专题10 认识方程、一元一次方程的解法 暑假预习讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题10 认识方程、一元一次方程的解法 暑假预习讲义 ✺知识框架 方程基础认知：方程定义→方程的解与解方程→一元一次方程定义与判定标准 等式性质规则：等式性质1、等式性质2→性质的规范应用与变形禁忌 解方程步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 ✅ 本节核心要点为辨析方程概念、活用等式性质、规范解方程步骤。准确把握一元一次方程判定条件，严格遵循五步解题流程，杜绝符号错误、漏乘漏移等常见问题，即可完全掌握本节基础考点。 ✺学习目标 基础知识 1.理解并掌握方程、方程的解、一元一次方程的数学定义；2.熟练识记等式的两条基本性质；3.掌握解一元一次方程的标准步骤及每一步的理论依据。 能力提升 1.能够准确判别一元一次方程；2.能够依据等式性质完成等式合理变形；3.能够规范、完整求解基础一元一次方程，规避常见计算与步骤错误。 综合素养 初步建立方程建模数学思想，养成步骤规范、运算严谨、细心审题的良好解题习惯，为后续一元一次方程应用题、复杂方程学习夯实基础。 ✺题型归纳 题型1.判断各式是否是方程 题型2.列方程 题型3.判断是否是方程的解 题型4.已知方程的解，求参数 题型5.判断是否是一元一次方程 题型6.判断是否是一元一次方程解 题型7.等式的性质1 题型8.等式的性质2 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、方程的相关概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 判定双条件：①是等式，含有等号；②含有未知数。 2.方程的解与解方程 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3.一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。 三大判定条件 唯一未知数：方程中仅含一个未知字母； 次数为1：未知数最高次数为1，无高次项； 整式方程：分母、根号内均不含未知数。 标准形式：ax+b=0(a≠0)（a、b为常数，a≠0）。 知识点二、等式的基本性质 1.等式性质1 等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 字母表示：若a=b，a±c=b±c。 应用：主要用于方程移项、化简同侧常数项。 2.等式性质2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 字母表示：若a=b，则ac=bc；若a=b(c≠0)，则=。 注意：0不能作为除数，等式两边不可同时除以0。 应用：主要用于去分母、将未知数系数化为1。 知识点三、一元一次方程的解法 ▲解一元一次方程的核心目标是通过等价变形，将方程化为x=m（m为常数）的最简形式。标准解题步骤、依据及注意事项如下： 步骤1：去分母 求出方程中所有分母的最小公倍数，方程两边整体同乘最小公倍数，消去分母。 依据：等式性质2 注意：无分母的常数项必须同步相乘，禁止漏乘；分子为多项式时，去分母后需添加括号整体保护。 步骤2：去括号 依据乘法分配律与去括号法则，由内向外逐层去掉括号。 依据：去括号法则、乘法分配律 注意：括号前为负号，去括号后各项变号；括号外有系数，需与括号内每一项相乘，不得漏乘。 步骤3：移项 将含未知数的项移至方程左侧，常数项移至方程右侧。 依据：等式性质1 核心规则：移项必变号，同侧整理不变号，杜绝漏移、错号。 步骤4：合并同类项 分别合并方程左右两侧的同类项，将方程化简为ax=b(a≠0)的标准形式。 依据：合并同类项法则、乘法分配律 步骤5：系数化为1 方程两边同时除以未知数的系a，最终化简得到方程的解：x=。 依据：等式性质2 注意：分清被除数与除数位置；系数为负数时，准确判定结果符号。 四、易错提醒 概念混淆：代数式无等号，不是方程；不含未知数的等式不属于方程。 判定失误：含多个未知数、未知数次数不为1、分母含未知数，均不是一元一次方程。 等式性质误用：利用性质2变形时，除数必须保证非零。 去分母失误：常数项漏乘、多项式分子未整体括号保护。 移项易错：移项不变号、同侧项乱变号，是高频扣分点。 去括号失误：负号去括号漏变号、系数漏乘括号内单项。 ✺题型精讲 题型1.判断各式是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 2．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 3．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 题型2.列方程 1．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 2．与的和的倍是，则可用方程表示为______． 3．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 题型3.判断是否是方程的解 1．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 2．___________（填“是”或“不是”）方程的解 3．判断和是不是方程的解． 题型4.已知方程的解，求参数 1．已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知是方程的解，则a的值为_______． 3．已知是关于的方程的解，求的值． 题型5.判断是否是一元一次方程 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是关于的一元一次方程，则_______． 3．下列方程中，哪些是一元一次方程？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 题型6.判断是否是一元一次方程解 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 2．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程_______ 3．检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 题型7.等式的性质1 1．已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 2．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 3．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式． (1)； (2)． 题型8.等式的性质2 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．小亮碰到这样一道解方程的题：，他在方程的两边都除以，竟然得到，请你说出他错在哪里_________． 3．利用等式的性质解方程：． 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 2．关于的一元一次方程的解是______． 3．定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 1．方程的解为（　　） A． B． C． D． 2．解一元一次方程的解为_______． 3．解方程：． 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 1．把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 2．若关于的方程与方程的解相同，则的值为___________． 3．解方程：． 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 1．已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 2．关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为_____、_____、______． 3．已知是方程的解．解方程． 题型13.一元一次方程解的关系 1．代数式的值随x的取值而发生变化（a、b表示非零常数），如表，则关于x 的一元一次方程的解为（   ） x …… 0 1 …… …… 2 4 6 …… A． B． C． D． 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 3．规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 题型14.绝对值方程 1．若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 2．若有理数满足，则的值为__________． 3．对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． ✺巩固测试 一、单选题 1．某数的3倍比它的一半大2，若设某数为 x，则方程为（　　） A． B． C． D． 2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列方程变形正确的是（    ） A．方程移项，得 B．方程去括号，得 C．方程可化为 D．方程系数化为1，得 4．若关于x的方程的解为，则k的值是（   ） A． B． C．3 D．6 5．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 二、填空题 6．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 7．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为______． 8．已知，则代数式的值为______． 9．若方程和的解相同，则a的值为______． 10．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 12．已知，当，时，A的值为．求b的值． 13．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 14．我们规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“完美方程”．请解答下列问题： (1)判断方程是否为“完美方程”，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是“完美方程”，求的值． 15．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 认识方程、一元一次方程的解法 暑假预习讲义 ✺知识框架 方程基础认知：方程定义→方程的解与解方程→一元一次方程定义与判定标准 等式性质规则：等式性质1、等式性质2→性质的规范应用与变形禁忌 解方程步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1 ✅ 本节核心要点为辨析方程概念、活用等式性质、规范解方程步骤。准确把握一元一次方程判定条件，严格遵循五步解题流程，杜绝符号错误、漏乘漏移等常见问题，即可完全掌握本节基础考点。 ✺学习目标 基础知识 1.理解并掌握方程、方程的解、一元一次方程的数学定义；2.熟练识记等式的两条基本性质；3.掌握解一元一次方程的标准步骤及每一步的理论依据。 能力提升 1.能够准确判别一元一次方程；2.能够依据等式性质完成等式合理变形；3.能够规范、完整求解基础一元一次方程，规避常见计算与步骤错误。 综合素养 初步建立方程建模数学思想，养成步骤规范、运算严谨、细心审题的良好解题习惯，为后续一元一次方程应用题、复杂方程学习夯实基础。 ✺题型归纳 题型1.判断各式是否是方程 题型2.列方程 题型3.判断是否是方程的解 题型4.已知方程的解，求参数 题型5.判断是否是一元一次方程 题型6.判断是否是一元一次方程解 题型7.等式的性质1 题型8.等式的性质2 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 题型13.一元一次方程解的关系 题型14.绝对值方程 题型15.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、方程的相关概念 1.方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 判定双条件：①是等式，含有等号；②含有未知数。代数式、不含未知数的等式均不属于方程。 2.方程的解与解方程 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 解方程：求方程的解的过程叫做解方程。 3.一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。 三大判定条件 唯一未知数：方程中仅含一个未知字母； 次数为1：未知数最高次数为1，无高次项； 整式方程：分母、根号内均不含未知数。 标准形式：ax+b=0(a≠0)（a、b为常数，a≠0）。 知识点二、等式的基本性质 1.等式性质1 等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式。 字母表示：若a=b，a±c=b±c。 应用：主要用于方程移项、化简同侧常数项。 2.等式性质2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。 字母表示：若a=b，则ac=bc；若a=b(c≠0)，则=。 注意：0不能作为除数，等式两边不可同时除以0。 应用：主要用于去分母、将未知数系数化为1。 知识点三、一元一次方程的解法 ▲解一元一次方程的核心目标是通过等价变形，将方程化为x=m（m为常数）的最简形式。标准解题步骤、依据及注意事项如下： 步骤1：去分母 求出方程中所有分母的最小公倍数，方程两边整体同乘最小公倍数，消去分母。 依据：等式性质2 注意：无分母的常数项必须同步相乘，禁止漏乘；分子为多项式时，去分母后需添加括号整体保护。 步骤2：去括号 依据乘法分配律与去括号法则，由内向外逐层去掉括号。 依据：去括号法则、乘法分配律 注意：括号前为负号，去括号后各项变号；括号外有系数，需与括号内每一项相乘，不得漏乘。 步骤3：移项 将含未知数的项移至方程左侧，常数项移至方程右侧。 依据：等式性质1 核心规则：移项必变号，同侧整理不变号，杜绝漏移、错号。 步骤4：合并同类项 分别合并方程左右两侧的同类项，将方程化简为ax=b(a≠0)的标准形式。 依据：合并同类项法则、乘法分配律 步骤5：系数化为1 方程两边同时除以未知数的系a，最终化简得到方程的解：x=。 依据：等式性质2 注意：分清被除数与除数位置；系数为负数时，准确判定结果符号。 四、易错提醒 概念混淆：代数式无等号，不是方程；不含未知数的等式不属于方程。 判定失误：含多个未知数、未知数次数不为1、分母含未知数，均不是一元一次方程。 等式性质误用：利用性质2变形时，除数必须保证非零。 去分母失误：常数项漏乘、多项式分子未整体括号保护。 移项易错：移项不变号、同侧项乱变号，是高频扣分点。 去括号失误：负号去括号漏变号、系数漏乘括号内单项。 ✺题型精讲 题型1.判断各式是否是方程 1．下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的识别，根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、不是等式，故不是方程； B、是不等式，不是等式，故不是方程； C、 是等式且含有未知数x，故是方程； D、 是等式但不含未知数，故不是方程． 故选C． 2．在①，②，③，④，⑤，⑥中，等式有__________，方程有__________．（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【分析】根据等式、方程的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，有等号、有未知数，是等式也是方程； ②：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③：有等号、无未知数，只是等式； ④：是小于号，不是等式，也不是方程； ⑤：是大于号，不是等式，也不是方程； ⑥：有等号、有未知数，是等式也是方程． 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥． 3．下面式子中，是方程的是______；①；②；③；④． 【答案】①④ 【分析】本题考查了方程的概念．含有未知数的等式叫作方程，据此判断即可． 【详解】解：①，④符合方程的概念，是方程． ②不是等式，③不含未知数，都不是方程． 故答案为：①④． 题型2.列方程 1．《算法统宗》是中国古代数学名著，“盈亏”卷中有题译文如下：现有一群人共同买一个物品，每人出9钱，还余5钱；每人出8钱，还差3钱，问人数、物价各是多少？设人数为人，根据题意可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种出钱方式下，物价相等，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意可列出方程为． 2．与的和的倍是，则可用方程表示为______． 【答案】 【详解】解：首先，“与的和”用代数式表示为，再求该和的倍，即给此代数式乘以， 根据题意该结果等于，因此可列方程为． 3．根据下列情境中的等量关系列出一个等式： (1)一个正方形花圃的边长为，若边长增加，则所得新正方形花圃的周长是． (2)长方形的长为，宽为，面积为； (3)某商品标价为x元，打八折后再降价12元，售价为108元； (4)小华去文具店，买x支铅笔和y本笔记本共花12元，已知一支铅笔2元，一本笔记本3元． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查列方程，解题的关键是理解题意； （1）根据正方形的周长公式可进行求解； （2）根据长方形的面积公式可进行求解； （3）根据打折问题可求解； （4）根据题意可直接列方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：； （3）解：由题意得：； （4）解：由题意得：． 题型3.判断是否是方程的解 1．是下面（     ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质即可判断． 【详解】解：A、当时，，故选项不符合题意； B、当时，，，，故选项不符合题意； C．当时，，故选项不符合题意； D．当时，，故选项符合题意． 2．___________（填“是”或“不是”）方程的解 【答案】不是 【分析】本题考查了方程的解的概念，熟练掌握方程的解的概念．把分别代入方程的左右两边计算，即可判断答案． 【详解】解：当时， 左边， 右边， 左边右边， 不是方程的解． 故答案为：不是． 3．判断和是不是方程的解． 【答案】不是方程的解，是方程的解，见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 将和分别代入方程，判断等号两边值是否相等即可解答． 【详解】解：将代入方程的左边，得左边， ∴左边右边， 因此不是方程的解； 将代入方程的左边，得左边， ∴左边=右边， 因此是方程的解． 题型4.已知方程的解，求参数 1．已知是方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解的定义进行计算． 【详解】解：是方程的解， ， 整理得：， 解得：． 2．已知是方程的解，则a的值为_______． 【答案】 【分析】把代入方程，进行求解即可. 【详解】解：把代入方程，得， 解得. 3．已知是关于的方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于m的方程，求得m的值，然后代入代数式即可求解，熟练掌握方程的解的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵是的解， ∴将代入方程得，， ∴． 题型5.判断是否是一元一次方程 1．下列方程中，是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且所含未知数的项的最高次数为1的整式方程”，逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵ 选项A中，方程含未知数的项最高次数为2，不符合一元一次方程定义，∴A不符合题意. ∵ 选项B中，方程不是整式方程，不符合一元一次方程定义，∴B不符合题意. ∵ 选项C中，方程含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴C不符合题意. ∵ 选项D中，方程只含一个未知数，所含未知数的项最高次数为1，且是整式方程，符合一元一次方程定义，∴D符合题意. 2．已知是关于的一元一次方程，则_______． 【答案】 【分析】依据一元一次方程的定义，确定二次项系数为0且一次项系数不为0，进而求出的值即可． 【详解】解：根据一元一次方程的定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，因此可得：且． 由，得，解得或． 由，得，解得． 因为和均不等于，都符合条件， 所以． 3．下列方程中，哪些是一元一次方程？ ①，②，③，④，⑤，⑥． 【答案】②和③ 【分析】本题考查了一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程），逐个判断每个方程是否符合条件． 【详解】解：方程①含有两个未知数，不符合定义； 方程②只含有一个未知数且次数为1，是整式方程，符合定义； 方程③只含有一个未知数且次数为1，是整式方程，符合定义； 方程④未知数的最高次数为2，不符合定义； 方程⑤含有两个未知数且次数为2，不符合定义； 方程⑥分母含有未知数，不符合定义． 题型6.判断是否是一元一次方程解 1．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 2．写出一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程_______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：依题意，一个解为，且未知数的系数为的一元一次方程 ∴满足题意， 故答案为：（答案不唯一） 3．检验括号内的数是不是方程的解． (1)（，）； (2)（ ） 【答案】(1)不是方程的解；不是方程的解 (2)不是方程的解；不是方程的解 【分析】本题主要考查的是方程的解的定义，掌握方程的解的定义是解题的关键． （1）将x的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论； （2）将y的值代入方程，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； （2）解：把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解； 把代入方程，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等， ∴不是原方程的解． 题型7.等式的性质1 1．已知，根据等式的性质变形为，则，必须符合的条件是（    ）． A． B．， C． D．，可以是任意有理数或整式 【答案】C 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数或者式，等式仍成立，据此判断即可． 【详解】解：两边都减去，得， ∵等式可变形为， ∴， ∴． 2．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 3．请利用等式的基本性质，把下列方程化成的形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质，是解题的关键． （1）方程两边同减3，得出答案即可； （2）先方程两边同加4，然后方程两边同减，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 方程两边同减3得：； （2）解：， 方程两边同加4得：， 方程两边同减得：． 题型8.等式的性质2 1．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，需根据等式的两个性质（等式两边同时加或减同一个数或式子，等式仍成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数或式子，等式仍成立）逐一分析选项． 【详解】解：∵等式性质1：等式两边同时加或减同一个数（或式子），等式仍成立； 等式性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或式子），等式仍成立． A选项：若，根据等式性质1，两边应加（或减）同一个数，而左边加4，右边减4，不符合性质，∴A错误． B选项：若，当时，与可以不相等，例如，但，∴B错误． C选项：若，根据等式性质1，两边同时加，得，∴，即，∴C正确． D选项：若，根据等式性质2，两边同时乘6，得，并非，∴D错误． 故选：C． 2．小亮碰到这样一道解方程的题：，他在方程的两边都除以，竟然得到，请你说出他错在哪里_________． 【答案】忽视了可能为 【分析】方程两边除以，没有考虑是否为． 【详解】解：小亮碰到一道解方程的题目：， 他在方程的两边都除以，竟然得到， 错误的原因是：忽视了可能为． 3．利用等式的性质解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质1，等式的性质2，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用等式的性质1，得出，再利用等式的性质1得到，然后合并同类项，再利用等式的性质2求解． 【详解】解：两边同时减3，得：（等式的基本性质1）， 两边同时减，得：（等式的基本性质1）， 合并同类项，得：（合并同类项法则）， 两边同时乘，得（等式基本性质2）． 题型9.解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 1．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【答案】A 【分析】先明确等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．对比原方程和移项后的方程，分析方程两边的变化．因为原方程右边有，移项后右边没有、左边出现，所以判断方程两边同时进行的运算． 【详解】解：两边同时减去， 得， 合并同类项得． 2．关于的一元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程的定义，可得二次项系数为，一次项系数不为，先求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，且， 解得，且， ， 将代入原方程得：， 解得， 即关于的一元一次方程的解是． 3．定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：取，， 此时，， ∵， 与不一定相等． 【分析】（1）将，代入新运算定义式计算． （2）根据新运算定义列一元一次方程求解． （3）选取具体有理数代入新运算证明结论． 【详解】（1）解：由新运算定义，代入，得： ； （2）解：根据题意得：， 解得； （3） 略． 题型10.解一元一次方程（二）——去括号 1．方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去括号得， 移项得， 合并同类项，得， 解得． 2．解一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】按照解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】解： 去括号得． 移项得． 合并同类项得． 系数化为得． 3．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ． 题型11.解一元一次方程（三）——去分母 1．把方程去分母，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先找出方程所有分母的最小公倍数，给方程每一项都乘最小公倍数去掉分母，再对比选项得到正确结果． 【详解】解：原方程为， ∵方程分母为4和3， ∴所有分母的最小公倍数是12， ∵，，，， ∴去分母后得：． 2．若关于的方程与方程的解相同，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键． 先解方程 得到 的值，然后将 代入方程 ，求解即可． 【详解】解：，解得， 方程与方程的解相同， 是方程的解， 则，解得． 故答案为：． 3．解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，计算即可得出结果． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 题型12.已知一元一次方程的解，求参数 1．已知是关于x的方程的解，则a的值是（　　） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据方程解的定义，将已知解2代入原方程，解关于a的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解 ∴把代入原方程，得 解得 ． 2．关于x的方程的解是自然数，则整数k的值为_____、_____、______． 【答案】 0 6 8 【详解】先解方程，得到一个含有字母k的解，再根据“解是自然数”作答即可. 【解答】解：解得， ∵关于x的方程的解是自然数， ∴k的值可以为：0、6、8． 3．已知是方程的解．解方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，把代入方程中，解方程求出a的值，再把a的值代入方程中，解方程即可得到答案． 【详解】解：把代入方程得，解之得， 把代入得， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型13.一元一次方程解的关系 1．代数式的值随x的取值而发生变化（a、b表示非零常数），如表，则关于x 的一元一次方程的解为（   ） x …… 0 1 …… …… 2 4 6 …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元一次方程的解，先将给定的一元一次方程变形为，再根据表格中的值推出的值，找到对应时的值，即为方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，即， 由表格可知，当时，， ∴关于的一元一次方程的解为， 故选：C． 2．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为______． 【答案】0 【分析】本题考查换元法解方程，将第二个方程转化为，进而得到方程的解满足，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴方程的解，满足， ∴； 故答案为：0． 3．规定：若两个一元一次方程所含未知数相同，并且其中一个方程的解是另一个方程解的倍，则这个方程叫作另一个方程的倍解方程．如一元一次方程的解是，的解是．是的倍，因此一元一次方程是的倍解方程． (1)写出一个方程：的倍解方程： ； (2)已知关于的一元一次方程是的倍解方程，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解决本题的关键是根据倍解方程的定义找到数量之间的关系． (1)解方程可得：一元一次方程的解是，根据倍解方程的定义可知的倍解方程的解应为，写出一个符合要求的解即可； (2)分别求出两个方程的解，根据倍解方程的定义得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：一元一次方程的解是， 根据倍解方程的定义，其倍解方程的解为， 一元一次方程的倍解方程是． 故答案为：(答案不唯一)； （2）解：解一元一次方程， 可得：， 解一元一次方程， 可得：， 一元一次方程是的倍解方程， ， 解得：． 题型14.绝对值方程 1．若关于x的方程有三个整数解，则的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程，难度较大，根据绝对值的性质可得即，再根据的范围，及方程有三个整数解，来判断上述两个绝对值方程的解得情况，从而得出的值． 【详解】解：由题意得或， 即或， 因为方程有解，所以， 当时，， 故方程总有两个不同的解， 若原方程有三个整数解，则方程必须只有一个解，因此，解得， 将代入检验，解为，符合题意。 故选：C． 2．若有理数满足，则的值为__________． 【答案】1或9 【分析】本题考查含绝对值的方程、解一元一次方程、代数式求值，解绝对值方程需分情况讨论a的符号，然后解一元一次方程，最后代入a的值计算平方． 【详解】解：当时，，代入方程，得 解得，则； 当时，，代入方程得， 解得，则． 故答案为：1或9． 3．对于有理数，，，我们规定：． 例如：． 【知识运用】（1）①计算：________． ②若，求的值． 【综合运用】（2）若，求的值． 【知识迁移】（3）若，则的值为________． 【知识拓展】（4）当有且只有三个不相等的解时，直接写出的值． 【答案】 （1）① 1；② 3或；（2）3或；（3）4或2；（4）1 【分析】本题主要考查了新定义运算、含有绝对值的方程、解一元一次方程等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据新定义运算法则求解即可；②根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （2）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （3）根据新定义运算法则列出关于的方程，求解即可； （4）由题意得，得到或，根据方程有且只有三个不相等的解可知有一个绝对值方程为0，继而分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴，即， ∴的值为或； （2）解：∵， ， ， ∴或， ∴或， ∴的值为或； （3）解：∵， ， ， 或， ∴或， 故答案为：或； （4）解：∵， ， 或， 或， 原方程存在三个不等解， 或， ，， ∴， ， ， 或， 或或（符合题意）， ∴的值为1． ✺巩固测试 一、单选题 1．某数的3倍比它的一半大2，若设某数为 x，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确地理解题意并列出方程是解题的关键．根据题意，某数的3倍减去它的一半等于2，据此列出方程． 【详解】解：设某数为，则3倍为，一半为， 由题意得，， 故选：A． 2．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质，逐一判断各选项变形是否正确，即可找出错误选项.等式的基本性质为：等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立；等式两边同时乘(或除以同一个不为0的数)，等式仍然成立． 【详解】解：A、，等式两边同时除以不为0的，可得，变形正确，不符合题意； B、，等式两边同时乘，可得，变形正确，不符合题意； C、，等式两边同时乘，应得，原变形错误，符合题意； D、，等式两边同时减，可得，变形正确，不符合题意． 3．下列方程变形正确的是（    ） A．方程移项，得 B．方程去括号，得 C．方程可化为 D．方程系数化为1，得 【答案】C 【分析】根据解一元一次方程的步骤逐一判断即可． 【详解】解：A．方程移项，得，故A错误； B．方程去括号，得，故B错误； C．方程，整理得，解得，故C正确； D．方程系数化为1，得，故D错误． 4．若关于x的方程的解为，则k的值是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程即可计算求出k的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程，得， 整理得 解得． 5．已知是一元一次方程的解，则的值为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键． 将代入方程得到，再提取公因式2即可求解 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号） 【答案】②④⑤⑥ 【分析】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当时，①的左边，右边，左边右边，所以不是①的解； 当时，②的左边，右边，左边右边，所以是②的解； 当时，③的左边，右边，左边右边，所以不是③的解； 当时，④的左边，右边，左边右边，所以是④的解； 当时，⑤的左边，右边，左边右边，所以是⑤的解； 当时，⑥的左边，左边右边，所以是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 7．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及化简绝对值，含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程为一元一次方程，据此即可作答． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， 则． 8．已知，则代数式的值为______． 【答案】5 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，整体代入求值，解题的关键是掌握等式的基本性质． 通过对已知等式进行变形，求出的值，再整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：已知， 移项得， 根据等式的性质，两边同时除以， 得， 将代入， 得， 故答案为：5． 9．若方程和的解相同，则a的值为______． 【答案】 【分析】解方程得出方程的解，把得到的解代入方程，就得到一个关于的方程，从而求出的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入得， 故答案为：． 10．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握整体法，是解题的关键． 将第一个方程变形得到，第二个方程变形得到，从而建立等式，代入求解． 【详解】由，移项得，即． 由，移项得． 因此，即． 代入，得，所以． 故答案为：． 三、解答题 11．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． （2）方程去分母，去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：； （2）解： 两边同时乘以，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：． 12．已知，当，时，A的值为．求b的值． 【答案】 【分析】本题考查已知代数式的值，求字母的值，掌握相关知识是解题关键． 将，代入，可得关于的方程，解出该方程即可． 【详解】解：∵，时，A的值为， ∴， 化简得， 解得． 13．若是关于的一元一次方程 (1)求的值，并写出这个一元一次方程； (2)判断是否为方程的解． 【答案】(1)，方程是 (2)是 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． （1）根据只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常数且），可得m的值； （2）根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 则这个一元一次方程为． （2）解：把代入， 得， 故是方程的解． 14．我们规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程为“完美方程”．请解答下列问题： (1)判断方程是否为“完美方程”，并说明理由； (2)若关于的一元一次方程是“完美方程”，求的值． 【答案】(1) 是“完美方程”， 理由为：解方程，得， ∵， ∴方程是为“完美方程”； (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法及新定义方程解法，理解新定义及掌握一元一次方程解法是解题的关键． （1）根据“完美方程”定义判断即可得到答案； （2）求出含参数的方程的解，再由“完美方程”求出方程的解，两个列等式即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：解方程得， ∵一元一次方程是“完美方程”， ∴， 解得：． 15．先阅读下列解题过程，然后解答问题（1），（2），（3）． 例：解绝对值方程： 解：讨论：①当时，原方程可化为，它的解是． ②当时，原方程可化为，它的解是． ∴原方程的解为和． (1)问题（1）：依例题的解法，方程的解是__________． (2)问题（2）：尝试解绝对值方程：． (3)问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解绝对值方程，理解题干中解绝对值方程的方法是解题的关键． （1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （3）分为三种情况：①当时，②当时，③当时，去掉绝对值符号后求出即可． 【详解】（1）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，解得， 方程的解是或， 故答案为：或； （2）①当时，原方程可化为，解得, ②当时，原方程可化为，它的解是， 方程的解为或； （3）①当时，， 原方程可化为，解得； ②当时，， 原方程可化为 ，化简得 ，该等式不成立，故方程在此范围内无解 ③当时，， 原方程可化为，解得； 综上，方程：的解为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $