专题06 与线段上的中点有关的计算（5大基本题型） 期末专项复习讲义 2025-2026学年北师大版数学七年级上册

该初中数学讲义通过梳理线段中点的核心定义、几何语言、性质应用及分类讨论思想，构建完整知识框架，以5大基本题型为脉络呈现单中点计算、分类讨论等内容，突出中点性质与位置不确定性的重难点联系。 讲义亮点在于分层设计的题型训练，从基础单中点计算到动态中点问题，结合折叠等实际场景培养几何直观和推理意识。典例与练习配套，基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师精准实施分层教学。

2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题06 与线段上的中点有关的计算（5大基本题型） 题型1：单中点基础计算（直接应用中点性质） 题型2：分类讨论型中点计算（点的位置不确定性） 题型3：双中点及多中点模型（复杂线段关系） 题型4：动态中点问题（动点与定点的结合） 题型5：折叠问题（中点与对称的结合） 一、线段中点的核心定义与几何语言 线段中点是线段计算的基础，需明确其定义及严格的几何语言表达，这是后续推理与计算的前提。 1. 定义：在线段上把线段分成相等两条线段的点，叫做线段的中点。 2. 几何语言： (1) 文字表述：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，则点M是线段AB的中点。 (2) 符号表述：若点M是线段AB的中点，则AM＝BM＝AB（或AB＝2AM＝2BM）。 3. 注意：线段的中点唯一，且必须在线段上（区别于直线或射线上的“中点”概念）。 二、利用中点性质进行线段长度计算 线段中点的核心应用是通过中点将线段分成等长部分，结合线段的和差关系计算未知线段长度。这是期末考试的高频考点，需掌握以下三种典型情况： 1. 点C在线段AB上（基础情况） 若点C在线段AB上，M、N分别为AC、BC的中点，则MN＝AB。 推导：MN＝MC＋CN＝AC＋BC＝（AC＋BC）＝AB。 2. 点C在线段AB的延长线上（分类讨论） 若点C在线段AB的延长线上，M、N分别为AC、BC的中点，则MN＝AB（结论与点C位置无关）。 推导：MN＝|MC－NC|＝|AC－BC|＝|AC－BC|＝AB。 3. 点C在线段BA的延长线上（分类讨论）​ 若点C在线段BA的延长线上，M、N分别为AC、BC的中点，则MN＝AB（结论仍成立）。 推导：MN＝|NC－MC|＝|BC－AC|＝|BC－AC|＝AB。 三、分类讨论思想在中点问题中的应用 线段中点问题常涉及点的位置不确定性（如点C在线段上、延长线上），需通过分类讨论覆盖所有可能情况，避免漏解，常见分类场景： 1. 点C在线段AB上； 2. 点C在线段AB的延长线上； 3. 点C在线段BA的延长线上。 四、中点问题的实际应用场景 线段中点的计算并非抽象的几何游戏，而是与实际生活紧密结合，需掌握以下场景： 1. 折叠问题：折叠问题中，折痕即为线段的中垂线，折叠后的对应点关于折痕对称，可利用中点性质计算折叠后的线段长度。 2. 实际生活中的“中点”问题：如测量距离（用中点缩短测量路径）、建筑设计（对称结构的中点定位）等，均需用到线段中点的性质。 【题型1】单中点基础计算（直接应用中点性质） 题型描述：已知线段上某一点为中点，求相关线段长度（如中点分割后的线段、线段和差等）。 核心解题思路： 1. 利用中点定义：若M是线段AB的中点，则AM＝BM＝AB（或AB＝2AM＝2BM） 2. 结合线段和差关系：通过已知线段长度，推导未知线段（如AC=AB−BC、MN=MC+CN等）。 解题步骤（以“已知线段AB，中点M，求AM”为例）： 1. 明确中点条件：确认M是AB的中点（题目直接给出或通过图形判断） 2. 应用中点公式：AM＝BM＝AB（或AB＝2AM＝2BM） 3. 代入计算 【题型2】分类讨论型中点计算（点的位置不确定性） 题型描述：点在线段或其延长线上（如C在AB上、AB延长线、BA延长线），求中点相关线段长度（如MN）。 核心解题思路： 1. 分类讨论：根据点的位置（线段上、延长线），画出不同图形； 2. 不变量应用：无论点位置如何，双中点模型（如M是AC中点，N是BC中点）的结论恒为MN＝AB（与C位置无关）； 3. 线段和差调整：若点在延长线上，需调整线段的“和”或“差”（如MN＝MC－NC）。 解题步骤（以“C在直线AB上，M、N分别是AC、BC中点，求MN”为例），分类三种情况： 1. 情况1：C在线段AB上； MN＝MC＋CN＝AC＋BC＝（AC＋BC）＝AB 2. 情况2：C在线段AB的延长线上； MN＝MC－NC＝AC－BC＝（AC－BC）＝AB。 3. 情况3：C在线段BA的延长线上。 MN＝NC－MC＝BC－AC＝（BC－AC）＝AB。 结论：无论C在直线AB上的哪个位置，MN＝＝AB（恒成立） 【题型3】双中点及多中点模型（复杂线段关系） 题型描述：多个中点（如M是AC中点，N是BC中点，P是MN中点）组合，求线段长度（如MP、PN）。 核心解题思路： 1. 双中点模型：若M、N分别是AC、BC的中点，则MN＝AB（与C位置无关）； 2. 多中点延伸：若P是MN的中点，则MP＝PN＝MN＝AB（递推关系）； 3. 代数建模：设AB＝x，用x表示各中点线段（如AC＝x，BC＝x），再推导未知线段。 解题步骤（以“M、N分别是AC、BC中点，P是MN中点，求MP”为例）： 1. 应用双中点模型：MN＝AB； 2. 应用中点定义：MP＝MN=×AB＝AB 3. 代入计算。 【题型4】动态中点问题（动点与定点的结合） 题型描述：点在线段上运动（如P从A向B运动），求运动过程中中点相关线段长度（如MN）或时间（如P运动多久时MN=5cm）。 核心解题思路： 1. 设变量：设运动时间t，用t表示动点位置； 2. 中点表达式：用t表示中点线段； 3. 列方程求解：根据题目条件列方程，解t。 解题步骤（以“P从A向B运动，速度2cm/s，M是AP中点，求P运动多久时AM＝3cm”为例）： 1. 设变量：设运动时间ts 2. 中点表达式：AM＝AP＝×2t＝t 3. 列方程：t＝3 4. 结论：P运动3s时，AM＝3cm 【题型5】折叠问题（中点与对称的结合） 题型描述：线段沿中点折叠，求折叠后线段长度（如AB沿M折叠，A与B重合，求AM）。 核心解题思路： 1. 折叠性质：折叠后重合的点关于折痕对称，折痕是中点（如M是AB中点，故AM＝MB）； 2. 中点应用：直接利用中点定义求线段长度。 解题步骤（以“AB沿M折叠，A与B重合，AB=12cm，求AM”为例）： 1. 折叠性质：M是AB中点（重合点的中点）； 2. 中点定义：AM＝AB＝6cm； 3. 结论：AM＝AB＝6cm（折叠问题本质是中点问题的对称应用）。 【题型1】单中点基础计算（直接应用中点性质） 【典例1】如图，线段上有一点C，D为线段的中点，E为线段上一点，，，，求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段间的数量关系，线段中点的定义，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质及线段的和差倍数． （1）根据线段间数量关系求出，根据线段中点定义，求出结果即可； （2）根据，，求出，根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为线段的中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【练习1】如图，C是线段上一点，M是线段的中点，若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．根据题意先求出的长，再利用M是线段的中点可得，由此求的长即可． 【详解】解：，， ， 是线段的中点， ， ， 则线段的长． 【练习2】如图，为线段上一点，为线段的中点，，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离、线段的中点，正确理解题意是解题的关键．先根据，，求出的长，再由为线段的中点求出的长，最后根据即可解答． 【详解】解：，， ， 为线段的中点， ， ． 【练习3】如图，线段，点C是线段上一点，，点D是线段的中点． (1)求线段的长度； (2)若点E为直线上一点，且，则线段的长为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，则，，，根据题意解答即可； （2）根据题意，得，当点E在点A的左侧时，；当点E在点A的右侧时，；解答即可． 本题考查了线段的和差，线段的中点，一元一次方程的应用，熟练掌握中点，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点D是线段的中点． ∴， ∵， 设，则，，， 解得， ∴， 故的长为． （2）解：根据题意，得， 当点E在点A的左侧时，； 当点E在点A的右侧时，； 故答案为：或． 【题型2】分类讨论型中点计算（点的位置不确定性） 【典例1】如图，C为线段上一点，D为的中点，．若点E在线段上，且，则的长为_____． 【答案】4或8 【分析】根据，得到，根据题意，得到，结合，分点E在点C的两侧，解答即可． 本题考查了线段的和差，线段的中点，分类思想，熟练掌握中点，和差计算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵， 当点E在点C的右侧时， ∴， 当点E在点C的左侧时， ∴， 故答案为：4或8． 【练习1】如图，为线段上一点，为的中点，，．若点在线段上，且，则的长为_____． 【答案】8或4 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的和差关系求出的长，中点，求出的长，分点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵点在线段上，且， ∴或； 故答案为：8或4． 【练习2】如图，为线段上一点，为的中点，，． (1)求的长； (2)若点在线段上，且，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了线段的中点和线段的和差计算． （1）由题目条件可得，再根据中点的定义可得； （2）分两种情况讨论：当点E在上，当点E在上，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵D为的中点， ∴； （2）解：∵D为的中点， ∴， 当点E在上， ∵，， ∴；    当点E在上， ∵，， ∴． 【练习3】如图，为线段上一点，点为的中点，且，． (1)图中共有______条线段？ (2)求的长； (3)若点在直线上，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数线段，线段的中点，线段的和(差)，熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和、差是解题的关键． （1）固定为端点，数线段，依次类推，最后求和即可； （2）根据，计算即可； （3）分点在点左边和右边两种情形分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 以为端点的线段为：； 共有（条）； 故答案为：； （2）解：∵为中点，， ∴ ∵ ∴； （3）解：，， 第一种情况：点在线段上（点在点右侧），如图所示： ； 第二种情况：点在线段上（点在点左侧），如图所示： ， 综上所述，的长为或． 【题型3】双中点及多中点模型（复杂线段关系） 【典例1】如图，已知线段，点C是线段的中点，点D是线段的中点，E为线段上一点，若线段，则的长度为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段中点的有关计算，线段的和差；根据线段中点的性质求出的长度，再结合计算即可． 【详解】解：∵线段，点C是线段的中点， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∵线段， ∴， ∴， 故答案为：． 【练习1】几何图形计算：如图，已知线段，点N是上一点，，点N是的中点，点M是的中点，求线段的长度（要求：写出推理过程）． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和差关系．根据题意得到的长，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中点， ∴ ∵M是中点， ∴ ∴． 【练习2】如图，已知线段，点M是的中点，点C在线段上，且． (1)求线段的长； (2)若点N是的中点，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段的中点，线段的和差． （1）先根据线段的中点定义得到，再由线段的和差得到即可； （2）根据线段的中点得到，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，点M是的中点， ∴ ∵， ∴ （2）解：∵N是的中点，， ∴， ∴． 【练习3】已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为．现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则判断正确的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查线段的和差倍分关系，线段中点的性质，解题的关键是熟知中点的性质． 首先求出，然后由中点性质得到，然后根据线段的和差分两情况讨论求解即可． 【详解】解：， ， ， ∵为线段的中点， ， ∴，故②正确； ∵点在线段上，且到点的距离为， ∴如图所示，当点在点右边时， ， ， ，， ∴为线段中点； ， ∴，即为线段的四等分点； 如图所示，当点在点左边时， ， ∴，， ∴为线段中点，， ∴，即为线段的四等分点，故⑤正确； 综上，或，故④错误；或，故③正确；P为线段或线段的中点，故①正确． 综上所述，正确判断的个数是4． 故选：B． 【题型4】动态中点问题（动点与定点的结合） 【典例1】【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为，则两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)两点间的距离___________，线段的中点表示的数为___________； (2)求当___________秒时，两点相遇； (3)求当为何值时，； (4)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)8，2； (2)； (3)或4； (4)长度不变化，为4． 【分析】本题考查数轴动点问题，根据题意分析动点运动情况进行解题． （1）根据数轴上线段长度的计算方法，用点表示的数减去点表示的数，即为的长；根据中点的性质，确定出中点到点和点的距离，确定中点位置即可； （2）用含的表达式表示、，结合相遇问题，得出方程，解出时间即可； （3）做分类讨论，对相遇前和相遇后都进行计算分析，注意区分相遇前和相遇后的长度计算方式； （4）考虑点经过点和未经过点的情况，用含的表达式表示相关长度，计算的长度； 【详解】（1）解：∵表示，表示， ∴的长度为， 故的长度为， 则中点中点表示的数为 ∴中点表示的数为． （2）解：的长度为，的长度为， 若、点相遇，则， 即，解得． （3）在、点未相遇的情况下： ， 若，即， 解得； 在、点相遇后的情况下： ， 若，即， 解得； 故当的值为或时，． （4）解：当点未经过点时： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 当点经过点后： ，， 为的中点，点为的中点， ∴，， 点在、之间， 故； 所以长度不会发生变化，的长度始终为． 【练习1】如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是，，7． (1)点A到点B的距离______，点B到点C的距离______； (2)若动点M，N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M，N，P同时出发，设运动时间为t秒． ①t秒后，点M，N，P表示的数分别为______，______，______（用含t的代数式表示）； ②当t为何值时，动点M是线段的中点？ ③探究的值是否有变化？若无变化，请求出这个值；若有变化，请说明理由． 【答案】(1)6，11． (2)①，，．②．③的值不变，为30． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，两点之间的距离，列代数式，整式的加减，线段中点的有关计算，一元一次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； （2）①根据数轴上两点之间的距离进行求解即可； ②先求出，当动点M是线段的中点时，，列方程求解即可； ③将代入，根据整式的加减进行化简，即可解答． 【详解】（1）解：∵A，B，C，表示的数分别是，，7， ∴． 故答案为：6，11． （2）①∵点B表示的数是，动点M从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，点M表示的数为， ∵点C表示的数是7，动点N从点C出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， ∴t秒后，N表示的数为， ∵点A表示的数是，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动， ∴t秒后，P表示的数为． 故答案为：，，． ②∵点M，N，P分别表示的数是，，，且点P在点M的左边，点N在点M的右边， ∴， 当动点M是线段的中点时，， ∴， 解得． 答：当时，动点M是线段的中点． ③∵， ∴ ． 答：的值不变，为30． 【练习2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为6．点从点出发，前内以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发的同一时刻，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 (1)运动秒后，用含的代数式表示点表示的数（分情况讨论）． (2)设点为线段的中点，点为线段的中点，用含的代数式表示点、表示的数（点需分情况讨论）． (3)当时，求线段的长度（用含的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式． (4)当时，若线段的中点为H，用含t的代数式表示点H，并写出该代数式的常数项． 【答案】(1)前内，点表示的数为；后，点表示的数为 (2)当时，点表示的数为，当时，点表示的数为；点表示的数为 (3)；一次二项式 (4)； 【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离，线段中点定义，列代数式，多项式的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据题意，分前和之后的速度分别讨论即可； （2）根据中点公式即可解答； （3）根据点到点之间的距离公式和多项式的概念即可解答； （3）根据点到点之间的距离公式和多项式的概念即可解答． 【详解】（1）解：前内，点表示的数为， 后，点表示的数为； （2）解：点表示的数为， 当时，点表示的数为， 当时，点表示的数为， 点表示的数为； （3）解：当时，， 该代数式是一次二项式； （4）解：当时，线段的中点为H为， 该代数式的常数项为． 【练习3】已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和平方非负性，线段的和差．先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，即可判断①．根据线段的中点的定义判断②．设，根据线段的和差表示出，，即可判断③．根据线段的位置分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，故①正确． ∵，， ∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确． 当点B与点A重合时， ∵，， ∴ 设， ∴， ， ∴， ， ∴，故③正确． ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 【题型5】折叠问题（中点与对称的结合） 【典例1】如图，线段表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），、两点在线段上，且，．现将该细线沿点折叠，使点落在处，如图所示．分别在点和处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成、、三段，则线段、、的长度之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，准确利用线段的和差是解题的关键． 根据，，，的比例关系，设绳子为，求出对应的线段长度即可解得． 【详解】解：设，则，，，， ，，从图的点及与点重叠处一起剪开后， 细线分成三段为：，，， ∴三段细线的长度比是； 故选：D 【练习1】如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且，则C点表示的数是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．根据所给折叠方式，求出折叠后点A所表示的数，再根据点C为折叠前后点A及其对应点所成线段的中点即可解决问题． 【详解】解：由题意可知， 点B表示的数为3，点A在点B的右边，且， 折叠后的点A表示的数为． 折叠前点A表示的数为， 则， 即点C表示的数为． 故答案为：． 【练习2】在数轴上剪下长度为16（从到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数是_____． 【答案】4或6或8 【分析】本题主要考查了数轴上的折叠问题，线段的和与差，有理数的加法计算，分图1，图2和图3三种情况，求出的长，再求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵原来线段的长度为16，且剪断后的三条线段的长度之比为， ∴剪断后的三条线段的长度分别为8，4，4， 如图1所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图2所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 如图3所示，当时，则， ∴， ∴点E表示的数为； 综上所述，折痕处对应的点所表示的数是4或6或8， 故答案为：4或6或8． 【练习3】如图1，分别为数轴上的两点，点A表示的数为，点B表示的数为100． (1)求点A，B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段的三等分点，求点C表示的数； (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上． ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张纸条的长度之比为；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数． 【答案】(1)120 (2)20或60 (3)①80；②16，40，64． 【分析】本题考查数轴两点之间的距离、等分点、翻折问题等知识点，理解题意、掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）分点C靠近A和点C靠近B两种情况求解即可． （3）①先求得折叠点表示的数为，设与原点重合的点表示的数为x，然后根据题意列方程求解即可；②由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B表示的数为100 ∴， ∴点A，B之间的距离是120． （2）解：∵，点C在数轴上且是线段的三等分点， ∴当点C靠近A时，， ∵点A表示的数为， ∴点C所对应的数为； 当点C靠近B时，， ∵点B表示的数为100， ∴点C所对应的数为． ∴点C所对应的数为20或60． （3）解：①∵将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合， ∴折叠点为的中点，其表示的数为， 设与原点重合的点表示的数为x，则，解得：， ∴与原点重合的点表示的数为80； ②∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， a.如图：当从A到B三条纸条的长度为24，24，72， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； b.如图：当从A到B三条纸条的长度为24， 72，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是； c.如图：当从A到B三条纸条的长度为72，24，24， 则折痕到A的长度是， ∵A点对应的数为， ∴折痕处对应的点在数轴上所表示的数是． 综上，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年度北师大数学七年级上册期末专项复习讲义 专题06与线段上的中点有关的计算(5大基本题型) 专题概览 题型1：单中点基础计算（直接应用中点性质) 题型2：分类讨论型中点计算（点的位置不确定性) 题型3：双中点及多中点模型（复杂线段关系） 题型4：动态中点问题（动点与定点的结合） 题型5：折叠问题（中点与对称的结合） 核心知识点总结 一、线段中点的核心定义与几何语言 线段中点是线段计算的基础，需明确其定义及严格的几何语言表达，这是后续推理与计算的前提。 1.定义：在线段上把线段分成相等两条线段的点，叫做线段的中点。 2.几何语言： (I)文字表述：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,则点M是线段AB的中点。 (2)符号表述：若点M是线段AB的中点，则AM=BM=IAB(或AB=2AM=2BM)。 3. 注意：线段的中点唯一，且必须在线段上（区别于直线或射线上的“中点”概念）。 A M B 二、利用中点性质进行线段长度计算 线段中点的核心应用是通过中点将线段分成等长部分，结合线段的和差关系计算未知线段长度。这是期 末考试的高频考点，需掌握以下三种典型情况： 1.点C在线段AB上（基础情况） 若点C在线段AB上，M、N分别为AC、BC的中点，则MN=IAB。 推导：MN=MC+CN=AC+BC=(AC+BC)=AB. A M C B 2.点C在线段AB的延长线上（分类讨论） 若点C在线段AB的延长线上，M、N分别为AC、BC的中点，则MN=,AB(结论与点C位置无关)。 推导：=IMC-NC=l5Ac-BC=lac-BC=AB A M B N 3.点C在线段BA的延长线上（分类讨论） 若点C在线段BA的延长线上，M、N分别为AC、BC的中点，则MN=号AB(结论仍成立)。 推导：MN=INC-MCI=IBC-AC=BC-AC=?AB. C M A N B 三、分类讨论思想在中点问题中的应用 线段中点问题常涉及点的位置不确定性（如点C在线段上、延长线上），需通过分类讨论覆盖所有可能 情况，避免漏解，常见分类场景： 1.点C在线段AB上； 2.点C在线段AB的延长线上； 3.点C在线段BA的延长线上。 四、中点问题的实际应用场景 线段中点的计算并非抽象的几何游戏，而是与实际生活紧密结合，需掌握以下场景： 1.折叠问题：折叠问题中，折痕即为线段的中垂线，折叠后的对应点关于折痕对称，可利用中点性 质计算折叠后的线段长度。 2.实际生活中的“中点”问题：如测量距离（用中点缩短测量路径）、建筑设计（对称结构的中点 定位)等，均需用到线段中点的性质。 题型归纳 【题型1】单中点基础计算（直接应用中点性质) 题型描述：己知线段上某一点为中点，求相关线段长度（如中点分割后的线段、线段和差等）。 核心解题思路： 1.利用中点定义：若M是线段AB的中点，则AM=BM=AB(或AB=2AM=2BM) 2.结合线段和差关系：通过已知线段长度，推导未知线段（如AC=AB-BC、N=MC+CN等）。 解题步骤（以“已知线段AB,中点M,求AM”为例）： 1.明确中点条件：确认M是AB的中点（题目直接给出或通过图形判断） 2. 应用中点公式：AM=BM=AB(或AB=2AM=2BMD 3.代入计算 【题型2】分类讨论型中点计算（点的位置不确定性） 题型描述：点在线段或其延长线上（如C在AB上、AB延长线、BA延长线），求中点相关线段长 度（如MN)。 核心解题思路： 1.分类讨论：根据点的位置（线段上、延长线），画出不同图形： 2.不变量应用：无论点位置如何，双中点模型（如M是AC中点，N是BC中点）的结论恒为MN =AB(与C位置无关)： 3.线段和差调整：若点在延长线上，需调整线段的“和”或“差”（如MN=MC一NC)。 解题步骤（以“C在直线AB上，M、N分别是AC、BC中点，求N”为例），分类三种情况： 1.情况1：C在线段AB上； A M C B MN-MC+CN-AC+BC-(AC+BC)-AB 2.情况2：C在线段AB的延长线上： M B N C MN-MC-NC-AC-BC-](AC-BC)-AB. 3.情况3：C在线段BA的延长线上。 C M A N B / MN=NC-MC=BC-AC=号(BC-Ac)=号AB. 结论：无论C在直线AB上的哪个位置，MN==!AB(恒成立) 【题型3】双中点及多中点模型（复杂线段关系） 题型描述：多个中点（如M是AC中点，N是BC中点，P是MN中点）组合，求线段长度（如MP、 PN)。 核心解题思路： 1.双中点模型：若M、N分别是AC、BC的中点，则NN=;AB(与C位置无关)： 2.多中点延伸：若P是MN的中点，则MP=PN=MN=AB(递推关系)； 4 3. 代数建模：设AB=,用x表示各中点线段（如AC=,BC=),再推导未知线段。 解题步骤（以“M、N分别是AC、BC中点，P是N中点，求MP”为例）： 1.应用双中点模型：MN=AB; 2.应用中点定义：MP=MN=×AB=AB 22 4 3.代入计算。 【题型4】动态中点问题（动点与定点的结合） 题型描述：点在线段上运动（如P从A向B运动），求运动过程中中点相关线段长度（如N)或 时间（如P运动多久时MN=5cm)。 核心解题思路： 1.设变量：设运动时间t,用t表示动点位置； 2. 中点表达式：用t表示中点线段； 3.列方程求解：根据题目条件列方程，解。 解题步骤（以“P从A向B运动，速度2cms,M是AP中点，求P运动多久时AM=3cm”为例）： A MP B 1.设变量：设运动时间s 2. 中点表达式：AM=AP=号X2=t 3.列方程：t=3 4.结论：P运动3s时，AM=3cm / 【题型5】折叠问题（中点与对称的结合） 题型描述：线段沿中点折叠，求折叠后线段长度（如AB沿M折叠，A与B重合，求AM)。 核心解题思路： 1. 折叠性质：折叠后重合的点关于折痕对称，折痕是中点（如M是AB中点，故AM=MB); 2.中点应用：直接利用中点定义求线段长度。 解题步骤（以“AB沿M折叠，A与B重合，AB=12cm,求AM”为例）： A M B 1.折叠性质：M是AB中点（重合点的中点）： 2. 中点定义：AM=AB=6cm: 3. 结论：AM=】AB=6cm(折叠问题本质是中点问题的对称应用)。 2 配套练习 【题型1】单中点基础计算（直接应用中点性质) 【典例1】如图，线段AB上有一点C,D为线段BC的中点，E为线段AC上一点，EC=4AE, AB=25cm,AD=20cm,求： CD B (1)BC的长： (2)AE的长. 【练习1】如图，C是线段AB上一点，M是线段AC的中点，若AB=10cm,BC=3cm,求线段MB的 长. A M C B 【练习2】如图，C为线段AB上一点，D为线段BC的中点，AB=20,AD=14,求线段AC的长. I C D B 【练习3】如图，线段AB=20cm,点C是线段AB上一点，AC:CB=3:2,点D是线段CB的中点. A CD B (1)求线段AD的长度： (2)若点E为直线AB上一点，且AE=3cm,则线段DE的长为 cm. 【题型2】分类讨论型中点计算（点的位置不确定性) 【典例1】如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB=I2cm,AD=9cm·若点E在线段AB上， 且CE=2cm,则BE的长为 cm. A CD B 【练习1】如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB=12cm,AD=9cm·若点E在线段AB上， 且CE=2cm,则BE的长为cm. A C D B 【练习2】如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AB=10cm,AD=7cm, A (I)求CD的长； (2)若点E在线段AB上，且CE=2cm,求BE的长 【练习3】如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD=9cm,BC=2cm. CB D (1)图中共有 条线段？ (2)求AC的长； (3)若点E在直线AD上，且EA=3cm,求BE的长. 【题型3】双中点及多中点模型（复杂线段关系） 【典例1】如图，己知线段AB=24Cm,点C是线段AB的中点，点D是线段AC的中点，E为线段AB 上一点，若线段EB=4cm,则DE的长度为 【练习1】几何图形计算：如图，己知线段AB=12cm,点N是AB上一点，AC=4cm,点N是BC的 中点，点M是AB的中点，求线段MN的长度（要求：写出推理过程）. CM N B 【练习2】如图，己知线段AB=I2cm,点M是AB的中点，点C在线段MB上，且MC=2cm· A B (1)求线段AC的长： (2)若点N是AC的中点，求线段MN的长. 【练习3】已知线段AB=3cm,延长线段AB到点C,使BC=AB,M为线段AC的中点。点P在线 段AC上，且到M点的距离为2cm.现有下列判断：①P为线段MC或线段AM的中点；②BM=lcm; ③AP=2cm或4P=6cm;④BM=】PC;⑤P为线段4C的四等分点.则判断正确的个数是() A.5 B.4 C.3 D.2 【题型4】动态中点问题（动点与定点的结合） 【典例1】【背景知识】数轴是初中数学一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴 我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为、b,则A、B两点之间的距离 AB=a-b,线段AB的中点表示的数为a+b 2 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-2，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位 长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设 运动时间为t秒1>0). A B B -2 0 6 -2 0 6 备用图 【综合运用】 (I)A、B两点间的距离AB= ,线段AB的中点表示的数为 (2)求当t= 秒时，P、Q两点相遇： (③)求当为何值时，P0-号4B: (4)若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变 化，请说明理由；若不变，求出线段MN的长. 【练习1】如图，数轴上有三个点A,B,C,表示的数分别是-10，-4,7. A B C 上LL上LL上L上上上上上1上上1上上上> -11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910 (I)点A到点B的距离AB=,点B到点C的距离BC=; (2)若动点M,N分别从点B、点C出发，以每秒2个单位长度和每秒3个单位长度的速度向右匀速运动， 动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，点M,N,P同时出发，设运动时间为 t秒(t>0). ①t秒后，点M,N,P表示的数分别为， (用含t的代数式表示)； ②当t为何值时，动点M是线段PN的中点？ ③探究3MN-PM的值是否有变化？若无变化，请求出这个值：若有变化，请说明理由. 【练习2】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数 轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为α、b,则A、B两点之间的距离 Ba-b1,线段AB的中点表示的数为+b 2 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为-1，点B表示的数为6.点P从点A出发，前2s内以每秒3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，之后以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点P从 点A出发的同一时刻，点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为1秒 (t>0). A B -10 6 【综合运用】 (I)运动t秒后，用含t的代数式表示点P表示的数（分情况讨论）· (2)设点M为线段AP的中点，点N为线段BQ的中点，用含t的代数式表示点M、N表示的数（点M需 分情况讨论). (3)当t≥2时，求线段MN的长度（用含t的代数式表示），并判断该代数式是几次几项式. (4)当t≥2时，若线段PQ的中点为H,用含t的代数式表示点H,并写出该代数式的常数项. 【练习3】己知有理数a,b满足：a-4+(2-b)=0.如图，线段BC在直线OA上运动（点B在点C 的左侧)，OA=a,BC=b.下列结论中正确的是() O ①a=4,b=2; ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段OA的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段BC延长线上的点，则P0+PC=2PA+AC: ④在线段BC运动过程中，若点M为线段OB的中点，点N为线段AC的中点，则线段MN的长度不变， A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 【题型5】折叠问题（中点与对称的结合） 【典例1】如图1，线段OP表示一条拉直铺平的细线（细线无弹性），A、B两点在线段OP上，且 OA:AP=2:3,OB:BP=3:7,现将该细线OP沿点A折叠，使点B落在B处，如图2所示.分别在点 B和B处，用剪刀沿与细线垂直的方向将细线剪断，把细线分成OB、BB'、B'P三段，则线段OB、 BB'、B'P的长度之比是() B A 图1 A B 0 P 图2 × A.1:1:2 B.2:2:5 C.2:3:4 D.3:2:5 【练习1】如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是-11,3，以点C为折点，将此 数轴向右对折，若点A折叠后在点B的右边，且AB=2,则C点表示的数是 A个 B→CBA→ 【练习2】在数轴上剪下长度为16（从-2到14）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠 部分某处剪一刀得到三条线段（如图）·若这三条线段的长度之比为2：1：1，则折痕处对应的点所表示 的数是 折痕 剪断处 【练习3】如图1，AB分别为数轴上的两点，点A表示的数为-20，点B表示的数为100. A A B 20 100 -20 100 图1 图2 图3 (I)求点A,B之间的距离； (2)若点C在数轴上，且是线段AB的三等分点，求点C表示的数： (3)将一长为线段AB的长方形纸条按如图2所示方式放置在数轴上. ①将纸条和数轴一起折叠，使点A和点B重合，求与原点重合的点表示的数； ②如图3，将纸条和数轴一起向右侧折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三张长方形纸条，若这三张 纸条的长度之比为：：3；把纸条复原后，直接写出折折痕处的点在数轴上表示的数. /