专题13 一元一次方程特殊解法（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程特殊解法，系统梳理等式基本性质、标准形式及去分母等五步解法，通过小数分母转化、整体换元、连等式拆分等方法，以转化思想为纽带构建从基础到复杂方程的学习支架。 资料以分类讨论解含绝对值方程、阅读法解含参方程等多样题型为载体，典例与变式结合，强化训练分层设计。通过裂项法、新定义方程等实例，培养学生推理意识与模型意识，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺、提升运算能力。

专题 13 一元一次方程特殊解法 1. 掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1完整步骤； 2. 规范求解含小数分母、多层括号、可换元的复杂方程； 3．依托转化思想标准化方程形式，整体换元简化多层括号运算； 4. 综合解决连等式复杂方程压轴题。 （一）基础核心知识点 等式基本性质 ① 等式两边同时加/减同一个代数式，等式仍成立； ② 等式两边同时乘/除以同一个不为0的数，等式仍成立。 一元一次方程标准形式：；只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程。 标准五步解法：去分母→去括号→移项（移项变号）→合并同类项→系数化为1； 去分母规范：等式所有项同乘分母最小公倍数，不含分母项不可漏乘。 （二）特殊方程化简方法 小数分母：分子分母同乘10、100化为整数分母； 整体换元：方程中重复出现同一多项式，设新未知数简化计算； 连等式拆分：拆分为两个一元一次方程。 （三）核心数学思想 转化思想：将含分母、小数、多层括号的复杂方程转化为标准整式一元一次方程。 题型 01 运用分类讨论思想解含绝对值的方程 【典例1】方程|2﹣x|＝1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝3和x＝1 【变式】若|x﹣2|＝3，则x的值为　 　 ． 题型 02 运用阅读法解含参方程 【典例2】在整式mx+n中，m、n为常数（m≠0），如表是当x取不同值时对应的整式mx+n的值： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 mx+n ﹣5 ﹣2 1 4 7 则关于x的方程mx+n＝4的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝2 【变式】当x取不同值时对应的多项式4mx+3n的值如表所示，则关于x的方程4mx+3n+2＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4mx+3n 14 10 6 2 ﹣2 ﹣6 A．14 B．10 C．2 D．6 题型 03运用裂项法解含有分母的方程 【典例3】方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 【变式】已知|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则关于x的方程的解是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 题型 04运用转化思想解新定义方程 【典例4】对于两个非零的有理数a，b，规定：a⊕b＝2b﹣3a，若（4﹣x）⊕（1+x）＝5，则x＝　　 ． 【变式】定义一种新运算“●”，规定，a●b＝2ab﹣a﹣b．若x●1＝3●x，则x的值为 　　 ． 【巩固训练】 1. 适合|2a+7|+|2a﹣1|＝8的整数a的值的个数有（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2. 方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 3. 方程|x﹣2|+|x﹣3|＝5的解可以是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝0 D．x＝﹣1 4. 整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将0.表示成分数的形式，可设x＝0.，得100x＝13.，将13.拆分为13+x，解出x，即得0.的分数形式为　　． 5. 解方程：，则x＝ 　　 ． 6. 依据下列解方程的过程，请在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 （　　 ） 去分母，得3（3x+5）＝2（2x﹣1）（　 　 ） 去括号，得9x+15＝4x﹣2 （　　 ） 移项，得9x﹣4x＝﹣15﹣2 （　 ） 合并，得5x＝﹣17化系数为1，得 （　　 ） 7. 关于x的方程|x+1|+|x﹣3|＝6的解是　 ． 8. 学习绝对值后，我们知道5﹣（﹣2）可以表示为5与﹣2之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与﹣2两数在数轴上对应两点之间的距离． ①|x+1|可以表示为x与 　　 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②|x﹣1|+|x+2|＝3时，符合方程的所有整数解的和为 　　 ． 9. 类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，类似地对于可以用裂项的方法变形为：，类比上述方法解决以下问题． （1）　　 ． （2）求解关于x的方程：2x． 【强化训练】 1. （2025秋•建邺区校级期末）关于x的一元一次方程的解（　　） A．是一个大于1000的数 B．是一个大于0且小于2的数 C．是一个两位数 D．不存在 2. （2025秋•深圳期中）小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究：小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如，无限循环小数呢？小深通过查阅资料发现无限循环小数0.化为分数，可用如下方法： 令S＝0.，则100S＝36.； 100S﹣S＝36.0. 99S＝36 所以，0. 参照他的方法，0.6可以化为分数（　　） A． B． C． D． 3. （2026春•大英县期末）已知关于x的一元一次方程的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B．y＝2 C．y＝1 D． 4. （2025春•武侯区校级月考）定义：若x为有理数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3，对任意的有理数x，则满足[x]＝2x﹣1的所有解为　 ． 5. （2024秋•单元）方程的解为 　； 解方程，得x＝　　 ． 6. （2024秋•同步）显然绝对值方程|x﹣3|＝5有两根：x1＝8，x2＝﹣2．依此类推，方程||||x﹣1|﹣9|﹣9|﹣3|＝5的根的个数是 　　 ． 7. （2025春•岳麓区月考）若a、b、c、d是正数，解方程4． 8. （2025秋•潮安区期末）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： x0的解为x，而1； 2x0的解为x，而2． 于是，小东将这种类型的方程作如下定义： 若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由； （2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b）y． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 13 一元一次方程特殊解法 1. 掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1完整步骤； 2. 规范求解含小数分母、多层括号、可换元的复杂方程； 3．依托转化思想标准化方程形式，整体换元简化多层括号运算； 4. 综合解决连等式复杂方程压轴题。 （一）基础核心知识点 等式基本性质 ① 等式两边同时加/减同一个代数式，等式仍成立； ② 等式两边同时乘/除以同一个不为0的数，等式仍成立。 一元一次方程标准形式：；只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程。 标准五步解法：去分母→去括号→移项（移项变号）→合并同类项→系数化为1； 去分母规范：等式所有项同乘分母最小公倍数，不含分母项不可漏乘。 （二）特殊方程化简方法 小数分母：分子分母同乘10、100化为整数分母； 整体换元：方程中重复出现同一多项式，设新未知数简化计算； 连等式拆分：拆分为两个一元一次方程。 （三）核心数学思想 转化思想：将含分母、小数、多层括号的复杂方程转化为标准整式一元一次方程。 题型 01 运用分类讨论思想解含绝对值的方程 【典例1】方程|2﹣x|＝1的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝3 D．x＝3和x＝1 D【解析】|2﹣x|＝1， 2﹣x＝1时，x＝1， 2﹣x＝﹣1时，x＝3， 故选：D． 【变式】若|x﹣2|＝3，则x的值为　 　 ． ﹣1或5【解析】根据题意可知，x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x＝5或x＝﹣1． 故答案为：﹣1或5． 题型 02 运用阅读法解含参方程 【典例2】在整式mx+n中，m、n为常数（m≠0），如表是当x取不同值时对应的整式mx+n的值： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 mx+n ﹣5 ﹣2 1 4 7 则关于x的方程mx+n＝4的解为（　　） A．x＝﹣2 B．x＝﹣1 C．x＝1 D．x＝2 C【解析】在整式mx+n中，m、n为常数（m≠0），如表是当x取不同值时对应的整式mx+n的值： 由表格可知，当x＝1时，mx+n＝4， 故方程mx+n＝4的解为x＝1． 故选：C． 【变式】当x取不同值时对应的多项式4mx+3n的值如表所示，则关于x的方程4mx+3n+2＝0的解是（　　） x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4mx+3n 14 10 6 2 ﹣2 ﹣6 A．14 B．10 C．2 D．6 C【解析】由表格可知，当x＝0时，4mx+3n＝6， ∴3n＝6， 解得：n＝2． 当x＝1时，4mx+3n＝2， ∴4m+3×2＝2，解得：m＝﹣1， 把m＝﹣1，n＝2代入4mx+3n+2＝0，得﹣4x+3×2+2＝0， 即﹣4x+6+2＝0， 移项、合并同类项，得﹣4x＝﹣8， 将系数化为1，得x＝2． 故选：C． 题型 03运用裂项法解含有分母的方程 【典例3】方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． C【解析】， 提取公因式，得 x （）＝1， 将方程变形，得 x[（1）（）（）（）]＝1， 提取公因式，得 （1）＝1， 移项，合并同类项，得 （1）＝1， 系数化为1，得 x． 故选：C． 【变式】已知|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，则关于x的方程的解是（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 D【解析】∵|a﹣1|+（ab﹣2）2＝0，∴a﹣1＝0，ab﹣2＝0， 解得a＝1，ab＝2， ∴a＝1，b＝2， ∵， 即x（）＝2024， ∴x（1）＝2024， ∴2024， 解得x＝2025， 故选：D． 题型 04运用转化思想解新定义方程 【典例4】对于两个非零的有理数a，b，规定：a⊕b＝2b﹣3a，若（4﹣x）⊕（1+x）＝5，则x＝　　 ． 3【解析】∵（4﹣x）⊕（1+x）＝5， ∴2（1+x）﹣3（4﹣x）＝5， ∴2+2x﹣12+3x＝5， ∴5x＝15， 解得x＝3， 故答案为：3． 【变式】定义一种新运算“●”，规定，a●b＝2ab﹣a﹣b．若x●1＝3●x，则x的值为 　　 ． 【解析】由新定义可知x●1＝2x﹣x﹣1＝x﹣1，3●x＝6x﹣3﹣x＝5x﹣3， ∴x﹣1＝5x﹣3， 解得，， 故答案为：． 【巩固训练】 1. 适合|2a+7|+|2a﹣1|＝8的整数a的值的个数有（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 B【解析】由此可得2a为﹣6，﹣4，﹣2，0的时候a取得整数﹣3，﹣2，﹣1，0，共四个值． 故选：B． 2. 方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． C【解析】...1， （...）x＝1， （1...）x＝1， •x＝1， x， 故选：C． 3. 方程|x﹣2|+|x﹣3|＝5的解可以是（　　） A．x＝2 B．x＝3 C．x＝0 D．x＝﹣1 C【解析】分三种情况讨论：①当x≥3时， |x﹣2|+|x﹣3|＝5， x﹣2+x﹣3＝5， 2x＝10， x＝5； ②当x≤2时，|x﹣2|+|x﹣3|＝5， 2﹣x+3﹣x＝5， ﹣2x＝0， x＝0； ③当2＜x＜3时，|x﹣2|+|x﹣3|＝5， x﹣2+3﹣x＝5， 方程无解； ∴方程|x﹣2|+|x﹣3|＝5的解可以是x＝0， 故选：C． 4. 整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将0.表示成分数的形式，可设x＝0.，得100x＝13.，将13.拆分为13+x，解出x，即得0.的分数形式为　　． 【解析】设x＝0.，得100x＝13.， 将13.拆分为13+x， ∴100x＝13+x， 解出：x，故答案为：． 5. 解方程：，则x＝ 　　 ． 2041【解析】1111＝0 0 （x﹣2041）（）＝0 ∴x﹣2041＝0， ∴x＝2041． 故答案为：2041． 6. 依据下列解方程的过程，请在后面的括号内填写变形依据． 解：原方程可变形为 （　　 ） 去分母，得3（3x+5）＝2（2x﹣1）（　 　 ） 去括号，得9x+15＝4x﹣2 （　　 ） 移项，得9x﹣4x＝﹣15﹣2 （　 ） 合并，得5x＝﹣17化系数为1，得 （　　 ） 分数的基本性质；等式性质2；去括号法则；等式性质1； 等式性质2【解析】 原方程可变形为 （分数的基本性质） 去分母，得3（3x+5）＝2（2x﹣1）（等式的性质2） 去括号，得9x+15＝4x﹣2 （去括号法则） 移项，得9x﹣4x＝﹣15﹣2 （等式的性质2） 合并，得5x＝﹣17化系数为1，得（等式性质2）． 7. 关于x的方程|x+1|+|x﹣3|＝6的解是　 ． x＝4或x＝﹣2【解析】当x≥3时，x+1+x﹣3＝6， 解得x＝4； 当﹣1＜x＜3时， x+1﹣x+3＝6，此方程无解； 当x≤﹣1时， ﹣x﹣1﹣x+3＝6， 解得x＝﹣2；故答案为：x＝4或x＝﹣2． 8. 学习绝对值后，我们知道5﹣（﹣2）可以表示为5与﹣2之差的绝对值，根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与﹣2两数在数轴上对应两点之间的距离． ①|x+1|可以表示为x与 　　 两数在数轴上对应两点之间的距离； ②|x﹣1|+|x+2|＝3时，符合方程的所有整数解的和为 　　 ． ﹣2【解析】（1）∵|x+1|＝|x﹣（﹣1）|， ∴|x+1|可以表示为x与﹣1两数在数轴上对应两点之间的距离， 故答案为：﹣1． （2）|x﹣1|+|x+2|＝3在数轴上表示x到1和﹣2两数的距离之和等于3， ∴﹣2≤x≤1， ∵x是整数， ∴x的值为：﹣2，﹣1，0，1， 故所有整数解的和为﹣2+（﹣1）+0+1＝﹣2，故答案为：﹣2． 9. 类比推理是一种推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，类似地对于可以用裂项的方法变形为：，类比上述方法解决以下问题． （1）　　 ． （2）求解关于x的方程：2x． 解：（1）原式＝11；故答案为：； （2）已知等式整理得：（）2x， 即2x， 解得：x． 【强化训练】 1. （2025秋•建邺区校级期末）关于x的一元一次方程的解（　　） A．是一个大于1000的数 B．是一个大于0且小于2的数 C．是一个两位数 D．不存在 B【解析】∵，，，， ∴原方程变形为：，即， ∴， ∵，括号内的部分不等于0， ∴1﹣x＝0， ∴x＝1， ∴x＝1，它是一个大于0而小于2的数．故选：B． 2. （2025秋•深圳期中）小深在预习《认识有理数》这一课时发现，按照定义有理数可以分为整数和分数，但书本没有提起小学阶段熟悉的小数，于是他就对“小数属于有理数吗？”这问题进行研究：小数分为有限小数和无限小数，有限小数均能写成分数，例如，无限循环小数呢？小深通过查阅资料发现无限循环小数0.化为分数，可用如下方法： 令S＝0.，则100S＝36.； 100S﹣S＝36.0. 99S＝36 所以，0. 参照他的方法，0.6可以化为分数（　　） A． B． C． D． D【解析】设x＝0.6，则1000x＝369.6， 那么1000x﹣x＝369.60.6369， 解得：x． 即0.6． 故选：D． 3. （2026春•大英县期末）已知关于x的一元一次方程的解为x＝2，那么关于y的一元一次方程的解为（　　） A． B．y＝2 C．y＝1 D． D【解析】观察关于y的方程，其结构与已知关于x的方程完全一致， 将x＝2代入得：2y+1＝2， ∴． 故选：D． 4. （2025春•武侯区校级月考）定义：若x为有理数，则[x]表示不大于x的最大整数，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3，对任意的有理数x，则满足[x]＝2x﹣1的所有解为　 ． x＝0.5或x＝1【解析】由条件可知[x]≤x＜[x]+1， ∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1， 解得：0＜x≤1， ∴﹣1＜2x﹣1≤1， ∵[x]表示不大于x的最大整数， ∴2x﹣1为整数， ∴2x﹣1＝0或2x﹣1＝1， ∴x＝0.5或x＝1；故答案为：x＝0.5或x＝1． 5. （2024秋•单元）方程的解为 　； 解方程，得x＝　90　 ． ；90【解析】（1）原方程去分母得：20x+50+4（5+2x）﹣3（4x+10）＝0， 去括号得：20x+50+20+8x﹣12x﹣30＝0， 合并同类项得：16x+40＝0， 化系数为1得：x， 故答案为． （2）原方程去括号得：x3＝0， 去分母得：x﹣6﹣12﹣24﹣48＝0， 移项，合并同类项得：x＝90， 故答案为90． 6. （2024秋•同步）显然绝对值方程|x﹣3|＝5有两根：x1＝8，x2＝﹣2．依此类推，方程||||x﹣1|﹣9|﹣9|﹣3|＝5的根的个数是 　　 ． 6【解析】|||x﹣1|﹣9|﹣9|﹣3＝±5， ∴|||x﹣1|﹣9|﹣9|＝8或||||x﹣1|﹣9|﹣9|＝﹣2（舍去）， ∴||x﹣1|﹣9|﹣9＝±8， ∴||x﹣1|﹣9|＝17或||x﹣1|﹣9|＝1， ∴|x﹣1|﹣9＝±17或|x﹣1|﹣9＝±1， ∴|x﹣1|＝26或|x﹣1|＝﹣17（舍去）或|x﹣1|＝10或|x﹣1|＝8， ∴x1＝27，x2＝﹣25，x3＝11，x4＝﹣9，x5＝9，x6＝﹣7． 故答案为6． 7. （2025春•岳麓区月考）若a、b、c、d是正数，解方程4． 解：原方程即：1111＝0， ∴0， ∴（x﹣a﹣b﹣c﹣d）（）＝0， ∵a，b，c，d是正数， ∴0， ∴x﹣a﹣b﹣c﹣d＝0， ∴x＝a+b+c+d． 8. （2025秋•潮安区期末）小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： x0的解为x，而1； 2x0的解为x，而2． 于是，小东将这种类型的方程作如下定义： 若一个关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解为x＝b﹣a，则称之为“奇异方程”．请和小东一起进行以下探究： （1）若a＝﹣1，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由； （2）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）为奇异方程，解关于y的方程：a（a﹣b）y+2＝（b）y． 解：（1）没有符合要求的“奇异方程”，理由如下：把a＝﹣1代入原方程解得：x＝b， 若为“奇异方程”，则x＝b+1， ∵b≠b+1，∴不符合“奇异方程”定义，故不存在； （2）∵ax+b＝0（a≠0）为奇异方程， ∴x＝b﹣a， ∴a（b﹣a）+b＝0，a（b﹣a）＝﹣b，a（a﹣b）＝b， ∴方程a（a﹣b）y+2＝（b）y可化为by+2＝（b）y， ∴by+2＝byy， 2y， 解得y＝4． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $