专题11 线段中点、角平分线几何计算问题（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

专题 11 线段中点、角平分线几何计算问题 1. 掌握线段、角的和差关系，利用中点、角平分线相等关系完成计算； 2. 熟记双中点、双角平分线固定模型结论； 3．依托数形结合画图标注等量，结合方程思想设元求解多层等分题型； 4. 综合解决线段、角度混合几何压轴计算题。 （一）基础核心知识点 线段和差：点在线段上；点在线段延长线； 线段中点：平分； 角的和差：射线在角内部；外部为两角之差； 角平分线：平分； 基础特殊角：直角、平角、周角；互余和为，互补和为。 （二）固定几何模型结论 双中点模型：线段上中点连线长度； 双角平分线模型：同一大角内两条子角平分线夹角原大角； 多层等分：三等分、四等分可拆分为多组相等线段、相等角。 （三）核心数学思想 数形结合思想：画图标注相等线段、等角，直观寻找等量； 方程思想：设最小线段/最小角为，结合总长、总角度列一元一次方程。 题型 01 单中点基础运算 【典例1】若C为线段AB的中点，D在线段CB上，AD＝12，BD＝8，则CD的长度是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 B【解析】由题知，因为AD＝12，BD＝8， 所以AB＝AD+BD＝12+8＝20． 因为C为线段AB的中点， 所以AC， 所以CD＝AD﹣AC＝12﹣10＝2．故选：B． 【变式】点A，B，C，D在同一线段上的位置如图所示，点E为线段AC的中点，AB＝CD．若BE，且5BC＝3AD，则AD的长为　　 ． 15【解析】∵5BC＝3AD，∴可以假设AD＝5k，BC＝3k， ∴AC+BD＝AD﹣BC＝2k， ∵AB＝CD，∴AC＝BD＝k， ∵E是AC的中点，∴ECACk， ∵EB，∴k+3k，∴k＝3，∴AD＝15．故答案为：15． 题型 02 双中点固定模型计算 【典例2】如图，点A，B，C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．下列条件中，能求出线段MN的长度的是（　　） A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 A【解析】∵点A，B，C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点， ∴AM，， ∴MN＝MC﹣NC ． A．∵AB＝12，∴MN6，能求出MN的长度，故选项A符合题意； B．只知道BC＝4，无法确定AB的长度，故不能求出MN，选项B不符合题意； C．∵AM＝5，∴， ∴AC＝10，但是无法确定AB的长度，故选项C不符合题意； D．∵CN＝2，∴， ∴BC＝4，但是无法确定AB的长度，故选项D不符合题意．故选：A． 【变式】如图，线段AB＝9，P为AB上一点，且AP＜6，M为AP的中点，N为MB的中点，记MN长为x，PN长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．3x+y B．3x﹣y C．x﹣3y D．x+y B【解析】∵MN长为x，PN长为y，M为AP的中点，N为MB的中点， ∴MB＝2MN＝2x，AM＝MP＝MN﹣PN＝x﹣y， ∵AB＝9， 即AM+MB＝x﹣y+2x＝AB＝9，∴3x﹣y的代数式的值不变； 故选：B． 题型 03单角平分线基础运算 【典例3】如图，∠AOC为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠AOB＝35°，则∠AOD的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° C【解析】∠AOC为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠AOB＝35°， ∴∠BOC＝90°﹣∠AOB＝55°， ∴∠BOD＝2∠BOC＝110°， ∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝145°．故选：C． 【变式】如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD等于（　　） A．130° B．165° C．155° D．150° C【解析】∵∠AOC＝50°，OD平分∠AOC， ∴∠AOD∠AOC＝25°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°．故选：C． 题型 04双角平分线固定模型计算 【典例4】如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．若∠BOD＝150°，则∠AOE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° B【解析】∵A、O、B共线，∴∠AOB＝180°，∵已知∠BOD＝150°， ∴∠AOD＝180°﹣150°＝30°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOD＝2×30°＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE∠BOC120°＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°．故选：B． 【变式】将两把三角尺如图所示摆放，若射线OM为∠AOB的平分线，射线ON为∠BOC的平分线，则∠MON＝　　 °． 45°【解析】根据图形得∠AOB＝60°+90°＝150°，∵OM为∠AOB的平分线， ∴， ∵∠BOC＝60°，∵ON为∠BOC的平分线， ∴，∴∠MON＝∠MOB﹣∠NOB＝45°，故答案为：45°． 【巩固训练】 1. 如图，点C是线段AB的中点，点D，E分别是线段BC，AD的中点，若AB＝6，则AE的长为（　　） A．1.5 B．2.25 C．3 D．4.5 B【解析】∵AB＝6，点C是AB的中点，∴， ∵点D是BC的中点， ∴， ∴， 又∵点E是AD的中点， ∴若AB＝6，则．故选：B． 2. 如图，O是直线AB上一点，∠1＝24°，OC平分∠AOD，则∠2的度数是（　　） A．80° B．78° C．76° D．75° B【解析】∵∠1＝24°，∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣24°＝156°， ∵OC平分∠AOD， ∴（角平分线的定义）．故选：B． 3. 如图，P为线段AB延长线上一点，且AB＜BP，点M为线段AP的中点，N为线段MB的中点，记AM＝x，BN＝y，若线段AB的长度是定值，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+2y B． C．x+y D．2x+y B【解析】∵N是BM的中点，∴BM＝2BN＝2y，∵AM＝x＝AB+BM，∴x＝AB+2y， 即AB＝x﹣2y， ∵AB是定值，即x﹣2y是定值，∴x﹣yAB（定值），故选：B． 4. 一根木条（线段AB）上有M，N两个木块（看作点），点M总在点N的左侧，且总有AM＝BN．若P是AM的中点，Q是BN的中点，当AN＝18，MN＝12时，则PQ的长是 　　 ． 18【解析】∵AN＝18，MN＝12，AM＝BN，P是AM的中点，Q是BN的中点， ∴AM＝AN﹣MN＝18﹣12＝6， ∴BN＝AM＝6， ∴，∴PQ＝PM+MN+QN＝3+12+3＝18，故答案为：18． 5. 如图，AD在∠BAC内部，已知∠BAC＝α，∠DAC＝β，AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，则∠EAF＝　　 ． （α﹣β）【解析】∵∠BAC＝α，AE平分∠BAC，∴， ∵∠DAC＝β，AF 平分∠DAC， ∴， ∴．故答案为：（α﹣β）． 6. 如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点，BE＝2CE，则　　 ． 【解析】设CE＝x，则BE＝2x，∴BC＝BE+CE＝3x，∵BC＝2AB， ∴，，∵D是线段AB的中点， ∴， ∴E是线段BC上的一点，BE＝2CE，则．故答案为：． 7. 如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有　　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三分点，求线段MN的长度． 解：（1）图中有线段：AB、BC、CD、AC、BD、AD，共6条，故答案为：6． （2）①∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD， 故答案为：＝． ②∴AB：BD＝1：4，AC＝BD，∴AC＝4AB， ∴BC＝3AB， ∵BC＝12，∴AB＝4，∴AC＝AB+BC＝16． （3）∵点M为AB中点，∴BM2， 当点N是靠近点B的三等分点时， 则BN4， ∴MN＝BM+BN＝6； 当点N是靠近点C的三等分点时，则BNBC＝8，∴MN＝BM+BN＝10；综上，MN的长为6或10． 8. 【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°，∴∠AOC120°＝40°． 又∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB， ∴∠AOM∠AOC，∠AON∠AOB， ∴∠AOM＝40°÷2＝20°；∠AON＝120°÷2＝60°， ∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°． （2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝90°÷3＝30°；∠BOC＝90°﹣30°＝60°． ∴∠COD＝∠BOC﹣∠AOC＝60°﹣30°＝30°． 又∵OM平分∠COD， ∴∠COMCOD30°＝15°，∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝60°﹣15°＝45°． （3）设∠COP＝α，则∠BOQ＝2α． ∵∠AOB＝3∠AOC， ∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝3∠AOC﹣∠BOC， ∴2∠AOC＝∠BOC． ∴2（∠AOP+∠COP）＝∠COQ+∠BOQ，∴2（∠AOP+α）＝∠COQ+2α，∴2∠AOP＝∠COQ． 【强化训练】 1. （2025秋•鹿城区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，．设CE＝m，DE＝n，当线段AB的长发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．5m﹣2n B．5m+2n C．2m﹣n D．2m+n A【解析】由题知，令AB＝6x，因为C是AB中点，所以AC＝BC＝3x． 因为D是AC中点， 所以AD＝CD．因为BE，所以BE＝2x， 所以CE＝BC﹣BE＝x，DE＝CD+CE． 因为CE＝m，DE＝n，所以m＝x，n， 则5m﹣2n＝5x，5m+2n＝5x，2m﹣n＝2x，2m+n＝2x． 显然只有A选项符合题意．故选：A． 2. （2025秋•小店区月考）如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝6cm，BC＝4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为（　　） A．5cm B．3cm或1cm C．5或1cm D．无法确定 C【解析】分两种情况：点C在AB的延长线上和点C在AB上，如图，当点C在AB上， ∵点M，N为AB，BC的中点， ∴，，∴MN＝BM﹣BN＝3﹣2＝1cm； 如图，当点C在AB的延长线上， ∵点M，N为AB，BC的中点，∴，， ∴MN＝BM+BN＝3+2＝5cm；故选：C． 3. （2025秋•岚山区期末）已知线段AB＝3cm，延长线段AB到点C，使，M为线段AC的中点．点P在线段AC上，且到M点的距离为2cm．现有下列判断：①BM＝1cm；②BP＝3cm；③AP＝2cm或AP＝6cm；④P为线段AC的四等分点．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 C【解析】∵AB＝3cm，延长线段AB到点C，使，∴BC＝5cm，AC＝AB+BC＝8cm，∵M为线段AC的中点，∴AM＝CMAC＝4（cm）∴BM＝AM﹣AB＝1（cm），因此①正确； 由于点P在线段AC上，且到M点的距离为2cm， 当点P在点M的左侧时，PM＝2cm，AM＝4cm，AP＝AM﹣PM＝2cm， ∴BP＝AB﹣AP＝1cm，当点P在点M的右侧时，PM＝2cm，AP＝AM+PM＝6cm， ∴BP＝AP﹣AB＝3cm，综上所述，BP＝1cm或3cm，因此②错误； 当点P在点M的左侧时，AP＝AM﹣MP＝4﹣2＝2（cm）， 当点P在点M的右侧时，AP＝AM+MP＝4+2＝6（cm）， 综上所述，AP＝2cm或AP＝6cm，因此③正确； ∵PC＝2cm或PC＝6cm，而AC＝8cm，AP+PC＝AC，∴PCAC或PCAC， 即点P是AC的四等分点，因此④正确； 综上所述，正确的结论有①③④，共3个，故选：C． 4. （2025秋•丰满区校级期末）如图，已知O是直线AB上的点，∠COD＝90°，OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的角平分线，则下列结论中：①∠EOF＝90°；②∠COE＝∠DOF；③2∠EOD﹣∠AOC＝∠DOB； ④∠AOC+90°＝2∠AOE．正确的有（填序号）　　 ． ①②④【解析】∵OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的角平分线， ∴∠EOD＝∠AOE，∠FOD＝∠FOB， ∵∠EOD+∠AOE+∠FOD+∠FOB＝180°，∴∠EOD+∠FOD＝90°， 即∠EOF＝90°，故①正确； ∵∠COD＝90°，∠EOF＝90°，∴∠COE+∠DOE＝90°，∠DOF+∠DOE＝90°， ∴∠COE＝∠DOF，故②正确； ∵OE是∠AOD的角平分线，∴∠AOD＝2∠EOD＝2∠AOE， ∵∠AOD﹣∠AOC＝∠COD，∴2∠EOD﹣∠AOC＝90°， ∵∠DOB≠90°，∴2∠EOD﹣∠AOC≠∠DOB，故③错误； ∵∠COD＝90°， ∴∠AOC+90°＝∠AOD＝2∠AOE，故④正确；综上，①②④都是正确的，故答案为：①②④． 5. （2025秋•鲁山县期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成两部分，其中一部分是NP和PQ，另一部分是QM，若这两部分的长度相等，即NP+PQ＝QM，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为　　 ． 8或4【解析】①如图， ∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”， ∴BD＝CD+AC， ∵E为线段AC的中点，∴， ∴AC＝6，∴BD＝CD+AC＝1+6＝7，∴BC＝BD+CD＝7+1＝8； ②如图，CD＝1，CE＝3， ∵D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，∴AD＝CD+CB， ∵E为线段AC的中点，∴， ∴AC＝6，∴AD＝AC﹣CD＝5，∴CD+CB＝5，∴BC＝5﹣CD＝5﹣1＝4； 综上可知，线段BC的长为8或4，故答案为：8或4． 6. （2025秋•海伦市期末）如图，点M在线段AB上，且，点N为线段AM的中点．在直线AB上有一点E，满足BM＝3BE，若BE＝t，则AE＝　　 ．（用含t的式子表示） 或【解析】因为点M在线段AB上，且，则令BM＝5x，AM＝4x， 所以AB＝AM+BM＝9x．因为BM＝3BE， 所以BE．因为BE＝t，所以，则x． 当点E在线段AB上时，AE＝AB﹣BE＝9x； 当点E在AB延长线上时，AE＝AB+BE＝9x，综上所述，AE或． 7. （2025秋•长葛市校级期末）如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC． 【初步应用】（1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数； 【类比探究】（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数； 【迁移探究】（3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由． 解：（1）因为∠AOB＝80°，∠BOC＝30°， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝80°+30°＝110°，因为OM平分∠AOC， 所以， 因为ON平分∠BOC， 所以， 所以∠MON＝∠COM﹣∠CON＝55°﹣15°＝40°， 即∠MON的度数为40°； （2）因为∠AOB＝α，∠BOC＝β， 所以∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β， 因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， 所以，， 因为∠MON＝∠MOC﹣∠CON， 所以，即∠MON的度数为α； （3），理由如下： 因为点M是AC的中点，点N是BC的中点． 所以，， 所以， 即MNAB． 8. （2025秋•石城县期末）已知线段AB＝9cm，点C是线段BA延长线上一个动点，D是线段BC的中点． （1）如图，若AC＝6cm，求线段AD的长； （2）若AC的长逐渐增大，则AD的长的变化趋势是　④　 ；（填序号） ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． （3）若AD＝2.5cm，画出所有符合条件的图形并分别写出线段AC的长． 解：（1）由题知，因为AC＝6cm，AB＝9cm， 所以BC＝AC+AB＝6+9＝15（cm）． 因为D是BC的中点， 所以CD7.5cm， 所以AD＝CD﹣AC＝7.5﹣6＝1.5（cm）； （2）由题知， 当AC的长逐渐增大时，线段BC的中点D由点B逐渐向点A靠近，然后再远离点A， 所以AD的长的变化趋势是先变小，后变大； 故答案为：④； （3）当点D在点A右侧时，如图所示， 因为AD＝2.5cm，AB＝9cm， 所以BD＝AB﹣AD＝9﹣2.5＝6.5（cm）， 因为D是线段BC的中点， 所以BC＝2BD＝13cm， 所以AC＝BC﹣AB＝13﹣9＝4（cm）；当点D在点A左侧时，如图所示， 因为AD＝2.5cm，AB＝9cm， 所以BD＝AB+AD＝9+2.5＝11.5（cm）， 因为D是线段BC的中点， 所以BC＝2BD＝2×11.5＝23（cm），所以AC＝BC﹣AB＝23﹣9＝14（cm）． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11 线段中点、角平分线几何计算问题 1. 掌握线段、角的和差关系，利用中点、角平分线相等关系完成计算； 2. 熟记双中点、双角平分线固定模型结论； 3．依托数形结合画图标注等量，结合方程思想设元求解多层等分题型； 4. 综合解决线段、角度混合几何压轴计算题。 （一）基础核心知识点 线段和差：点在线段上；点在线段延长线； 线段中点：平分； 角的和差：射线在角内部；外部为两角之差； 角平分线：平分； 基础特殊角：直角、平角、周角；互余和为，互补和为。 （二）固定几何模型结论 双中点模型：线段上中点连线长度； 双角平分线模型：同一大角内两条子角平分线夹角原大角； 多层等分：三等分、四等分可拆分为多组相等线段、相等角。 （三）核心数学思想 数形结合思想：画图标注相等线段、等角，直观寻找等量； 方程思想：设最小线段/最小角为，结合总长、总角度列一元一次方程。 题型 01 单中点基础运算 【典例1】若C为线段AB的中点，D在线段CB上，AD＝12，BD＝8，则CD的长度是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式】点A，B，C，D在同一线段上的位置如图所示，点E为线段AC的中点，AB＝CD．若BE，且5BC＝3AD，则AD的长为　　 ． 题型 02 双中点固定模型计算 【典例2】如图，点A，B，C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．下列条件中，能求出线段MN的长度的是（　　） A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 【变式】如图，线段AB＝9，P为AB上一点，且AP＜6，M为AP的中点，N为MB的中点，记MN长为x，PN长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．3x+y B．3x﹣y C．x﹣3y D．x+y 题型 03单角平分线基础运算 【典例3】如图，∠AOC为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠AOB＝35°，则∠AOD的度数为（　　） A．125° B．135° C．145° D．155° 【变式】如图，点A，O，B在一条直线上，且∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，则∠BOD等于（　　） A．130° B．165° C．155° D．150° 题型 04双角平分线固定模型计算 【典例4】如图，点A，O，B在同一条直线上，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC．若∠BOD＝150°，则∠AOE的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．150° 【变式】将两把三角尺如图所示摆放，若射线OM为∠AOB的平分线，射线ON为∠BOC的平分线，则∠MON＝　　 °． 【巩固训练】 1. 如图，点C是线段AB的中点，点D，E分别是线段BC，AD的中点，若AB＝6，则AE的长为（　　） A．1.5 B．2.25 C．3 D．4.5 2. 如图，O是直线AB上一点，∠1＝24°，OC平分∠AOD，则∠2的度数是（　　） A．80° B．78° C．76° D．75° 3. 如图，P为线段AB延长线上一点，且AB＜BP，点M为线段AP的中点，N为线段MB的中点，记AM＝x，BN＝y，若线段AB的长度是定值，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．x+2y B． C．x+y D．2x+y 4. 一根木条（线段AB）上有M，N两个木块（看作点），点M总在点N的左侧，且总有AM＝BN．若P是AM的中点，Q是BN的中点，当AN＝18，MN＝12时，则PQ的长是 　　 ． 5. 如图，AD在∠BAC内部，已知∠BAC＝α，∠DAC＝β，AE平分∠BAC，AF平分∠DAC，则∠EAF＝　　 ． 6. 如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，D是线段AB的中点，E是线段BC上的一点，BE＝2CE，则　　 ． 7. 如图，已知B、C在线段AD上． （1）图中共有　　 条线段； （2）若AB＝CD． ①比较线段的长短：AC　　 BD（填“＞”、“＝”或“＜”）； ②若AB：BD＝1：4，BC＝12，求AC的长度； （3）在（2）的条件下，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的三分点，求线段MN的长度． 8. 【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC． 【问题再现】（1）如图1，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数； 【问题推广】（2）如图2，∠AOB＝90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在∠AOC的内部作射线OP，在∠BOC的内部作射线OQ．若∠COP：∠BOQ＝1：2，求∠AOP和∠COQ的数量关系． 【强化训练】 1. （2025秋•鹿城区期末）如图，C是线段AB的中点，D是线段AC的中点，．设CE＝m，DE＝n，当线段AB的长发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A．5m﹣2n B．5m+2n C．2m﹣n D．2m+n 2. （2025秋•小店区月考）如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝6cm，BC＝4cm，若M，N分别为AB，BC的中点，那么M，N两点之间的距离为（　　） A．5cm B．3cm或1cm C．5或1cm D．无法确定 3. （2025秋•岚山区期末）已知线段AB＝3cm，延长线段AB到点C，使，M为线段AC的中点．点P在线段AC上，且到M点的距离为2cm．现有下列判断：①BM＝1cm；②BP＝3cm；③AP＝2cm或AP＝6cm；④P为线段AC的四等分点．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4. （2025秋•丰满区校级期末）如图，已知O是直线AB上的点，∠COD＝90°，OE、OF分别是∠AOD和∠BOD的角平分线，则下列结论中：①∠EOF＝90°；②∠COE＝∠DOF；③2∠EOD﹣∠AOC＝∠DOB； ④∠AOC+90°＝2∠AOE．正确的有（填序号）　　 ． 5. （2025秋•鲁山县期末）如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成两部分，其中一部分是NP和PQ，另一部分是QM，若这两部分的长度相等，即NP+PQ＝QM，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝1，CE＝3，则线段BC的长为　　 ． 6. （2025秋•海伦市期末）如图，点M在线段AB上，且，点N为线段AM的中点．在直线AB上有一点E，满足BM＝3BE，若BE＝t，则AE＝　　 ．（用含t的式子表示） 7. （2025秋•长葛市校级期末）如图1，已知OM平分∠AOC，OB是∠COM内的一条射线，ON平分∠BOC． 【初步应用】（1）如果∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠MON的度数； 【类比探究】（2）如果∠AOB＝α，∠BOC＝β，求∠MON的度数； 【迁移探究】（3）如图2，已知点M是线段AC的中点，点B是线段CM上的一点，点N是线段BC的中点，试判断线段MN与线段AB的数量关系，并说明理由． 8. （2025秋•石城县期末）已知线段AB＝9cm，点C是线段BA延长线上一个动点，D是线段BC的中点． （1）如图，若AC＝6cm，求线段AD的长； （2）若AC的长逐渐增大，则AD的长的变化趋势是　　 ；（填序号） ①变小；②变大；③先变大，后变小；④先变小，后变大． （3）若AD＝2.5cm，画出所有符合条件的图形并分别写出线段AC的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $