专题12一元一次方程的认识与解法 暑假预习讲义 2025-2026学年材北师大版七年级数学上册

专题12一元一次方程的认识与解法暑假预习讲义 1. 掌握核心概念：能够区分代数式、等式、方程，精准掌握一元一次方程的三大特征：只含一个未知数、未知数最高次数为1、整式方程，能快速准确判断一个式子是否为一元一次方程。 2. 理解方程的解的含义：掌握方程的解的定义，能够将已知数值代入方程，验证数值是否为对应方程的解。 3. 掌握等式基本性质：熟练熟记等式两条基本变形性质，明白所有解方程步骤的理论依据，理解等式变形必须保证两边始终相等。 4. 掌握移项法则：理解移项的本质是等式性质的应用，牢记“移项必变号”核心规则，杜绝不移项乱变号、移项不变号的错误。 5. 掌握基础解方程流程：熟练掌握一元一次方程基础解法四步：移项、合并同类项、系数化为1、检验，能独立规范求解简单一元一次方程。 6. 规范书写格式：掌握解方程标准书写范式，步骤清晰、不跳步、格式规范，养成初中代数严谨书写习惯。 7. 初步建立方程建模思维：能从简单实际问题中找到等量关系，尝试列出一元一次方程，完成从算术思维到方程思维的过渡。 预习必备 知识梳理 1.等式.代数式.方程区分 2.方程的解、解方程 3.一元一次方程的定义 4.列简易方程 5.解一元一次方程的步骤 6.四种简化题型 7.含参数的一元一次方程拓展 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.一元一次方程的判定 6.一元一次方程解的判定 7.等式性质1 8.等式性质2 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 强化题型 解答题6题 知识点 01 等式、代数式、方程区分 1 基础定义 代数式：只用运算符号连接数字、字母，不含等号、不等号。 例：3x、2a-5、y 等式：含有等号，表示左右两边相等的式子，分为两类： 恒等式：永远成立2+3=5 条件等式（方程）：含未知数，只有未知数取特定值才成立 方程：含有未知数的等式。 2.判定方程两个必要条件（同时满足） ① 必须有等号；② 必须含有未知数。 3.三类式子对比表 类型 核心特征 有无等号 有无未知数 举例 代数式 仅数字、字母、运算 无 可有可无 4x-1、7 普通等式（恒等式） 左右数值固定相等 有 无 6-2=4 方程 含未知数的等式 有 一定有 3x+2=8 知识点 02 方程的解、解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 检验方法：把数值代入方程左右两边，若左边 = 右边，就是方程的解。 解方程：求方程解的全过程（是一个运算步骤）。 易错区分 方程的解：结果（数字）；解方程：动作、过程。 知识点 03 一元一次方程定义（本节核心） 一元一次方程四判定条件（全部满足） （1）只含一个未知数（一元）； （2）未知数的次数都是1 次（一次）； （3）等号两边都是整式（分母不含未知数，无根号、分式未知数）； （4）化简后未知数系数不为 0。 标准形式 ax+b=0(a≠0），(a、b为常数，x是未知数） 正反举例 ✅是一元一次方程：\(2x-6=0\)、\(5=3x\) ❌ 不是： x+y=3（两个未知数）、x2=4（次数 2）、+2=5（分母含未知数，分式） 知识点 04 列简易方程（从文字到等式） 1.列方程三步法 （1）审题，找出题目中的等量关系； （2）设未知数（直接设：求什么设什么；间接设）； （3）用含未知数的代数式表示等量关系，写出等式。 2.常见等量关系模板 和差：大数 ± 小数 = 和 / 差 倍数：几倍量 = 基数 × 倍数 公式类：路程 = 速度 × 时间，总价 = 单价 × 数量 知识点05:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识点 06 解一元一次方程标准五大步骤（通用流程） 完整步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 分步详细规则、易错点 步骤 1：去分母 操作：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数； 关键：不含分母的常数项也要乘，不能漏乘； 易错：分子是多项式时，去分母后必须加括号。 例：+1=x，两边 ×2 得 (x-1)+2=2x，不能写成x-1+1=2x 步骤 2：去括号 依据乘法分配律 a(m+n)=am+an （1）括号前是正号：去括号，内部符号不变； （2）括号前是负号：去括号，括号内每一项全部变号； （3）数字乘数要乘括号内每一项，禁止漏乘。 例：-2(x-3)=-2x+6 步骤 3：移项（核心高频考点） 定义：把方程中某一项改变符号后，从等式一边移到另一边； 规则：移项必变号，不移不变号； 目的：含未知数项放左边，常数项放右边； 易错：只在同侧交换位置，不属于移项，不能变号。 例：3x+5=2x-1 移项得 3x-2x=-1-5 步骤 4：合并同类项 （1）同类：未知数相同、次数相同的项； （2）操作：未知数系数相加减，字母不变； 结果化为最简形式：ax=b(a≠0) 步骤 5：系数化为 1 操作：方程两边同时除以未知数系数a，或乘； 区分符号：正数除以正数结果为正，正负相除得负； 格式：x= 知识点 06 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点 07含参数的一元一次方程拓展 若(m-2)x+3=0是一元一次方程，则未知数系数m-2≠0，即m≠2； 已知方程的解，求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 例：已知x=3是2x+a=10的解，代入得6+a=10，a=4 知识点08高频易错汇总 一、认识方程易错 1.判定一元一次方程：忽略整式条件，把=5当成一元一次方程； 2.混淆 “方程的解” 和 “解方程”； 3.列方程找不准等量关系，等量左右写反； 4.分不清代数式、等式、方程。 二、解方程易错（阅卷高频扣分点） 1.去分母：常数项漏乘最小公倍数，分子多项式不加括号； 2.去括号：负号括号内只变第一项，其余不变；乘数漏乘括号内某一项； 3.移项不变号，同侧交换位置乱变号； 4.系数化为 1 时分母分子颠倒，符号计算错误； 5.含参数题目忘记系数不能为 0； 6.解题跳步，不按规范五步书写。 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列各式中，是等式的有___________，是方程的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 题型2.列方程 【典例】“与4的和等于”用方程可表示为__________． 【跟踪专练1】宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（     ） A．绝对值 B．有理数 C．代数式 D．方程 【跟踪专练2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【跟踪专练3】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B．0 C．3 D． 题型3.判断是否是方程的解 【典例】是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【跟踪专练1】代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【跟踪专练2】多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 题型4.由方程的解求参数 【典例】已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【跟踪专练1】已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A．1 B． C．11 D． 【跟踪专练2】某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【跟踪专练3】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 题型5.一元一次方程的判定 【典例】下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 【跟踪专练2】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6.一元一次方程解的判定 【典例】当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 【跟踪专练1】整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为________． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型7.等式性质1 【典例】把方程写成用含x的代数式表示y的形式，则_____． 【跟踪专练1】运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【跟踪专练2】下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是___________； 【跟踪专练3】等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型8.等式性质2 【典例】某同学在书写化学方程式时，不慎将墨水滴落在“”上，请你帮助该同学计算出被遮盖的数是______． 【跟踪专练1】若，则下列等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 【跟踪专练3】如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 题型9.合并同类项及移项 【典例】若，则x的值为______． 【跟踪专练1】方程的解是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义新运算：,若，则x的值是______． 【跟踪专练3】关于的一元一次方程的解（    ） A．不存在 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于的数 D．是一个大于且小于的数 题型10.去括号 【典例】方程：的解为______． 【跟踪专练1】解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则的值为__________． 【跟踪专练3】关于x的方程的解是1，则k的值是（   ） A． B． C．2 D． 题型11.去分母 【典例】方程的解是________． 【跟踪专练1】把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】我们知道 ，因此关于x的方程 的解是_______． 【跟踪专练3】方程的解是（   ） A． B． C． D． 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】若是方程的解，则________． 【跟踪专练1】若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】若关于的方程的解为，那么关于的方程的解为___________． 【跟踪专练1】若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若方程和的解相同，则a的值为______． 【跟踪专练3】王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 题型14.绝对值方程 【典例】若，则_________． 【跟踪专练1】若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 【跟踪专练2】若方程是关于x的一元一次方程，则______． 【跟踪专练3】若关于x的方程有三个解，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 解答题 1．解方程： (1) (2) 2．已知是关于的方程的解，求的值． 3．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 求关于的方程的解． 4．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 5．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 6．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12一元一次方程的认识与解法暑假预习讲义 1. 掌握核心概念：能够区分代数式、等式、方程，精准掌握一元一次方程的三大特征：只含一个未知数、未知数最高次数为1、整式方程，能快速准确判断一个式子是否为一元一次方程。 2. 理解方程的解的含义：掌握方程的解的定义，能够将已知数值代入方程，验证数值是否为对应方程的解。 3. 掌握等式基本性质：熟练熟记等式两条基本变形性质，明白所有解方程步骤的理论依据，理解等式变形必须保证两边始终相等。 4. 掌握移项法则：理解移项的本质是等式性质的应用，牢记“移项必变号”核心规则，杜绝不移项乱变号、移项不变号的错误。 5. 掌握基础解方程流程：熟练掌握一元一次方程基础解法四步：移项、合并同类项、系数化为1、检验，能独立规范求解简单一元一次方程。 6. 规范书写格式：掌握解方程标准书写范式，步骤清晰、不跳步、格式规范，养成初中代数严谨书写习惯。 7. 初步建立方程建模思维：能从简单实际问题中找到等量关系，尝试列出一元一次方程，完成从算术思维到方程思维的过渡。 预习必备 知识梳理 1.等式.代数式.方程区分 2.方程的解、解方程 3.一元一次方程的定义 4.列简易方程 5.解一元一次方程的步骤 6.四种简化题型 7.含参数的一元一次方程拓展 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.判断各式是否是方程 2.列方程 3.判断是否是方程的解 4.由方程的解求参数 5.一元一次方程的判定 6.一元一次方程解的判定 7.等式性质1 8.等式性质2 9.合并同类项及移项 10.去括号 11.去分母 12.由一元一次方程的解,求参数 13.一元一次方程解的关系 14.绝对值方程 强化题型 解答题6题 知识点 01 等式、代数式、方程区分 1 基础定义 代数式：只用运算符号连接数字、字母，不含等号、不等号。 例：3x、2a-5、y 等式：含有等号，表示左右两边相等的式子，分为两类： 恒等式：永远成立2+3=5 条件等式（方程）：含未知数，只有未知数取特定值才成立 方程：含有未知数的等式。 2.判定方程两个必要条件（同时满足） ① 必须有等号；② 必须含有未知数。 3.三类式子对比表 类型 核心特征 有无等号 有无未知数 举例 代数式 仅数字、字母、运算 无 可有可无 4x-1、7 普通等式（恒等式） 左右数值固定相等 有 无 6-2=4 方程 含未知数的等式 有 一定有 3x+2=8 知识点 02 方程的解、解方程 方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值（是一个数）。 检验方法：把数值代入方程左右两边，若左边 = 右边，就是方程的解。 解方程：求方程解的全过程（是一个运算步骤）。 易错区分 方程的解：结果（数字）；解方程：动作、过程。 知识点 03 一元一次方程定义（本节核心） 一元一次方程四判定条件（全部满足） （1）只含一个未知数（一元）； （2）未知数的次数都是1 次（一次）； （3）等号两边都是整式（分母不含未知数，无根号、分式未知数）； （4）化简后未知数系数不为 0。 标准形式 ax+b=0(a≠0），(a、b为常数，x是未知数） 正反举例 ✅是一元一次方程：\(2x-6=0\)、\(5=3x\) ❌ 不是： x+y=3（两个未知数）、x2=4（次数 2）、+2=5（分母含未知数，分式） 知识点 04 列简易方程（从文字到等式） 1.列方程三步法 （1）审题，找出题目中的等量关系； （2）设未知数（直接设：求什么设什么；间接设）； （3）用含未知数的代数式表示等量关系，写出等式。 2.常见等量关系模板 和差：大数 ± 小数 = 和 / 差 倍数：几倍量 = 基数 × 倍数 公式类：路程 = 速度 × 时间，总价 = 单价 × 数量 知识点05:等式相关知识 1. 等式定义 用等号 “=” 表示相等关系的式子叫做等式。 举例：3+2=5、2x-1=7、a+b=b+a 均为等式。 2. 等式两条基本性质（解方程核心依据） 性质 文字内容 字母表达 关键注意事项 性质 1 等式两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc 两边必须同时加减，不能只改一侧 性质 2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式 若a=b，则ac=bc；若c≠0，则= 除数不能为 0；同乘负数时符号同步变化 3. 等式变形规范例题 已知x-3=5，两边同时加 3，得x=8； 已知2x=6，两边同时除以 2，得x=3； 已知x=4，两边同乘 3，得x=12。 4.等式性质易错提醒： （1）等式两边运算必须完全相同，不能一边加、一边乘； （2）除法时分母不能为 0； （3）不能只对等式一侧变形。 知识点 06 解一元一次方程标准五大步骤（通用流程） 完整步骤：去分母 → 去括号 → 移项 → 合并同类项 → 系数化为 1 分步详细规则、易错点 步骤 1：去分母 操作：等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数； 关键：不含分母的常数项也要乘，不能漏乘； 易错：分子是多项式时，去分母后必须加括号。 例：+1=x，两边 ×2 得 (x-1)+2=2x，不能写成x-1+1=2x 步骤 2：去括号 依据乘法分配律 a(m+n)=am+an （1）括号前是正号：去括号，内部符号不变； （2）括号前是负号：去括号，括号内每一项全部变号； （3）数字乘数要乘括号内每一项，禁止漏乘。 例：-2(x-3)=-2x+6 步骤 3：移项（核心高频考点） 定义：把方程中某一项改变符号后，从等式一边移到另一边； 规则：移项必变号，不移不变号； 目的：含未知数项放左边，常数项放右边； 易错：只在同侧交换位置，不属于移项，不能变号。 例：3x+5=2x-1 移项得 3x-2x=-1-5 步骤 4：合并同类项 （1）同类：未知数相同、次数相同的项； （2）操作：未知数系数相加减，字母不变； 结果化为最简形式：ax=b(a≠0) 步骤 5：系数化为 1 操作：方程两边同时除以未知数系数a，或乘； 区分符号：正数除以正数结果为正，正负相除得负； 格式：x= 知识点 06 四种简化题型（不用完整五步） 1.无分母、无括号：直接移项、合并、系数化 1 例：4x-7=x+2 2.有括号无分母：先去括号，再移项合并 3.有分母无括号：先去分母，再移项合并 4.含小数分母：先利用分数基本性质化为整数分母，再去分母 知识点 07含参数的一元一次方程拓展 若(m-2)x+3=0是一元一次方程，则未知数系数m-2≠0，即m≠2； 已知方程的解，求参数：把解代入原方程，得到关于参数的新方程，求解参数。 例：已知x=3是2x+a=10的解，代入得6+a=10，a=4 知识点08高频易错汇总 一、认识方程易错 1.判定一元一次方程：忽略整式条件，把=5当成一元一次方程； 2.混淆 “方程的解” 和 “解方程”； 3.列方程找不准等量关系，等量左右写反； 4.分不清代数式、等式、方程。 二、解方程易错（阅卷高频扣分点） 1.去分母：常数项漏乘最小公倍数，分子多项式不加括号； 2.去括号：负号括号内只变第一项，其余不变；乘数漏乘括号内某一项； 3.移项不变号，同侧交换位置乱变号； 4.系数化为 1 时分母分子颠倒，符号计算错误； 5.含参数题目忘记系数不能为 0； 6.解题跳步，不按规范五步书写。 题型1.判断各式是否是方程 【典例】下列式子中是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程需同时满足“含有未知数”且“是等式”两个条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、不是等式，不是方程，错误； B、是等式，但不含未知数，不是方程，错误； C、既是等式，又含有未知数，是方程，正确； D、不是等式，不是方程，错误． 【跟踪专练1】下列各式中，是等式的有___________，是方程的有___________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 【跟踪专练2】下面（     ）符合等式与方程之间的关系． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等式和方程的定义分别分析即可 【详解】解：A.表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B.表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C.表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D.表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误． 题型2.列方程 【典例】“与4的和等于”用方程可表示为__________． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为方程，先表示出x与4的和，再结合等量关系列出方程即可． 【详解】解：与的和可表示为，由题意可知该和等于，因此可得方程为． 【跟踪专练1】宋元时期，中国数学家创立了“天元术”，用“天元”表示未知数．首先要“立天元一”，相当于“设未知数x”，再根据问题给出的条件列出两个相等的代数式，进而得到一个等式．“天元术”指的是我们所学的（     ） A．绝对值 B．有理数 C．代数式 D．方程 【答案】D 【分析】根据题干对“天元术”步骤的描述，结合初中相关概念的定义即可判断． 【详解】解：∵“立天元一”相当于设未知数，再根据条件列出两个相等的代数式，最终得到一个含有未知数的等式， 又∵含有未知数的等式叫做方程， ∴“天元术”对应我们所学的方程． 【跟踪专练2】钢琴上的黑、白两种琴键共有88个，其中白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个．如果用表示白色琴键，表示黑色琴键，请根据不同的等量关系写出两个方程． ________________；____________________． 【答案】 【分析】根据等量关系“钢琴上的黑、白两种琴键共有88个”和“白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个”列出方程即可． 【详解】解：用表示白色琴键，表示黑色琴键， ∵钢琴上的黑、白两种琴键共有88个， ∴； ∵白色琴键的数量比黑色琴键的2倍少20个， ∴． 【跟踪专练3】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．如图②，悦悦将，，，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，一元一次方程，根据题意列出方程，利用方程的思想是解题的关键． 由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，列出方程即可求解． 【详解】解：由第2列可得和为：， ∴，，， 解得，，， ∴． 故选：A． 题型3.判断是否是方程的解 【典例】是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． 【跟踪专练1】代数式的值随着的取值的变化而变化．下表是当取不同的值时对应的代数式的值： x 0 1 0 4 8 则关于的方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， 由表格可知：当时，，即：， 故的解是． 故答案为：． 【跟踪专练2】多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，根据表格得出当时，，，即，从而得出方程的解． 【详解】解：由表格数据： 当 时，，，则，； ∴方程的解为， 故选：C． 题型4.由方程的解求参数 【典例】已知是关于的方程的解，则的值是_____． 【答案】1 【详解】解：把代入得：， 解得：． 【跟踪专练1】已知关于的方程的解是，则的值为（    ） A．1 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】把代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得：． 【跟踪专练2】某书上有一道解方程的题：，■处在印刷时被油墨盖住了，查后面的答案知这个方程的解是，那么■处的数字是______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的解，将解代入原方程是解题的关键． 将已知解 代入方程，解出 ■ 的值． 【详解】解：将 代入方程 ，得 ． 移项得 ． 两边乘以 3 得 ． 移项得 ． 解得 ． 故答案为1． 【跟踪专练3】若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程化为，设，则方程为，再根据题意即可得出，从而求出方程的解． 【详解】解：方程可化为， 设， 则方程为， ∵方程的解为， ∴， ∴， ∴， 即关于y的一元一次方程的解为， 故答案为：． 题型5.一元一次方程的判定 【典例】下列各式中，属于一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有1个未知数，且未知数的最高次数为1，两边为整式的等式，逐一分析选项． 【详解】解：A.含2个未知数，不符合题意； B.中未知数最高次数为2，不符合题意； C.符合一元一次方程的要求，符合题意； D.不是等式，不属于方程，不符合要求． 【跟踪专练1】请你写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】一元一次方程指只含有一个未知数，未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，结合题干给出的解和未知数系数写出符合要求的方程即可． 【详解】解：根据题意，满足解为且未知数系数为的一元一次方程有无数个， 例如：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】下列式子中，一元一次方程的个数为（     ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程，逐个判断式子即可得出结果． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，逐个判断： ∵是只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程，∴是一元一次方程． ∵不是等式，不属于方程，∴不是一元一次方程． ∵中未知数最高次数为2，∴不是一元一次方程． ∵含有两个未知数，∴不是一元一次方程． 对化简得， ∵整理后未知数最高次数为2， ∴不是一元一次方程． 综上，一元一次方程只有1个． 题型6.一元一次方程解的判定 【典例】当（　　）时，． A．9 B．7 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据等式的性质解方程， 先方程两边同时乘以8，再两边都减去36，然后根据两边同时除以可得答案． 【详解】解：方程两边同时乘以8，得， 两边都减去36，得， 两边同时除以，得． 故选：A． 【跟踪专练1】整式的值随x取值的不同而不同，下表是当x取不同值时所对应的整式的值，则关于x的一元一次方程的解为________． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 ax+b ﹣6 ﹣4 ﹣2 0 2 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次方程得解，正确得出一元一次方程是解题的关键．一元一次方程为，根据图表求得即可得解． 【详解】 由表可知：， 故答案为： 【跟踪专练2】已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型7.等式性质1 【典例】把方程写成用含x的代数式表示y的形式，则_____． 【答案】/ 【分析】把看作已知数，根据等式的性质变形即可． 【详解】解：用含x的代数式表示y的形式为：． 【跟踪专练1】运用等式的性质变形正确的是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】根据等式的性质逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故该选项错误； B．如果，等式两边同乘a，则，故该选项错误； C．如果，且时，则，故该选项错误； D．∵， ∴， ∴，故该选项正确． 【跟踪专练2】下面表示解方程的流程． ① ② 第①步变形的依据是___________； 【答案】等式的性质1 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：两边同时加上或减去一个数，等式仍然成立， 故第①步变形的依据是等式的性质1． 故答案为：等式的性质1． 【跟踪专练3】等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具有相同性质的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的性质对每个等式进行判断即可找出答案．解题的关键是掌握等式的基本性质． 【详解】解：观察图形，使等式的两边都加c，得到，利用等式性质1，所以成立． 故选：C． 题型8.等式性质2 【典例】某同学在书写化学方程式时，不慎将墨水滴落在“”上，请你帮助该同学计算出被遮盖的数是______． 【答案】4 【分析】根据等量关系求解． 【详解】解：由得的个数为， ∴被遮盖的数是4． 【跟踪专练1】若，则下列等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知，根据等式的基本性质变形，结合特殊值法即可判断各选项是否一定成立． 【详解】∵ ， ∴ ， A选项，取，，满足，但，因此A不一定成立； B选项，代入，得，仅当时等式成立，因此B不一定成立； C选项，将等式两边同时乘，得 ，因此选项C一定成立； D选项，代入，得，仅当时，因此D不一定成立． 【跟踪专练2】已知a、b、c、m都是有理数，且，，那么b与c满足的数量关系是：________． 【答案】// 【分析】本题考查了整式的加减运算，等式的性质，将题干中两式相加化简，即可得到b与c满足的数量关系． 【详解】解：，， 将两式相加得： ； 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将规格相同但重量不同的三种积木、、置于等臂天平两侧．若天平在图①所示的情况下处于平衡状态，则对图②、图③中天平的状态判断正确的是____（填序号）． 【答案】② 【分析】通过设未知数将天平平衡转化为等式，再利用等式性质验证图②、图③的平衡状态． 【详解】 解：设积木为，为，为， 据图①可知，当，即，则天平保持平衡； 图②左边重量为，右边重量为，由可得，所以天平处于平衡状态， 图③左边重量为，右边重量为，由图①可得，故天平不是平衡状态． 题型9.合并同类项及移项 【典例】若，则x的值为______． 【答案】/0.5 【详解】解：∵ ∴移项得 ∴等式两边同除以，得， 故x的值为． 【跟踪专练1】方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【跟踪专练2】定义新运算：,若，则x的值是______． 【答案】1 【详解】解：根据题意可得， 解得． 【跟踪专练3】关于的一元一次方程的解（    ） A．不存在 B．是一个两位的自然数 C．是一个大于的数 D．是一个大于且小于的数 【答案】D 【分析】通过拆项变形简化原方程，提取公因式后根据系数不为直接求解，再判断的范围得到答案． 【详解】解： ， ， 解得， ，符合选项D的描述， 故选：D． 题型10.去括号 【典例】方程：的解为______． 【答案】 【详解】解：， ， ， . 【跟踪专练1】解方程，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得：． 【跟踪专练2】定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算及解一元一次方程，解题关键是弄清题中的新定义．已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】关于x的方程的解是1，则k的值是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解、解一元一次方程等知识点，理解方程的解是方程成立的未知数的值是解题的关键． 将代入得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：将代入可得： ， ， ， ． 故选B． 题型11.去分母 【典例】方程的解是________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 【跟踪专练1】把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出方程所有分母的最小公倍数，给方程每一项都乘最小公倍数去掉分母，再对比选项得到正确结果． 【详解】解：原方程为， ∵方程分母为4和3， ∴所有分母的最小公倍数是12， ∵，，，， ∴去分母后得：． 【跟踪专练2】我们知道 ，因此关于x的方程 的解是_______． 【答案】 【分析】把方程化为，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【跟踪专练3】方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先提取公因式x，再利用裂项相消法化简左边的多项式，最后解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解： 解得：． 题型12.由一元一次方程的解,求参数 【典例】若是方程的解，则________． 【答案】 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得， 解得． 【跟踪专练1】若关于的一元一次方程的解为，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解的概念，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程即可求出的值． 【详解】∵是一元一次方程的解， ∴将代入方程得：， 整理得：， 解得：． 【跟踪专练2】已知a，b为定值，关于x的方程，无论k为何值，总是它的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将代入方程，化简后得到关于k的方程，由“无论k为何值，总是它的解”，可得k的系数和常数项均为零，从而求出a和b，进而可求的值． 【详解】解：∵关于x的方程，无论k为何值，总是它的解， ∴， ， ， ， ∵无论k为何值，总是它的解， ∴，此时， ∴，， ∴． 【跟踪专练3】已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 题型13.一元一次方程解的关系 【典例】若关于的方程的解为，那么关于的方程的解为___________． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元一次方程，通过比较两个方程的形式，设，将关于的方程转化为关于的方程，利用已知方程的解求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设，则关于的方程可化为 ， ∵关于的方程的解为． ∴关于的方程的解为． ∴， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】若关于的方程的解为，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将新方程中的看作原方程中的，利用已知原方程的解，建立关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程中，， 解得： ∴的解为． 【跟踪专练2】若方程和的解相同，则a的值为______． 【答案】 【分析】解方程得出方程的解，把得到的解代入方程，就得到一个关于的方程，从而求出的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入得， 故答案为：． 【跟踪专练3】王老师在如下所示的木板上写了两个关于的方程，并解出两个方程的解相差4，则的值为（    ） ①； ②． A．或 B．2或 C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】先分别求出两个方程的解，再根据两个解相差4分两种情况列方程，即可求出a的值． 【详解】解：对于方程①， ∵两边同乘6得， 整理得， ∴； 对于方程②， 移项得， ∴； ∵两个解相差4，分两种情况讨论： 情况1：方程①的解比方程②的解小4，则， 整理得， 解得； 情况2：方程①的解比方程②的解大4，则， 整理得， 解得， 因此a的值为或． 题型14.绝对值方程 【典例】若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【跟踪专练1】若，那么x的值为（    ） A． B．7 C．或6 D．或7 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质得到或，解之即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或， 故选：D． 【跟踪专练2】若方程是关于x的一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值，根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须为1且系数不能为0，由此列出条件求解． 【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程， ∴且， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若关于x的方程有三个解，则k的值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了含有绝对值的一次方程解法，熟练掌握绝对值代数意义是关键． 根据绝对值的代数意义进行分析判断即可． 【详解】解；∵， 或， 则或， ∵关于的方程有三个解， ∴或，即， ∵， ∴， ∴． 此时或，即或或， ∴或或符合题意， ∴． 故选：D． 解答题 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或． 【分析】本题考查了解一元一次方程，含绝对值的方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去绝对值符号得到，再分情况讨论，解一元一次方程，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得，； （2）解：∵， ∴， ①当时，， 若，即时，， 解得（舍）； 若即时，， 解得（舍）； ②当时，， 若，即时，， 解得； 若，即时，， 解得； 综上，原方程的解为或． 2．已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】24 【分析】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，即可求得a的值，然后代入代数式即可求解． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 则． 3．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值： 求关于的方程的解． 【答案】 【分析】观察表格数据，利用时，整式值为可以求出的值，然后再利用时，整式值为，代入的值求得的值，最后再解一元一次方程． 【详解】解：由题意可得： 当时，， ， 解得， 当时，， ， 解得， 关于的方程为， 解得． 4．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为， (1)求a的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答． （2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵方程的解为 ∴， 则， 解得． （2）解：由（1）得， ∴， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 5．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程与为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求m的值； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为n，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出第一个方程的解，再根据“友好方程”的定义进而即可求出m的值； （2）将两个方程的解表示出来，再根据“友好方程”的定义求解即可； （3）根据“友好方程”的定义分情况讨论两个解差的两种不同情况即可． 【详解】（1）解：， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， 方程的解为， 把代入，得， 解得； （2）解：， ， 解得， ， ， 解得， 两个方程是“友好方程”，解互为相反数， ， ， ； （3）解：两个方程是“友好方程”，其中一个解为， 另一个解为， 由题意得，两个解的差为， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴的值为或． 6．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人． (1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）； (2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键． （1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案； （2）根据题意可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人， ∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $