专题14 含参一元一次方程整数解分类讨论（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦含参一元一次方程整数解分类讨论核心知识点，系统梳理方程类型判定（一次项系数为0时无解或无数解，不为0时唯一解）、整除定义及解题流程（参数当常数解方程、用参数表示解、枚举因数求参数），构建从基础判定到规范解题的学习支架。 资料特色在于通过“互逆方程”“邻解方程”等新定义题型培养数学眼光中的创新意识，依托分类讨论系数、枚举因数的规范流程发展数学思维中的推理能力，结合参数表示解与整除条件强化数学语言中的模型意识。典例变式与分层训练设计，课中助力教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 14 含参一元一次方程整数解分类讨论 1. 能分类讨论含参方程一次项系数，判断方程无解、无数解、唯一解； 2. 根据解为整数的约束条件枚举参数全部取值； 3．依托方程思想用参数表示未知数，结合整除条件分类筛选答案； 4. 综合解决限定取值范围含参压轴题。 （一）基础核心知识点 方程类型判定：； ：一元一次方程，唯一解； ：等式不成立，无解； ：恒成立，无数解。 整除定义：若为整数，则是的正负因数； 解题流程：参数当作常数解方程→用参数表示→根据整数约束枚举因数求参数。 （二）参数讨论规范 第一步先讨论一次项系数是否为0，区分方程类型； 完整枚举全部正负因数，不遗漏参数取值； 求出参数后代回检验，剔除不符合题干范围的解。 （三）核心数学思想 分类讨论思想：分系数是否为0、除数正负、全部约数多类讨论，找出全部符合题意参数。 题型 01 依据新定义问题求参数 【典例1】我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为﹣1，我们就称这两个方程为“互逆方程”，例如：方程2x＝1与方程x+2＝0为“互逆方程”．已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程m2＝3x+2互为“互逆方程”，则m的值为　　 ． 【变式】定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“H﹣3方程”，其中一个方程是另一个方程的“H﹣3方程”．请写出方程2x＝﹣2的一个“H﹣3方程”：　 ． 题型 02 根据方程的整数解求参数值 【典例2】已知关于x的一元一次方程2x+13的解为正整数，则所有满足条件的整数a有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．8 【变式】已知关于x的方程x1的解是整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．0 D．2 【巩固训练】 1. 若关于x的方程m﹣2x+3＝0的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣9 D．9 2. 已知关于x的方程kx﹣1＝3﹣x的解为正整数，则k能取的整数值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3. 已知（k是整数）是关于x的一元一次方程，当k＝　　 时，方程的解为正整数． 4.已知关于x的方程kx﹣x＝7的解为正整数，则整数k的值为 　　 ． 5. 已知关于x的方程的解是整数，求符合条件的所有整数a的和． 6. 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程4x+m＝0与方程3x﹣3＝x+1是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值． 7. 定义：如果两个一元一次方程的解之差为1．那么我们就称这两个方程互为“邻解方程”．例如：3x+1＝7的解为x＝2，方程x﹣1＝0的解为x＝1，两个方程的解之差为1．所以这两个方程互为“邻解方程”．请回答下列问题： （1）方程2x+3＝3和方程2x+1＝x是否互为“邻解方程”？　　 ．（填“是”或“否”） （2）若关于x的方程4x﹣m＝1与方程互为“邻解方程”，求m的值． 8. 定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕（﹣3）＝2×1﹣3×（﹣3）＝11． （1）求4⊕（﹣3）的值； （2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝5，求x的值． （3）若关于x的方程2⊕（kx﹣1）＝﹣11的解为正整数，求整数k的值． 【强化训练】 1. （2026春•九龙坡区校级月考）若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣3 2. （2025秋•和平区校级期末）关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 　　 ． 3. （2026春•牟平区期末）已知关于x的方程的解为负整数，则整数m的所有可能取值的和为　　 ． 4. （2026•南岸区校级模拟）若关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是　　 ． 5. （2026春•西城区校级月考）已知关于x的方程的解是非负整数，求符合条件的所有整数m的和． 6. （2026•福田区校级自主招生）定义：若一元一次方程ax＝b的解可化为，则称该方程为“紫堡方程”． （1）以下方程式判断“紫堡方程”的是　　 ； ①2x＝1；②3x＝1． （2）若方程化简后是“紫堡方程”，求m的值． 7. （2025秋•鲤城区校级期末）定义：关于x的方程ax﹣b＝0（a，b均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程bx﹣a＝0这两个方程称为“互换方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0“互换方程”． （1）直接写出关于x的方程4x﹣5＝0的“互换方程”是　　 ． （2）若关于x的方程6x+m+1＝0与方程8x﹣n＝0是“互换方程”，求m，n的值． （3）若关于x的方程3x﹣c＝0（c≠0）与其“互换方程”的解都是整数，求整数c的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 14 含参一元一次方程整数解分类讨论 1. 能分类讨论含参方程一次项系数，判断方程无解、无数解、唯一解； 2. 根据解为整数的约束条件枚举参数全部取值； 3．依托方程思想用参数表示未知数，结合整除条件分类筛选答案； 4. 综合解决限定取值范围含参压轴题。 （一）基础核心知识点 方程类型判定：； ：一元一次方程，唯一解； ：等式不成立，无解； ：恒成立，无数解。 整除定义：若为整数，则是的正负因数； 解题流程：参数当作常数解方程→用参数表示→根据整数约束枚举因数求参数。 （二）参数讨论规范 第一步先讨论一次项系数是否为0，区分方程类型； 完整枚举全部正负因数，不遗漏参数取值； 求出参数后代回检验，剔除不符合题干范围的解。 （三）核心数学思想 分类讨论思想：分系数是否为0、除数正负、全部约数多类讨论，找出全部符合题意参数。 题型 01 依据新定义问题求参数 【典例1】我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为﹣1，我们就称这两个方程为“互逆方程”，例如：方程2x＝1与方程x+2＝0为“互逆方程”．已知m为整数，若关于x的方程的解是正整数，且其与方程m2＝3x+2互为“互逆方程”，则m的值为　　 ． ﹣1【解析】方程的解为x， ∵m为整数，且也为正整数， ∴m＝1或﹣1， 当m＝﹣1时，原方程的解为x＝3，方程m2＝3x+2的解为x，满足题意； 当m＝1时，原方程的解为x＝1，方程m2＝3x+2的解为x，不满足题意， 故答案为：﹣1． 【变式】定义：若两个一元一次方程的解之和为3，我们就称这两个方程互为“H﹣3方程”，其中一个方程是另一个方程的“H﹣3方程”．请写出方程2x＝﹣2的一个“H﹣3方程”：　 ． x﹣4＝0（答案不唯一）【解析】解方程2x＝﹣2得x＝﹣1， 由条件可知方程2x＝﹣2的“H﹣3方程”的解为3﹣（﹣1）＝4， ∴满足条件的一个“H﹣3方程”为x﹣4＝0（答案不唯一）． 故答案为：x﹣4＝0（答案不唯一）． 题型 02 根据方程的整数解求参数值 【典例2】已知关于x的一元一次方程2x+13的解为正整数，则所有满足条件的整数a有（　　）个． A．3 B．4 C．6 D．8 B【解析】2x+13， 6x+3＝ax+9， （6﹣a）x＝6， x， ∵关于x的一元一次方程2x+13的解为正整数， ∴6﹣a＝1、2、3、6， ∴a＝5、4、3、0． 所以所有满足条件的整数a有4个．故选：B． 【变式】已知关于x的方程x1的解是整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　） A．﹣8 B．﹣5 C．0 D．2 A【解析】x1， 5x﹣4+ax＝3x+4﹣5， （2+a）x＝3， x， ∵解是整数， ∴a＝﹣5，﹣3，﹣1，1， 则符合条件的所有整数a的和是﹣8， 故选：A． 【巩固训练】 1. 若关于x的方程m﹣2x+3＝0的解是x＝3，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣9 D．9 A【解析】∵方程m﹣2x+3＝0的解是x＝3， ∴将x＝3代入原方程得m﹣2×3+3＝0， 即m﹣6+3＝0， 解得 m＝3， 故选：A． 2. 已知关于x的方程kx﹣1＝3﹣x的解为正整数，则k能取的整数值的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 C【解析】把方程kx﹣1＝3﹣x，移项、合并同类项得：（k+1）x＝4， 系数化1得：x， ∵解是正整数， ∴k的整数值为0、1，3． 故选：C． 3. 已知（k是整数）是关于x的一元一次方程，当k＝　　 时，方程的解为正整数． 0【解析】原方程去分母得：x﹣4﹣2kx+2＝2， 整理得：（1﹣2k）x＝4， ∵方程的解为正整数，k是整数，∴k＝0， 故答案为：0． 4.已知关于x的方程kx﹣x＝7的解为正整数，则整数k的值为 　　 ． 2或8【解析】∵kx﹣x＝7， 显然k﹣1≠0， 解得，， ∵k为整数，关于x的方程kx﹣x＝7的解为正整数， ∴k﹣1＝1或k﹣1＝7， 解得：k＝2或k＝8．故答案为：2或8． 5. 已知关于x的方程的解是整数，求符合条件的所有整数a的和． 解：原方程去分母得：2﹣ax＝6﹣2x﹣2， 整理得：（a﹣2）x＝﹣2， ∵原方程的解为整数， ∴a﹣2＝±1或±2， 解得：a＝3或1或4或0， 则3+1+4＝8， 答：符合条件的所有整数a的和为8． 6. 如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”． （1）若关于x的方程4x+m＝0与方程3x﹣3＝x+1是“兄弟方程”，求m的值； （2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为6，其中一个解为n，求n的值． 解：（1）方程3x﹣3＝x+1的解为x＝2， 将x＝﹣2代入方程4x+m＝0得，﹣4×2+m＝0． ∴m＝8； （2）另一解为﹣n． 则n﹣（﹣n）＝6或﹣n﹣n＝6， ∴n＝3或n＝﹣3． 7. 定义：如果两个一元一次方程的解之差为1．那么我们就称这两个方程互为“邻解方程”．例如：3x+1＝7的解为x＝2，方程x﹣1＝0的解为x＝1，两个方程的解之差为1．所以这两个方程互为“邻解方程”．请回答下列问题： （1）方程2x+3＝3和方程2x+1＝x是否互为“邻解方程”？　　 ．（填“是”或“否”） （2）若关于x的方程4x﹣m＝1与方程互为“邻解方程”，求m的值． 解：（1）解方程2x+3＝3得x＝0， 解方程2x+1＝x得x＝﹣1， ∵0﹣（﹣1）＝1， ∴两个方程是互为“邻解方程”；故答案为：是； （2）解方程4x﹣m＝1得， 解方程得x＝2， 由条件可知或， ∴m＝3或m＝11， 综上，m的值为3或11． 8. 定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣3b，比如：1⊕（﹣3）＝2×1﹣3×（﹣3）＝11． （1）求4⊕（﹣3）的值； （2）若（3x﹣2）⊕（x+1）＝5，求x的值． （3）若关于x的方程2⊕（kx﹣1）＝﹣11的解为正整数，求整数k的值． 解：（1）根据定义可知：4⊕（﹣3）＝2×4﹣3×（﹣3）＝8+9＝17； （2）根据定义得：（3x﹣2）⊕（x+1）＝2（3x﹣2）﹣3（x+1）＝6x﹣4﹣3x﹣3＝3x﹣7＝5， 解得x＝4； （3）根据定义得：2⊕（kx﹣1）＝2×2﹣3×（kx﹣1）＝4﹣3kx+3＝﹣11， ∴﹣3kx＝﹣18， ∴kx＝6， 由x为正整数，且k为整数可知， 故当k＝1时，x＝6； 当k＝2时，x＝3； 当k＝3时，x＝2； 当k＝6时，x＝1；故整数k的值为1，2，3，6． 【强化训练】 1. （2026春•九龙坡区校级月考）若关于x的一元一次方程有负整数解，则所有符合条件的整数m之和为（　　） A．2 B．﹣1 C．0 D．﹣3 B【解析】， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 由方程有负整数解，得到整数m＝0，﹣1，之和为﹣1， 故选：B． 2. （2025秋•和平区校级期末）关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 　　 ． ﹣6【解析】， 2（kx﹣1）＝6﹣3（x+1）， 2kx﹣2＝6﹣3x﹣3， 2kx+3x＝6﹣3+2， （2k+3）x＝5， x， ∵关于x的方程的解为整数，k为整数， ∴2k+3＝5或2k+3＝﹣5或2k+3＝1或2k+3＝﹣1， 解得：k＝1或﹣4或﹣1或﹣2， ∴和为1+（﹣4）+（﹣1）+（﹣2）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 3. （2026春•牟平区期末）已知关于x的方程的解为负整数，则整数m的所有可能取值的和为　　 ． ﹣10【解析】已知关于x的方程， 去分母得：mx﹣1＝2x+9， 整理得：（m﹣2）x＝10， ∵原方程的解为负整数， ∴m﹣2＝﹣1或﹣2或﹣5或﹣10， 解得：m＝1或0或﹣3或﹣8， 则1+0﹣3﹣8＝﹣10， 故答案为：﹣10． 4. （2026•南岸区校级模拟）若关于x的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之积是　　 ． 21【解析】， 4x﹣（1﹣ax）＝6x+4， 4x﹣1+ax＝6x+4， 解得：（a﹣2）x＝5， ∵方程的解为正整数，即方程有解， ∴，且为正整数， 则a﹣2是5的正因数， ∴a﹣2＝1或a﹣2＝5， 解得：a＝3或a＝7， ∴所有满足条件的整数a的值之积是3×7＝21．故答案为：21． 5. （2026春•西城区校级月考）已知关于x的方程的解是非负整数，求符合条件的所有整数m的和． 解：方程两边同乘6去分母得6x﹣（2﹣mx）＝2x﹣12，去括号得6x﹣2+mx＝2x﹣12， 移项、合并同类项得（m+4）x＝﹣10， ∵原方程有解， ∴m+4≠0， ∴， ∵关于x的方程的解是非负整数，∴x≥0，且x为整数， 当x＝0时，把x＝0代入原方程得，此时等式不成立，故x≠0， ∴x为正整数， ∴是负整数， ∵且m是整数，∴m+4为负整数，且是10的约数，∴m+4的可能取值为﹣1，﹣2，﹣5，﹣10， ∴m的值是﹣5或﹣6或﹣9或﹣14， ∴符合条件的所有整数m的和为﹣5+（﹣6）+（﹣9）+（﹣14）＝﹣34．故答案为：﹣34． 6. （2026•福田区校级自主招生）定义：若一元一次方程ax＝b的解可化为，则称该方程为“紫堡方程”． （1）以下方程式判断“紫堡方程”的是　　 ； ①2x＝1；②3x＝1． （2）若方程化简后是“紫堡方程”，求m的值． 解：（1）2x＝1，解得：x， ∵， ∴它不是“紫堡方程”，3x＝1，解得：x， ∵，∴它是“紫堡方程”，故答案为：②； （2）原方程去分母得：4x+4+x+m＝3， 整理得：5x＝﹣m﹣1， 则x， ∵该方程是“紫堡方程”， ∴，解得：m． 7. （2025秋•鲤城区校级期末）定义：关于x的方程ax﹣b＝0（a，b均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程bx﹣a＝0这两个方程称为“互换方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0“互换方程”． （1）直接写出关于x的方程4x﹣5＝0的“互换方程”是　　 ． （2）若关于x的方程6x+m+1＝0与方程8x﹣n＝0是“互换方程”，求m，n的值． （3）若关于x的方程3x﹣c＝0（c≠0）与其“互换方程”的解都是整数，求整数c的值． 解：（1）∵关于x的方程ax﹣b＝0（a，b均为不等于0的常数）把它的a和b交换位置，得到的方程bx﹣a＝0这两个方程称为“互换方程”， ∴方程4x﹣5＝0的“互换方程”是5x﹣4＝0． 故答案为：5x﹣4＝0； （2）∵方程8x﹣n＝0的“互换方程”是nx﹣8＝0，方程6x+m+1＝0与方程8x﹣n＝0是“互换方程”， ∴m+1＝﹣8，n＝6， ∴m＝﹣9，n＝6； （3）方程3x﹣c＝0（c≠0）的“互换方程”为cx﹣3＝0， 解3x﹣c＝0得：， 解cx﹣3＝0得：， ∵方程3x﹣c＝0与cx﹣3＝0的解都是整数，c也是整数， ∴c是3的倍数，也是3的因数， ∴c＝±3， 则整数c的值±3． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $