第6讲 函数的概念及其表示【16个核心题型归纳】讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦函数概念及其表示这一高考核心模块，涵盖函数三要素、定义域（具体与抽象）、解析式求法（待定系数法等）、值域求解（分离常数法等）等考点，按核心题型归纳知识体系，通过核心知识梳理、方法技巧指导、真题例题与巩固练习结合的教学环节，帮助学生系统突破函数基础难点。 资料以题型分层设计为特色，每个题型配备核心知识、方法技巧与梯度练习，如抽象函数定义域采用“括号内整体范围相同”原则培养数学思维，同一函数判断通过定义域与对应关系双维度验证强化数学语言表达。分层练习确保学生逐步提升解题能力，为教师提供精准复习节奏把控依据，有效提升学生函数模块应考效率。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第6讲 函数的概念及其表示 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】函数的概念 核心知识 定义：设A、B为非空数集若对A中任意一个数x按某种对应关系f在B中都有唯一确定的数y与之对应则称f:A→B为从A到B的函数记作 三要素：定义域对应关系值域三者相同即为同一函数 对应关系要求：定义域内每个x只能对应唯一的y（多对一允许一对多不允许） 方法技巧 1概念判断：看“任意x→唯一y”用垂直于x轴的直线检验图像若与图像有两个及以上交点则不是函数 2三要素验证：定义域和对应关系相同值域必然相同只需验证前两者即可判断同一函数 3集合语言辨析：区分函数与映射函数是数集到数集的特殊映射 【经典例题1】（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【经典例题2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·江西赣州·期末）根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一上·广西玉林·期末）（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高一上·贵州遵义·月考）下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】 求具体函数的定义域 核心知识 定义域：使函数有意义的自变量x的取值集合 常见限制条件： 分式分母不为0 偶次根式被开方数非负 对数真数大于0底数大于0且不等于1 零次幂底数不为0 实际问题中自变量需符合实际意义 方法技巧 1列不等式组：根据函数式中的所有限制条件列出对应的不等式（组） 2解不等式组：取所有不等式解集的交集即为函数的定义域 3易错点规避： 对数函数同时满足真数>0底数>0且≠1 多个限制条件时不可遗漏任意一个条件 分式和根式同时存在时需同时考虑分母不为0和被开方数非负 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）函数的定义域为___________． 【经典例题2】（25-26高二下·北京·期中）设函数，则函数的定义域为__________. 【巩固练习1】（25-26高一下·江西南昌·期中）函数的定义域为______． 【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二下·湖南长沙·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 求抽象函数的定义域 核心知识 抽象函数：未给出具体解析式的函数如、、等 核心原则：同一对应关系下括号内的整体取值范围相同 方法技巧 1已知的定义域为求的定义域：令解x的范围 2已知的定义域为求的定义域：先求时的取值范围即为的定义域 3多层复合函数：从内到外或从外到内逐层利用“括号内整体范围相同”的原则求解 【经典例题1】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【巩固练习1】（23-24高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【巩固练习3】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【题型4】 由定义域求参数范围 核心知识 已知函数的定义域（如R、区间等）反求解析式中参数的取值范围 本质：根据定义域的限制条件转化为含参数的不等式恒成立问题 方法技巧 1定义域为R：即限制条件对应的不等式对所有x∈R恒成立 例：定义域为R⇔对所有x∈R恒成立 2定义域为某区间：即限制条件对应的不等式的解集为该区间结合二次函数图像分析参数范围 3分类讨论：二次项系数含参数时先讨论参数为0的情况再讨论不为0的情况 4端点验证：注意区间端点是否可取避免漏写或多写等号 【经典例题1】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【巩固练习2】（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州遵义·月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围________. 【题型5】 同一函数的判断 核心知识 同一函数的判定标准：三要素（定义域、对应关系、值域）完全相同 关键：定义域和对应关系相同值域必然相同因此只需验证前两者 方法技巧 1先看定义域：若定义域不同直接判定不是同一函数 2再看对应关系：将解析式化简后（需注意定义域不变）若对应关系相同则为同一函数 3易错点：化简解析式时若改变了定义域则不能直接判断需保持定义域不变再比较对应关系 例：和化简后对应关系相同但定义域不同不是同一函数 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一下·河南·月考）（多选）已知函数，，，则（   ） A．与是同一函数 B．与是同一函数 C．若，则 D．已知，若，则 【巩固练习2】（25-26高一下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·云南迪庆·期末）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【题型6】函数的求值 核心知识 已知函数解析式或抽象函数关系求函数值、复合函数值或已知函数值求自变量 核心：代入对应关系计算复合函数需从内到外逐层计算 方法技巧 1直接代入法：已知解析式直接将自变量代入计算 2复合函数求值：从内到外先算内层函数值再代入外层函数 例：已知求先算再算 3分段函数求值：先判断自变量所在的区间再代入对应解析式计算 4已知函数值求自变量：解方程注意检验解是否在定义域内 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【经典例题2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【巩固练习1】（25-26高一下·浙江·期中）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【巩固练习2】（25-26高二下·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【巩固练习3】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【题型7】 待定系数法求解析式 核心知识 适用场景：已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等）设出函数的一般形式再根据条件列方程求解参数 常见形式： 一次函数： 二次函数：一般式顶点式交点式 方法技巧 1设一般式：根据函数类型设出含参数的解析式 2列方程：将已知条件（如函数值、过定点等）代入解析式得到关于参数的方程（组） 3解方程：求出参数的值代回一般式得到函数解析式 4注意：二次函数优先用顶点式或交点式减少计算量 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【题型8】 配凑法求解析式 核心知识 适用场景：已知的解析式且的形式简单（如一次式、平方式）可通过配凑将表示为的整体形式进而得到的解析式 核心：整体代换思想将看作一个整体把右侧式子用这个整体表示 方法技巧 1观察的形式将的解析式配凑成含的表达式 例：已知配凑得则即 2换元验证：配凑后可通过换元法验证结果是否正确 3易错点：配凑时需保证定义域不变即的定义域是的值域 【经典例题1】（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2024高一上·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【巩固练习1】（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【巩固练习2】（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知函数． (1)求； (2)判断在上的单调性并用定义法证明； (3)求函数的值域． 【巩固练习3】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【题型9】 换元法求解析式 核心知识 适用场景：已知的解析式设解出代入解析式得到进而得到的解析式 核心：通过换元将复合函数转化为简单函数需注意换元后新变量的取值范围 方法技巧 1设元：令并求出的取值范围（即的值域） 2反解：由解出关于的表达式 3代入：将代入的解析式得到的表达式 4还原：将换为并注明定义域（即的取值范围） 5易错点：换元后必须注明新变量的取值范围避免定义域错误 【经典例题1】（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为______. 【经典例题2】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则（    ） A．8 B．5 C．3 D．0 【题型10】 方程组法求解析式 核心知识 适用场景：已知关于和、和等的关系式通过构造方程组消元求出的解析式 核心：利用变量替换构造另一个方程联立消元求解 方法技巧 1构造方程组：将关系式中的替换为或得到另一个方程 例：已知将替换为得 2联立消元：将两个方程看作关于和（或）的方程组消去（或）解出 3注意：替换变量时需保证替换后的表达式有意义（如时才能替换为） 【经典例题1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 【经典例题2】（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数满足，则__________． 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【巩固练习2】（2025高一上·江苏·专题练习）已知，求. 【巩固练习3】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型11】 分离常数法求值域 核心知识 适用场景：形如的分式函数或可化为类似形式的函数 核心：将分子配凑成分母的倍数形式分离出常数和分式部分利用分式的取值范围求值域 方法技巧 1配凑分离：将分子表示为分母的倍数加常数如 2分析分式部分：因此得到值域 3易错点：注意分母不为0分式部分不能为0因此值域需排除常数项的值 【经典例题1】（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 【经典例题2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________. 【巩固练习1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的值域为______． 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西渭南·月考）函数的值域为_________. 【巩固练习3】（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的值域为___________． 【题型12】 换元法求值域（根号型） 核心知识 适用场景：形如的函数通过换元将根号去掉转化为二次函数求值域 核心：设解出代入原函数转化为关于的二次函数结合的条件求值域 方法技巧 1设元：令注明的取值范围（） 2转化：解出代入原函数得到关于的二次函数 3求值域：利用二次函数的图像或配方法结合的条件求值域 4易错点：换元后必须注明的取值范围否则易忽略定义域限制导致值域错误 【经典例题1】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）函数的最大值是_______. 【经典例题2】（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的值域是______． 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为_________． 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为__________. 【巩固练习3】（2025高一·全国·专题练习）函数的值域为______． 【题型13】 对勾函数型求值域（一次/二次或二次/一次） 核心知识 对勾函数定义：形如的函数定义域为图像为对勾形状 性质：在上单调递减在上单调递增；在上单调递增在上单调递减；值域为 适用场景：形如或的函数可通过换元转化为对勾函数形式 方法技巧 1分离换元：将分式函数分离常数再换元转化为对勾函数形式 例：令则代入得为对勾函数 2利用单调性：根据对勾函数的单调性结合定义域求值域 3易错点：注意对勾函数的定义域限制避免直接套用最值公式而忽略定义域导致错误 【经典例题1】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【经典例题2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【巩固练习1】（2025高一上·江苏·专题练习）函数的值域为___________. 【巩固练习2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 【巩固练习3】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为_____. 【题型14】 复杂型换元法求值域（换某个函数） 核心知识 适用场景：形如的复合函数其中的取值范围可求通过换元将复合函数转化为简单函数求值域 核心：设先求的取值范围再求在的取值范围内的值域 方法技巧 1设元：令并求出的取值范围（即的值域） 2转化：将原函数转化为 3求值域：根据的类型（如一次、二次、对勾函数等）结合的取值范围求值域 4常见换元：三角函数换元（如）、指数函数换元（如）等需注明换元后变量的取值范围 【经典例题1】（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，其中为非零常数. (1)写出在上的单调区间，； (2)若，求函数的值域； (3)若，对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值. 【经典例题2】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________． 【题型15】 由函数的值域求参数 核心知识 已知函数的值域（如R、区间、特定集合等）反求解析式中参数的取值范围 本质：根据函数值域的限制条件转化为含参数的不等式恒成立或最值问题 方法技巧 1二次函数值域问题： 值域为：开口向上且最小值为即 值域为：开口向下且最大值为即 值域为R：开口向上且（保证函数值能取到所有大于等于最小值的数） 2分式/根式函数值域问题：分离常数或换元后结合函数的性质列方程求解参数 3易错点：注意函数的定义域限制避免忽略定义域导致参数范围错误 【经典例题1】（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 的定义域与值域都为，则实数的值为______ 【经典例题2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高三上·河北沧州·月考）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2025高一上·江苏·专题练习）（多选）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 【题型16】 分段函数的值域 核心知识 分段函数：在定义域的不同区间上有不同的解析式值域为各分段函数值域的并集 核心：分别求各分段函数在对应区间上的值域再取并集 方法技巧 1分段求解：对每一段函数分别根据其解析式和定义域求值域 2取并集：将各分段的值域合并得到整个分段函数的值域 3易错点：注意各分段的定义域端点避免重复或遗漏；分段函数的值域是各段值域的并集不是交集 4特殊情况：分段函数中某一段为常数函数时该段的值域为常数本身 【经典例题1】（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【经典例题2】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数的值域为，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数则（    ） A． B． C．1 D．9 2．（江西南昌市八一中学等校2026届高三临门一练数学试题）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 二、多选题 6．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若直线与的图象有2个交点，则 C．在区间上单调递增 D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 7．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 8．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数和，是同一个函数 C．幂函数在是减函数 D．函数的图象关于点成中心对称 9．（24-25高二下·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）下列选项中说法正确的有（    ） A．已知命题P：，，则为， B．函数的值域为 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2026·北京石景山·二模）函数的定义域是______． 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 14．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 15．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 16．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，则的定义域为：___________ 17．（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 18．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）若函数，则的值是__________； 四、解答题 19．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)求函数的值域． 20．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）已知函数满足，满足，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的最小值； (3)若关于的方程在上有两个不同实数根，求实数的取值范围． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第6讲 函数的概念及其表示 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】函数的概念 核心知识 定义：设A、B为非空数集若对A中任意一个数x按某种对应关系f在B中都有唯一确定的数y与之对应则称f:A→B为从A到B的函数记作 三要素：定义域对应关系值域三者相同即为同一函数 对应关系要求：定义域内每个x只能对应唯一的y（多对一允许一对多不允许） 方法技巧 1概念判断：看“任意x→唯一y”用垂直于x轴的直线检验图像若与图像有两个及以上交点则不是函数 2三要素验证：定义域和对应关系相同值域必然相同只需验证前两者即可判断同一函数 3集合语言辨析：区分函数与映射函数是数集到数集的特殊映射 【经典例题1】（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 【经典例题2】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 【巩固练习1】（25-26高一上·江西赣州·期末）根据函数定义判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据函数的定义判断可得. 【详解】对于A：因为时，y的值无意义，所以A不正确； 对于B：因为当时，对应，所以B不正确； 对于C：当分别取，对应的值为，符合题意，所以C正确； 对于D：因为当时，对应，所以D不正确； 故选：C 【巩固练习2】（25-26高一上·广西玉林·期末）（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应， 对于A，当时，，A不是； 对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是； 对于C，当时，，C不是； 对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是. 故选：BD 【巩固练习3】（24-25高一上·贵州遵义·月考）下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 【题型2】 求具体函数的定义域 核心知识 定义域：使函数有意义的自变量x的取值集合 常见限制条件： 分式分母不为0 偶次根式被开方数非负 对数真数大于0底数大于0且不等于1 零次幂底数不为0 实际问题中自变量需符合实际意义 方法技巧 1列不等式组：根据函数式中的所有限制条件列出对应的不等式（组） 2解不等式组：取所有不等式解集的交集即为函数的定义域 3易错点规避： 对数函数同时满足真数>0底数>0且≠1 多个限制条件时不可遗漏任意一个条件 分式和根式同时存在时需同时考虑分母不为0和被开方数非负 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束条件列不等式组，求解后取交集得到定义域. 【详解】要使函数有意义， ，解得 故答案为：. 【经典例题2】（25-26高二下·北京·期中）设函数，则函数的定义域为__________. 【答案】 【详解】对数函数要求真数大于0，即， 分母不能为0，即，解得， 综上，且， 即定义域为. 【巩固练习1】（25-26高一下·江西南昌·期中）函数的定义域为______． 【答案】 【分析】要使函数有意义，则有，可得不等式组的解集，即得原函数的定义域． 【详解】要使原函数有意义，必须有，即， 解集为， 取交集可得原函数的定义域为. 【巩固练习2】（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得，解得， 所以函数的定义域是. 【巩固练习3】（25-26高二下·湖南长沙·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 【题型3】 求抽象函数的定义域 核心知识 抽象函数：未给出具体解析式的函数如、、等 核心原则：同一对应关系下括号内的整体取值范围相同 方法技巧 1已知的定义域为求的定义域：令解x的范围 2已知的定义域为求的定义域：先求时的取值范围即为的定义域 3多层复合函数：从内到外或从外到内逐层利用“括号内整体范围相同”的原则求解 【经典例题1】（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 【经典例题2】（2026·安徽合肥·模拟预测）若函数的定义域是，则函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，解得，取交集得． 【巩固练习1】（23-24高一上·江西吉安·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抽象函数定义域结合二次函数不等式即可求解 . 【详解】函数的定义域为，则，所以函数的定义域为； 若函数有意义，则，解得． 则函数的定义域为. 【巩固练习2】（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________． 【答案】 【分析】由函数定义域的概念和函数特征进行求解. 【详解】由题意得，故， 令，解得， 令得或， 综上，，函数定义域为. 【巩固练习3】（25-26高一下·江西九江·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抽象函数定义域可得即可求解. 【详解】令， ∵函数的定义域为， ，即， 解得， 所以函数的定义域是． 故选：B． 【题型4】 由定义域求参数范围 核心知识 已知函数的定义域（如R、区间等）反求解析式中参数的取值范围 本质：根据定义域的限制条件转化为含参数的不等式恒成立问题 方法技巧 1定义域为R：即限制条件对应的不等式对所有x∈R恒成立 例：定义域为R⇔对所有x∈R恒成立 2定义域为某区间：即限制条件对应的不等式的解集为该区间结合二次函数图像分析参数范围 3分类讨论：二次项系数含参数时先讨论参数为0的情况再讨论不为0的情况 4端点验证：注意区间端点是否可取避免漏写或多写等号 【经典例题1】（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 【经典例题2】（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知. (1)若定义域为，求实数的取值范围； (2)若定义域为，求实数的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若定义域为，由恒成立求解； （2）若定义域为，则-6，2是一元二次方程的两根，由韦达定理求解； 【详解】（1）若定义域为，则恒成立， 则，或， 解得：； （2）若定义域为， 则-6，2是一元二次方程的两根， 由韦达定理得，解得：； 【巩固练习2】（25-26高一上·辽宁·期末）已知函数的定义域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的定义域可知不等式在上恒成立，令判别式小于解出的范围即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立， 所以，解得， 故选：A 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州遵义·月考）若函数的定义域为，则实数的取值范围________. 【答案】 【分析】将函数定义域问题转化为不等式问题，对分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立条件即可求解. 【详解】由题意可知，对任意恒成立. 当时，不等式可化为，恒成立，符合条件； 当时，需满足二次函数的图象开口向上，且与轴无交点， 即，也即，解得. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 【题型5】 同一函数的判断 核心知识 同一函数的判定标准：三要素（定义域、对应关系、值域）完全相同 关键：定义域和对应关系相同值域必然相同因此只需验证前两者 方法技巧 1先看定义域：若定义域不同直接判定不是同一函数 2再看对应关系：将解析式化简后（需注意定义域不变）若对应关系相同则为同一函数 3易错点：化简解析式时若改变了定义域则不能直接判断需保持定义域不变再比较对应关系 例：和化简后对应关系相同但定义域不同不是同一函数 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）下列函数中哪个与函数是同一个函数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域是, 值域是, A.    函数的定义域是，所以A错误； B.    函数的定义域是，所以B错误； C.    函数与的对应法则不同，所以C错误； D.    函数，与函数是同一个函数, 所以D正确. 【经典例题2】（24-25高一上·广西河池·期中）（多选）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 【巩固练习1】（25-26高一下·河南·月考）（多选）已知函数，，，则（   ） A．与是同一函数 B．与是同一函数 C．若，则 D．已知，若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，注意到的定义域为，的定义域为R，二者不是同一函数，故A错误； 对于B，，二者定义域相同，故B正确； 对于C，，则，，故C正确； 对于D，，因为，则，即，故，故D正确． 【巩固练习2】（25-26高一下·河南信阳·开学考试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相等函数的概念一一判断即可得解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，且，故D正确. 【巩固练习3】（25-26高一上·云南迪庆·期末）下列各组函数表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相等函数的定义逐个选项求解判断即可,根据定义域可以判断选项A和C；根据对应关系可以判断B；结合定义域和对应关系可以判断D. 【详解】选项A，函数的定义域为， 函数的定义域为，定义域不同，故错误； 选项B，函数，函数， 对应关系不同，故错误； 选项C，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，故错误； 选项D，由函数，可得，显然函数和定义域、对应关系相同，故正确， 故选：D. 【题型6】函数的求值 核心知识 已知函数解析式或抽象函数关系求函数值、复合函数值或已知函数值求自变量 核心：代入对应关系计算复合函数需从内到外逐层计算 方法技巧 1直接代入法：已知解析式直接将自变量代入计算 2复合函数求值：从内到外先算内层函数值再代入外层函数 例：已知求先算再算 3分段函数求值：先判断自变量所在的区间再代入对应解析式计算 4已知函数值求自变量：解方程注意检验解是否在定义域内 【经典例题1】（25-26高一上·河北唐山·期中）函数，则（   ） A．14 B．1 C．0 D．13 【答案】A 【详解】换元求解 【点睛】令，则， 【经典例题2】（24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，求的值（   ） A．2 B．5 C．3 D．1 【答案】B 【详解】， ． 【巩固练习1】（25-26高一下·浙江·期中）已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【详解】 ． 【巩固练习2】（25-26高二下·浙江·期中）若，，则（    ） A．50 B．55 C．99 D．101 【答案】D 【分析】解法一：通过多次对赋特殊值，依次求出后，结合赋值推导；解法二：先令得到相邻自变量的函数值差的递推式，通过累加法建立与的关系求解；解法三：先根据函数方程和初始条件确定符合题意的具体函数解析式，直接代入计算结果. 【详解】解法一：（赋值）令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令得，所以； 令，得，所以； 令，得，所以． 解法二：（赋值递推）令得，所以， 所以，累加得， 所以． 解法三：（抽象函数具体化）观察发现满足题意且， 所以． 【巩固练习3】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法1：由，得，所以，所以， 所以，即，所以． 法2：， 所以． 【题型7】 待定系数法求解析式 核心知识 适用场景：已知函数的类型（如一次函数、二次函数、反比例函数等）设出函数的一般形式再根据条件列方程求解参数 常见形式： 一次函数： 二次函数：一般式顶点式交点式 方法技巧 1设一般式：根据函数类型设出含参数的解析式 2列方程：将已知条件（如函数值、过定点等）代入解析式得到关于参数的方程（组） 3解方程：求出参数的值代回一般式得到函数解析式 4注意：二次函数优先用顶点式或交点式减少计算量 【经典例题1】（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数是一次函数，若，则______． 【答案】或 【详解】设，则. 又，所以. 即，解得，或. 所以或 ． 【经典例题2】（2026高三·全国·专题练习）已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 【巩固练习1】（25-26高一上·全国·期末）已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【分析】设，结合题设条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得函数解析式. 【详解】设， 根据题意得，解得， 所以 ． 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：，． (1)求二次函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解. （2）由（1）的结论列出一元二次不等式，再求解该不等式. 【详解】（1）设二次函数，由，得，则； 由，得， 即，因此，解得，， 所以二次函数的解析式为. （2）由（1）知，，不等式， 即，解得或， 所以原不等式的解集为或. 【题型8】 配凑法求解析式 核心知识 适用场景：已知的解析式且的形式简单（如一次式、平方式）可通过配凑将表示为的整体形式进而得到的解析式 核心：整体代换思想将看作一个整体把右侧式子用这个整体表示 方法技巧 1观察的形式将的解析式配凑成含的表达式 例：已知配凑得则即 2换元验证：配凑后可通过换元法验证结果是否正确 3易错点：配凑时需保证定义域不变即的定义域是的值域 【经典例题1】（2027高三·全国·专题练习）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知表达式通分后配方，发现它是中间变量的平方，再通过换元得到函数的解析式. 【详解】，所以． 故选：D. 【经典例题2】（2024高一上·全国·专题练习）已知，求的解析式． 【答案】 【分析】由配凑法求解出的解析式. 【详解】因为， 所以． 【巩固练习1】（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【分析】利用配凑法求抽象函数解析式即可． 【详解】，且， 所以，． 故答案为：，． 【巩固练习2】（24-25高一上·贵州遵义·月考）已知函数． (1)求； (2)判断在上的单调性并用定义法证明； (3)求函数的值域． 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）通过换元法将转化为的表达式； （2）利用单调性定义作差比较，判断在上的单调性； （3）结合的取值范围推导的取值范围，得到值域. 【详解】（1）将化为，令，则，故. （2）在上单调递减，证明如下： 取任意且， . 因，故,，且， 得，即，故在上单调递减. （3）由，得，故，则的值域为. 【巩固练习3】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用配凑法求得，即可求解. 【详解】因为函数， 所以，则. 故选：A 【题型9】 换元法求解析式 核心知识 适用场景：已知的解析式设解出代入解析式得到进而得到的解析式 核心：通过换元将复合函数转化为简单函数需注意换元后新变量的取值范围 方法技巧 1设元：令并求出的取值范围（即的值域） 2反解：由解出关于的表达式 3代入：将代入的解析式得到的表达式 4还原：将换为并注明定义域（即的取值范围） 5易错点：换元后必须注明新变量的取值范围避免定义域错误 【经典例题1】（25-26高一上·陕西榆林·月考）已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【分析】用配凑法求函数解析式，注意的取值范围. 【详解】因为函数，且， 所以. 故答案为：. 【经典例题2】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，，代入化简即可求解． 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 【巩固练习1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】将代入函数解析式计算得解. 【详解】将代入， 得到，解得. 故选：B. 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西西安·期末）若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用换元法求函数解析式即可. 【详解】令，则， 则有， 故. 故选：B. 【巩固练习3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则（    ） A．8 B．5 C．3 D．0 【答案】D 【分析】先利用换元法求的解析式，再代入计算即可. 【详解】令，则，， 即， . 故选：D. 【题型10】 方程组法求解析式 核心知识 适用场景：已知关于和、和等的关系式通过构造方程组消元求出的解析式 核心：利用变量替换构造另一个方程联立消元求解 方法技巧 1构造方程组：将关系式中的替换为或得到另一个方程 例：已知将替换为得 2联立消元：将两个方程看作关于和（或）的方程组消去（或）解出 3注意：替换变量时需保证替换后的表达式有意义（如时才能替换为） 【经典例题1】（2027高三·全国·专题练习）已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【分析】将原式中的替换为得到新方程，联立两个方程组成方程组，消去求解． 【详解】∵，① ∴，② 由得 解得：． 故答案为：． 【经典例题2】（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】根据方程组法解抽象函数解析式即可． 【详解】， ， 解方程组得． 故答案为：． 【巩固练习1】（25-26高一上·河南·期末）已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【分析】应用方程组法计算求解解析式. 【详解】因为函数满足， 所以，解得. 故答案为： 【巩固练习2】（2025高一上·江苏·专题练习）已知，求. 【答案】 【分析】用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式. 【详解】已知①， 用替换上式中的，得到②， 联立①②组成的方程组， 由①可得，将其代入②可得， 解得，即. 【巩固练习3】（25-26高三上·福建福州·阶段检测）已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 【题型11】 分离常数法求值域 核心知识 适用场景：形如的分式函数或可化为类似形式的函数 核心：将分子配凑成分母的倍数形式分离出常数和分式部分利用分式的取值范围求值域 方法技巧 1配凑分离：将分子表示为分母的倍数加常数如 2分析分式部分：因此得到值域 3易错点：注意分母不为0分式部分不能为0因此值域需排除常数项的值 【经典例题1】（25-26高一上·福建泉州·期中）求下列函数的值域 (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的开口和对称轴，结合函数单调性和定义域，即可求得值域. （2）首先对进行拆分，得到，然后利用，先求得的值域，最终求得的值域. 【详解】（1）由函数表达式：得：二次函数开口向上，对称轴为：； 定义域为：，在定义域内，所以时，取得最小值为； 又因为，根据函数的对称性可知，时，取得最大值为； 综上所述：函数在上的值域为. （2），定义域为：； 当时，，所以，所以，所以； 当时，，所以，所以，所以； 综上所述：在上的值域为. 【经典例题2】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的值域为_________. 【答案】 【分析】将函数变形为，由可求得答案. 【详解】因为， 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【巩固练习1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）函数的值域为______． 【答案】 【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果. 【详解】， ，，，即， 的值域为. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高一上·陕西渭南·月考）函数的值域为_________. 【答案】 【分析】利用分离常数法求解函数值域即可. 【详解】由题意得， 而，则， 可得函数的值域为. 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高一上·浙江嘉兴·月考）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】根据给定的函数，利用不等式的性质求出值域. 【详解】函数，当时，，则， 因此，所以函数的值域为. 故答案为： 【题型12】 换元法求值域（根号型） 核心知识 适用场景：形如的函数通过换元将根号去掉转化为二次函数求值域 核心：设解出代入原函数转化为关于的二次函数结合的条件求值域 方法技巧 1设元：令注明的取值范围（） 2转化：解出代入原函数得到关于的二次函数 3求值域：利用二次函数的图像或配方法结合的条件求值域 4易错点：换元后必须注明的取值范围否则易忽略定义域限制导致值域错误 【经典例题1】（25-26高三上·湖北省直辖县级单位·期中）函数的最大值是_______. 【答案】 【分析】令，从而将问题转化成求二次函数在上的最大值，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，得到，所以函数的定义域为， 令，则，所以，对称轴为，其图象开口向下， 所以当时，取到最大值，最大值为， 故答案为：. 【经典例题2】（22-23高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）函数的值域是______． 【答案】 【分析】利用换元法，结合二次函数求出值域. 【详解】函数的定义域为，令，则， 原函数化为，当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域是. 故答案为： 【巩固练习1】（25-26高一上·江苏无锡·月考）函数的值域为_________． 【答案】 【分析】设，将原函数转化成二次函数进行处理. 【详解】设，则， 则， 由二次函数性质，在上递增，在上递减， 时，，则的值域为：. 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出值域. 【详解】函数定义域为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的值域为. 故答案为： 【巩固练习3】（2025高一·全国·专题练习）函数的值域为______． 【答案】 【分析】解法1：利用换元法，转化为二次函数，利用二次函数的性质求解即可；解法2：利用函数的单调性求解. 【详解】解法1：设（），则， 原函数转化为（）， 因为二次函数图象的对称轴为，且抛物线开口向上， 所以在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 解法2：函数的定义域为， 因为和在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 【题型13】 对勾函数型求值域（一次/二次或二次/一次） 核心知识 对勾函数定义：形如的函数定义域为图像为对勾形状 性质：在上单调递减在上单调递增；在上单调递增在上单调递减；值域为 适用场景：形如或的函数可通过换元转化为对勾函数形式 方法技巧 1分离换元：将分式函数分离常数再换元转化为对勾函数形式 例：令则代入得为对勾函数 2利用单调性：根据对勾函数的单调性结合定义域求值域 3易错点：注意对勾函数的定义域限制避免直接套用最值公式而忽略定义域导致错误 【经典例题1】（25-26高一下·上海·阶段检测）函数的值域为________________． 【答案】 【详解】当时，；当时，， 因为在为减函数，上为增函数，且时，， 故的值域为，故的值域为， 综上，的值域为. 【经典例题2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）函数的值域为______． 【答案】 【分析】函数的定义域为，令，将问题转化为，再分，，三种情况，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为 ， 令，则，代入解析式得：， 当时，， 当时， 当时，，当且仅当，即时等号成立，故，； 当时,,则，当且仅当，即时等号成立，故，； 综上，的值域为，即函数的值域为 故答案为： 【巩固练习1】（2025高一上·江苏·专题练习）函数的值域为___________. 【答案】 【分析】利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】令，则， ， 当时，； 当时，， 因为，当且仅当，时等号成立， 所以， 所以函数的值域为， 故答案为： 【巩固练习2】（25-26高一上·天津·阶段检测）函数的最小值为________ 【答案】5 【分析】构造基本不等式，利用基本不等式求得函数的最小值即可. 【详解】由题意得函数， 因为，所以. 所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为. 故答案为：. 【巩固练习3】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为_____. 【答案】 【分析】方法一：先利用分母令 进行换元，将函数等价转化成函数，再利用均值不等式和函数单调性求出函数最值即可求值域； 方法二：利用导数判断函数的单调性即可求值域. 【详解】方法一： 由， 令， ，则， 因为，当且仅当即时等号成立，所以， 由于在是单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，， 则此时的最大值为， 所以函数的值域为， 即原函数的值域为； 方法二： 由，求导得， 令，在内解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 而 所以的值域为， 故答案为：. 【题型14】 复杂型换元法求值域（换某个函数） 核心知识 适用场景：形如的复合函数其中的取值范围可求通过换元将复合函数转化为简单函数求值域 核心：设先求的取值范围再求在的取值范围内的值域 方法技巧 1设元：令并求出的取值范围（即的值域） 2转化：将原函数转化为 3求值域：根据的类型（如一次、二次、对勾函数等）结合的取值范围求值域 4常见换元：三角函数换元（如）、指数函数换元（如）等需注明换元后变量的取值范围 【经典例题1】（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，其中为非零常数. (1)写出在上的单调区间，； (2)若，求函数的值域； (3)若，对任意的，存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查函数的单调性、值域以及根据函数最值关系求解参数取值范围等知识点。 （1）根据对勾函数的性质直接得出在上的单调区间， （2）先对进行变形，再利用换元法，结合均值不等式求出换元后变量的取值范围，最后根据二次函数的单调性求出值域， （3）法1：分别求出在上的最小值和在上的最小值，再根据条件建立不等式，分情况讨论求解k的取值范围，进而得到k的最大值. 法2：根据题意将表达式化简，利用参变分离以及函数单调性即可求得实数的最大值. 【详解】（1）任取， 则； ①当时，由得到， 所以在上单调递增； ②当时， （i）当时，，所以在上单调递减； （ii）当时，，所以在上单调递增； 综上所得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2）当, 利用基本不等式当时；当时； 因为 所以，其中或者，令， 则转化为求，或者， 当时，函数取到最小值0.值域为. （3）法1：由题意，， 当时，，则，解得； 当时，，则，解得实数不存在； 当时，，则，解得实数不存在. 综上所述，实数的最大值为. 法2：由题意，， 即在有解，分离变量后在有解， 设，则，其中，解得. 综上所述，实数的最大值为. 【经典例题2】（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】在等式两边同时除以并整理可得，构造函数，其中，函数，其中，分析可知函数在上的值域为在上值域的子集，即可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，在等式两边同时除以并整理可得， 构造函数，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，，所以在上的值域为， 因为，所以， 构造函数，其中， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 且，，所以在上的值域为． 故当时，， 原问题等价于对任意的，总存在，使得， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【题型15】 由函数的值域求参数 核心知识 已知函数的值域（如R、区间、特定集合等）反求解析式中参数的取值范围 本质：根据函数值域的限制条件转化为含参数的不等式恒成立或最值问题 方法技巧 1二次函数值域问题： 值域为：开口向上且最小值为即 值域为：开口向下且最大值为即 值域为R：开口向上且（保证函数值能取到所有大于等于最小值的数） 2分式/根式函数值域问题：分离常数或换元后结合函数的性质列方程求解参数 3易错点：注意函数的定义域限制避免忽略定义域导致参数范围错误 【经典例题1】（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数 的定义域与值域都为，则实数的值为______ 【答案】 【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数. 【详解】由于的值域为，所以， 的定义域为，则方程的两根为， 所以， 则抛物线的对称轴为 ， 故答案为：. 【经典例题2】（23-24高一上·云南曲靖·月考）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 【巩固练习1】（23-24高三上·河北沧州·月考）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A． 【巩固练习2】（2025高一上·江苏·专题练习）（多选）（多选）已知函数的值域为，则常数可以是（ ） A． B．1 C．7 D． 【答案】AC 【分析】利用判别式法求函数值域即可求解参数. 【详解】因为，所以， 当时，有解， 当不是0时，，即， 因为函数的值域为， 所以是方程的两个根， 所以，， 解得或，所以7或. 故选：AC 【巩固练习3】（25-26高一上·重庆·期中）若函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】令，由题意得出的值域为，结合的值域即可求解． 【详解】令， 函数的值域为， 的值域为， 的值域为， ， 故实数的取值范围为：， 故答案为：． 【题型16】 分段函数的值域 核心知识 分段函数：在定义域的不同区间上有不同的解析式值域为各分段函数值域的并集 核心：分别求各分段函数在对应区间上的值域再取并集 方法技巧 1分段求解：对每一段函数分别根据其解析式和定义域求值域 2取并集：将各分段的值域合并得到整个分段函数的值域 3易错点：注意各分段的定义域端点避免重复或遗漏；分段函数的值域是各段值域的并集不是交集 4特殊情况：分段函数中某一段为常数函数时该段的值域为常数本身 【经典例题1】（2026·安徽滁州·一模）已知函数的值域为，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解. 【详解】因为当时，，此时，即， 所以在时，的值域为， 函数为，令，则在时为，且增大时减小， 在时单调递增，所以单调递减， 因此在上单调递增， 此时：当时，，当时，， 所以在时，的值域为， 所以要使函数的值域为，则， 解得：，则a的取值范围是 【经典例题2】（25-26高三上·河北唐山·期中）已知函数的值域为，实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出，函数的值域，在由条件可得出答案． 【详解】当时，，故， 令，得 当时，，得函数在上单调递增， 当时，，得函数在上单调递减， 故得最大值为，当时，； 当时，，因此当时，， 当时，函数， 由题意可得此时的的范围是的子集，对进行分类讨论： （1）．若，则， 当时，，不符合范围是的子集的要求， 因此不满足题意； （2）．若，函数的图象是开口向下的抛物线， 且对称轴为 故当时，函数在对称轴处取得最大值： 且 由题意得 因为，解得：； （3）若，函数的图象是开口向上的抛物线， 且对称轴为，     故在上单调递减，且 故，这不符合范围是的子集的要求； 综上，的取值范围是． 故选：A． 【巩固练习1】（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数的值域为R，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单调性求出在上的函数值集合，由已知可得在上的值域包含，再利用导数探讨函数在上的函数值集合即可求出范围. 【详解】当时，函数在上单调递增，函数值集合为， 由函数的值域为R，得函数在上的值域包含， 当时，函数，求导得，而， 当时，，函数在上单调递增，函数值集合为， 而恒成立，则； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 函数值集合为，于是，解得，则， 所以a的取值范围是. 故选：A 【巩固练习2】（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，整理函数解析式后利用基本不等式，即得的取值范围，当时，利用导数求得的取值范围，再由的值域为R，得到不等式，解之即得. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 即时，； 当时，，则， 令，解得或， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，为， 又当时，所以时，， 由的值域为，可得，即，解得. 故选：A 【巩固练习3】（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【详解】由题意得：，所以． 2．（江西南昌市八一中学等校2026届高三临门一练数学试题）已知函数，定义域为，值域为，那么下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 则，值域. ，所以A错误，B正确； 集合之间不用连接，所以CD错误. 3．（2026·北京丰台·二模）下列函数中，定义域和值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故D错误； 4．（25-26高三下·广东江门·开学考试）已知函数对任意实数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，可得， 因为，所以， 则. 5．（25-26高二下·北京·期中）已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有最大值也有最小值 B．有最大值无最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 【答案】A 【分析】通过求导法分析函数单调性，进而判断最值. 【详解】函数的分母恒成立，定义域为. 根据除法求导法则，， 令，得极值点和. 时，，单调递减； 时，，单调递增； 时，，单调递减； 则极小值，极大值；且当时，， 因为极小值，极大值，所以函数的最小值为，最大值为. 因此既有最大值，也有最小值. 二、多选题 6．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）定义 ，若函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．若直线与的图象有2个交点，则 C．在区间上单调递增 D．在区间上的值域为，则的最大值为，最小值为 【答案】ACD 【分析】由题可得，代入求值判断A；结合图象可直观判断C，数形结合法判断BD. 【详解】注意到或，. 则，即. A选项，，故A正确. B选项，画出函数的图象，如图： 由图可知：若直线与的图象有2个交点，则或，故B错误； C选项，由图可知，函数在和上单调递增，在上单调递减，故C正确； D选项，令，解得；令，解得， 由图象可知：当时，取到最大值为， 当时，取到最小值为，故D正确. 故选：ACD 7．（25-26高三·全国·一轮复习）下列命题中正确的有（   ） A．若一次函数满足，则函数的解析式为 B．若，则函数的定义域为 C．若，则函数的解析式为 D．若函数满足关系式，则 【答案】BCD 【分析】设一次函数比对系数判定 A 错误，换元确定对数型函数定义域知 B 正确，配方变形推出对应函数解析式证 C 正确，联立倒数替换所得方程组解出函数式得 D 正确，最终 BCD 正确 A 错误. 【详解】对于A，设，则， 因为，所以，解得或， 故函数的解析式为或，A错误； 对于B，令，则，则，，故函数的定义域为，B正确； 对于C，， 且的取值范围是R，所以，C正确； 对于D，由，得，联立解得，D正确． 8．（24-25高一上·四川宜宾·期中）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数和，是同一个函数 C．幂函数在是减函数 D．函数的图象关于点成中心对称 【答案】BD 【详解】对于A，若函数的定义域为，则函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的定义域为，则，，可得函数和是同一个函数，B正确； 对于C，幂函数在是增函数，C错误； 对于D，，其图象由向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 且图象关于原点对称，故函数的图象关于点成中心对称，D正确． 9．（24-25高二下·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为 ，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 10．（25-26高一下·湖北恩施·开学考试）下列选项中说法正确的有（    ） A．已知命题P：，，则为， B．函数的值域为 C．函数的定义域为，则函数的定义域为 D．若函数的值域为R，则实数a的取值范围是 【答案】AB 【详解】A.命题P：，，则为，，故A正确； B.设，，所以，所以函数的值域为，故B正确； C.由复合函数的定义域可知，，得，所以函数的定义域为，故C错误； D.当时，的值域为，当时，若函数的值域为R，则，， 综上可知，的取值范围是，故D错误. 11．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数的定义域为，若对任意，存在正数，使得成立，则称函数是定义在上的“有界函数”．则下列函数是“有界函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，“有界函数”的值域需有界，求每个选项函数的值域进行判断即可. 【详解】对于A，，由于，所以，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”； 对于B，令，则，，当时，取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立， 是“有界函数”； 对于C，令+1，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立， 是“有界函数”； 对于D，令，则，，则，易得，当，所以，故不存在正数，使得成立， 不是“有界函数”． 三、填空题 12．（2026·北京石景山·二模）函数的定义域是______． 【答案】 【详解】要使函数有意义， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 13．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 14．（2026高三·全国·专题练习）（1）已知，则______． （2）已知二次函数满足，，且的最大值是8，则的解析式为______． （3）定义在内的函数满足，则函数的解析式为______． 【答案】 ， ， 【分析】（1）法一：使用换元法，设，对原式进行代换即可，法二：使用配凑法，将原式配凑成二次函数的形式即可求解，（2）使用待定系数法，分别设二次函数不同的表达式并代入已知条件即可求解，（3）使用消元法消去即可求解. 【详解】（1）法一：设，则，， 代入原式有 ． 故，． 法二：∵， ∴，，即，． （2）法一(利用一般式)：设． 由题意得解得． ∴所求二次函数的解析式为． 法二(利用顶点式)：设． ∵，∴抛物线的对称轴为．∴． 又根据题意函数有最大值8，∴．∴． ∵，∴，解得， ∴． 法三(利用零点式)：由已知两根为，， 故可设，即． 又函数有最大值，即．解得或(舍)． ∴所求函数的解析式为． （3）当时，有．① 以代替x得，．② 由①②消去得，，． 15．（2026高三·全国·专题练习）（1）若函数在上的值域是，则实数a的值为______． （2）函数的最小值为______． （3）函数的最大值为______． 【答案】 【分析】（1）利用函数在给定区间单调递增的性质，由区间端点对应值域端点列方程组，求解参数的值； （2）通过配凑分式结构变形函数，运用基本不等式求函数最小值并确定取等条件； （3）换元将根式函数转化为关于的函数，借助对勾函数单调性求出最值，进而得到原函数最大值. 【详解】（1）因为函数在区间上是增函数，值域为. 所以，，即，解得． （2）. 当且仅当，即时，． （3）令，则，所以，所以. 设，则在单调递增. 所以，所以（时取等号），即的最大值为． 16．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，则的定义域为：___________ 【答案】 【分析】根据对数函数和二次根式的定义域要求，列出不等式组，分别求解对数真数大于0、二次根式被开方数非负对应的不等式，再结合正弦函数的周期性求解交集，即可得到函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，需满足： 解不等式，得. 由正弦函数的性质可知，. 解不等式，得，即. 当时，，两者无交集； 当时，，满足范围要求. 当时，，满足范围要求. 当时，，两者无交集. 综上可得，函数定义域为. 17．（2026高三·全国·专题练习）已知表示不超过的最大整数，设全集，函数的定义域为，则________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域以及的定义求得，进而求得. 【详解】函数有意义，应满足，所以，根据所表示的意义可知， 所以，． 18．（25-26高一下·贵州贵阳·月考）若函数，则的值是__________； 【答案】3 【分析】令，得到，令，得到关于的方程，求解即可. 【详解】令，则， 令，则，即， 整理得，即，所以. 四、解答题 19．（25-26高一下·全国·课堂例题）求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)求函数的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角函数值域直接求； （2）法一：利用复合函数求值域；法二：借助函数有界性求值域； （3）换元法求值域. 【详解】（1）由知，的值域为． （2）法一：． ，． 当时，，故该函数的值域为． 法二：由，得，即， 显然． ，， 解得，即函数的值域为． （3）将函数配方得． ，当时，；当时，． 函数的值域为． 20．（25-26高一下·辽宁铁岭·月考）已知函数满足，满足，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的最小值； (3)若关于的方程在上有两个不同实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用换元法求解，令解得，代入，从而得到．由，分别按照和 讨论求出. （2）根据奇函数的定义求出的奇偶性结合在上恒成立，得到在上恒成立，利用在上单调递增，得到，即在上恒成立，利用二次函数的图像和性质得到的最小值． （3）分别按照和讨论求解，当时，方程在上有两个不同实数根等价于方程在上有两个不同实数根，构造函数，求出的范围，求出，设，设，利用的单调性得到实数的取值范围． 【详解】（1）， 令，则，所以，故． 由得， 当时，， 当时，，故， （2）的定义域为，且， 所以为奇函数， 又，则在上恒成立， 因为函数在上均为单调递增函数，所以在上单调递增， 因此，所以在上恒成立， 因为，故，所以实数的最小值为． （3）当时，方程变为，所以．当时，，只有一解，不符合题意； 当时，方程在上有两个不同实数根等价于方程在上有两个不同实数根， 令，则， 所以， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要使方程在上有两个不同实数根， 则函数与直线在上有两个不同的交点， 所以， 故实数的取值范围为． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $