13.3.1 三角形的内角 第二课时 直角三角形的性质及判定 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学直角三角形性质与判定同步练，通过课前预习-课堂巩固-课后达标三级分层，实现从单一性质应用到综合判定探究的知识进阶，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课前预习|直角三角形性质初步应用|以互余角识别、角度计算为主，如第3题判断互余角数量，夯实基础概念| |课堂巩固|性质与判定综合应用|融入三角板叠放、翻折等情境，如第2题三角板叠放角度计算，提升直观想象| |课后达标|判定辨析与探究应用|基础巩固含直尺三角板情境题（第2题），综合提升设计角度关系探究（第1题），发展推理能力|

13.3.1三角形的内角 第二课时 直角三角形的性质和判定 一、课前预习 1. 如图，在中，，为边延长线上的一点，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是斜边上的高，，则为________． 第1题 第2题 第3题 3. 如图，在中，，，垂足为，则图中与互余的角共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．一个三角形中，有两个角的度数分别为和，则这个三角形是___________三角形。 二、课堂巩固 1. 直角三角形两锐角的差是，则较大的锐角度数是（    ） A． B． C． D． 2．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数是（     ） A． B． C． D． 3．在中， ， ， 则这个三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 第2题 第4题 4．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，当为的平分线时，将沿着翻折，得到．如下结论：①点落在上；②；③平分．结论正确的是（     ） A．①②正确 B．②③正确 C．①③正确 D．①②③都正确 5. 如图，E是中AC边上的一点，过点E作，垂足为D，．求证：是直角三角形． 三、课后达标 基础巩固 1．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 4．中，，，则______． 5．如图，平分，，，，是____三角形． 6．如图，在中，D为上一点，，． (1)判断的形状； (2)判断是否与垂直． 综合提升 1．如图，在中，，平分，于点D． (1)若，，求的度数． (2)探究、、的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一、课前预习 1．A 【分析】先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，得到与相等，进而算出的大小。 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 2．35 【分析】根据直角三角形两锐角互余，结合同角的余角相等可得． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高， ∴， ∴， ∴． 3．C 【分析】根据“直角三角形两锐角互余”的性质，分别在和中，找出与相加等于的角． 【详解】解：， ，与互余； ， ， ，与互余， 与互余的角共有个． 4．直角 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个角的度数，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形中，有两个角的度数分别为和， ∴第三个角的度数为， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 二、课堂巩固 1．C 【分析】本题利用直角三角形两锐角互余的性质，通过设未知数列一元一次方程即可求出较大锐角的度数． 【详解】解：设较大的锐角度数为， ∵直角三角形两锐角和为，两锐角差为， ∴较小锐角度数为 ， 列方程得 ， 整理得 ， 解得 ， ∴较大的锐角度数是． 2．A 【详解】解：如图， 根据三角板的度数可知：，， ． 3．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形判定，根据已知条件求出和的度数，再根据角度判断三角形的形状，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 又∵三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， 故选：． 4．D 【分析】根据三角形内角和及角平分线求出，结合翻折得到，由此判断①；根据翻折性质得到，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判断③． 【详解】解：在中，，， ∴， 当为的平分线时，， 由翻折得， ∴， ∴点落在上，故①正确； 由翻折得， 由①知点落在上， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确． 5． 证明：在中， ， ． ， ． 是直角三角形． 【详解】根据已知条件证明，再由有两个角互余的三角形为直角三角形，即可判定是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，利用两锐角互余的三角形为直角三角形是证明此题的关键． 三、课后达标 【基础巩固】 1．D 【分析】本题利用三角形内角和为，计算各选项中三角形的内角度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形的三个内角满足， A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意； B ， ， 是直角三角形，不符合题意； C ， ， 是直角三角形，不符合题意； D ， ， 解得，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 2．C 【详解】如图， ， ， ， ， ， ． 3．C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．60 【分析】直角三角形两锐角互余，即，结合条件，通过等量代换建立方程即可求出． 【详解】解：是直角三角形，， ， 又，即， 将代入得：， 解得：． 5．直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 6．(1)是直角三角形 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键，（1）证出即可得到结论，（2）求出，可得出． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． 【综合提升】 1．(1) (2) ，理由：∵三角形的内角和等于， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故． 【分析】此题主要考查角度的关系，解题的关键是熟知三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质． （1）由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故； （2）由（1）知，用和∠表示出和，进而得与的关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由：∵三角形的内角和等于， ∴， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故． $