专题4.4 线段上动点问题与角的动态几何问题（挑战压轴题）8个高频考点讲训练 共44题-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练（2024新教材）

专题4.4 线段上动点问题与角的动态几何问题（挑战压轴题） （8个高频考点训练 共44题） 同学你好，该套练习针对平面几何图形章节线段上点运动类问题强化巩固复习，数形结合思想是学习几何与代数的能力提升进阶，，该套练习精选全国各地名校真题，模拟题以及期中期末考等练习中常考，易错，高频类等40道习题，难度分层！逐步进阶，跨越式提升计算能力，整体难度中等及偏上，非常适合培优拔尖的同学自学使用。相信该套资料能够帮助到你！ 高频考点01：线段上动点之定值问题 1 高频考点02：线段上动点之计算速度问题 13 高频考点03：线段上动点之计算时间问题 18 高频考点04：线段上动点之规律探究问题 27 高频考点05：角的动态几何之角的数量关系问题 31 高频考点06：角的动态几何之角的定值问题 39 高频考点07：角的动态几何之与时间相关问题 48 高频考点08：角的动态几何之与规律探究问题 59 高频考点01：线段上动点之定值问题 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【思路引导】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【思路引导】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【规范解答】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，7 (2)点Q的运动速度是或者 (3)不变，值为2 【思路引导】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值； （2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答； （3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答． 【规范解答】（1）解：因为 所以， 因为b是最小的正整数， 所以； （2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点， ∴点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； ∴点P运动的时间为， ∴点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， ∴点P的运动时间是， ∴点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是或者； （3）解：不变，理由如下： 设运动时间为t秒，此时，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点F是的中点，， ∴， ∴，        ． ∴． 【考点剖析】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（22-23七年级上·福建福州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 【答案】(1)8， (2) (3)的值不会发生变化，详见解析 【思路引导】（1）根据非负数的性质，可得，即可求解； （2）先求出，可得，即可求解； （3）根据题意可得依题意得：，从而得到，，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得：； 故答案为：8， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点 C 表示的数为； （3）解：的值不会发生变化， 依题意得：， ∴，， ∴， ∴ 的值不会发生变化． 【考点剖析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和与差，数轴上的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． 5．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)为定值24； (3)． 【思路引导】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可； （2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论； （3）利用，，，，再根据MN=PM-PN即可求解． 【规范解答】（1）解：∵M是线段AP的中点，∴， ， ∵， ∴， 解得． （2）解：∵，，， ∴， 即为定值24． （3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧． ∵，，，， ∴， 所以MN的长度无变化是定值． 【考点剖析】本题是动点问题，考查了两点间的距离，解答的关键是用含时间x的式子表示出各线段的长度． 6．（20-21七年级上·广东清远·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【思路引导】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解； （2）根据题意列出方程，求解即可； （3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【规范解答】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为， 点P表示的数为， 故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得， ， 解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ， ∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【考点剖析】本题考查数轴上的动点问题，掌握中点的定义、一元一次方程的应用是解题的关键． 7．（20-21七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0． 【思路引导】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值； （2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案； ②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案． 【规范解答】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0， ∴m－12=0，n－4=0， ∴m=12，n=4； 故答案为：12；4． （2）由题意，①∵AB=12，CD=4， ∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点 ∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD ∴MN=CM+CD+DN =AC +CD+BD =AC +CD+BD+CD =(AC +CD+BD)+CD =(AB +CD) =8； ②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a， 依题意有： 解得：a=2 在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t， ∵E是线段BC的中点 ∴CE= BE=BC=2+t； Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时 F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0 ∴FC-5 DE =0； Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时 FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t ∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0； Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时 FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2 ∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0； 综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0． 【考点剖析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析． 高频考点02：线段上动点之计算速度问题 8．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了线段的和差计算，点M和点N相遇时，只会在线段上相遇，且有两个相遇点，点O左侧和点O右侧，据此讨论求解即可． 【规范解答】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 9．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【思路引导】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【规范解答】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【考点剖析】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 10．如图，在射线上有三点A，B，C，满足．点P从点O出发，沿射线方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）运动10s时，点P与点Q的距离为20cm，求点Q的运动速度； （2）当点Q运动速度为3cm/s时，经过多长时间P，Q两点的距离为70cm？ （3）当时，点Q恰巧运动到线段的中点，求点Q的运动速度．    【答案】（1）点Q的运动速度6cm/s；（2）经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）点Q点速度为cm/s或cm/s． 【思路引导】（1）根据已知条件可得OC点距离为90cm，由点Q运动到点O时停止运动可得P、Q两点在相遇前相距20cm，根据速度=距离÷时间即可得答案； （2）分相遇前相距70cm和点Q到达点O后，点P继续运动，两点相距70cm两种情况，分别求出时间即可； （3）根据点Q为AB中点可求出点Q点运动距离，分点P在线段AB上和在AB的延长线上两种情况，可分别求出点P点运动时间，进而可分别求出点Q点运动速度． 【规范解答】（1）∵， ∴OC=OA+AB+BC=90cm， ∵运动10s，点P点运动速度为1cm/s， ∴点P运动点距离为10cm， ∵点Q运动到点O时停止运动， ∴P、Q两点在相遇前相距20cm， ∴（90-20-10×1）÷10=6cm/s， 答：点Q的运动速度6cm/s． （2）设运动时间为t秒， ①当P、Q两点在相遇前相距70cm时， ∵P、Q两点的运动速度分别为1cm/s和3cm/s， ∴t+3t=90-70， 解得：t=5， ②当P、Q两点在相遇后相距70cm时， ∴t+3t=90+70， 解得：t=40， ∵点Q运动到O点时停止运动，点Q的速度为3cm/s， ∴点Q最多运动30秒， 当点Q运动30秒到点O时PQ=OP=30cm， ∴点P继续运动（70-30）÷1=40s， ∴t=30+40=70s， ∴经过5s或70s两点相距70cm． （3）∵点Q恰巧运动到线段的中点， ∴BQ=AB=30cm， ∴CQ=BC+BQ=40cm， ①当点P在线段AB上时， ∵，AB=60cm， ∴AP=40cm， ∴OP=OA+PA=60cm， ∴t=60s， ∴点Q的速度为40÷60=cm/s，    ②如图，当点P在AB延长线时， ∵，AB=60cm， ∴AP=2AB=120cm， ∴OP=OA+AP=140cm， ∴t=140s， ∴点Q速度为40÷140=cm/s，    综上所述：点Q点速度为cm/s或cm/s． 【考点剖析】本题考查线段的和差关系，熟记距离=速度×时间，灵活运用数形结合点思想时解题关键． 11．线段AB=60厘米．    （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求： ①几分钟后，P,Q两点相遇？ ②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？ （2）如图2，AO=PO=8厘米，．现将P点绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P,Q两点也能相遇，求点Q的速度． 【答案】(1)①6;②4或8;(2)22(厘米/分) 【思路引导】(1)①算出P,Q总速度,利用总路程除以总速度即可算出相遇所花费的时间; ②先算出两点相距20厘米所需要花费的时间,再在相遇的前后分别讨论出相距20厘米的时间即可． (2)先算出点P在AB线段上所需要的时间,此时AP为18厘米,则PB为44厘米,再利用路程÷时间算出速度即可． 【规范解答】(1)①60÷(4+6)=60÷10=6(分)． 答:6分钟后,P,Q两点相遇． ②20÷(4+6)=20÷10=2(分)． 6－2=4(分),6+2=8(分) 答:4分钟或8分钟后,P,Q两点相距20厘米． (2)40÷20=2(分),即2分钟后P点在AB直线上． 360÷20=18(分),即P点绕一圈需要花费18分钟． 由以上可知18分钟后运动早已停止,所以P,Q若要相遇只能在2分钟后． 当P点在AB上时,AP=16厘米．PB=60－16=44厘米． 44÷2=22(厘米/分)． 答:点Q的速度为:22(厘米/分)． 【考点剖析】本题考查线段上的动点问题,关键在于熟用速度公式,分类讨论各种情况． 12．已知线段AB=35cm （1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？ （2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？ （3）如图2，AO=4cm，PO=3cm，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转二周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度. 【答案】（1）7秒；（2）5秒或9秒；（3）cm/s或2.8cm/s或cm/s或cm/s 【思路引导】（1）设经过t秒点P、Q两点能相遇，由题意得：P点t秒的运动距离+Q点t秒的运动距离=35cm，根根据题意可得方程； （2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，分相遇前和相遇后两种情况建立方程求出其解即可； （3）由于点P，Q只能在直线AB上相遇，而点P旋转到直线AB上的时间分两种情况，所以根据题意列出方程分别求解． 【规范解答】解：（1）设经过ts后，点P、Q相遇． 依题意，有2t+3t=35， 解得：t=7． 答：经过7秒钟后，点P、Q相遇； （2）设经过xs，P、Q两点相距10cm，由题意得 2x+3x+10=35或2x+3x-10=35， 解得：x=5或x=9． 答：经过5秒钟或9秒钟后，P、Q两点相距10cm； （3）点P，Q只能在直线AB上相遇， 则点P旋转到直线AB上的时间为：秒，秒，秒，秒. 设点Q的速度为ycm/s，则有4y=35-1，解得:; 或10y=35-7，解得； 或16y=35-1，解得； 或22y=35-7，解得 答：点Q的速度为cm/s或2.8cm/s或cm/s或cm/s. 【考点剖析】本题主要考查了相遇问题的数量关系在实际问题中的运用，行程问题的数量关系的运用，分类讨论思想的运用，解答时根据行程问题的数量关系建立方程是关键． 高频考点03：线段上动点之计算时间问题 13．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【思路引导】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【规范解答】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 14．如图，是线段上一点，，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到． 求的长； 设点出发时间为， ①求点与点重合时(未到达点)， 的值； ②直接写出点与点相距时，的值． 【答案】（1）AB的长为；（2）①；②或 【思路引导】（1）设AB的长，根据题意列出方程，求解即得； （2）①当P，Q重合时，P 的路程=Q的路程+5，列出方程式即得； ②点与点相距时，分P追上Q前，和追上Q后两种情况，分别列出方程式求解即得． 【规范解答】解：设，由题意得 解得 的长为， ①由题意得 解得 时点与点重合， 故答案为：； ②P追上Q前，3t+2=t+5, 解得， P追上Q后，3t-2=t+5, 解得， 综上：或． 【考点剖析】考查一元一次方程的应用，利用路程=速度时间的关系式，找到变量之间的等量关系列出方程，求解，注意追及问题分情况讨论的情况． 15．已知，数轴上两点A，B表示的数分别是9和-6，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点B运动，运动到点B停止； （1）在数轴上表示出A，B两点，并直接回答：线段AB的长度是 ； （2）若满足BP=2AP，求点P的运动时间； （3）在点P运动过程中，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，请计算线段MN的长度，并说出线段MN与线段AB的数量关系； （4）若另一动点Q同时从B点出发，运动的速度是每秒2个单位，几秒钟后，线段PQ长度等于5？ 【答案】（1）15；（2）；（3），；（4）当2秒或4秒时，线段PQ的长度等于5 【思路引导】（1）线段AB的长度是指A、B两点之间的距离，据此进一步计算即可； （2）设P运动时间为t，则AP=3t，P表示的数为9−3t，然后进一步求出BP，最后列出方程求解即可； （3）根据点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点得出，，然后进一步求解即可； （4）分两种情况讨论即可：①Q往数轴正方向运动时；②Q往数轴负方向运动时. 【规范解答】（1） ， 故答案为：15 ； （2）设P运动时间为t秒，则AP=3t， ∵BP=2AP，     ∴BP=6t， ∴3t+6t=15， ∴； ∴点P运动时间为秒； （3）∵点M为线段AP的中点， ∴， ∵点N为线段BP的中点， ∴， ∴MN=+=+== ∴MN与线段AB的数量关系为：； （4）①当点Q往数轴正方向运动时，设运动时间为x秒， 则Q点表示的数为：，P点表示的数为：， 当Q点在P点左侧时，PQ==，解得； 当Q点在P点右侧时，PQ=，解得； ②当点Q往数轴负方向运动时，设运动时间为y秒， 则Q点表示的数为：，P点表示的数为：， ∴PQ=，解得， 此时P点不在AB线段上，不符合题意，舍去； 综上所述，当运动2秒或4秒时，线段PQ的长度等于5. 【考点剖析】本题主要考查了数轴上的动点问题，正确掌握题中动点的运动规律是解题关键. 16．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．请利用以上结论解决下列问题． （1）如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，则A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； （2）数轴上另有一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q是线段BP的中点．设运动时间为t秒： ①当t＝2时，求此时点Q表示的数； ②如图2，点P运动至B点右侧，M是线段AQ的中点，若B恰好是QM的中点，求t的值． 【答案】（1）12；4．（2）①8．②t的值为5． 【思路引导】（1）根据点A，B表示的数可求出线段AB的长及线段AB的中点表示的数； （2）①根据点P运动的时间、速度及出发点，可找出当t＝2秒时点P表示的数，结合点Q是线段BP的中点，即可求出点Q表示的数； ②当运动时间为t秒时（t＞3），点P表示的数为4t﹣2，点Q表示的数为 ＝2t+4，点M表示的数为＝t+1，结合点B恰好是QM的中点，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解：（1）AB＝|﹣2﹣10|＝12，线段AB的中点表示的数为＝4． 故答案为：12；4． （2）①当运动时间为2秒时，点P表示的数为4×2﹣2＝6， ∵点Q是线段BP的中点， ∴点Q表示的数为＝8． ②12÷4＝3（秒）． 当运动时间为t秒时（t＞3），点P表示的数为4t﹣2，点Q表示的数为＝2t+4，点M表示的数为＝t+1． ∵点B恰好是QM的中点， ∴10＝， ∴t＝5． 答：t的值为5． 【考点剖析】考核知识点：线段中点计算.理解题意，分析线段的数量关系是关键. 17．如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.    （1）点、在数轴上对应的数分别为______和______. （2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动. ①经过几秒后，； ②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？ 【答案】（1）-2和4；（2）①经过秒或秒，；②经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点. 【思路引导】(1)设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b.根据题意确定a、b的正负,得到关于a、b的方程，求解即可; (2)①设t秒后OA=3OB.根据OA=3OB，列出关于t的一元一次方程，求解即可; ②根据中点的意义，得到关于t的方程，分三种情况讨论并求解:点P是AB的中点;点A是BP的中点;点B是AP的中点. 【规范解答】（1）设点A在数轴上对应的数为a,点B在数轴上对应的数为b,则OA=-a，OB=b ∵， ∴OA+OB=6 ∴-a+b=6 ∵. ∴b=-2a ∴ ∴ ∴点A在数轴上对应的数为-2,点B在数轴上对应的数为4 故答案为：-2和4； （2）①设秒后，，则点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t，故OA=2+t 情况一：当点在点右侧时，故OB=4-2t ∵ 则， 解得：. 情况二：当点在点左侧时，，故OB=2t-4 ∵ 则， 解得：. 答：经过秒或秒，. ②设经过秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点，此时点P在数轴上对应的数为t, 点A在数轴上对应的数为-2-t,点B在数轴上对应的数为4-2t 当点是的中点时，则， 解得：. 当点是的中点时，则. 解得：. 当点是的中点时，则 解得：（不合题意，舍去） 答：经过秒或秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点. 【考点剖析】本题考查了数轴、一元一次方程、 线段的中点及分类讨论的思想.题目综合性较强.掌握数轴上两点间的距离公式是解决本题的关键.数轴上两点间的距离=右边点表示的数-左边点表示的数. 18．如图，点都在数轴上，为原点. （1）线段中点表示的数是 ； （2）若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动了秒，当点在点左边时， ，当点至点右边时， ； （3）若点分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点不动，秒后，三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求的值. 【答案】（1）（2），（3）的值是或 【思路引导】（1）根据A,B两点在数轴上表示的数即可求出线段AB中点表示的数; （2）根据题意，找到OB与点B运动路程之间的关系即可表示出OB的长度; （3）分点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点三种情况分别进行讨论即可. 【规范解答】解：（1） 故答案为-1； （2）点在点左边时， 点在点右边时， 故答案为，； （3）①当点是线段的中点时， ②当点是线段的中点时， ③当点是线段的中点时， 综上所述，符合条件的的值是或. 【考点剖析】本题主要考查数轴上点的移动及线段的中点，掌握线段的中点的意义是解题的关键. 19．如图，数轴正半轴上的，两点分别表示有理数，，为原点，若，线段. （1）______，______； （2）若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点到点的距离是点到点距离的3倍； （3）数轴上还有一点表示的数为32，若点和点同时从点和点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点，求点和点运动多少秒时，、两点之间的距离为4. 【答案】（1），；（2）9或；（3）8或 【思路引导】（1）先根据A点在原点的右边以及|a|=3求出a的值，再根据B点在原点的右边以及线段OB=5OA，求出b的值即可； （2）设运动时间为t秒，根据PA=3PB构建方程即可解决问题； （3）分两种情形构建方程，即可解决问题． 【规范解答】解：（1）∵数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，|a|=3，线段OB=5OA， ∴a=3，b=15， 故答案为：3，15； （2）设运动时间为t秒时，点P到点A的距离是点P到点B距离的3倍． 由题意得：AB=15-3=12， 当点P在A、B之间时，有 2t=3（12-2t），解得：t=； 当点P在B的右边时，有 2t=3（2t-12），解得t=9； 即运动时间为或9秒时，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍； （3）根据题意，由点C为32，则 AC=323=29，BC=3215=17， ∴点P运动到点C所需要的时间为：秒， 点Q运动到点C所需要的时间为：秒， 则可分为两种情况进行分析： ①当点P还没有追上点Q时，有： ， 解得：； ②当点P运动到点C返回时，与点Q相遇后，与点Q相距4，则有： ， 解得：. 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，行程问题相等关系的应用，两点间的距离等知识，关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 高频考点04：线段上动点之规律探究问题 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为： 21．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 【答案】5 【思路引导】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【考点剖析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 22．（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 【规范解答】解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【考点剖析】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 23．（20-21七年级上·四川成都·期中）数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．    【答案】 【思路引导】根据题意，得第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的长度为×9，第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的长度为（）2×9，则跳动n次后，即跳到了离原点的长度为（）n×9，再根据线段的和差关系可得线段AnA的长度． 【规范解答】解：由题可知：， 此第一次跳动到的中点处时，， 同理，第二次从点跳动到处，， 同理，跳动次后，， 故线段的长度为：， 故答案为． 【考点剖析】本题考查了两点间的距离，是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．本题注意根据题意表示出各个点跳动的规律． 高频考点05：角的动态几何之角的数量关系问题 24．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)（1）中的结论结成立．证明见解析 (3)存在，画图见解析，数量关系为． 【思路引导】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算； （1）先证明，，可得，进一步可得结论； （2）先证明，，可得，进一步可得结论； （3）先构建图形，证明，，可得，进一步可得结论； 【规范解答】（1）证明：，分别平分和， ，． ． ， ． （2）证明：（1）中的结论结成立． ，分别平分和， ，． ． ， ． （3）解：存在，如图所示，； 理由如下：，分别平分和， ，． ， ∵， ∴． 25．（24-25七年级上·广西桂林·期末）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【思路引导】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出，根据，，进而即可求解． 【规范解答】（1）解： 、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 26．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查角平分线的有关计算，平角的定义．解题关键是掌握角的和差，能正确运用角的和差进行计算． （1）由的度数可以求得的度数，由平分，可以求得的度数，又由可以求得的度数； （2）根据直角和角平分线的定义可得，再利用平角的定义和角的和差即可求得； （3）根据（2）的解题思路，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：； 理由：∵是直角，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：； 理由：∵平分，是直角， ∴， ∴， ∴； 27．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）与α有关，与β无关，，理由见解析 【思路引导】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【规范解答】解：（1）是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）同理（1），， ，， ； （3）与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 28．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴． 【线段计算】 （1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______． 【角度计算】 （2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和． ①若，则的度数为_______． ②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【思想提炼】 （3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______． A．转化思想    B．数形结合    C．分类讨论    D．类比思想 【答案】（1）22；；（2）①；②，理由见解析；（3）D 【思路引导】本题考查了线段中点和角平分线的定义，熟练掌握线段和角的计算是解题的关键，注意角转动后角的位置变化． （1）根据线段中点，得出，再根据的关系得出，最后求得的长度；再利用前面的方法将的长用字母表示进行求解即可； （2）①由和已知条件，需要求出，由和分别平分和，得出，进而求出此题；②所用方法与①相同； （3）通过前面的解答会发现角的规律和线段的是一样的，运用了类比思想． 【规范解答】解：（1）C，D分别是，的中点， ， ， 又， ， ， ； C，D分别是，的中点， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：22；； （2）①由条件可知， ， ， ， ， ． ②，理由如下： ， ； （3）在以上问题的解决过程中，我们会发现角的规律和线段的是一样的，所以运用了类比思想， 故选：D． 高频考点06：角的动态几何之角的定值问题 29．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方， (1)将图①中三角板绕点O逆时针方向旋转至图②，使边在内部，且恰好平分，求大小； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图③． ①如果恰好是的角平分线，则的度数为______； ②如果始终在的内部，的度数不会变化，请猜测出的度数并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了角的和差运算的应用，角平分线的性质等知识点，熟练掌握其性质，结合图形，用所求的角表示未知的角是解决此题的关键． （1）平分，可求得，再由互余关系即可求得结果； （2）①首先求出，然后由角平分线得到，进而利用角的和差求解即可； ②由且，即可得出两角的关系； 【规范解答】（1）解：∵平分， ， ， ； （2）解：①∵ ∴ ∵恰好是的角平分线 ∴ ∴ ∴； ②，理由如下， ∵ ， ∴， ，， ， ， 即与的数量关系为：． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中． （1） 填空： ； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】（1）75；（2）①；②；（3）不变， 【思路引导】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数． （1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得答案；②由，得，解方程即得； （3）根据角平分线定义得，，代入计算即得 【规范解答】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：75； （2）①当时，， 故答案为：69； ②由题意得，，则， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴当t为时，； （3）的度数不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ， ∴的度数不会发生变化，它的度数为． 31．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 【答案】(1)45 (2) (3)能，的度数为135°或45° 【思路引导】本题考查角平分线的性质，解题的关键是利用角平分线的定义，将所求角转化为与已知角相关的表达式． （1）先求出的度数，再根据角平分线定义分别求出与，进而求出； （2）先表示出，再依据角平分线定义得到与的表达式，最后求出； （3）分两种情况讨论，根据角平分线定义求出． 【规范解答】（1） ， ， 平分， ， 平分， ， ； （2） ，， ， 平分，平分， ，， ； （3）如图①所示，平分，平分， ，， ； 图① 如图所示， 平分，平分， ，， ． 综上，的度数为或． 32．（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）已知一副直角三角尺 和，，， ，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边上，则 ____； (2)将直角三角尺从图1位置绕点O逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点O任意转动（、均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的度数不发生变化，始终等于，理由见解析 【思路引导】（1）根据即可得出答案； （2）根据角平分线性质得，再根据可得出答案； （3）先求出，再根据角平分线定义得，由此可得得度数． 此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【规范解答】（1）依题意得：，， ∴， 故答案为：； （2）∵，，恰好平分， ∴， ∴； （3）的度数不发生变化，始终等于，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 33．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，② (2)①，②的度数不发生变化， 【思路引导】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的有关计算． （1）①根据如图可得，则，将代入求出； ②根据题意，列出方程，解方程求出的值，即可； （2）①当时，分别求出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出； ②分别用含的代数式表示出，，结合角平分线的定义求出，，即可求出，得出结论． 【规范解答】（1）解：∵三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，设三角板运动时间为秒， 则， ∴， ①当时，， 故答案为：． ②若， 即 解得：， 即当时，． （2）解：①当时，， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 则． 故答案为：， ②的度数不发生变化，， 理由如下：根据题意可得， ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ 则， 即在三角板的旋转过程中，的度数不发生变化，． 34．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 【答案】(1)是 (2)2秒，3秒或4秒 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了新定义，角平分线的定义，角的和差等知识，理解新定义、分类讨论是解题的关键． （1）由“立信线”含义即可作出判断； （2）分三种情况：；；；利用倍角关系及和的关系即可求解； （3）由射线分别为、的平分线，得，；由即可得出、、间的数量关系． 【规范解答】（1）解：由于角平分线把一个角分成相等的两部分，这两个角是原角的一半， 根据“立信线”的含义知，一个角的平分线是这个角的“立信线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况： 当时，则， ∴（秒）； 当时，是的平分线， 则， ∴（秒）； 当时，则， ∴（秒）； 综上，当t的值为2秒、3秒或4秒时，射线是的“立信线”； （3）解：， 理由如下： ∵射线分别为、的平分线， ∴，； ∵ ； ∴、、间的数量关系为． 高频考点07：角的动态几何之与时间相关问题 35．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 ． (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 ． (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周后停止，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 【答案】(1)65 (2)150 (3)第10秒或第秒 【思路引导】本题考查了角的和差运算、角平分线的定义，较难的是题（3），正确分类讨论是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，再根据求解即可得； （2）设，则，根据求出的值，再根据求解即可得； （3）设第秒时，恰好与在同一条直线上，先求出三角板逆时针旋转一周所需时间为45秒，三角板逆时针旋转所需时间为秒；射线逆时针旋转一周所需时间为120秒，射线逆时针旋转至射线位置所需时间为秒，再分四种情况：①、②、③和，分别根据角的关系建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：∵恰好平分，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：65． （2）解：设，则， 如图，当落在内部时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：150． （3）解：设第秒时，恰好与在同一条直线上， 由题意得：三角板逆时针旋转一周所需时间为（秒），三角板逆时针旋转所需时间为（秒）；射线逆时针旋转一周所需时间为（秒），射线逆时针旋转至射线位置所需时间为（秒）， ①如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，符合题设； ②如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ③如图，当时，恰好与在同一直线上， 则，， ∵此时， ∴， 解得，不符合题设，舍去； ④如图，当时，恰好与在同一直线上， 则此时三角板已停止运动，旋转至的位置上，恰好与在同一直线上， ∴， 解得，符合题设； 综上，第10秒或第秒，恰好与在同一直线上． 36．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【思路引导】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 37．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)120 (2)70或170 (3) 【思路引导】本题考查了几何图形中的角度计算，运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，当与重合时，，结合题意即可求出的值； （2）分两种情况讨论：①在上方；②在下方，求出的度数，结合题意即可的值； （3）在旋转过程中，，则，则有，，再利用角的和差得到，整理即可得出与的数量关系． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵与重合， ∴， ∴． 故答案为：120． （2）解：①当在上方时， 则， ∴； ②当在下方时， 则， ∴； ∴综上所述，的值为70或170． （3）解：在旋转过程中，，则， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：． 38．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 【答案】(1)135；120；75 (2)①或；②4或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用各角的度数=初始度数-每秒旋转的度数×旋转时间，即可求出结论； （2）利用时间路程速度，可求出各节点的时间． ①当时，，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； ②分，，及四种情况考虑，根据，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：当秒时，； ； ． 故答案为：105，120，75； （2）解：（秒），（秒），（秒），（秒）． ①当时，，， ∴， 即或， 解得：或． 答：t的值为3或； ②当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴， 即或， 解得：或； 当时，，， ∴，舍去； 当时，，， ∴，舍去． 综上所述，t的值为4或． 故答案为：4或． 39．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图1，点在直线上，点在直线下方，点在射线上，，点在直线上方，连接，，为钝角． (1)当，绕点以每秒的速度顺时针进行旋转，旋转时间为秒． ①如图，当时， ． ②若且，是否存在时间，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线组成的夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． (2)将图的绕点顺时针旋转，旋转角度小于，在旋转过程中，设，，试探究、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)①；②存在，值为或 (2) 【思路引导】本题考查角平分线的定义、角的运算等知识点，分类讨论，数形结合是解题的关键； （1）①旋转了，利用余角性质、平角定义求出，，进而可求出； ②根据题意分三种情况讨论，用含的代数式表示出各个角，再利用角平分线的定义列方程求解； （2）分别用、、的代数式表示，再列方程求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，①时，， ， ， 故答案为：； ②存在， 分三种情况： Ⅰ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； Ⅱ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； Ⅲ．是与组成的夹角的角平分线， ， ， ， 解得； 旋转角度小于 ， 故舍去， 答：满足条件的值为或； （2）由题意得，， ， ， ， ， 答：、、三者之间的数量关系为． 高频考点08：角的动态几何之与规律探究问题 40．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将此称为“杨辉三角”． … 当代数式的值为1时，则的值为 ． 【答案】 或 或 【思路引导】本题考查了角的计算，规律的探索，熟练掌握角的计算，公式的应用是解题的关键．根据题意，画图，分类计算即可；根据题意，得，得到或，解答即可． 【规范解答】解：根据题意，画图如下：当点D在的上方时， 根据题意，得，且，， 则； 当点D在的下方时， 根据题意，得，且，， 则， 则， 故答案为：或； 根据题意，得， 或， 解得或． 故答案为：或． 41．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在内部顺次有一组射线，，…，，满足，，，…，．若，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】/ 【思路引导】本题主要考查了图形规律探索，角的计算，根据，得出，求出，，，，得出一般规律即可． 【规范解答】∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 42．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【思路引导】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 43．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 【答案】(1)①6；②，． (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】此题考查了线段中点的相关计算、角平分线的相关计算、几何图形中相关角度的计算等知识． （1）①根据线段中点的定义得到，，得到，即可求出答案；②按照①的步骤即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据，，得到，则 ，即可得到结论； 【规范解答】（1）解：①∵线段，，点、分别是、的中点． ∴，， ∴ ， 故答案为；； ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ，， ， ，不变， 的长不变； （2）解：， 理由如下： ∵和分别平分和， ∴， ∴ ； （3）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴ ． 44．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了角的运算、图形变化的规律，熟练掌握角的运算，结合图形找出隐含的规律是解题的关键．根据题意，依次计算出、、……，观察找到隐含的规律即可得到的度数． 【规范解答】解：的度数是， ， ，， ，， ， …… ． 故选：D． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 线段上动点问题与角的动态几何问题（挑战压轴题） （8个高频考点训练 共44题） 同学你好，该套练习针对平面几何图形章节线段上点运动类问题强化巩固复习，数形结合思想是学习几何与代数的能力提升进阶，，该套练习精选全国各地名校真题，模拟题以及期中期末考等练习中常考，易错，高频类等40道习题，难度分层！逐步进阶，跨越式提升计算能力，整体难度中等及偏上，非常适合培优拔尖的同学自学使用。相信该套资料能够帮助到你！ 高频考点01：线段上动点之定值问题 1 高频考点02：线段上动点之计算速度问题 5 高频考点03：线段上动点之计算时间问题 8 高频考点04：线段上动点之规律探究问题 12 高频考点05：角的动态几何之角的数量关系问题 13 高频考点06：角的动态几何之角的定值问题 16 高频考点07：角的动态几何之与时间相关问题 20 高频考点08：角的动态几何之与规律探究问题 25 高频考点01：线段上动点之定值问题 1．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 2．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 3．（23-24七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．    (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点） (3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 4．（22-23七年级上·福建福州·期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且， (1)填空： ， ； (2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数； (3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围． 5．（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒． (1)P在线段AB上运动，当时，求x的值． (2)当P在线段AB上运动时，求的值． (3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由． 6．（20-21七年级上·广东清远·期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？ （3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 7．（20-21七年级上·湖北武汉·期末）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0. （1）m＝ 　，n＝ 　； （2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动． ①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长； ②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 高频考点02：线段上动点之计算速度问题 8．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 9．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    10．如图，在射线上有三点A，B，C，满足．点P从点O出发，沿射线方向以1cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发． （1）运动10s时，点P与点Q的距离为20cm，求点Q的运动速度； （2）当点Q运动速度为3cm/s时，经过多长时间P，Q两点的距离为70cm？ （3）当时，点Q恰巧运动到线段的中点，求点Q的运动速度．    11．（18-19七年级上·江西萍乡·期末）线段AB=60厘米．    （1）如图1，点P沿线段AB自A点向B点以4厘米/分的速度运动，同时点Q沿线段BA自B点向A点以6厘米/分的速度运动，求： ①几分钟后，P,Q两点相遇？ ②几分钟后，P,Q两点相距20厘米？ （2） 如图2，AO=PO=8厘米，．现将P点绕着点O以20度/分的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若P,Q两点也能相遇，求点Q的速度． 12．已知线段AB=35cm （1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？ （2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？ （3）如图2，AO=4cm，PO=3cm，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转二周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度. 高频考点03：线段上动点之计算时间问题 13．（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 14．如图，是线段上一点，，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，点从点出发沿以的速度匀速向点运动，两点同时出发，结果点比点先到． 求的长； 设点出发时间为， ①求点与点重合时(未到达点)， 的值； ②直接写出点与点相距时，的值． 15．已知，数轴上两点A，B表示的数分别是9和-6，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点B运动，运动到点B停止； （1）在数轴上表示出A，B两点，并直接回答：线段AB的长度是 ； （2）若满足BP=2AP，求点P的运动时间； （3）在点P运动过程中，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP的中点，请计算线段MN的长度，并说出线段MN与线段AB的数量关系； （4）若另一动点Q同时从B点出发，运动的速度是每秒2个单位，几秒钟后，线段PQ长度等于5？ 16．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．请利用以上结论解决下列问题． （1）如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，则A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； （2）数轴上另有一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q是线段BP的中点．设运动时间为t秒： ①当t＝2时，求此时点Q表示的数； ②如图2，点P运动至B点右侧，M是线段AQ的中点，若B恰好是QM的中点，求t的值． 17．如图，点、点是数轴上原点两侧的两点，其中点在原点的左侧，且满足，.    （1）点、在数轴上对应的数分别为______和______. （2）点、同时分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动. ①经过几秒后，； ②点、在运动的同时，点以每秒1个单位长度的速度从原点向右运动，经过几秒后，点、、中的某一点成为其余两点所连线段的中点？ 18．如图，点都在数轴上，为原点. （1）线段中点表示的数是 ； （2）若点以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动了秒，当点在点左边时， ，当点至点右边时， ； （3）若点分别以每秒个单位长度、个单位长度的速度沿数轴向右运动，而点不动，秒后，三个点中有一个点是另外两个点为端点的线段的中点，求的值. 19．如图，数轴正半轴上的，两点分别表示有理数，，为原点，若，线段. （1）______，______； （2）若点从点出发，以每秒2个单位长度向轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点到点的距离是点到点距离的3倍； （3）数轴上还有一点表示的数为32，若点和点同时从点和点出发，分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点，求点和点运动多少秒时，、两点之间的距离为4. 高频考点04：线段上动点之规律探究问题 20．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 21．（22-23七年级上·浙江绍兴·期中）电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为 ． 22．（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 23．（20-21七年级上·四川成都·期中）数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处、按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，那么线段的长度为 ．    高频考点05：角的动态几何之角的数量关系问题 24．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知锐角，点为平面内一点，，分别平分和． (1)如图，点为内一点，求证：； (2)如图，点为外一点，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请证明； (3)当点在平面内其他位置时，与之间还存在其他的数量关系吗？请画图并直接写出结论． 25．（24-25七年级上·广西桂林·期末）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由； (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 26．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图①，是直线上的一点，是直角，平分． (1)若时，则的度数为____________； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，其它条件不变，探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (3)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变．直接写出和的度数之间的关系____________． 27．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）【问题背景】 如图，在内部，是的平分线，是的平分线． 【问题探究】 （1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？ （2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系． 【拓展延伸】 （3） 如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由． 28．（24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴． 【线段计算】 （1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______． 【角度计算】 （2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和． ①若，则的度数为_______． ②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【思想提炼】 （3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______． A．转化思想    B．数形结合    C．分类讨论    D．类比思想 高频考点06：角的动态几何之角的定值问题 29．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一直角边在射线上，另一直角边在直线的下方， (1)将图①中三角板绕点O逆时针方向旋转至图②，使边在内部，且恰好平分，求大小； (2)将图①中的三角板绕点O逆时针方向旋转至图③． ①如果恰好是的角平分线，则的度数为______； ②如果始终在的内部，的度数不会变化，请猜测出的度数并说明理由． 30．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中． （1） 填空： ； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为t秒． ①当时， ； ②当t为何值时，？ 【拓展延伸】 （4） 如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 31．（24-25七年级上·河北沧州·期中）如图，，以O为顶点，为一边作，，分别平分与． (1)如图1，若射线在内部，锐角，则=_______°； (2)如图2，若射线在外部，锐角，求的度数； (3)将问题（2）中“锐角”改为“为任意大小的钝角”，其余条件不变，能否求出的度数？若能，求出的度数；若不能，说明理由． 32．（24-25七年级下·四川绵阳·开学考试）已知一副直角三角尺 和，，， ，． (1)将两个直角三角尺按如图1摆放，点A在边上，则 ____； (2)将直角三角尺从图1位置绕点O逆时针方向转到图2位置，使恰好平分，求的度数； (3)如图3，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，若三角尺在内部绕点O任意转动（、均在内部），试判断的度数是否会发生变化？通过计算说明理由． 33．（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图1，把一副三角板拼在一起，边，与直线重合，其中，，此时易得． (1)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，______； ②当为何值时，？ (2)如图3，在（1）的条件下，若平分，平分． ①当时，______； ②请问在三角板的旋转过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请直接写出的度数． 34．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）新定义：如图1，已知射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“立信线”． (1)一个角的平分线_______这个角的“立信线”；（填“是”或“不是”） (2)如图2，若，射线绕点O从位置开始．以每秒的速度逆时针旋转，当与首次成时停止旋转，设射线旋转的时间为t秒．求当t为何值时，射线是的“立信线”； (3)如图3，射线为的“立信线”，且．射线分别为、的平分线，请猜想、、会有怎样的数量关系？并说明理由； 高频考点07：角的动态几何之与时间相关问题 35．（24-25七年级上·福建莆田·期末）如图1，点A为直线上一点，为射线，，将一个三角板的直角顶点放在点A处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方． (1)将三角板绕点A逆时针旋转，若恰好平分（如图2），则 ． (2)将三角板绕点A在直线上方逆时针旋转，当落在内部，且时，则 ． (3)将图1中的三角板和射线同时绕点A，分别以每秒和每秒的速度逆时针旋转一周后停止，求第几秒时，恰好与在同一直线上？ 36．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 37．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们常借助直角三角板进行一些数学问题的探究．如图1所示，在直角三角板中，，，点在直线上，先将边与重合，然后将三角板绕着点按每秒1度的速度顺时针旋转，旋转后的三角板记作，设运动时间为秒，且． (1)当与重合时，______； (2)当时，求的值； (3)如果把原题中的直角三角板换成普通的三角形纸片，不妨设，其他条件不变，在的内部作一条射线，使，如果在旋转过程中，始终有成立，直接写出与的数量关系． 38．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图1，将两块直角三角板（一块含有、角，另一块含角）摆放在直线上，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转．当第一次与射线重合时三角板停止转动，设旋转时间为秒． (1)当秒时，___________，___________，___________； (2)如图2，若两块三角板同时旋转，三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转，当第一次与射线重合时三角板立即停止转动． ①射线和射线重合前，当时，求出相应的的值； ②整个旋转过程中，当满足时，直接写出相应的的值___________． 39．（24-25七年级上·广东广州·期末）如图1，点在直线上，点在直线下方，点在射线上，，点在直线上方，连接，，为钝角． (1)当，绕点以每秒的速度顺时针进行旋转，旋转时间为秒． ①如图，当时， ． ②若且，是否存在时间，使得射线，，中的某一条射线是另外两条射线组成的夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． (2) 将图的绕点顺时针旋转，旋转角度小于，在旋转过程中，设，，试探究、、三者之间的数量关系． 高频考点08：角的动态几何之与规律探究问题 40．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在直线上任取一点，过点作射线，使，当时，的度数是 ． 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将此称为“杨辉三角”． … 当代数式的值为1时，则的值为 ． 41．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在内部顺次有一组射线，，…，，满足，，，…，．若，则 （用含，的代数式表示）． 42．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 43．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①在如图1中，若，则的长______；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下 分别是、的中点， ______，______， ，不变， 的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2已知在内部转动，和分别平分和，则与、有一定的数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，将和分别平分和改为分别作出射线，若，，直接写出与、的数量关系． 44．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，的度数是，以为一边，在的外部作 ，接着以为一边，在的外部作 ，再以为一边，在的外部作 ，……则的度数是（n是正整数）（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$