专题09 角与多边形的初步认识 讲义 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦角与多边形的初步认识核心知识点，系统梳理角的定义（顶点、边）、表示方法、度量单位（度分秒换算）及角平分线概念，进而延伸至多边形的顶点、内角、对角线定义，从n边形一个顶点出发的对角线数量（n-3）及分割成三角形个数（n-2）规律，构建从基础概念到性质应用的递进学习支架。 该资料以深圳本地情境（如深圳湾观景台视线角、会展中心多边形外墙等）为载体，通过“看结构、换表征、造例子”的思路溯源培养数学思维，分层检测（基础、提升、探究）结合情境题型（如比亚迪车标正多边形设计）提升数学眼光与应用意识。课中助力教师引导学生建立图形与现实联系，课后帮助学生通过实例强化知识转化，有效查漏补缺。

北师大版七年级上册数学思维课系列 专题09 专题09 角与多边形的初步认识 思维课 （解析版） 一、知识解读 【看结构】在深圳湾公园的观景台上，当我们转动望远镜观察远处的飞鸟时，视线之间形成了角；而深圳会展中心那充满现代感的建筑外墙，则是由一个个多边形拼接而成。角与多边形是基本平面图形的重要组成部分，让我们从结构出发，拆解它们的奥秘。 1. 角的定义与表示：角可以看成由两条具有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的边。如图1，该角可表示为∠AOB或∠O。 图1：深圳湾观景台视线形成的角 2. 角的度量：角的度量单位是度、分、秒。1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″。在进行度分秒的加减运算时，满60进1，借1当60。 3. 角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。如图2，若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB。 图2：角平分线示意图 4. 多边形的初步认识：如图3，在多边形中，相邻两边组成的角叫做内角，多边形相邻两边的公共端点叫做顶点，连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做对角线。 图3：多边形的顶点、边、内角与对角线 5. 多边形的分割：从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画(n-3)条对角线，这些对角线把这个n边形分成了(n-2)个三角形。这种将多边形问题转化为三角形问题的方法，是研究多边形性质的基础。 6. 正多边形：在平面内，各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形。例如深圳某科技园区广场铺设的地砖中，就有正六边形的图案。 二、思路溯源 让我们一起来还原'怎么想到角与多边形初步认识核心方法'的完整思维路径。 看结构：观察角的形成过程与多边形的构成要素，我们可以发现多边形实际上是由多个角和多条线段组合而成的封闭图形。多边形的每一个内角，都可以看作是由相邻两条边（射线的一部分）所组成的角。 换表征：将'OC是∠AOB的角平分线'转化为符号语言，即∠AOC=∠BOC；转化为数量关系，即∠AOB=2∠AOC=2∠BOC，或者∠AOC=1/2∠AOB。这种从图形直观到代数符号的转换，是进行角计算的关键。 造例子：以八边形为例，首先确定其中一个顶点A。然后，从顶点A出发，向除了它本身以及相邻的两个顶点外的其余5个顶点画线段。这5条线段就是八边形从顶点A出发的所有对角线。 追条件：从n边形一个顶点出发，不能向自身和相邻的2个顶点画对角线，所以可以画(n-3)条对角线。这(n-3)条对角线将多边形分割，每增加一条对角线就增加一个三角形，加上最初由两条边和第一条对角线组成的三角形，总共构成了(n-3)+1=(n-2)个三角形。 图4：从多边形一个顶点出发画对角线分割成三角形 做压缩：将多边形分割成(n-2)个三角形的过程，其背后的核心数学思想是'转化'。我们将未知的、复杂的多边形问题，转化为已知的、简单的三角形问题来解决。这种'化繁为简、化未知为已知'的策略，是几何探索中的重要武器。 数学方法论：在探索角与多边形的初步认识的过程中，我们运用了'翻译'与'转化'的方法——将文字语言翻译为符号语言，将多边形转化为三角形。通过看结构、换表征、造例子、追条件、做压缩的思维六步法，我们不仅掌握了角平分线的性质和多边形的对角线规律，更深刻体会到了数学中'统一'的本质：复杂图形的性质往往可以追溯到基本图形（如三角形）的性质。这种从特殊到一般、从直观到抽象的建模过程，正是解决深圳中考中几何探究题的核心密码。 三、题型精讲 【题型一】基础应用 例1. 从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成8个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 图5：多边形顶点分割示意图 【答案】C 【解析】从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将多边形分割成(n-2)个三角形。根据题意，n-2=8，解得n=10。因此，这个多边形的边数为10。 [命题意图] 考查多边形对角线的基本性质，引导学生掌握从一个顶点出发分割多边形的规律，建立图形分割与边数之间的数量关系。 💡思维路径 看结构：观察题目中“从同一个顶点出发连接其余各顶点”的操作，识别出这是多边形对角线分割模型。转化：将分割成的三角形个数转化为边数减2的代数关系，通过建立方程n-2=8求解边数。 【题型二】综合应用 例2. 如图，已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。 图6：角平分线与角的和差示意图 【答案】45° 【解析】因为∠AOB=90°，∠BOC=30°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°。因为OM平分∠AOC，所以∠MOC=1/2∠AOC=1/2×120°=60°。因为ON平分∠BOC，所以∠NOC=1/2∠BOC=1/2×30°=15°。因此，∠MON=∠MOC-∠NOC=60°-15°=45°。 [命题意图] 考查角的和差运算与角平分线的综合应用，训练学生将图形中的位置关系转化为角度的数量关系，提升数形结合的运算能力。 💡思维路径 看结构：分析图形中角的包含与重叠关系，明确∠AOC由∠AOB与∠BOC组成，∠MON由∠MOC与∠NOC作差得到。换表征：将角平分线的几何特征转化为代数中的倍数关系（如∠MOC=1/2∠AOC），通过角度的加减运算求出目标角的度数。 【题型三】情境应用 例3. 深圳比亚迪汽车的一款新车标设计灵感来源于正多边形。设计师在一个正八边形的顶点之间连接对角线来构成车标的几何骨架。 (1) 这个正八边形共有多少条对角线？ (2) 若从正八边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，这些对角线将该正八边形分割成了多少个三角形？ (3) 若设计师想在一个正n边形中连接所有的对角线，已知从某一个顶点出发的对角线有15条，求n的值，并计算这个正n边形共有多少条对角线？ 图7：正八边形对角线骨架示意图 【答案】(1) 20条；(2) 6个；(3) n=18，135条。 【解析】(1) n边形对角线总条数公式为n(n-3)/2。当n=8时，对角线条数为8×(8-3)/2=20条。 (2) 从一个顶点出发，可以将n边形分成(n-2)个三角形。当n=8时，分割成的三角形个数为8-2=6个。 (3) 从一个顶点出发的对角线有(n-3)条。根据题意，n-3=15，解得n=18。将n=18代入总条数公式，得18×(18-3)/2=135条。 [命题意图] 以比亚迪车标设计为情境，考查多边形对角线条数及分割规律的综合应用。引导学生从特殊图形（八边形）归纳出一般规律（n边形），体会从特殊到一般的数学思想。 💡思维路径 看结构：剖析正多边形对角线的数量特征，明确“总对角线条数”与“从一个顶点出发的对角线条数”的区别与联系。转化：将具体的八边形问题转化为代数表达式，再利用方程思想由局部特征（15条）反推整体属性（边数n），最后代入一般公式求解。 四、分层检测 【基础检测】 1. 在深圳湾公园的观景台上，小明观察到某建筑的方向角。已知一个角的度数是 35.4°，请将其转换为度、分、秒的形式。 图8：深圳湾公园观景台方向角示意图 【答案】35°24′ 【解析】0.4° = 0.4 × 60′ = 24′，所以 35.4° = 35°24′。 2. 如图，已知∠AOB = 80°，OC是∠AOB的角平分线，求∠AOC的度数。 图9：角平分线示意图 【答案】40° 【解析】因为OC是∠AOB的角平分线，所以∠AOC = 1/2 ∠AOB = 1/2 × 80° = 40°。 3. 从n边形的一个顶点出发，可以引出多少条对角线？请写出当n=6时的结果。 图10：多边形对角线示意图 【答案】(n-3)条；3条 【解析】从n边形的一个顶点出发，不能向本身和相邻的两个顶点引对角线，所以可以引出(n-3)条对角线。当n=6时，6-3=3，即可以引出3条对角线。 4. 比亚迪某款新能源汽车的转向灯模型中，有两个相邻的角∠1和∠2，已知∠1 = 45°15′，∠2 = 30°45′，求这两个角的和∠1+∠2的度数。 【答案】76° 【解析】∠1+∠2 = 45°15′ + 30°45′ = 75°60′。因为60′ = 1°，所以75°60′ = 76°。 5. 一个多边形有5个顶点，请写出这个多边形的名称，并指出它共有多少条边。 图11：五边形示意图 【答案】五边形；5条 【解析】有5个顶点的多边形是五边形，五边形共有5条边。 【提升检测】 6. 如图，已知∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度数。 图12：角的和差与角平分线示意图 【答案】30° 【解析】因为∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，所以∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 90° + 30° = 120°。因为OM平分∠AOC，所以∠AOM = 1/2 ∠AOC = 60°。所以∠BOM = ∠AOB - ∠AOM = 90° - 60° = 30°。 [命题意图] 考查角的和差计算及角平分线定义的应用，培养图形语言向代数语言的转化能力。 💡思维路径 看结构(识别角的和差与平分线)→换表征(将图形语言转化为代数算式)→造例子(假设具体度数验证)→追条件(利用角平分线定义得到一半的角)→做压缩(合并计算步骤)→求证明(写出严谨过程)。 7. 深圳地铁某换乘站的平面设计图是一个多边形区域。已知从该多边形的一个顶点出发，可以引出7条对角线。 (1) 这个多边形是几边形？ (2) 从这个多边形的所有顶点出发，一共可以引出多少条对角线？ 图13：多边形对角线规律示意图 【答案】(1) 十边形；(2) 35条 【解析】(1) 从n边形的一个顶点出发可以引出(n-3)条对角线，令n-3=7，解得n=10，所以是十边形。 (2) 十边形有10个顶点，每个顶点引出7条对角线，共10×7=70条。因为每条对角线被计算了2次，所以总对角线条数为70÷2=35条。 [命题意图] 考查多边形对角线数量的规律探索，培养从特殊到一般的归纳推理能力。 💡思维路径 看结构(分析对角线条数与边数的关系)→换表征(将文字描述转化为代数方程)→造例子(用四边形、五边形验证公式)→追条件(抓住"一个顶点"和"所有顶点"的区别)→做压缩(归纳出总对角线条数公式)→求证明(解释除以2的原因)。 8. 深圳市民中心广场有一座大钟。在下午3:30时，求时针与分针所成角的度数。（注：钟面被平均分成12份，每份30°） 图14：钟面角示意图 【答案】75° 【解析】下午3:30时，分针指向6，时针在3和4的正中间。分针指向6，与12的夹角为6×30°=180°。时针指向3.5，与12的夹角为3.5×30°=105°。所以时针与分针的夹角为180°-105°=75°。 [命题意图] 考查角的度量在实际生活中的应用，培养将时间问题转化为角度计算的建模能力。 💡思维路径 看结构(识别钟面角的构成)→换表征(将时间转化为角度)→造例子(计算3:00和4:00的夹角)→追条件(关注时针和分针的相对位置)→做压缩(建立时间与角度的直接计算关系)→求证明(得出最终结果)。 【探究检测】 9. 已知∠AOB = 80°，过点O作射线OC，使得∠BOC = 40°。OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。 (1) 当射线OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数； (2) 当射线OC在∠AOB外部时，求∠MON的度数； (3) 结合(1)(2)的结果，探究∠MON与∠AOB之间的数量关系，并说明理由。 图15：角平分线与角的和差探究示意图 【答案】(1) 40°；(2) 40°；(3) ∠MON = 1/2 ∠AOB。理由见解析。 【解析】(1) 当OC在∠AOB内部时，∠AOC = ∠AOB - ∠BOC = 80° - 40° = 40°。因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC = 1/2 ∠AOC = 20°，∠NOC = 1/2 ∠BOC = 20°。所以∠MON = ∠MOC + ∠NOC = 20° + 20° = 40°。 (2) 当OC在∠AOB外部时，∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 80° + 40° = 120°。因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，所以∠MOC = 1/2 ∠AOC = 60°，∠NOC = 1/2 ∠BOC = 20°。所以∠MON = ∠MOC - ∠NOC = 60° - 20° = 40°。 (3) 数量关系：∠MON = 1/2 ∠AOB。 理由：当OC在内部时，∠MON = ∠MOC + ∠NOC = 1/2 ∠AOC + 1/2 ∠BOC = 1/2 (∠AOC + ∠BOC) = 1/2 ∠AOB； 当OC在外部时，∠MON = ∠MOC - ∠NOC = 1/2 ∠AOC - 1/2 ∠BOC = 1/2 (∠AOC - ∠BOC) = 1/2 ∠AOB。 综上所述，无论OC在内部还是外部，都有∠MON = 1/2 ∠AOB。 [命题意图] 考查角平分线定义及角的和差计算，培养分类讨论思想和从特殊到一般的抽象概括能力，体现"统一"认知维度。 💡思维路径 看结构(分析角平分线带来的等量关系)→换表征(将图形位置关系转化为代数表达式)→造例子(分别画出OC在内部和外部的图形)→追条件(抓住角平分线定义及角的和差)→做压缩(提取公因式1/2，发现不变量)→求证明(用代数式严谨证明数量关系)。 五、四维认知小结 本节从生活中的实物出发，初步认识角与多边形的基本概念、表示方法及分类，建立图形直观与符号语言的联系。 翻译：在本节中，翻译的核心是将现实世界的具象物体转化为抽象的几何符号与图形。例如，当我们观察深圳湾大桥的斜拉索或大疆无人机螺旋桨的叶片时，需要剥离其材质与颜色，将其“翻译”为具有公共端点的两条射线组成的“角”。在符号表征上，我们将直观的图形开口“翻译”为∠AOB或∠O等严格的数学符号。对于多边形，我们将比亚迪汽车标志中的盾形轮廓或平安金融中心的俯视图“翻译”为由若干条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，并用各顶点字母如多边形ABCDE来精准指代。这种从实物到图形，再到符号语言的三重翻译，是我们建立几何直观与逻辑表达的第一步。 对应：对应思维帮助我们建立几何元素之间的内在映射。在角的学习中，角的大小并非由边的长短决定，而是与两边张开的程度形成严格的对应关系。当我们引入角平分线时，射线OC平分∠AOB，这就意味着∠AOC与∠BOC在度数上形成了相等的对应关系，即∠AOB=2∠AOC。在多边形中，顶点、边与对角线之间存在着严密的结构对应。以深圳地铁复杂的换乘枢纽为灵感，我们将交汇点视为多边形的顶点，将连接相邻顶点的线段视为边，而连接不相邻顶点的线段则对应为对角线。通过建立这种元素间的对应，我们能从局部线段或角的特征，准确推演出整个多边形图形的结构特征，实现从局部到整体的认知跨越。 转化：转化是解决复杂图形问题的核心策略，其本质是将未知问题转化为已知的简单问题。在角的度量与计算中，当遇到如梧桐山盘山公路弯道处形成的复杂夹角时，我们可以通过引入辅助线，将大角转化为几个小角的和或差，即利用∠AOC=∠AOB+∠BOC的关系，把未知角的求解转化为已知角的代数运算。在多边形的初步认识中，面对边数较多的复杂多边形，我们可以通过连接对角线，将其“转化”分割为若干个最基本的三角形。这种化繁为简的转化思想，不仅降低了认知难度，还让我们认识到复杂图形是由基本图形拼接而成的。通过角的和差转化与多边形的分割转化，我们掌握了拆解复杂几何结构的有效工具。 统一：统一维度要求我们穿透表象，洞察不同几何概念背后的不变本质。从表象上看，角是静态的图形，但本质上是射线绕端点旋转形成的动态轨迹，角的度量统一于旋转的量。无论是计算角的和差，还是研究角平分线，本质都是对旋转量的代数化处理。对于多边形而言，从深圳市民中心的几何穹顶到各种现代建筑，无论它是三角形、四边形还是边数为n的复杂图形，其不变本质都是由n条线段首尾顺次连接而成的封闭折线。当我们用对角线分割多边形，或者计算角的大小时，实际上都在运用统一的“分解与组合”思想。这种从静态到动态、从复杂到基本的统一认知，让我们建立起连贯的几何世界观。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版七年级上册数学思维课系列 专题09 专题09 角与多边形的初步认识 思维课 （原卷版） 一、知识解读 【看结构】在深圳湾公园的观景台上，当我们转动望远镜观察远处的飞鸟时，视线之间形成了角；而深圳会展中心那充满现代感的建筑外墙，则是由一个个多边形拼接而成。角与多边形是基本平面图形的重要组成部分，让我们从结构出发，拆解它们的奥秘。 1. 角的定义与表示：角可以看成由两条具有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点是角的____，这两条射线是角的____。如图1，该角可表示为____。 图1：深圳湾观景台视线形成的角 2. 角的度量：角的度量单位是度、分、秒。1周角=____°，1平角=____°，1°=____′，1′=____″。在进行度分秒的加减运算时，满60进1，借1当60。 3. 角平分线：从一个角的____引出的一条射线，把这个角分成两个____的角，这条射线叫做这个角的角平分线。如图2，若OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC=____=1/2∠AOB。 图2：角平分线示意图 4. 多边形的初步认识：如图3，在多边形中，相邻两边组成的角叫做____，多边形相邻两边的公共端点叫做____，连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做____。 图3：多边形的顶点、边、内角与对角线 5. 多边形的分割：从n边形(n>3)的一个顶点出发，可以画____条对角线，这些对角线把这个n边形分成了____个三角形。这种将多边形问题转化为三角形问题的方法，是研究多边形性质的基础。 6. 正多边形：在平面内，各边____、各角____的多边形叫做正多边形。例如深圳某科技园区广场铺设的地砖中，就有正六边形的图案。 二、思路溯源 让我们一起来还原'怎么想到角与多边形初步认识核心方法'的完整思维路径。 看结构：观察角的形成过程与多边形的构成要素，我们可以发现它们之间有什么内在联系？ 换表征：如何将'OC是∠AOB的角平分线'这一文字描述，转化为符号语言和数量关系？ 造例子：以深圳福田高铁站候车大厅顶部的一个八边形玻璃天窗为例，如何动手画出它从一个顶点出发的所有对角线？ 追条件：在造例子的基础上，追问为什么从n边形一个顶点出发的对角线，恰好把多边形分成了(n-2)个三角形？ 图4：从多边形一个顶点出发画对角线分割成三角形 做压缩：将多边形分割成三角形的过程进行思维压缩，其背后的核心数学思想是什么？ 三、题型精讲 【题型一】基础应用 例1. 从一个多边形的同一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成8个三角形，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 图5：多边形顶点分割示意图 【题型二】综合应用 例2. 如图，已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的外部，且∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。 图6：角平分线与角的和差示意图 【题型三】情境应用 例3. 深圳比亚迪汽车的一款新车标设计灵感来源于正多边形。设计师在一个正八边形的顶点之间连接对角线来构成车标的几何骨架。 (1) 这个正八边形共有多少条对角线？ (2) 若从正八边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，这些对角线将该正八边形分割成了多少个三角形？ (3) 若设计师想在一个正n边形中连接所有的对角线，已知从某一个顶点出发的对角线有15条，求n的值，并计算这个正n边形共有多少条对角线？ 图7：正八边形对角线骨架示意图 四、分层检测 【基础检测】 1. 在深圳湾公园的观景台上，小明观察到某建筑的方向角。已知一个角的度数是 35.4°，请将其转换为度、分、秒的形式。 图8：深圳湾公园观景台方向角示意图 2. 如图，已知∠AOB = 80°，OC是∠AOB的角平分线，求∠AOC的度数。 图9：角平分线示意图 3. 从n边形的一个顶点出发，可以引出多少条对角线？请写出当n=6时的结果。 图10：多边形对角线示意图 4. 比亚迪某款新能源汽车的转向灯模型中，有两个相邻的角∠1和∠2，已知∠1 = 45°15′，∠2 = 30°45′，求这两个角的和∠1+∠2的度数。 5. 一个多边形有5个顶点，请写出这个多边形的名称，并指出它共有多少条边。 图11：五边形示意图 【提升检测】 6. 如图，已知∠AOB = 90°，∠BOC = 30°，OM平分∠AOC，求∠BOM的度数。 图12：角的和差与角平分线示意图 7. 深圳地铁某换乘站的平面设计图是一个多边形区域。已知从该多边形的一个顶点出发，可以引出7条对角线。 (1) 这个多边形是几边形？ (2) 从这个多边形的所有顶点出发，一共可以引出多少条对角线？ 图13：多边形对角线规律示意图 8. 深圳市民中心广场有一座大钟。在下午3:30时，求时针与分针所成角的度数。（注：钟面被平均分成12份，每份30°） 图14：钟面角示意图 【探究检测】 9. 已知∠AOB = 80°，过点O作射线OC，使得∠BOC = 40°。OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。 (1) 当射线OC在∠AOB内部时，求∠MON的度数； (2) 当射线OC在∠AOB外部时，求∠MON的度数； (3) 结合(1)(2)的结果，探究∠MON与∠AOB之间的数量关系，并说明理由。 图15：角平分线与角的和差探究示意图 五、四维认知小结 本节从生活中的实物出发，初步认识角与多边形的基本概念、表示方法及分类，建立图形直观与符号语言的联系。 翻译：__________________________________________________ 对应：__________________________________________________ 转化：__________________________________________________ 统一：__________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $