专题05 有理数乘除运算（重难点讲义）数学新教材北师大版七年级上册

专题 05 有理数乘除运算 1. 掌握有理数乘除法则、符号判定、约分技巧，完成分数、带分数、小数乘除计算； 2. 区分含0、不含0两类算式，准确判断结果符号； 3．依托转化思想统一为乘法，突破多负号繁分数运算难点； 4. 综合解决实际数量乘除计算题。 （一）基础核心知识点 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0。 多因数符号规则：负因数偶数个积为正，奇数个积为负；式子含0则积为0。 倒数定义：乘积为1的两数互为倒数；0无倒数；倒数；带分数先化假分数再求倒数。 除法法则：；两数相除同号正、异号负；0除以非0数得0，0不能作除数。 （二）乘除计算规范步骤 带分数先化为假分数；有限小数统一化为分数； 同级乘除从左至右运算，统一为乘法后先约分再计算绝对值。 （三）核心数学思想 转化思想：所有除法转化为乘以倒数，仅保留乘法一种运算简化计算逻辑。 题型 01 有关倒数的基础运算 【典例1】若m，n互为倒数，则3﹣mn的值为（　　） A． B． C．2 D．4 C【解析】∵m和n互为倒数， ∴mn＝1， ∴3﹣mn＝3﹣1＝2．故选：C． 【变式】若a，b互为倒数，则ab﹣1的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 B【解析】∵a和b互为倒数，∴ab＝1，∴ab﹣1＝1﹣1＝0．故选：B． 题型 02 与数轴相关的多结论判断 【典例2】有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝0 B．|m|＜|n| C．﹣n＞0 D．mn＞0 B【解析】观察数轴可知：﹣2＜m＜﹣1，2＜n＜3，|n|＞|m|， ∴m+n＞0，|m|＜|n|，﹣n＜0，mn＜0， ∴A，C，D选项的结论错误，B选项的结论正确， 故选：B． 【变式】如图所示，表示数a，b的点在数轴上，则下面结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＞0 D．a+b＞0 C【解析】根据题意可知，a＜0＜b，|a|＞|b|， A、ab＜0，选项结论错误，不符合题意； B、a﹣b＜0，选项结论错误，不符合题意； C、|a|﹣|b|＞0，选项结论正确，符合题意； D、a+b＜0，选项结论错误，不符合题意．故选：C． 题型 03 与乘积最值基础运算 【典例3】在﹣5，6，﹣7，4这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是　　 ． 35【解析】根据题意可知，在﹣5，6，﹣7，4这四个数中，任意取两个数相乘，要使所得的积最大，两个数必定同号， 4×6＝24，（﹣5）×（﹣7）＝35， ∵24＜35， ∴任意取两个数相乘，所得的积最大是35． 【变式】如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是　　 ． 120【解析】根据题意可知，要使抽取的3张卡片数字积最大，优先选择绝对值大的负数与正数组合， ∴选择﹣6、﹣5、+4，其积为：（﹣6）×（﹣5）×4＝30×4＝120． 题型 04 乘除混合运算 【典例4】阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） 第三步） （1）上面解题过程有两处错误：第一处是第　　 步，错误原因　　 ； 第二处是第　　 步，错误原因是　　 ； （2）请写出正确的解题过程． 解：（1）第一处是第二步，错误原因是没有按同级运算从左至右运算， 第二处是第三步，错误原因是符号弄错， 故答案为：二，没有按同级运算从左至右运算，三，符号错误； （2）． ． 【变式】计算： ． 解：原式 ． 【巩固训练】 1. 的倒数的绝对值是（　　） A． B． C． D． D【解析】的倒数是，的倒数的绝对值是， 故选：D． 2. 计算的结果为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 D【解析】．故选：D． 3. 我国元代《算数启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（　　） A．0×（﹣2） B．2×2 C．（﹣2）×（﹣2） D．2×（﹣2） D【解析】A．0×（﹣2）＝0，0既不是正数，也不是负数，不符合题意； B．2×2＝4＞0，是正数，不符合题意； C．（﹣2）×（﹣2）＝4＞0，是正数，不符合题意； D．2×（﹣2）＝﹣4＜0，是负数，符合题意；故选：D． 4. 已知有理数a与b互为倒数，a与c互为相反数，下列结论错误的是（　　） A．ab＝1 B．bc＝﹣1 C．b＝c D．a+c＝0 C【解析】∵有理数a与b互为倒数，a与c互为相反数， ∴ab＝1，a+c＝0， ∴a＝﹣c， ∴bc＝﹣1．故选：C． 5. 若m，n互为倒数，且满足m（n+1）＝3，则n的值为（　　） A． B． C． D．2 A【解析】∵m，n互为倒数，∴mn＝1，∵m（n+1）＝3，∴mn+m＝3， ∴1+m＝3， ∴m＝2， 又∵m，n互为倒数，∴．故选：A． 6. 若，则“ω”表示的数为　　 ． 【解析】根据题意可知，ω与互为倒数，∴． 7. 已知a，b为有理数，若定义一种新的运算“※”，规定a※b＝2ab，则3※（﹣4）＝ 　　 ． ﹣24【解析】∵a※b＝2ab，∴3※（﹣4）＝2×3×（﹣4）＝﹣24． 8. 计算（﹣4）×8×（﹣0.25）时，将式子变形为[（﹣4）×（﹣0.25）]×8进行简便运算，这样做的依据是运用了　 　 ． 乘法交换律和乘法结合律【解析】利用乘法交换律和乘法结合律．故答案为：乘法交换律和乘法结合律． 9. 对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是 　　 ． ﹣1【解析】∵xy＜0，∴|xy|＝﹣xy，∴，故答案为：﹣1． 10. 计算： （1）； （2）0.1÷（﹣0.001）÷（﹣1）； （3）； （4）（﹣7）×（﹣56）×0÷（﹣13）． 解:（1）原式 ； （2）原式＝﹣100÷（﹣1）＝100； （3）原式 ； （4）原式＝0÷（﹣13）＝0． 【强化训练】 1. （2026春•莱阳市期中）若一个数的倒数是﹣2，则这个数的相反数是（　　） A． B． C． D． C【解析】一个数的倒数是﹣2，则这个数为，所以这个数的相反数是．故选：C． 2. （2026春•杨浦区校级期中）x和y是有理数，满足x＜x2＜|x|和y＜﹣y＜y2．那么下列哪个结论是错误的（　　） A．x＞y B．y+x＜0 C．y﹣x＞0 D．xy＞0 C【解析】由x＜x2＜|x|， 因为x2≥0，若x≥0，则|x|＝x， 此时x2＜|x|＝x，可推出x2﹣x＜0， 即x（x﹣1）＜0，解得：0＜x＜1， 但此时x2＜x与x＜x2矛盾，所以x＜0， 当x＜0时，|x|＝﹣x，不等式变为x＜x2＜﹣x，由x＜x2得x2﹣x＞0，即x（x﹣1）＞0， 结合x＜0，成立； 由x2＜﹣x得x2+x＜0，即x（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜0， 因此，﹣1＜x＜0， 因为y＜﹣y＜y2，由y＜﹣y得2y＜0，即y＜0；由﹣y＜y2得y2+y＞0， 即y（y+1）＞0，结合y＜0，解得y＜﹣1，因此，y＜﹣1， A选项，因为﹣1＜x＜0，y＜﹣1，所以x＞y，A 选项正确； B选项，x是大于﹣1的负数，y是小于﹣1的负数，两个负数相加结果仍为负数，即y+x＜0，B选项正确； C选项，因为x＞y，所以y﹣x＜0，C选项错误； D选项，x和y均为负数，负数相乘结果为正数，即xy＞0，D选项正确．故选：C． 3. （2025秋•六盘水期末）某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是 　　 ． ﹣4【解析】计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”结果得﹣12，即：﹣16+a＝﹣12， 解得：a＝4．∴﹣16÷a＝﹣16÷4＝﹣4． 4. （2025秋•浦东新区期末）计算：　　 ． 12【解析】原式 ＝﹣6×（﹣2） ＝12． 5. （2025秋•东源县期末）三个有理数a，b，c，满足abc＞0，求　　 ． 0或4【解析】由条件可知a、b、c 全为正数或两负一正．当 a、b、c 全为正数时， ，，，， 故 ＝1+1+1+1＝4． 当 a、b、c 两负一正时（不妨设 a＜0，b＜0，c＞0）， ，，，， 故1+（﹣1）+1+1＝0．综上，原式的值为 0或4． 6. （2025秋•武威校级期末）若|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求的值． 解:∵|a|＝5，|b|＝3， ∴a＝±5，b＝±3， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0，∴a＝5，b＝﹣3或a＝5，b＝3，则或；即的值为或． 7. （2026•高州市校级开学）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 ＝4÷2 ＝2 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 解:不正确，原因是同级运算的运算顺序错误．正确解答如下： ＝（﹣10）×（﹣5） ＝50． 8. （2025秋•江苏校级期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是　　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是　　 ； （3）从中取出3张卡片，使这3张卡片乘积结果为﹣24，请写出所有的情况． 解:（1）根据乘法法则，同号相乘为正，并且两个负数相乘时，绝对值越大乘积越大， ∴比较|﹣5|＝5和|﹣4|＝4，这两个数的绝对值相对较大， ∴选择﹣5和﹣4，它们的乘积为（﹣5）×（﹣4）＝20，故答案为：20； （2）根据除法法则，异号相除为负，要使商最小，就要让被除数的绝对值尽可能大，除数的绝对值尽可能小， ∴在这些数中，|﹣5|＝5是较大的绝对值，|+2|＝|﹣2|＝2\是较小的绝对值， ∴根据除法运算，﹣5÷2＝﹣2.5， ∴2张卡片上数字相除的商最小，最小值是﹣2.5，故答案为：﹣2.5； （3）根据同号得正，异号为负可得，三个数相乘，负数的个数为奇数， ∴按此规律满足3张卡片乘积结果为﹣24的等式有， （﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝﹣（2×3×4）＝﹣24， （﹣2）×（+3）×（+4）＝﹣（2×3×4）＝﹣24， （+2）×（﹣3）×（+4）＝﹣（2×3×4）＝﹣24， （+2）×（+3）×（﹣4）＝﹣（2×3×4）＝﹣24． 9. （2025秋•于都县期中）【阅读材料】当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作f（2，x）＝x÷x； 把3个相同的有理数x的除法运算记作f（3，x）＝x÷x÷x； 把4个相同的有理数x的除法运算记作f（4，x）＝x÷x÷x÷x；… 特别地，规定f（1，x）＝x． 【解决问题】 （1）若f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），则n＝ 　　 ； （2）求； （3）计算：． 解:（1）∵f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）， ∴n＝4，故答案为：4； （2），故答案为：27； （3）原式＝（）×（）×（﹣1） ＝1×4×（﹣1） ＝﹣4． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 05 有理数乘除运算 1. 掌握有理数乘除法则、符号判定、约分技巧，完成分数、带分数、小数乘除计算； 2. 区分含0、不含0两类算式，准确判断结果符号； 3．依托转化思想统一为乘法，突破多负号繁分数运算难点； 4. 综合解决实际数量乘除计算题。 （一）基础核心知识点 乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数乘0得0。 多因数符号规则：负因数偶数个积为正，奇数个积为负；式子含0则积为0。 倒数定义：乘积为1的两数互为倒数；0无倒数；倒数；带分数先化假分数再求倒数。 除法法则：；两数相除同号正、异号负；0除以非0数得0，0不能作除数。 （二）乘除计算规范步骤 带分数先化为假分数；有限小数统一化为分数； 同级乘除从左至右运算，统一为乘法后先约分再计算绝对值。 （三）核心数学思想 转化思想：所有除法转化为乘以倒数，仅保留乘法一种运算简化计算逻辑。 题型 01 有关倒数的基础运算 【典例1】若m，n互为倒数，则3﹣mn的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【变式】若a，b互为倒数，则ab﹣1的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 题型 02 与数轴相关的多结论判断 【典例2】有理数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．m+n＝0 B．|m|＜|n| C．﹣n＞0 D．mn＞0 【变式】如图所示，表示数a，b的点在数轴上，则下面结论正确的是（　　） A．ab＞0 B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＞0 D．a+b＞0 题型 03 与乘积最值基础运算 【典例3】在﹣5，6，﹣7，4这四个数中，任意取两个数相乘，所得的积最大是　　 ． 【变式】如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是　　 ． 题型 04 乘除混合运算 【典例4】阅读下面解题过程并解答问题：计算：． 解：原式（第一步） ＝（﹣15）÷（﹣25）（第二步） 第三步） （1）上面解题过程有两处错误：第一处是第　　 步，错误原因　　 ； 第二处是第　　 步，错误原因是　　 ； （2）请写出正确的解题过程． 【变式】计算： ． 【巩固训练】 1. 的倒数的绝对值是（　　） A． B． C． D． 2. 计算的结果为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8 3. 我国元代《算数启蒙》中记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，则下列运算的结果为负数的是（　　） A．0×（﹣2） B．2×2 C．（﹣2）×（﹣2） D．2×（﹣2） 4. 已知有理数a与b互为倒数，a与c互为相反数，下列结论错误的是（　　） A．ab＝1 B．bc＝﹣1 C．b＝c D．a+c＝0 5. 若m，n互为倒数，且满足m（n+1）＝3，则n的值为（　　） A． B． C． D．2 6. 若，则“ω”表示的数为　　 ． 7. 已知a，b为有理数，若定义一种新的运算“※”，规定a※b＝2ab，则3※（﹣4）＝ 　　 ． 8. 计算（﹣4）×8×（﹣0.25）时，将式子变形为[（﹣4）×（﹣0.25）]×8进行简便运算，这样做的依据是运用了　 　 ． 9. 对于有理数x，y，若xy＜0，则的值是 　　 ． 10. 计算： （1）； （2）0.1÷（﹣0.001）÷（﹣1）； （3）； （4）（﹣7）×（﹣56）×0÷（﹣13）． 【强化训练】 1. （2026春•莱阳市期中）若一个数的倒数是﹣2，则这个数的相反数是（　　） A． B． C． D． 2. （2026春•杨浦区校级期中）x和y是有理数，满足x＜x2＜|x|和y＜﹣y＜y2．那么下列哪个结论是错误的（　　） A．x＞y B．y+x＜0 C．y﹣x＞0 D．xy＞0 3. （2025秋•六盘水期末）某同学在计算﹣16÷a时，误将“÷”看成“+”，结果是﹣12，则﹣16÷a的正确结果是 　　 ． 4. （2025秋•浦东新区期末）计算：　　 ． 5. （2025秋•东源县期末）三个有理数a，b，c，满足abc＞0，求　　 ． 6. （2025秋•武威校级期末）若|a|＝5，|b|＝3，若|a+b|＝a+b，求的值． 7. （2026•高州市校级开学）在计算时，小明的解题过程如下： 解：原式 ＝4÷2 ＝2 判断小明的解法是否正确．若不正确，请指出错误的原因，并给出正确的解答． 8. （2025秋•江苏校级期中）小江有7张写着不同数字的卡片，请按要求抽取出卡片，完成下列各题： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是　　 ； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是　　 ； （3）从中取出3张卡片，使这3张卡片乘积结果为﹣24，请写出所有的情况． 9. （2025秋•于都县期中）【阅读材料】当有理数x不等于0时， 把2个相同的有理数x的除法运算记作f（2，x）＝x÷x； 把3个相同的有理数x的除法运算记作f（3，x）＝x÷x÷x； 把4个相同的有理数x的除法运算记作f（4，x）＝x÷x÷x÷x；… 特别地，规定f（1，x）＝x． 【解决问题】 （1）若f（n，﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2），则n＝ 　　 ； （2）求； （3）计算：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $