专题05 有理数及其运算 讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的加减运算与混合运算核心知识点，系统梳理加法法则（同号取相同符号并相加，异号取绝对值较大数符号并用较大绝对值减较小绝对值）、减法法则（转化为加法，a - b = a + (-b)），以及混合运算统一为代数和的方法，结合运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）和运算律（交换律、结合律）运用，构建从基础法则到综合应用的学习支架，配套图1有理数加法数轴模型辅助直观理解。 该资料以深圳本地情境（如地铁11号线位移、梧桐山登山、商店盈亏等）为载体，通过思路溯源（看结构、换表征、造例子等）引导学生构建思维路径，如图2用地铁位移模型将算式转化为几何意义，培养数学眼光中的几何直观。分层检测（基础、提升、探究）覆盖不同能力需求，如探究检测中配送车行驶问题，强化数学思维的运算能力与数学语言的模型意识。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后学生可通过分层练习查漏补缺，提升综合应用能力。

北师大版七年级上册数学思维课系列 专题05 专题05 有理数的加减运算与混合运算 思维课 （解析版） 一、知识解读 【看结构】有理数的加减运算与混合运算是代数学习的基石。从结构上看，减法可以转化为加法，混合运算可以统一为代数和。掌握这一核心结构，不仅能理清运算顺序，更能体会数学中‘转化’与‘统一’的深刻思想。 1. 有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把数值相加；异号两数相加，取数值较大数的符号，并用较大的数值减去较小的数值。 图1：有理数加法数轴模型 2. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为a - b = a + (-b)。这体现了将减法转化为加法的数学思想。 3. 加减混合运算的统一：在一个代数式里，加法和减法可以统一成加法。例如a + b - c可以写成a + b + (-c)。在省略加号和括号时，要注意符号的跟随。 4. 有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。 5. 运算律的灵活运用：在有理数加减混合运算中，灵活运用加法交换律和结合律，将互为相反数的项、同分母的分数、能凑整的数结合，可以简化运算。 二、思路溯源 让我们一起来还原‘怎么想到有理数的加减运算与混合运算核心方法’的完整思维路径。 看结构：观察算式(-5) + (+3) - (-2) + (-4)的结构特征，发现其中既有加法又有减法，且包含正负不同的数。根据减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，我们可以将所有的减法统一转化为加法，从而将混合运算转化为单一的加法运算。 换表征：将上述算式转化为数轴上的运动模型。假设深圳地铁11号线列车在东西走向的轨道上行驶，向东为正，向西为负。从起点出发，先向西5km(到达-5)，再向东3km(到达-2)，接着向东2km(到达0)，最后向西4km(到达-4)。在数轴上，每一次加减运算都对应着一次有方向的位移，这样抽象的符号运算就转化为直观的几何运动，数形结合让运算法则的由来一目了然。 图2：深圳地铁11号线列车位移数轴模型 造例子：结合梧桐山登山活动，构造实际情境。某登山队从海拔200m处出发，先上升150m，再下降80m，接着上升50m，最后下降120m。规定上升为正，下降为负，列出算式为200 + (+150) + (-80) + (+50) + (-120)。计算过程为200 + 150 - 80 + 50 - 120 = 350 - 80 + 50 - 120 = 270 + 50 - 120 = 320 - 120 = 200(m)。通过造例子，我们将抽象的算式还原到具体的生活场景中，验证了运算的实际意义。 追条件：在计算(-1/3) + (+1/2) + (-2/3) + (+1/4)时，追问：为什么要把-1/3和-2/3结合，把+1/2和+1/4结合？追根溯源，是为了利用加法结合律凑整或同分母相加，从而降低计算复杂度。因为-1/3与-2/3是同分母分数，相加得-1，是整数；而+1/2与+1/4虽然分母不同，但可以通过通分计算。追条件让我们明白，运算律不是盲目使用的，而是要根据算式中数字的特征(如互为相反数、同分母、能凑整)来寻找简化的突破口。 做压缩：将(-8) - (-5) + (+3) - (+7)压缩为省略加号和括号的代数和形式。第一步统一为加法：(-8) + (+5) + (+3) + (-7)；第二步省略加号和括号：-8 + 5 + 3 - 7。体会符号的简化规则，即‘负号保留，正号省略’。做压缩的本质是剥离算式中冗余的符号外壳，直击数字及其性质(正负)的核心。这种压缩不仅让书写更简洁，更培养了我们在复杂信息中提取关键要素的抽象能力。 数学方法论：在探索有理数加减运算与混合运算的过程中，我们运用了转化的方法——将减法转化为加法，将混合运算统一为代数和；运用了数形结合的思想——借助数轴将抽象的符号运算转化为直观的几何运动；运用了整体与局部的思想——通过观察算式结构，灵活运用运算律进行分组凑整。这些方法不仅让运算更简便，更培养了我们在复杂情境中剥离表象、抓住本质的数学思维。 三、题型精讲 【题型一】基础应用 例1. 计算：(-3.5) + (+5.2) - (-4.8) + (-1.5)。 【答案】5 【解析】原式 = -3.5 + 5.2 + 4.8 - 1.5。根据加法交换律和结合律，将能凑整的项结合，原式 = (-3.5 - 1.5) + (5.2 + 4.8) = -5 + 10 = 5。 [命题意图] 考查有理数加减混合运算的基本法则，引导学生观察算式结构，灵活运用加法运算律进行简便计算，培养运算能力和数感。 💡思维路径 看结构：观察算式中各数的特征，发现-3.5与-1.5的小数部分相同且符号相同，5.2与4.8的小数部分互补且符号相同。转化：根据减去一个数等于加上这个数的相反数，将算式统一为代数和的形式。做压缩：运用加法交换律和结合律，将能凑整的项分组计算，简化运算过程。 【题型二】综合应用 例2. 已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m^2 = 9。求代数式 (a + b) + 2m - 4cd 的值。 【答案】当m=3时，原式的值为2；当m=-3时，原式的值为-10。 【解析】因为a与b互为相反数，所以a + b = 0。因为c与d互为倒数，所以cd = 1。因为m^2 = 9，所以m = 3或m = -3。当m = 3时，原式 = 0 + 2×3 - 4×1 = 6 - 4 = 2。当m = -3时，原式 = 0 + 2×(-3) - 4×1 = -6 - 4 = -10。综上所述，代数式的值为2或-10。 [命题意图] 综合考查相反数、倒数、平方根的概念以及有理数的加减混合运算。通过整体代换和分类讨论，考查学生的逻辑推理能力和代数式求值能力。 💡思维路径 看结构：分析目标代数式，发现其由(a+b)、m、cd三个独立的部分组成。对应：将“互为相反数”对应为和为0，“互为倒数”对应为积为1，“m^2 = 9”对应为m有两个可能的取值。转化：将已知条件转化为具体的数值或关系式，代入原代数式，将含多个字母的式子转化为只含m的式子，进而分类讨论求出最终结果。 【题型三】情境应用 例3. 深圳某商店一周内每日盈亏记录如下（盈利记为正，亏损记为负，单位：元）：+320，-150，+480，-200，+350，-180，+520。 (1) 该商店这一周结束时，总计盈利还是亏损？金额是多少元？ (2) 该商店前三天（周一至周三）的盈亏总额与后四天（周四至周日）的盈亏总额相比，哪段时间经营状况更好？相差多少元？ 【答案】(1) 总计盈利1140元。(2) 前三天经营状况更好，相差160元。 【解析】(1) 将一周的盈亏数据相加：(+320) + (-150) + (+480) + (-200) + (+350) + (-180) + (+520)。利用加法交换律和结合律，将正数和负数分别分组：正数之和 = 320 + 480 + 350 + 520 = 1670；负数之和 = (-150) + (-200) + (-180) = -530。总计 = 1670 + (-530) = 1140（元）。因为结果为正，所以总计盈利1140元。(2) 前三天盈亏：(+320) + (-150) + (+480) = 650（元）。后四天盈亏：(-200) + (+350) + (-180) + (+520) = 490（元）。因为 650 > 490，所以前三天经营状况更好。相差 650 - 490 = 160（元）。 [命题意图] 以深圳商店经营为真实情境，考查有理数加减法及混合运算的实际应用。引导学生将"盈利"和"亏损"转化为正数和负数，通过分组计算和比较，体会代数和与分组求和的策略，培养数学建模能力。 💡思维路径 翻译：将"盈利"和"亏损"翻译为正数和负数。对应：将"总计盈亏"对应为所有有理数的代数和，将"前三天与后四天的比较"对应为两组有理数代数和的差。做压缩：利用加法交换律和结合律，将正数和负数分别分组计算，简化运算过程。 四、分层检测 【基础检测】 1. 深圳地铁11号线某列车在机场站停靠时，上车15人，下车8人；在福永站停靠时，上车12人，下车20人。求这两站停靠后，列车上乘客人数的净变化量。 【答案】-1人 【解析】将上车记为正数，下车记为负数。净变化量为 (+15) + (-8) + (+12) + (-20) = 15 - 8 + 12 - 20 = -1。即乘客人数净减少1人。 2. 计算：(-12) + (+5) - (-8) - (+15)。 【答案】-14 【解析】根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数。原式 = -12 + 5 + 8 - 15 = (-12 - 15) + (5 + 8) = -27 + 13 = -14。 3. 比亚迪某型号新能源汽车电池在极寒测试中，初始温度为20℃。第一阶段温度上升5℃，第二阶段温度下降8℃，第三阶段温度上升12℃。求测试结束时的电池温度。 【答案】29℃ 【解析】温度上升记为正，下降记为负。测试结束时的温度为 20 + 5 + (-8) + 12 = 20 + 5 - 8 + 12 = 29(℃)。 4. 计算：(-3) × 4 + (-12) ÷ (-2) - 5。 【答案】-11 【解析】先算乘除，后算加减。原式 = -12 + 6 - 5 = -6 - 5 = -11。 5. 在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5。点C在点A和点B之间，且到点A和点B的距离相等。求点C表示的数。 【答案】1 【解析】点A和点B之间的距离为 5 - (-3) = 8。因为点C到点A和点B的距离相等，所以点C到点A的距离为 8 ÷ 2 = 4。点C表示的数为 -3 + 4 = 1。 【提升检测】 6. 计算：1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100。 【答案】-50 【解析】将相邻的两项进行分组结合。原式 = (1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + ... + (99 - 100)。每一组的计算结果均为 -1。从1到100共有100个数，两两一组，共分为 100 ÷ 2 = 50 组。因此，原式 = (-1) × 50 = -50。 [命题意图] 考察有理数加减混合运算中的分组结合技巧，培养观察算式结构并进行转化的能力。 💡思维路径 看结构：观察算式发现是连续自然数交替加减；换表征：将长串算式转化为分组结合的形式；造例子：计算前几项验证分组规律；追条件：确定总项数为100，组数为50；做压缩：将每组的结果-1与组数50相乘；求证明：得出最终结果-50。 7. 定义一种新运算“※”，对于任意有理数a，b，规定a ※ b = a + b - (a - b)。计算：(-3) ※ 5 的值。 【答案】10 【解析】根据新运算的定义，将a = -3，b = 5代入公式。(-3) ※ 5 = (-3) + 5 - ((-3) - 5) = 2 - (-8) = 2 + 8 = 10。 [命题意图] 通过新定义运算，考察学生对有理数加减法及括号运算的综合理解，以及将符号语言转化为具体算式的能力。 💡思维路径 看结构：识别新定义运算的规则表达式；换表征：将抽象的字母a, b替换为具体的数值-3和5；造例子：在草稿纸上尝试代入计算；追条件：注意括号内的减法运算及符号的变化；做压缩：逐步计算括号内及后续的加减法；求证明：得出最终结果10。 8. 深圳某科技公司研发了一款智能机器人，在直线轨道上进行测试。机器人从原点出发，先向前（正方向）移动5米，再向后（负方向）移动3米，接着向前移动8米，最后向后移动6米。 (1) 机器人最终停在原点的哪个方向？距离原点多远？ (2) 机器人在整个测试过程中一共移动了多少米？ 图3：智能机器人在直线轨道上的移动轨迹示意图 【答案】(1) 正方向，4米；(2) 22米 【解析】(1) 将向前记为正，向后记为负。最终位置为 (+5) + (-3) + (+8) + (-6) = 5 - 3 + 8 - 6 = 4(米)。因为结果为正，所以停在原点的正方向，距离原点4米。(2) 机器人移动的总路程为各段距离之和，即 5 + 3 + 8 + 6 = 22(米)。 [命题意图] 结合实际情境，考察学生对位移（有理数代数和）与路程（各段距离之和）概念的理解与区分。 💡思维路径 看结构：分析题目中方向与距离的实际意义；换表征：将向前、向后转化为正、负数；造例子：在数轴上标出机器人的移动轨迹；追条件：明确最终位置看代数和，总路程看各段距离的和；做压缩：分别计算代数和与各段距离的和；求证明：得出位移和路程的具体数值。 【探究检测】 9. 在一条东西走向的笔直公路上，规定向东为正方向。深圳某物流公司的配送车从集散中心出发，进行多次配送。 (1) 若配送车向东行驶a千米，再向西行驶b千米（a > b > 0），请用含a, b的代数式表示配送车最终位置相对于集散中心的方向和距离。 (2) 若配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）：+15, -8, +6, -12, +10, -5, +4。求配送车完成所有配送后，距离集散中心多远？在集散中心的哪个方向？ (3) 在第(2)问的条件下，若配送车每行驶1千米消耗电费0.2元，且最后一次配送结束后直接返回集散中心充电，求该配送车这天总共消耗的电费。 【答案】(1) 在集散中心东边，距离为(a - b)千米；(2) 距离集散中心10千米，在东边；(3) 14元 【解析】(1) 向东为正，向东行驶a千米记为+a，向西行驶b千米记为-b。因为a > b > 0，所以最终位置为a + (-b) = (a - b)千米。结果为正，说明在集散中心东边，距离为(a - b)千米。(2) 将行驶记录相加：(+15) + (-8) + (+6) + (-12) + (+10) + (-5) + (+4) = 15 - 8 + 6 - 12 + 10 - 5 + 4 = 10。结果为正，说明在集散中心东边10千米处。(3) 配送车行驶总路程 = 15 + 8 + 6 + 12 + 10 + 5 + 4 = 60(千米)。最后从东边10千米处返回集散中心，还需行驶10千米。总路程 = 60 + 10 = 70(千米)。电费 = 70 × 0.2 = 14(元)。 [命题意图] 通过层层递进的实际问题，考察有理数加减法在实际生活中的应用，深化对位移与路程的理解，培养建模与探究能力。 💡思维路径 看结构：剖析配送车行驶记录中的方向与距离信息；换表征：将文字描述转化为有理数加减算式及距离表达式；造例子：用具体数值代入第(1)问验证方向判断；追条件：区分单次位移、总位移与总路程的不同计算方式；做压缩：利用代数和求最终位置，利用各段距离的和求总路程；求证明：综合计算得出各问的最终结果。 五、四维认知小结 本节以深圳城市生活为背景，探究有理数加减混合运算的法则与技巧，构建从具体情境到抽象符号的运算思维。 翻译：在有理数加减混合运算中，翻译的核心是将现实情境中的增减变化转化为数学符号语言。例如，在深圳地铁早高峰的客流调度中，我们将某站上车x人翻译为正数x，下车人数翻译为负数，从而把具体的客流吞吐过程翻译为有理数的加减混合算式。再如，计算比亚迪测试车在梧桐山盘山公路的行驶海拔变化，我们将上坡翻译为加正数，下坡翻译为加负数或减正数。这种翻译不仅是文字到符号的转换，更是将动态的生活场景压缩为静态的数学表达式，让我们能够脱离具体情境，直接在符号层面进行严谨的代数运算，体会数学表征的简洁美。 对应：有理数加减混合运算与数轴上的点运动建立了深刻的对应关系。在代数层面，我们处理的是带有正负号的数字混合运算；而在几何层面，每一个有理数加法都对应着数轴上点的平移。例如，计算深圳湾公园某观鸟点的坐标变化时，算式中的加一个正数对应着点向右平移，加一个负数对应着点向左平移。减法运算则对应着先取相反数再平移的过程。通过这种代数与几何的对应，抽象的符号运算获得了直观的几何解释。当我们面对复杂的混合运算如a+b-c时，可以将其对应为数轴上连续的三次平移运动，利用几何直观来检验代数运算结果的合理性，实现数与形的完美交融。 转化：转化思想是简化有理数混合运算的核心策略。面对复杂的加减混合算式，我们首先通过减去一个数等于加上这个数的相反数的法则，将所有的减法运算转化为加法运算，从而把混合运算统一为纯粹的代数和。在此基础上，我们进一步转化运算顺序，利用加法交换律与结合律，将互为相反数的项、同分母的分数或能凑整的数进行组合。例如，在计算大疆无人机电池电量x的多段消耗与y的充电记录时，我们将正负数重新分组，把复杂的逐项计算转化为几个简单的整数凑整计算。这种转化不仅降低了运算的认知负荷，更揭示了混合运算的本质：通过统一运算类型和调整运算结构，将未知或复杂问题转化为已知且简单的模型。 统一：在有理数加减混合运算的探索中，我们不断发现不同运算规则背后的统一本质。首先，加法与减法在引入相反数后实现了统一，所有的加减混合运算最终都归结为有理数的加法，打破了小学阶段加减法割裂的认知。其次，无论是正数与负数的相加，还是同号与异号有理数的运算，其底层逻辑都统一于先确定结果的符号再计算数值的法则。最后，如同深圳特区将多元产业统一于创新发展的大局中，数学知识也并非零散的规则堆砌，而是通过引入新概念和运用基本运算律，不断将新领域纳入已有体系。这种统一性揭示了数学的内在和谐，让我们在面对复杂算式时，能透过繁杂的符号表象，把握其高度自洽的逻辑本质。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版七年级上册数学思维课系列 专题05 专题05 有理数的加减运算与混合运算 思维课 （原卷版） 一、知识解读 【看结构】有理数的加减运算与混合运算是代数学习的基石。从结构上看，减法可以转化为加法，混合运算可以统一为代数和。掌握这一核心结构，不仅能理清运算顺序，更能体会数学中‘转化’与‘统一’的深刻思想。 1. 有理数加法法则：同号两数相加，取____的符号，并把数值相加；异号两数相加，取数值较____数的符号，并用较大的数值____较小的数值。 图1：有理数加法数轴模型 2. 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的____。用字母表示为a - b = a + ____。这体现了将____转化为加法的数学思想。 3. 加减混合运算的统一：在一个代数式里，加法和减法可以统一成____。例如a + b - c可以写成a + b + ____。在省略加号和括号时，要注意____的跟随。 4. 有理数混合运算顺序：先算____，再算乘除，最后算____；如果有括号，先算____里面的。 5. 运算律的灵活运用：在有理数加减混合运算中，灵活运用加法交换律和结合律，将互为____的项、同____的分数、能凑____的数结合，可以简化运算。 二、思路溯源 让我们一起来还原‘怎么想到有理数的加减运算与混合运算核心方法’的完整思维路径。 看结构：观察算式(-5) + (+3) - (-2) + (-4)的结构特征，发现其中既有加法又有减法，且包含正负不同的数。如何将其转化为统一的运算形式？________________________________？ 换表征：将上述算式转化为数轴上的运动模型。假设深圳地铁11号线列车在东西走向的轨道上行驶，向东为正，向西为负。从起点出发，先向西5km，再向东3km，接着向东2km，最后向西4km。在数轴上表示这一过程，直观理解有理数加减法的几何意义。________________________________？ 图2：深圳地铁11号线列车位移数轴模型 造例子：结合梧桐山登山活动，构造实际情境。某登山队从海拔200m处出发，先上升150m，再下降80m，接着上升50m，最后下降120m。列出算式并计算最终海拔，体会加减混合运算的实际应用。________________________________？ 追条件：在计算(-1/3) + (+1/2) + (-2/3) + (+1/4)时，追问：为什么要把-1/3和-2/3结合，把+1/2和+1/4结合？追根溯源，是为了利用加法结合律凑整或同分母相加，从而降低计算复杂度。________________________________？ 做压缩：将(-8) - (-5) + (+3) - (+7)压缩为省略加号和括号的代数和形式。第一步统一为加法：(-8) + (+5) + (+3) + (-7)；第二步省略加号和括号：-8 + 5 + 3 - 7。体会符号的简化规则，即‘负号保留，正号省略’。________________________________？ 三、题型精讲 【题型一】基础应用 例1. 计算：(-3.5) + (+5.2) - (-4.8) + (-1.5)。 【题型二】综合应用 例2. 已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m^2 = 9。求代数式 (a + b) + 2m - 4cd 的值。 【题型三】情境应用 例3. 深圳某商店一周内每日盈亏记录如下（盈利记为正，亏损记为负，单位：元）：+320，-150，+480，-200，+350，-180，+520。 (1) 该商店这一周结束时，总计盈利还是亏损？金额是多少元？ (2) 该商店前三天（周一至周三）的盈亏总额与后四天（周四至周日）的盈亏总额相比，哪段时间经营状况更好？相差多少元？ 四、分层检测 【基础检测】 1. 深圳地铁11号线某列车在机场站停靠时，上车15人，下车8人；在福永站停靠时，上车12人，下车20人。求这两站停靠后，列车上乘客人数的净变化量。 2. 计算：(-12) + (+5) - (-8) - (+15)。 3. 比亚迪某型号新能源汽车电池在极寒测试中，初始温度为20℃。第一阶段温度上升5℃，第二阶段温度下降8℃，第三阶段温度上升12℃。求测试结束时的电池温度。 4. 计算：(-3) × 4 + (-12) ÷ (-2) - 5。 5. 在数轴上，点A表示的数是-3，点B表示的数是5。点C在点A和点B之间，且到点A和点B的距离相等。求点C表示的数。 【提升检测】 6. 计算：1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... + 99 - 100。 7. 定义一种新运算“※”，对于任意有理数a，b，规定a ※ b = a + b - (a - b)。计算：(-3) ※ 5 的值。 8. 深圳某科技公司研发了一款智能机器人，在直线轨道上进行测试。机器人从原点出发，先向前（正方向）移动5米，再向后（负方向）移动3米，接着向前移动8米，最后向后移动6米。 (1) 机器人最终停在原点的哪个方向？距离原点多远？ (2) 机器人在整个测试过程中一共移动了多少米？ 图3：智能机器人在直线轨道上的移动轨迹示意图 【探究检测】 9. 在一条东西走向的笔直公路上，规定向东为正方向。深圳某物流公司的配送车从集散中心出发，进行多次配送。 (1) 若配送车向东行驶a千米，再向西行驶b千米（a > b > 0），请用含a, b的代数式表示配送车最终位置相对于集散中心的方向和距离。 (2) 若配送车某天的行驶记录如下（单位：千米）：+15, -8, +6, -12, +10, -5, +4。求配送车完成所有配送后，距离集散中心多远？在集散中心的哪个方向？ (3) 在第(2)问的条件下，若配送车每行驶1千米消耗电费0.2元，且最后一次配送结束后直接返回集散中心充电，求该配送车这天总共消耗的电费。 五、四维认知小结 本节以深圳城市生活为背景，探究有理数加减混合运算的法则与技巧，构建从具体情境到抽象符号的运算思维。 翻译：__________________________________________________ 对应：__________________________________________________ 转化：__________________________________________________ 统一：__________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $