专题17 配套、数字、分配类方程压轴题（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦初中数学配套比例、数字数位、物资分配三类方程压轴题，系统梳理配套比例中零件产量比与配套比的关系，数位表示中两位数及三位数的代数式表达，分配问题中总量不变的核心等量关系，搭建从基础知识点到列方程解决复杂问题的学习支架。 资料以生活实例（如茶具生产、轮胎磨损）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过典例与变式题设计，强化设未知数、列方程的数学思维，培养推理能力与模型意识，课中助力教师分层教学，课后通过巩固训练帮助学生查漏补缺，提升解决复合型压轴题的能力。

专题 17 配套、数字、分配类方程压轴题 1. 掌握配套比例、数位表示、物资分配三类应用题等量关系； 2. 把文字描述转化为含未知数代数式并列方程； 3．依托方程思想设未知数，突破三位数换位、多层分配难点； 4. 综合解决多零件、多分配条件复合型压轴题。 （一）基础核心知识点 配套比例：两种零件产量比 = 配套最简整数比，交叉相乘相等； 数位表示：两位数（十位，个位）；三位数；数字，最高位不为0； 分配核心等量：分配前后物资总数量不变；分出量剩余量原有总量。 （二）三类题型列式技巧 生产配套：按配套比例分配生产人数，使零件产量满足配套比值； 数字换位：数字颠倒后十位、个位权重互换，重新写出代数式； 分层分配：两次分配标准不同，以总物资不变建立等式。 （三）核心数学思想 方程思想：设人数、数位数字、分配份数为未知数，根据比例、总量等量列方程。 题型 01 配套、比例方程问题 【典例1】茶在中国文化中占有重要地位，在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、色泽有显著影响．已知某茶具厂共有160个工人，每个工人一天能做200个茶杯或30个茶壶，该茶具厂的一套茶具为4个茶杯和1个茶壶．若要使每天生产的茶具配套，则应安排生产茶杯的工人人数为（   ） A．60 B．65 C．70 D．75 【变式】某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 题型 02 数字、数位问题 【典例2】一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 【变式】幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则表△中处的值为（    ） △ 0 2 A．1 B．2 C．3 D．4 题型 03 物资、分层分配问题 【典例3】家用前置前驱轿车前轮负重、转向、制动摩擦大，因此磨损快于后轮．同规格原厂轮胎安装在前轮最多行驶4万公里报废，安装在后轮最多行驶6万公里报废．为使轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在汽车行驶一定路程时，将前后轮胎进行一次调换，那么这两对轮胎最多可以行驶（　　） A．2.4万公里 B．2.5万公里 C．4.8万公里 D．5万公里 【变式】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人乘一车，则最终剩余8人无车可乘，则车的数量是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【巩固训练】 1. 如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 2. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 3. 某工艺品车间有22名工人，每人每天可制作5个大花瓶或35个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，且每名工人每天只制作大花瓶和小饰品中的一种，则需安排制作大花瓶的工人有（   ） A．14名 B．12名 C．10名 D．8名 4. 甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 5. 将连续的奇数1，3，5，7，9，……，按如图所示方式排列，图中的T字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．30 B．78 C．198 D．206 6. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 7. 某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 【强化训练】 1. （2026·河北廊坊期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，且恰好使制作的茶壶和茶杯配套，甲认为：设用x千克紫砂泥做茶壶时，可列方程；乙认为：设用m千克紫砂泥做茶杯时，可列方程，下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 2. （2026·安徽六安期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9个数，移动方框的位置，在给出的四个数144，387，504，658中，不可能是方框中9个数的和的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. （2026·山东东营一模）用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 4. （2026·重庆开学考试）小红的学号是一个八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数．学号的数字之和比它的最后两位数大9，那么小红的学号是________． 5. （2026·陕西咸阳模拟预测）把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 6. （2026高唐县期末）学校校委会为运动会啦啦队订制了统一的服装，按照身高依次分为大、中、小三种尺码，其中大码比中码少2套，大码与中码的套数和比小码的少9套．随着队员的身高增长需求，校委会又订制了大码和中码各5套，并根据身高重新进行了服装分配，大码与中码服装全部分配给了队员．此时穿大码的队员身高之和与穿中码的队员身高之和相等，他们的平均身高分别为170cm和160cm，求啦啦队总人数． 7. （2026·辽宁大连阶段检测）观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 17 配套、数字、分配类方程压轴题 1. 掌握配套比例、数位表示、物资分配三类应用题等量关系； 2. 把文字描述转化为含未知数代数式并列方程； 3．依托方程思想设未知数，突破三位数换位、多层分配难点； 4. 综合解决多零件、多分配条件复合型压轴题。 （一）基础核心知识点 配套比例：两种零件产量比 = 配套最简整数比，交叉相乘相等； 数位表示：两位数（十位，个位）；三位数；数字，最高位不为0； 分配核心等量：分配前后物资总数量不变；分出量剩余量原有总量。 （二）三类题型列式技巧 生产配套：按配套比例分配生产人数，使零件产量满足配套比值； 数字换位：数字颠倒后十位、个位权重互换，重新写出代数式； 分层分配：两次分配标准不同，以总物资不变建立等式。 （三）核心数学思想 方程思想：设人数、数位数字、分配份数为未知数，根据比例、总量等量列方程。 题型 01 配套、比例方程问题 【典例1】茶在中国文化中占有重要地位，在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、色泽有显著影响．已知某茶具厂共有160个工人，每个工人一天能做200个茶杯或30个茶壶，该茶具厂的一套茶具为4个茶杯和1个茶壶．若要使每天生产的茶具配套，则应安排生产茶杯的工人人数为（   ） A．60 B．65 C．70 D．75 A【解析】设应安排生产茶杯的工人人数为人，则安排生产茶壶的工人人数为人． ∵一套茶具需要个茶杯配个茶壶， ∴生产出的茶杯总数量应为茶壶总数量的倍． 由此列方程，得 化简，得 解得． ∴应安排生产茶杯的工人人数为60人． 【变式】某车间有126名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知1个大齿轮和2个小齿轮配成一套，问安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？设每天加工大齿轮的工人有人，则的值为（     ） A．30 B．96 C．70 D．56 A【解析】设每天加工大齿轮的工人有人，加工小齿轮的工人有人， 由题意列式为， 解得． 题型 02 数字、数位问题 【典例2】一行数从左到右，一共2026个，任意相邻三个数的和都是116，第19个数是15，第29个数是，第2025个数是，则________． 【解析】∵任意相邻三个数的和都是， ∴第个数和第个数相等，即位置序号除以3余数相同的数相等； ∵， ∴第个数是余数为1的位置上的数，即余数为1的位置的数为； ∵， ∴第个数是余数为2的位置上的数，即余数为2的位置的数为； ∵， ∴第个数是能被3整除的位置上的数，即该类位置的数为； ∵相邻三个数的和为，∴，解得． 【变式】幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则表△中处的值为（    ） △ 0 2 A．1 B．2 C．3 D．4 D【解析】设幻方的每行、每列及对角线的和为． 由对角线与对角线的和相等，得：，解得． 由第三行的和为，代入得：． 由第一行的和为，得：，解得． 故选：D． 题型 03 物资、分层分配问题 【典例3】家用前置前驱轿车前轮负重、转向、制动摩擦大，因此磨损快于后轮．同规格原厂轮胎安装在前轮最多行驶4万公里报废，安装在后轮最多行驶6万公里报废．为使轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在汽车行驶一定路程时，将前后轮胎进行一次调换，那么这两对轮胎最多可以行驶（　　） A．2.4万公里 B．2.5万公里 C．4.8万公里 D．5万公里 C【解析】设这两对轮胎最多可以行驶x万公里． ∵每个轮胎总磨损为单位1，四个轮胎总磨损量为4，轮胎安装在前轮时每万公里磨损为，轮胎安装在后轮时每万公里磨损为． 汽车每行驶1万公里，四个轮胎总磨损为 ． ∴可列方程， 解得x＝4.8， 故选：C． 【变式】中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人乘一车，则最终剩余8人无车可乘，则车的数量是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 B【解析】设车有x辆， 根据题意得：4（x﹣1）＝2x+8， 解得：x＝6， ∴车的数量是6． 故选：B． 【巩固训练】 1. 如图是毛笔的结构图，现有根短竹，每根短竹可制成笔管个或笔斗个，个笔管搭配个笔斗，怎样分配短竹的数量，使制成的笔管与笔斗正好配套？小明列出方程：，则表示的是（     ） A．制成笔管的短竹数量 B．制成笔斗的短竹数量 C．制成笔管的个数 D．制成笔斗的个数 A【解析】∵每根短竹可制成笔管个， ∴表示笔管的总个数，则表示用于制作笔管的短竹数量， ∵短竹总数为根， ∴表示用于制作笔斗的短竹数量， ∵每根短竹可制成笔斗个， ∴表示笔斗的总个数， ∵个笔管搭配个笔斗，即笔管总数等于笔斗总数， ∴方程符合题意， ∴表示制成笔管的短竹数量． 2. 为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文—明文（解密）．已知加密规则为：明文a，b，c，对应，，．例如明文1，2，3对应的密文2，8，18．如果接收方收到的密文7，18，15，则解密得到的明文为（    ） A．4，5，6 B．6，7，2 C．2，6，7 D．7，2，2 B【解析】由题意知，，，解得，，． 3. 某工艺品车间有22名工人，每人每天可制作5个大花瓶或35个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，且每名工人每天只制作大花瓶和小饰品中的一种，则需安排制作大花瓶的工人有（   ） A．14名 B．12名 C．10名 D．8名 A【解析】设应安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品， 根据题意可得 解得， 答：应安排14名工人制作大花瓶． 故选：A． 4. 甲、乙、丙三数之比是，甲、乙两数之和比乙、丙两数之和少20，则乙数为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 A【解析】设甲、乙、丙三数分别为、、． ， 则乙数为 故选：A． 5. 将连续的奇数1，3，5，7，9，……，按如图所示方式排列，图中的T字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．30 B．78 C．198 D．206 D【解析】设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，， ∴T字框内四个数的和为， A、令框住的四个数的和为30，则，解得，故此选项不符合题意； B、令框住的四个数的和为78，则，解得，故此选项不符合题意； C、令框住的四个数的和为198，则，解得，故此选项不符合题意； D、令框住的四个数的和为206，则，解得，此时框不住完整的四个数，故此选项符合题意；故选：D． 6. 汝窑是宋代五大名窑之首，在中国陶瓷史上素有“汝窑为魁”之称．某汝窑瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由个茶壶和只茶杯组成．用千克瓷泥可做个茶壶或只茶杯，现要用千克瓷泥制作茶具，设用x千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，可列方程为________． 【解析】设用千克瓷泥做茶壶，则剩余千克做茶杯， 千克瓷泥做个茶壶，千克共做个茶壶， 千克瓷泥做只茶杯，千克共做只茶杯， 每套茶具需要个茶壶、只茶杯，代入得方程：． 7. 某车间有82个工人生产甲、乙两种零件，每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件25个．已知3个甲种零件和4个乙种零件配成一套，问分配多少人生产甲种零件，多少人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成多少套？ 解：设分配人生产甲种零件，则人生产乙种零件． 依题意得：， 解得， ， （套）， 答：分配50人生产甲种零件，32人生产乙种零件，才能使每天生产的这两种零件刚好配套，恰好配成200套． 【强化训练】 1. （2026·河北廊坊期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做3个茶壶或6只茶杯，现要用9千克紫砂泥制作这些茶具，且恰好使制作的茶壶和茶杯配套，甲认为：设用x千克紫砂泥做茶壶时，可列方程；乙认为：设用m千克紫砂泥做茶杯时，可列方程，下列说法正确的是（     ） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 A【解析】设用x千克紫砂泥做茶壶，则做茶杯的紫砂泥为千克． ∵1千克紫砂泥可做3个茶壶，∴x千克可做个茶壶． ∵1千克紫砂泥可做6只茶杯， ∴千克可做只茶杯． ∵每套茶具由1个茶壶和4只茶杯配套， ∴茶杯数量应是茶壶数量的4倍，即，故甲正确． 设用m千克紫砂泥做茶杯，则做茶壶的紫砂泥为千克． 茶杯数量为只，茶壶数量为个． 根据配套关系，茶杯数量 = 4 × 茶壶数量，即． 但乙列方程为，即，与正确等式不符，故乙错误． ∴甲对乙错． 故选：A 2. （2026·安徽六安期末）如图，是一个由连续的正整数排成的“数阵”．用方框围住9个数，移动方框的位置，在给出的四个数144，387，504，658中，不可能是方框中9个数的和的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B【解析】观察可知：每行第一列的数字分别为，即； 最后一列的数字为，即； 设最中间的数字为，则9个数的和为， 当时，解得，144可以是方框中9个数的和，不符合题意； 当时，解得，43是第8行第1个数，387不可能是方框中9个数的和，符合题意； 当时，解得，56是第10行第2个数，504可以是方框中9个数的和，不符合题意； 当时，解得，不是整数，658不可能是方框中9个数的和，符合题意； 综上所述，不可能是方框中9个数的和的个数是2个． 3. （2026·山东东营一模）用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 12【解析】设需要张硬纸板做盒身，则做盒底的硬纸板为张．根据题意，得， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得． 4. （2026·重庆开学考试）小红的学号是一个八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数．学号的数字之和比它的最后两位数大9，那么小红的学号是________． 【解析】设前四位数字都为，且为整数， ∵学号是八位数，共个数字，题目给出前四位个数字、后五位个数字，说明后五位的第一位与前四位的末位重叠， 分两种情况讨论： 1. 若后五位是连续递增的自然数，则后五位数字依次为， 所有数字之和为 ， 最后两位数是十位为、个位为，即 ， 根据题意得 ， 解得 ，不符合数字取值要求，舍去； 2. 若后五位是连续递减的自然数，则后五位数字依次为， 所有数字之和为 ， 最后两位数是十位为、个位为，即 ， 根据题意得 .解得 ，符合所有条件， 因此小红的学号是， 验证得：数字和为，最后两位数为，，符合题意. 5. （2026·陕西咸阳模拟预测）把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 【解析】由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为，，，可得任意行、列、对角线的和为：， 设第一行第一列的数为， ∵第一列三个数的和为， ∴， 解得， 左上到右下的对角线三个数为，，，和为，∴， 解得． 6. （2026高唐县期末）学校校委会为运动会啦啦队订制了统一的服装，按照身高依次分为大、中、小三种尺码，其中大码比中码少2套，大码与中码的套数和比小码的少9套．随着队员的身高增长需求，校委会又订制了大码和中码各5套，并根据身高重新进行了服装分配，大码与中码服装全部分配给了队员．此时穿大码的队员身高之和与穿中码的队员身高之和相等，他们的平均身高分别为170cm和160cm，求啦啦队总人数． 解:由题意，设原来大码服装有x套，则中码有（x+2）套，故小码套数为：x+（x+2）+9＝2x+11， ∴后来大码：（x+5）套，中码：（x+7）套． ∵大码总身高＝中码总身高， ∴170（x+5）＝160（x+7）． ∴x＝27． ∴原来中码：x+2＝29，原来小码：2x+11＝2×27+11＝65． ∴总人数 ＝ 大码+中码+小码＝27+29+65＝121（人）． 7. （2026·辽宁大连阶段检测）观察下面三行数： ① ② ③ (1)第行第 个数是 ，第行第 个数是 ，第行第 个数是 ； (2)在第行中是否存在三个连续数，其和为？若存在求出这三个数，不存在说明理由； (3)若在每行取第个数，这三个数的和为，求的值． 解：（1）观察绝对值第个数的绝对值为，观察符号：负、正、负、正、负、正奇数项为负，偶数项为正，可以用来表示符号，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为 ： 观察第数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数加 因此，第行的第个数可以表示为： ， ∴第行的第11个数为 ： 观察第行数据可以看出，第行的每一个数都是第行对应位置的数的倍 因此，第行的第个数可以表示为：， ∴第行的第12个数为： ： （2）假设存在三个连续数和为，这三个数为第个数，第个数，第个数，根据，这三个数分别为，，， 当奇数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵奇数时， ∴不符合题意， 当偶数时，三个数分别为，，， ∴， ∴， ∴， ∵代表第几个数，必须是正整数，所以不合题意， 综上所述，不存在这样的三个连续数． （3）由小问1可知，， ，，每行取第个数和为，先计算三个数的和， ∴， ， ， ， ， ∴， ∴不存在满足条件的． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $