第4章 4.3 多边形和圆的初步认识 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“多边形和圆的初步认识”核心知识点，系统梳理多边形的概念、对角线、正多边形、凸凹多边形及重心等内容，衔接圆的定义、弦、直径、弧等相关概念与性质，构建从平面图形到圆的认知支架。 资料通过典例（如七边形分割三角形）和变式题（四边形截角问题）培养推理意识，过关验收中墙砖截面面积、正n边形扩展图形等实际问题发展空间观念与应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

第4章 4.3 多边形和圆的初步认识 内 容 导 航 题型1 多边形 题型2 圆的认识 考 点 演 练 题型1 多边形 解｜题｜知｜识 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【典例1】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形． A．6 B．5 C．8 D．7 【变式1】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形． A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 题型2 圆的认识 解｜题｜知｜识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【典例1】某物质R是人类生命活动中不可缺少的物质，已知R的相对分子质量为150，其中含碳元素40%，含氢元素6.7%，其余为氧元素。则R的化学式为（　　） A．C5H10O2 B．C6H14O4 C．C5H10O5 D．C6H12O6 过 关 验 收 1．砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 　 cm2． 2.我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”． （1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”； （2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝　 　 ，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）　 ；（用含n的式子表示） （3）已知，，，…，且，则n＝　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 4.3 多边形和圆的初步认识 内 容 导 航 题型1 多边形 题型2 圆的认识 考 点 演 练 题型1 多边形 解｜题｜知｜识 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 【典例1】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形． A．6 B．5 C．8 D．7 【答案】B 【解答】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2＝5个三角形． 故选：B． 【变式1】若一个四边形截去一个角后，可能为（　　）边形． A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【解答】解：可能为3或4或5边形． 故选：C． 题型2 圆的认识 解｜题｜知｜识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 【典例1】某物质R是人类生命活动中不可缺少的物质，已知R的相对分子质量为150，其中含碳元素40%，含氢元素6.7%，其余为氧元素。则R的化学式为（　　） A．C5H10O2 B．C6H14O4 C．C5H10O5 D．C6H12O6 【答案】C 【解答】解：由物质R中碳元素40%，含氢元素6.7%，其余为氧元素，则氧元素的质量分数＝1﹣40%﹣6.7%＝53.3%； 设该化合物的化学式为CxHyOz； 根据质量分数可得12x：y：16z＝40%：6.7%：53.3% 且12x+y+16z＝150；x＝5，y＝10，z≈5 则R的化学式为C5H10O5； 故选：C。 过 关 验 收 1．砌砖墙是墙体建筑的一种方式，盖房子过程中，黏土多孔砖墙在砌合时，应满足砂浆饱满、横平竖直、上下错缝、内外搭砌等最基本的砌墙要求，以此来保证墙体的强度和稳定性及固定性．如图是由截面相同的长方形墙砖粘贴的部分墙面，则每块墙砖的截面面积是 　525　 cm2． 【答案】525． 【解答】解：设长方形地砖的长为acm，宽为bcm，由题意得， ， 解得， 即长方形地砖的长为35cm，宽为15cm， 因此面积为35×15＝525（cm2）． 故答案为：525． 2.我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”． （1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”； （2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝　42　 ，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）　 ；（用含n的式子表示） （3）已知，，，…，且，则n＝　99　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图所示： （2）图4中a6＝6×7＝42，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝n（n+1）；（用含n的式子表示） （3）∵，，，…，且， ∴， 解得n＝99． 故答案为：42，n（n+1）；99． 学科网（北京）股份有限公司 $