算表示出（1）（2）中的目标向量. 【详解】（1）因为=-， 又=x+y+z， 所以x=1，y=-1，z=1. （2）因为=) =， 又=x+y+z， 所以x=，y=，z=1. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·安徽·期中）（多选）设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量基本定理，判断四个选项中的每一组向量是否共面即可得出答案. 【详解】解：对于A，设三个向量共面， 则存在唯一一对实数，使得， 即， 又，，是不共面的三个单位向量， 所以，方程组无解， 所以三个向量不共面，能作为一组基底； 对于B，因为，所以三个向量共面，故不能作为一组基底； 对于C，设三个向量共面， 则存在唯一一对实数，使得， 即， 又，，是不共面的三个单位向量， 所以，方程组无解， 所以三个向量不共面，能作为一组基底； 对于D，因为，所以三个向量共面，故不能作为一组基底； 故选：BD. 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由空间向量的线性运算可得 ，由空间向量基本定理即可求解. 【详解】设，因为 ， 所以，，. 因为，所以. 故选:B. 14．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点. （1）用向量表示向量，并证明你的结论； （2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）. 【答案】（1）；证明见解析；（2），且. 【分析】（1）再结合， ，即可将用向量表示. （2）点P在的内部，所以四点共面，利用共面向量定理的推论即可得. 【详解】解析（1）. 证明如下： . （2）若，点P在的内部（不包括边界）， 的充分必要条件是：，且. 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：，则，，又P，M，N共线，∴.又， ∴，当且仅当时取等号， 故选：C. 16．（25-26高二上·广东·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】为定值4；证明如下： 联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出. 然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论. 【详解】为定值4；证明略. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步练习 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.2.1 空间向量基本定理 同步分层作业 夯基础 固根基 · 强素养 1．（24-25高二上·贵州·期末） ，，是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基底，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·四川·阶段检测）已知是空间的一个基底,设，则下列向量中可以与一起构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．（24-25高二下·全国·课后作业）为空间的一个基底，且存在实数，，使得，则，，的值分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25高二上·江西·期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则下列向量与相等的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·陕西·期末）已知、、是空间的一个基底，，，，，若，则、、的值分别为（    ） A．，，1 B．，1， C．1，， D．，，1 6．（24-25高二上·黑龙江·开学考试）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（    ） A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底 B．已知向量，则与任何向量都能构成空间的一个基底 C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底 7．（24-25高二下·江苏·阶段检测）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（    ） A． B．= C．= D．= 8．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在正方体中，用、、作为基向量，则__________. 9．（24-25高二上·上海·期中）如图，在梯形ABCD中，，，点为空间任一点，设，，，则向量用，，表示为_______. 10．（24-25高二上·福建·开学考试）点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·甘肃·期中）如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，点E是上底面A'B'C'D'的中心，取向量为基底的基向量，在下列条件下，分别求x，y，z的值. （1）=x+y+z; （2）=x+y+z. 提能力 综合用 · 善迁移 12．（25-26高二上·安徽·期中）（多选）设，，是不共面的三个单位向量，则下列向量组不能作为空间的基底的一组是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，G是的重心（三条中线的交点），P是空间任意一点. （1）用向量表示向量，并证明你的结论； （2）设，请写出点P在的内部（不包括边界）的充分必要条件（不必给出证明）. 迎挑战 拓思维 · 求突破 15．（25-26高二上·贵州·阶段检测）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 16．（25-26高二上·广东·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $