专题15 行程、工程类方程应用题重难点（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本初中数学讲义聚焦行程、工程类方程应用题，系统梳理行程三公式（路程=速度×时间等）、相遇（路程和=总距离）与追及（路程差=初始间距）等量关系，工程问题总工作量设1、单人效率及合作效率，再延伸至分段行程、停工工程、往返行程等复杂情境，以模型思想为学习支架构建知识脉络。 该资料以模型思想为主线，通过基础工程、行程、环形跑道等典例及变式，培养学生抽象能力（符号意识）、推理意识和模型观念。课中辅助教师分层教学，课后通过巩固与强化训练，帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

专题 15 行程、工程类方程应用题重难点 1. 熟记行程、工程基础公式，梳理相遇、追及、合作施工等量关系； 2. 针对分段行驶、中途停工情境列一元一次方程； 3．依托模型思想套用标准等量关系列式； 4. 综合解决往返变速、多人合作压轴应用题。 （一）基础核心知识点 行程三公式：； 相遇等量（相向）：两人路程和 = 总距离； 追及等量（同向）：快者路程 − 慢者路程 = 初始间距； 工程核心：总工作量常设单位1；单人效率=；合作总效率=各人工效之和；工作量=效率×时间。 （二）复杂情境等量构造 分段行程：每段路程相加等于总路程； 停工工程：仅计算有效工作时间，停工不计入； 往返行程：去程与返程路程相等，以路程为等量列等式。 （三）核心数学思想 模型思想 ：套用相遇、追及、单人/多人合作工程固定等量模型列式。 题型 01基础工程问题 【典例1】甲、乙两个工程队共同承接了某项工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．8天 B【解析】设完成该工程还需要x天， 由题意得：， 解得， 则完成该工程还需要3天． 故选：B． 【变式】一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． B【解析】把这项工程的总工作量看作单位1，由甲单独做需12天完成，可得甲的工作效率为， 由乙单独做需8天完成，可得乙的工作效率为， 设合作完成这项工程还需天，则甲一共工作了天，乙工作了天， 根据总工作量的等量关系，可得， 故选：B． 题型 02 基础行程问题 【典例2】某人从甲地到乙地，水路比公路近40千米，但乘轮船比汽车要多用3小时．已知轮船速度为24千米/时，汽车速度为40千米/时，则水路和公路的长分别为（   ） A．280千米，240千米 B．240千米，280千米 C．200千米，240千米 D．160千米，200千米 B【解析】设水路长为千米，则公路长为千米，根据题意得： ， 解得：， 公路长为（千米）， 即水路240千米，公路280千米， 故选：B． 【变式】李华和赵亮从相距30千米的A、B两地同时出发，李华每小时走4千米，3小时后两个人相遇，设赵亮的速度为千米/时，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． A【解析】由题意，所列方程为， 故选：A． 题型 03环形跑道问题 【典例3】如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（AB左侧，CD右侧）和两条直道AD，BC组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（　　） A．弯道AB上 B．直道BC上 C．弯道CD上 D．直道AD上 D【解析】设x秒后小强第一次追上小斌， 根据题意得：6x﹣4x＝84.4， 解得：x＝42.2， ∴4x＝4×42.2＝168.8（米）， ∵115.6+84.4＝200（米），115.6＜168.8＜200， ∴当小强第一次追上小斌时，他们的位置在直道AD上． 故选：D． 【变式】如图，甲、乙两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A的方向行走，甲从点A出发，以50m/min的速度行走；同时，乙从点B出发，以65m/min的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（　　） A．BC边上 B．CD边上 C．点C处 D．点D处 C【解析】设乙行走tmin后第一次追上甲，根据题意得： 甲的行走路程为50tm，乙的行走路程65tm， 当乙第一次追上甲时，270+50t＝65t， 解得t＝18， 此时乙所在位置为：65×18＝1170（m）， 1170÷（90×4）＝3……90（m）， ∴当乙第一次追上甲时，在正方形的点C处． 故选：C． 【巩固训练】 1. 一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． B【解析】把总工作量看作单位1，可得甲的工作效率为，乙的工作效率为， ∵工期为天，甲先单独做天，之后两队合作， ∴甲先做天的工作量为，两队合作的时间为天，合作中甲的工作量为，合作中乙的工作量为， ∵总工作量为， ∴可列方程： ． 2. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． A【解析】设相遇时间为天，野鸭从南海到北海需7天，故其速度为（全程/天）； 大雁从北海到南海需9天，故其速度为（全程/天）， ∴方程为， 故选：A. 3. 湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做20天可以完成，乙店员单独做16天可以完成．现甲先做2天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（    ） A．8天 B．9天 C．10天 D．12天 C【解析】根据题意设完成这个订单共需天，此订单总工作量为， 则可列方程为 ， 解得， 答：完成这个订单共需要天． 故选：C． 4. 生产一批医疗物资，人做需要才能完成．现在车间全体工人上岗，做后，有人因事离开，其余工人又做了全部完工，则该车间共有（  ） A．人 B．人 C．人 D．人 C【解析】设该车间共有人．由题意可得， 解得， ∴该车间共有人， 故选：C． 5. 我国元朝朱世杰所著的<算学启蒙》中有一个问题：“良马日行240里，弩马日行150里，弩马先行12日，问良马几何追及之”．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先行十二天，快马几天可以追上慢马?如果快马和慢马从同一地点出发，沿同一路径行走．我们设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为______． 【解析】慢马12天走的路程为：里， 快马每天比慢马多走里， 根据题意可得：，故答案为：． 6. 甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 24【解析】设甲做了个零件，由甲、乙、丙三人做的零件个数比为，则乙做了个零件，丙做了个零件，得：， 解得：， ， 故答案为： ． 7. 某校组织学生们展开了一场拔草活动．八年级1班和2班共同负责校园实践区域的拔草任务，1班单独拔完需，2班单独拔完需，由于各班时间安排不一致，先由1班单独拔一段时间后，接着由2班单独拔完该实践区域剩余任务，1班和2班拔完该区域共用，则1班单独拔草__________． 【解析】设1班单独拔草，则2班单独拔草， 根据题意得∶ 解得∶ 1班单独拔草． 8. 某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 解：设还需要x天才能加工完这批零件， 根据题意，得 解得 答：还需要5天才能加工完这批零件． 9. 甲、乙两车同时分别从A、B两地相向而行，甲车速度是，两地相距，后相遇，问乙车的速度是多少？ 解：设乙的速度为x千米小时，依题意得： ， ， 答：乙车的速度是． 10. 在一条铁路上有甲、乙两个站，相距420千米，一列慢车从甲站开出每小时行72千米，一列快车从乙站开出，每小时行96千米． (1)若两车背向而行，几小时后相距672千米? (2)若两车相向而行，几小时后快车与慢车相距84千米? （1）解：设若两车背向而行，x小时后相距672千米，由题意得： ， 解得， 答：若两车背向而行，小时后相距672千米； （2）解：设两车相向而行，y小时后快车与慢车相距84千米，由题意得： ①两车相遇前：， 解得； ②两车相遇后：， 解得． 答：两车相向而行，2或3小时后快车与慢车相距84千米． 【强化训练】 1. （2026·山东日照阶段检测）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．3小时 C．4小时 D．2小时 B【解析】设还需要m小时，根据题意，得， 解得． 故选：B． 2. （2026·天津河东阶段检测）一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 A【解析】设还需要天完成这项工程， 根据题意可得 解得， 即还需要天完成， 故选：A． 3. （2026·湖南衡阳阶段检测）学校到县城有28千米，全程需1小时，除乘汽车外，还需要步行一段路，已知汽车的速度为36千米/时，人步行的速度为4千米/时，则步行用了（  ） A．13分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．16分钟 C【解析】试题分析：设步行用了x分钟，则乘车用了（60-x）分钟，根据题意列方程得：， 解得：x=15，故选C． 4. （2026·山东德州阶段检测）在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥（即从车头上桥到车尾离桥）共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒，已知该列动车长为120米，则动车经过的这座大桥的长度为多少米．设这座大桥的长度为x米，可列方程为______． 【解析】设这座大桥的长度为x米，根据题意得：，故答案为：． 5. （2026·陕西宝鸡模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 3【解析】设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得： 去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为，得 答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天． 6. （2026·河南省直辖县级阶段检测）甲，乙二人分别从一条笔直的公路上的两地同时出发相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走48米，5分钟后两人相距20米，则A、B两地之间的距离为_______米． 520或560【解析】设A，B两点的距离为米，由题意得或， 解得或， 故答案为：520或560． 7. （2026·福建福州期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ （1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得： ，解得， 甲单独完成需要的天数为（天） 答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天． （2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得： ，解得． 答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程． 8. （2026·江苏泰州期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 9. （2026·上海徐汇期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 解：设甲骑车带乙到D处所行驶的时间为t小时，此时甲乙行驶了公里， 则乙应步行的距离为公里，到达B城需要的时间为小时； 由于甲丙的速度比为，t小时丙行驶了公里，甲丙间相距公里， 甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，由相遇时甲丙路程的比等于速度的比知，甲行驶的路程是丙行驶的路程的3倍，则丙行驶的路程为公里， 所以丙从出发到C点一共行驶的路程为公里，行驶的时间为小时，剩下的路程为甲丙骑车的路程公里，需要的时间为小时； 由于三人同时到达终点B城，则， 解得：， 则乙步行的路程为（公里）； 答：乙步行的路程为40公里． 10. （2026·内蒙古鄂尔多斯期中）甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，合同规定天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同． (1)正常情况下，甲乙两人合作能否履行该合同？为什么？ (2)现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，问两人调走谁可以不违约？说明理由． 解：能履行该合同，理由如下： 设甲、乙两人合作需要天完成，根据题意， 解得， 因为，所以甲、乙两人能履行该合同； (2)解：调走甲，不违约，理由如下： 设两人合作了9天后，甲继续完成此项工程还需a天，则： 解得：， 此时，，违约； 设两人合作了9天后，乙继续完成此项工程还需b天，则： 解得：， 此时，，不违约． 综上所述：若调走甲，不违约；若调走乙，违约． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15 行程、工程类方程应用题重难点 1. 熟记行程、工程基础公式，梳理相遇、追及、合作施工等量关系； 2. 针对分段行驶、中途停工情境列一元一次方程； 3．依托模型思想套用标准等量关系列式； 4. 综合解决往返变速、多人合作压轴应用题。 （一）基础核心知识点 行程三公式：； 相遇等量（相向）：两人路程和 = 总距离； 追及等量（同向）：快者路程 − 慢者路程 = 初始间距； 工程核心：总工作量常设单位1；单人效率=；合作总效率=各人工效之和；工作量=效率×时间。 （二）复杂情境等量构造 分段行程：每段路程相加等于总路程； 停工工程：仅计算有效工作时间，停工不计入； 往返行程：去程与返程路程相等，以路程为等量列等式。 （三）核心数学思想 模型思想 ：套用相遇、追及、单人/多人合作工程固定等量模型列式。 题型 01基础工程问题 【典例1】甲、乙两个工程队共同承接了某项工程，甲队单独施工需10天完成，乙队单独施工需15天完成，若甲队先做5天，剩下部分由两队合做，则完成该工程还需要（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．8天 【变式】一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．甲先做2天后乙再加入，合作完成这项工程还需多少天？若设合作完成这项工程还需天，根据题意，得（    ） A． B． C． D． 题型 02 基础行程问题 【典例2】某人从甲地到乙地，水路比公路近40千米，但乘轮船比汽车要多用3小时．已知轮船速度为24千米/时，汽车速度为40千米/时，则水路和公路的长分别为（   ） A．280千米，240千米 B．240千米，280千米 C．200千米，240千米 D．160千米，200千米 【变式】李华和赵亮从相距30千米的A、B两地同时出发，李华每小时走4千米，3小时后两个人相遇，设赵亮的速度为千米/时，所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 03环形跑道问题 【典例3】如图，这是标准400米跑道，它由两条弯道（AB左侧，CD右侧）和两条直道AD，BC组成，每条弯道的长是115.6米，每条直道的长是84.4米．小斌站在C处，小强站在B处，两人同时逆时针方向跑步．小斌每秒跑4米，小强每秒跑6米．当小强第一次追上小斌时，他们的位置在（　　） A．弯道AB上 B．直道BC上 C．弯道CD上 D．直道AD上 【变式】如图，甲、乙两人沿着边长为90m的正方形，按A→B→C→D→A的方向行走，甲从点A出发，以50m/min的速度行走；同时，乙从点B出发，以65m/min的速度行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的（　　） A．BC边上 B．CD边上 C．点C处 D．点D处 【巩固训练】 1. 一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需40天．甲队先单独做5天，之后两队合作恰好按期完成．设工期为天，可列方程为（    ） A． B． C． D． 2. 《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过天能够相遇，根据题意，得（   ） A． B． C． D． 3. 湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，某湘绣手工店接了一个订单，预计甲店员单独做20天可以完成，乙店员单独做16天可以完成．现甲先做2天后，顾客临时加急，店长安排乙加入合作，则完成这个订单共需要（    ） A．8天 B．9天 C．10天 D．12天 4. 生产一批医疗物资，人做需要才能完成．现在车间全体工人上岗，做后，有人因事离开，其余工人又做了全部完工，则该车间共有（  ） A．人 B．人 C．人 D．人 5. 我国元朝朱世杰所著的<算学启蒙》中有一个问题：“良马日行240里，弩马日行150里，弩马先行12日，问良马几何追及之”．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先行十二天，快马几天可以追上慢马?如果快马和慢马从同一地点出发，沿同一路径行走．我们设快马x天可以追上慢马，根据题意可列方程为______． 6. 甲、乙、丙三人同做某种零件，已知在相同的时间内，甲、乙、丙三人做的零件个数比为．现在甲、乙、丙三人一起做了51个零件，则丙做了________个零件． 7. 某校组织学生们展开了一场拔草活动．八年级1班和2班共同负责校园实践区域的拔草任务，1班单独拔完需，2班单独拔完需，由于各班时间安排不一致，先由1班单独拔一段时间后，接着由2班单独拔完该实践区域剩余任务，1班和2班拔完该区域共用，则1班单独拔草__________． 8. 某工厂计划加工一批零件，甲车间单独加工需要10天完成，乙车间单独加工需要15天完成．若两车间先合作加工3天，再由甲车间完成剩余部分，还需要多少天才能加工完这批零件？ 9. 甲、乙两车同时分别从A、B两地相向而行，甲车速度是，两地相距，后相遇，问乙车的速度是多少？ 10. 在一条铁路上有甲、乙两个站，相距420千米，一列慢车从甲站开出每小时行72千米，一列快车从乙站开出，每小时行96千米． (1)若两车背向而行，几小时后相距672千米? (2)若两车相向而行，几小时后快车与慢车相距84千米? 【强化训练】 1. （2026·山东日照阶段检测）学校图书馆需要整理一批图书，甲、乙两人单独整理分别需要6小时和9小时完成．若先由甲单独整理1小时，剩下的两人共同整理，则还需要多长时间才能整理完这批图书？（   ） A．小时 B．3小时 C．4小时 D．2小时 2. （2026·天津河东阶段检测）一项工程，甲单独做要天完成，乙单独做要天完成，现由甲先做天，剩下的由甲、乙合作完成，则还需要几天完成这项工程（   ） A．天 B．天 C．天 D．天 3. （2026·湖南衡阳阶段检测）学校到县城有28千米，全程需1小时，除乘汽车外，还需要步行一段路，已知汽车的速度为36千米/时，人步行的速度为4千米/时，则步行用了（  ） A．13分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．16分钟 4. （2026·山东德州阶段检测）在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥（即从车头上桥到车尾离桥）共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒，已知该列动车长为120米，则动车经过的这座大桥的长度为多少米．设这座大桥的长度为x米，可列方程为______． 5. （2026·陕西宝鸡模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天． 6. （2026·河南省直辖县级阶段检测）甲，乙二人分别从一条笔直的公路上的两地同时出发相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走48米，5分钟后两人相距20米，则A、B两地之间的距离为_______米． 7. （2026·福建福州期末）某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天． (1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？ 8. （2026·江苏泰州期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 9. （2026·上海徐汇期末）甲、乙、丙三人同时从A城出发去往B城，丙先步行，甲骑车带乙到D处，乙下车向B城步行，甲骑车返回迎接丙，在C点与丙相遇，再带丙到B城，结果三人同时到B城，已知乙、丙的步行速度都为5公里/小时，甲骑车速度为15公里/小时，A、B两城相距120公里，问乙步行了多少公里？ 10. （2026·内蒙古鄂尔多斯期中）甲乙两人想共同承包一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成，合同规定天完成，若完不成视为违约，甲乙两人经过商量后签订了该合同． (1)正常情况下，甲乙两人合作能否履行该合同？为什么？ (2)现在两人合作了9天，因别处有急事，必需调走1人，问两人调走谁可以不违约？说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $