专题12 线段动点、旋转动态几何问题（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本初中数学讲义聚焦线段动点与旋转动态几何问题，系统梳理动态基础公式（路程=速度×时间，旋转总角度=转速×时间）、几何等量不变性（中点、线段和差等）及旋转周期简化方法，构建从静态到动态的学习支架，引导学生掌握动态区间划分（线段上与延长线）、平分重合时刻方程求解及多解判定，渗透方程与分类讨论思想。 资料以典例（数轴双动点中点距离、三角板旋转角度不变性）驱动，通过含时间代数式表示动态量培养抽象能力与几何直观（数学眼光），依托分类讨论突破多解难点提升推理意识（数学思维），强化模型意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后通过巩固与强化训练帮助学生查漏补缺，深化动态几何问题解决能力。

专题 12 线段动点、旋转动态几何问题 1. 能用含时间的代数式表示动态线段、旋转角度； 2. 求解平分、相等、重合类存在性问题； 3．依托方程思想列式，分类讨论区分不同运动区间，突破往返、多圈旋转难点； 4. 综合解决双动点、双射线旋转压轴题。 （一）基础核心知识点 动态基础公式：路程=速度×时间；旋转总角度=转速×运动时间； 几何等量不变性：中点、线段和差、角平分线、互余互补关系不随运动改变； 旋转周期：角度超过时，减去整数倍简化角度。 （二）动态区间划分规则 动点分两类区间：在线段上、在线段延长线上，两类代数式表达式不同； 平分、重合时刻：令动态线段/动态角相等，解方程求时间； 多解判定：动点、射线存在多个符合题意位置，全部计算并检验。 （三）核心数学思想 方程思想：设运动时间，用含式子表示线段、角度，列等式求解； 分类讨论思想：按不同运动区间分情况列式，避免漏解。 题型 01 线段与动点移动问题 【典例1】如图，数轴上点A、B所表示的数分别为﹣2、4、P、Q两点分别从A、B两点出发同时以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，M、N分别是AP与BQ的中点，当运动时间为3秒时，M、N两点之间的距离是　　 ． 【变式】如图，直线l上从左向右依次有A、B、C三点，点M从B点出发以1cm/s的速度向左运动，同时点N从C点出发以3cm/s的速度向右运动．在M，N运动的过程中，总有AN＝3CM，则BC：AB＝　　 ． 题型 02 角度与射线旋转问题 【典例2】如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中60°，45°角的顶点重合，AB与AD边重合，射线AP和AQ分别平分∠CAD和∠CAE．将三角板ADE绕点A逆时针旋转，当AD与AC第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，∠PAQ的大小将会（　　） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 【变式】如图，将一副三角板60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A转动，在转动过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部．对于下列结论，判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：∠BAE﹣∠CAD的值保持不变；结论Ⅱ：∠BAD+∠EAC的值保持不变． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【巩固训练】 1. 已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，N为BP的中点，当P运动时，下列一定不会发生变化的是（　　） A．BN的长度 B．2BM﹣BP的值 C．MN的长度 D．MA+PN的值 2. 如图，将一副三角尺60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，则∠BAE﹣∠CAD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 3. 已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB＝2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式，则的值为（　　） A． B． C．或 D． 4. 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，直线l上依次有P，A，B，C四点，且AB＝BC，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C三点中的任意两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有　　 个． 5.将两把形状、大小完全相同的含有30°角的三角尺PAB与三角尺PCD按如图①所示的方式放置，A，P，C三点在同一直线上．现将三角尺PAB绕点P顺时针旋转一定角度，如图②．若PE平分∠APD，PF平分∠BPD，则∠EPF的度数是　　 ． 6. 线段AB＝20cm，P是线段AB上任意一点，C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为1cm/s，D点的运动速度为4cm/s．若运动时间为3s时CD＝5cm，则BP＝　　 cm． 7. 如图①，点O在直线AB上，∠AOC＝120°，OD⊥AB，将OD绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当OD旋转到第t秒时，OD所在的直线平分∠BOC，则t的值为 　 　 ． 8. 如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任意一动点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由． （3）若C在AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，其他条件不变，MN的长度为　．（直接写出答案） 【强化训练】 1. （2025秋•无锡期末）如图，点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．下列说法正确的是（　　） ①若CB＝7，则t＝2.5； ②若点C和点D均在线段AB上，且AC：BD＝3：4，则t＝1.5； ③若点M是CD的中点，点N是AB的中点，当MN＝1时，t＝1.25或2.25； ④若点C在AB延长线上，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF为定值． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ 2. （2025秋•浑南区期末）如图1，点A，O，B依次在直线MN上；如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（　　） A．当t值为10秒时，∠AOB＝100° B．整个运动过程中，不存在∠AOB＝90°的情况 C．当∠AOB＝60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒 D．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOA 3. （2025秋•双流区期末）对于在同一直线上的三点O，M，N（点M在点N的左侧），其中MN＝12，给出如下定义：点P1，P2，⋯，Pn﹣1，Pn是线段MN上的n个不同的点（n≥3），这些点与点O构成的线段的长分别为a1，a2，⋯，an﹣1，an，若这n个点满足a1+a2+⋯+an﹣1＝an，则称这n个点为线段MN关于点O的一个基准点族，其中an为该基准点族的基准长度．当点A与点O恰为线段MN的三等分点时，点M，A，N是线段MN关于点O的一个基准点族，此时它的基准长度为　　 ；线段MN的端点N与点O重合，固定点O的位置不动，将线段MN以每秒1个单位长度的速度沿直线向左移动．当移动时间为3秒时，点P1，P2，⋯，Pn﹣1，Pn是线段MN关于点O的一个基准点族，则此时n的最大值为　　 ． 4. （2025秋•白塔区校级期末）如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝72°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ的度数为 　　 ． 5. （2025秋•禹王台区校级期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】（1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 6. （2025秋•碑林区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 12 线段动点、旋转动态几何问题 1. 能用含时间的代数式表示动态线段、旋转角度； 2. 求解平分、相等、重合类存在性问题； 3．依托方程思想列式，分类讨论区分不同运动区间，突破往返、多圈旋转难点； 4. 综合解决双动点、双射线旋转压轴题。 （一）基础核心知识点 动态基础公式：路程=速度×时间；旋转总角度=转速×运动时间； 几何等量不变性：中点、线段和差、角平分线、互余互补关系不随运动改变； 旋转周期：角度超过时，减去整数倍简化角度。 （二）动态区间划分规则 动点分两类区间：在线段上、在线段延长线上，两类代数式表达式不同； 平分、重合时刻：令动态线段/动态角相等，解方程求时间； 多解判定：动点、射线存在多个符合题意位置，全部计算并检验。 （三）核心数学思想 方程思想：设运动时间，用含式子表示线段、角度，列等式求解； 分类讨论思想：按不同运动区间分情况列式，避免漏解。 题型 01 线段与动点移动问题 【典例1】如图，数轴上点A、B所表示的数分别为﹣2、4、P、Q两点分别从A、B两点出发同时以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，M、N分别是AP与BQ的中点，当运动时间为3秒时，M、N两点之间的距离是　　 ． 3或6或9【解析】①当点P，Q同时向右运动时， 当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为7， 此时AQ＝7﹣（﹣2）＝9， ∵M、N分别是AP与BQ的中点，∴，， ∴M、N两点之间的距离是AQ﹣AM﹣QN＝96； ②当点P，Q同时向左运动时，当运动时间为3秒时，点P表示的数为﹣5，点Q表示的数为1， 此时BP＝4﹣（﹣5）＝9， ∵M、N分别是AP与BQ的中点，∴，， ∴M、N两点之间的距离是BP﹣PM﹣BN＝96； ③当P向左，点Q向右运动时，当运动时间为3秒时，点P表示的数为﹣5，点Q表示的数为7， 此时PQ＝7﹣（﹣5）＝12， ∵M、N分别是AP与BQ的中点，∴，， ∴M、N两点之间的距离是PQ﹣PM﹣QN＝129； ④当P向右，点Q向左运动时，当运动时间为3秒时，点P表示的数为1，点Q表示的数为1， 此时AB＝4﹣（﹣2）＝6，∵M、N分别是AP与BQ的中点，∴，， ∴M、N两点之间的距离是AB﹣AM﹣BN＝63；综上，M、N两点之间的距离是3或6或9． 【变式】如图，直线l上从左向右依次有A、B、C三点，点M从B点出发以1cm/s的速度向左运动，同时点N从C点出发以3cm/s的速度向右运动．在M，N运动的过程中，总有AN＝3CM，则BC：AB＝　　 ． 1：2【解析】由题知，设运动时间为t秒，AB＝xcm，BC＝ycm， 所以BM＝tcm，CM＝BC+BM＝（y+t）cm，CN＝3tcm， 所以AN＝AC+CN＝（x+y+3t）cm． 因为对任意运动时间t，AN＝3CM恒成立， 所以x+y+3t＝3（y+t）， 整理得，x＝2y， 所以BC：AB＝y：x＝1：2．故答案为：1：2． 题型 02 角度与射线旋转问题 【典例2】如图，将一副直角三角板放置于水平桌面上，其中60°，45°角的顶点重合，AB与AD边重合，射线AP和AQ分别平分∠CAD和∠CAE．将三角板ADE绕点A逆时针旋转，当AD与AC第一次重合时旋转停止，在旋转的过程中，∠PAQ的大小将会（　　） A．始终不变 B．先减小再增大 C．不断增大 D．先增大再减小 A【解析】如图1，∵射线AP和AQ分别平分∠CAD和∠CAE，∠CAD＝45°，∠CAE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠CAP∠CAD＝22.5°，∠CAQ∠CAE＝7.5°， ∴∠PAQ＝22.5°+7.5°＝30°； 如图2，设旋转角∠BAD＝α，则∠CAD＝45°﹣α，∠CAE＝15°+α， ∵射线AP和AQ分别平分∠CAD和∠CAE，∠CAD＝45°，∠CAE＝60°﹣45°＝15°， ∴∠CAP∠CAD＝22.5°α，∠CAQ∠CAE＝7.5°α， ∴∠PAQ＝22.5°α+7.5°α＝30°； 综上所述，在旋转的过程中，∠PAQ的大小不会改变，故选：A． 【变式】如图，将一副三角板60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A转动，在转动过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部．对于下列结论，判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：∠BAE﹣∠CAD的值保持不变；结论Ⅱ：∠BAD+∠EAC的值保持不变． A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 A【解析】∵将一副三角板60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A转动，在转动过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，∴∠DAE＝90°，∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝60°﹣∠BAD， ∴∠BAE﹣∠CAD＝（90°﹣∠BAD）﹣（60°﹣∠BAD）＝30°， ∵在转动过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部， ∴∠BAE﹣∠CAD的值保持30°不变，故结论Ⅰ正确， 同理：∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝60°﹣∠CAD，∠EAC＝∠CAD+∠DAE＝∠CAD+90°， ∴∠BAD+∠EAC＝60°﹣∠CAD+∠CAD+90°＝150°， ∵在转动过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部， ∴∠BAD+∠EAC的值保持150°不变，故结论Ⅱ正确，故选：A． 【巩固训练】 1. 已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，N为BP的中点，当P运动时，下列一定不会发生变化的是（　　） A．BN的长度 B．2BM﹣BP的值 C．MN的长度 D．MA+PN的值 C【解析】当点P在线段AB上时，如图所示， ∵M为AP的中点，N为BP的中点，∴PMAP，PNBP，∴MN＝PM+PN； 当点P在线段AB延长线上时，如图所示， ∵M为AP的中点，N为BP的中点，∴PMAP，PNBP， ∴MN＝PM﹣PN， ∴点P运动时，MN的长度一定不会发生变化．故选：C． 2. 如图，将一副三角尺60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，则∠BAE﹣∠CAD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 A【解析】∵∠BAE+∠BAD＝90°∠CAD+∠BAD＝60°，∴∠BAE+∠BAD﹣（∠CAD+∠BAD）＝90°﹣60°，即∠BAE﹣∠CAD＝30°，故选：A． 3. 已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在线段AB上，点D在点E的左侧．若AB＝2DE，线段DE在线段AB上移动，且满足关系式，则的值为（　　） A． B． C．或 D． B【解析】设BC＝a，则AC＝2a，AB＝3a，DE＝1.5a， ①当点E在点C的左侧时，如图1，此时AD+CE＝AC﹣DE＝0.5a，而BE＝BC+EC＞a，不满足关系式，因此不符合题意；②当点E在点C的右侧时，如图2，此时AD+CE＝AC+DE﹣CD﹣CD＝3.5a﹣2CD，BE＝AB﹣（AD+EC）﹣CD＝CD﹣0.5a，∵，即，解答CDa，∴，故选：B． 4. 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，直线l上依次有P，A，B，C四点，且AB＝BC，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C三点中的任意两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有　　 个． 3【解析】由题知，当点P在AB中点处时，会发出警报，当点P在点B处时，会发出警报， 当点P在BC中点处时，会发出警报， 综上所述，直线l上会发出警报的点P有3个．故答案为：3． 5.将两把形状、大小完全相同的含有30°角的三角尺PAB与三角尺PCD按如图①所示的方式放置，A，P，C三点在同一直线上．现将三角尺PAB绕点P顺时针旋转一定角度，如图②．若PE平分∠APD，PF平分∠BPD，则∠EPF的度数是　　 ． 15°【解析】∵PF平分∠BPD，∴∠BPF∠BPD，∵∠APB＝30°， ∴∠APB+∠BPF＝30°∠BPD，即∠APF＝30°∠BPD， ∵PE平分∠APD，∴∠APE∠APD， ∴∠APF﹣∠APE＝30°∠BPD∠APD，∴∠EPF＝30°∠BPD（∠APB+∠BPD）， ∴∠EPF＝30°∠APB＝30°﹣15°＝15°，即∠EPF＝15°．故答案为：15°． 6. 线段AB＝20cm，P是线段AB上任意一点，C，D两点分别从点P，点A同时向B点运动，且C点的运动速度为1cm/s，D点的运动速度为4cm/s．若运动时间为3s时CD＝5cm，则BP＝　　 cm． 16或6【解析】令BP长为xcm，则3s后AC＝（20﹣x+3）cm，AD＝12cm． 因为此时CD＝5cm，所以|20﹣x+3﹣12|＝5， 解得x＝16或6，所以BP的长为16或6cm．故答案为：16或6． 7. 如图①，点O在直线AB上，∠AOC＝120°，OD⊥AB，将OD绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转一周（如图②），当OD旋转到第t秒时，OD所在的直线平分∠BOC，则t的值为 　 　 ． 60或150【解析】∵OD⊥AB，∴∠AOD＝∠BOD＝90°，∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°， ①如图，当OD逆时针旋转到OE时， ∵OE平分∠BOC，∴， 则OD逆时针旋转了90°+30°＝120°，∴t＝120°÷2°＝60（s）， ②如图，当OD逆时针旋转到OF时， 由①得：∠BOE＝30°，∠AOD＝90°，∴∠AOF＝30°， ∴∠DOF＝60°，则OD逆时针旋转了360°﹣60°＝300°， ∴t＝300°÷2°＝150（s），综上可知：t的值为60或150，故答案为：60或150． 8. 如图，点C在线段AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M、N分别是AC、BC的中点． （1）求线段MN的长； （2）若C为线段AB上任意一动点，满足AC+CB＝acm，其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由． （3）若C在AB的延长线上，且满足AC﹣CB＝bcm，其他条件不变，MN的长度为　．（直接写出答案） 解：（1）由中点性质可知：（cm）， （cm）， MN＝MC+CN＝4+3＝7（cm）； （2）因为点M、N分别是AC、BC的中点，所以，， （cm）； （3）如图， 由条件可知MC，， ∴MN＝MC﹣NC（cm），故答案为：cm． 【强化训练】 1. （2025秋•无锡期末）如图，点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度，运动时间为t秒．下列说法正确的是（　　） ①若CB＝7，则t＝2.5； ②若点C和点D均在线段AB上，且AC：BD＝3：4，则t＝1.5； ③若点M是CD的中点，点N是AB的中点，当MN＝1时，t＝1.25或2.25； ④若点C在AB延长线上，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF为定值． A．①③ B．②④ C．③④ D．②③④ D【解析】点A、B、C、D在同一射线上，AB＝12，线段CD（点C在点D的左边）长度为5，线段CD从点C与A重合开始，沿射线AB向右运动，其速度为每秒2个单位长度， 对于①，分两种情况： 当点C在线段AB上时，CB＝AB﹣AC＝12﹣2t＝7，解得t＝2.5； 当点C在AB延长线上时，CB＝AC﹣AB＝2t﹣12＝7，解得t＝9.5； 故①中t有两个解，①错误； 对于②，∵点C、D均在线段AB上， ∴AC+CD≤AB，即2t+5≤12，解得t≤3.5， 此时AC＝2t，BD＝AB﹣（AC+CD）＝12﹣（2t+5）＝7﹣2t， 由AC：BD＝3：4得4×2t＝3（7﹣2t）， 解得t＝1.5，符合t≤3.5，故②正确；对于③，AB＝12，N是AB中点， ∴AN＝6，∵AC＝2t，CD＝5，∴AD＝2t+5，∵M是CD中点， ∴CM＝2.5，∴AM＝AC+CM＝2t+2.5， 由MN＝1得|6﹣（2t+2.5）|＝1，即|3.5﹣2t|＝1， 当3.5﹣2t＝1时，2t＝2.5，解得t＝1.25；当3.5﹣2t＝﹣1时，2t＝4.5，解得t＝2.25； 故t＝1.25或2.25，③正确；对于④，∵点C在AB延长线上， ∴2t＞12，即t＞6，∵E是AC中点，∴， ∵AD＝AC+CD＝2t+5，AB＝12，∴BD＝AD﹣AB＝2t﹣7． ∵F是BD中点，∴， ∴AF＝AB+BF＝12+t﹣3.5＝t+8.5， ∴EF＝AE﹣AF＝|（t+8.5）﹣t|＝8.5，是定值，故④正确；综上，②③④正确，故选：D． 2. （2025秋•浑南区期末）如图1，点A，O，B依次在直线MN上；如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒4°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤90）．下列说法正确的是（　　） A．当t值为10秒时，∠AOB＝100° B．整个运动过程中，不存在∠AOB＝90°的情况 C．当∠AOB＝60°时，两射线的旋转时间t一定为20秒 D．当t值为36秒时，射线OB恰好平分∠MOA D【解析】A、当t＝10s时，OA顺时针旋转20°，OB逆时针旋转40°， 此时∠AOB＝120°，故A选项错误； B、设旋转xs时，∠AOB＝90°， 当0＜x＜45时，有∠NOA＝180°﹣2x°，∠NOB＝4x°， 则有180﹣2x﹣4x＝90，解得：x＝15， ∴整个运动过程中，存在∠AOB＝90°的情况，故B选项错误； C、设旋转xs时，∠AOB＝60°， 当0＜x＜45时，有∠NOA＝180°﹣2x°，∠NOB＝4x°， 则有180﹣2x﹣4x＝60，解得：x＝20， 当45＜x＜90时，有∠NOA＝180°﹣2x°，∠NOB＝360°﹣4x°， 则有180﹣2x+360﹣4x＝60，解得：x＝80， ∴两射线的旋转时间t为20秒或80秒时∠AOB＝60°，故C选项错误； D、当t＝36s时，∠MOA＝36×2°＝72°，∠MOB＝180°﹣4°×36＝36°， ∵， ∴OB恰好平分∠MOA，故D选项正确．故选：D． 3. （2025秋•双流区期末）对于在同一直线上的三点O，M，N（点M在点N的左侧），其中MN＝12，给出如下定义：点P1，P2，⋯，Pn﹣1，Pn是线段MN上的n个不同的点（n≥3），这些点与点O构成的线段的长分别为a1，a2，⋯，an﹣1，an，若这n个点满足a1+a2+⋯+an﹣1＝an，则称这n个点为线段MN关于点O的一个基准点族，其中an为该基准点族的基准长度．当点A与点O恰为线段MN的三等分点时，点M，A，N是线段MN关于点O的一个基准点族，此时它的基准长度为　　 ；线段MN的端点N与点O重合，固定点O的位置不动，将线段MN以每秒1个单位长度的速度沿直线向左移动．当移动时间为3秒时，点P1，P2，⋯，Pn﹣1，Pn是线段MN关于点O的一个基准点族，则此时n的最大值为　　 ． 8；5【解析】∵点M、A、N是线段MN关于点O的一个基准点族，∴a1+a2+a3＝MN＝12， 又∵点A与点O为线段MN的三等分点，且点M在点N的左侧， ∴当O为靠近N的三等分点时，MO＝8，OA＝4，ON＝4， 此时点M、A、N到O的距离分别为8、4、4，和为16，根据基准点族定义，基准长度为8； 当移动时间为3秒时，线段MN向左移动3×1＝3个单位， 此时MO＝9，NO＝3，线段MN的长度仍为12， 要使点P1，P2，…，Pn是基准点族，需满足a1+a2+…+an＝12， 当n＝5时，可选取距离分别为1，2，3，3，3（和为12），满足条件； 当n＞5时，无法找到n个不同的点到O的距离和为12， 故n的最大值为5，故答案为：8；5． 4. （2025秋•白塔区校级期末）如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”．如果∠MPN＝72°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ的度数为 　　 ． 24°或36°或48°【解析】∵∠MPN＝72°，PQ是∠MPN的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意：①∠NPQ＝2∠MPQ，此时； ②∠MPN＝2∠MPQ，此时； ③∠MPQ＝2∠NPQ，此时； ∴∠M P Q的度数为24°或36°或48°．故答案为：24°或36°或48°． 5. （2025秋•禹王台区校级期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有45°角的直角三角板ABC和含有30°角的直角三角板BDE尝试完成探究． 【实验操作】（1）若边BA和边BE重合摆成图①的形状，则∠CBD＝　　 ； （2）保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，请问：当∠ABE为多少度时，∠CBD＝90°．请说明理由； 【拓展延伸】（3）试探索：保持三角板ABC不动，将45°角的顶点与三角板BDE的60°角的顶点重合，然后摆动三角板BDE，使得∠ABD是∠ABE的两倍，请直接写出∠ABE的度数． 解：（1）∵是三角板，∴∠ABC＝45°，∠ABD＝60°，∴∠CBD＝∠ABC+∠ABD＝45°+60°＝105°， 故答案为：105°； （2）∠ABE＝165°或∠ABE＝15°．理由：如图①， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠EBD+∠ABC﹣∠CBD＝60°+45°﹣90°＝15°； 如图②， ∵∠DBE＝60°，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝360°﹣（∠EBD+∠ABC+∠CBD）＝360°﹣（60°+45°+90°）＝165°； （3）当边BE在边AB右侧时，如图③，设∠ABE＝x， 则有2x＝x+60°，解得x＝60°，即此时∠ABE＝60°，当边BE在边AB左侧时，如图④， 设∠ABE＝x，则有x+2x＝60°，解得x＝20°， 即此时∠ABE＝20°；综上所述，∠ABE的度数为20°或60°． 6. （2025秋•碑林区校级期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角． （1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　　 ． （2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？ （3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角， ∴∠COD∠AOB＝35°， ∵∠AOC＝15°， ∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；故答案为：20°． （2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α， ∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOD＝63°+α， ∵∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即63°﹣α，解得α＝21°， 当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角； （3）能，理由如下，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝3t°；根据题意可分以下三种情况： ①当射线OC在∠AOB内，如图4， 此时，∠BOC＝30°﹣3t°，∠AOD＝30°+3t°，则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即30°﹣3t°（30°+3t°）， 解得t（秒）； ②当射线OC在∠AOB外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC＝3t°﹣30°，∠AOD＝30°+3t°， 则∠COB是∠AOD的内半角， ∴∠COB∠AOD，即3t°﹣30°（30°+3t°）， 解得t＝30（秒）； 如图6，此时，∠BOC＝360°﹣3t°+30°，∠AOD＝360°﹣3t°﹣30°， 则∠AOD是∠BOC的内半角， ∴∠AOD∠BOC，即360°﹣3t°﹣30°（360°﹣3t°+30°），解得t＝90（秒）； 综上，在旋转一周的过程中，射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，旋转的时间分别为：秒；30秒；90秒． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $