13.3.1 第2课时 直角三角形中两个锐角的关系&方法技巧专题 三角形的角平分线与高的夹角问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材 贵州专版）

第2课时 直角三角 口基础过关 逐点击破 知识点1直角三角形的两个锐角互余 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则 ∠A的度数为 ( A.34° B.44° C.124 D.134° O38D B (第1题图) (第2题图) 2.如图，AB,CD相交于点O,AC⊥CD于点C. 若∠BOD=38°，则∠A的度数为 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=3∠A,则 ∠A的度数为 知识点2有两个角互余的三角形是直角三角形 4.已知∠A=42°，∠B=48°，则△ABC为( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 5.如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠1= ∠B,∠A=∠2.求证：△ABC是直角三角形. ·能力提升 ●，●整合运用 6.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点 D,则下列说法错误的是 A.∠A与∠B互为余角 B.∠1与∠2互为余角 C.∠1与∠A互为余角 D.∠2与∠A互为余角 形中两个锐角的关系 7.(2025-2026·遵义期中)将一块含有30°的 直角三角板叠放在如图所示的直尺上，则 ∠1+∠2的度数为 () A.60° B.75° C.90° D.105° 8.传统文化情境化《周礼·考工记》中记载： “…半矩谓之宣(uān),一宣有半谓之橘 (zhú)…”.意思是：“…直角的一半的角叫 作宣，一宣半的角叫作褐…即1宣=2矩， 1橘=12宣（其中，1矩=90）.问题：图①为中 国古代的一种强弩图，图②为强弩图的部分组 件的示意图.若∠A=1矩，∠B=1橱，则 ∠C的度数为 图① 图② 9.(教材P17习题T10变式)如图，AB∥CD, 直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF 的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.求 证：△EPF为直角三角形. 第十三章三角形7 方法技巧专题三角形的角平分线与 母题：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB= 110°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC,求 ∠DAE的度数. 【变式题1】改变背景：钝角三角形锐角三角形 如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E,AD平 分∠BAC. (1)若∠B=36°，∠C=70°，求∠DAE的度数； (2)若∠C-∠B=20°，求∠DAE的度数. 方法总结：三角形一个角的平分线与这个角的对边 上的高形成的夹角等于另外两个角之差（大角减小 角)的一半 已知：如图，在△ABC中，AD⊥ BC,AE平分∠BAC,∠B>∠C. 易得∠DAE=∠B-∠C 2 利用上述关系可以快速解决相关小题 8数学Ⅱ八年级上册 高的夹角问题【一图多变·一题一课】 【变式题2】角平分线十高线角平分线十高线 的平行线 【构造模型】如图，在△ABC中，AD是∠BAC 的平分线，∠B<∠C,点E在AD上，EF⊥BC 于点F,猜想∠DEF与∠B,∠C之间的数量关 系，并证明. 小明受到前面题目的启发，提出可过点A作 AG⊥BC于点G,快速做出猜想.请你按照小明 的思路完成此题 【拓展应用】(1)如图①，在△ABC中，∠C>∠B, AD平分∠BAC,点F在DA的延长线上， FE⊥BC于点E,直接写出∠F与∠C,∠B之 间的数量关系： B D 图① 图② 图③ (2)如图②，在△ABC中，AE平分∠BAC,F 是EA的延长线上一点，FD⊥BC于点D 若∠ABC=88°，∠C=24°，则∠F的度数 为 (3)如图③，在△ABC中，AE平分∠BAC,F是 AE的延长线上一点，FD⊥BC于点D.若 ∠B=32°，∠C=76°，则∠F的度数为参考答案 第十三章三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.C2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC(4)AB BE3.C4.4△ABC,△BCD,△ACD,△ABD2△ABC,△ACD5.△ABC, △ADC△ABE,△ADE,△ACE△ABD 能力提升 6.D7.628.89.解：(1)锐角三角形有△ADE,直角三角形有△ACD,△ABD, △ABC,钝角三角形有△CDE.(2)等腰三角形有△ADE,△CED,等边三角形有△ADE. 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥 基础过关 1.A2.B3.6(答案不唯一)4.解：(1)a=5,b=8,∴.8-5<c<8十5.即3<c<13. 帐 (2)3<c<13,且c为小于6的奇数，.c=5..△ABC的周长为5十8+5=18.5.A 能力提升 6.B7.2b8.解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm.依题意，得x十3x十3x=21,解得 x=3.则等腰三角形的腰长为3×3=9(cm)..等腰三角形的各边长分别为3cm,9cm, 9cm.(2)能.理由如下：当5cm的边为底边时，其腰长为(21-5)÷2=8(cm),5十8=13> 8,能围成等腰三角形；当5cm的边为腰长时，其底边长为21-5-5=11(cm),5十5=10< 11,不能构成三角形.综上所述，能围成底边长是5cm的等腰三角形 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②平分线③三角形的高 例题引路 【例1】解：AE是△ABC的中线，∴.BE=EC=4cm.AD是△ABC的高，∴AD⊥BC ABEAD=10 em. 易错典例 【例2】16或8 基础过关 01.D2.BCBC SANCD SAMC63.31°4.②④5.C6.A7.15 4 线 能力提升 8.D9.C 0号 1L,证明：：AD是△ABC的角平分线，∴.∠BAD=∠CAD.:PM∥ AC,PN∥AB,.∠APM=∠CAD,∠APN=∠BAD.∴.∠APM=∠APN..PA平分 ∠MPN. 教材拓展角 与三角形中线有关的面积问题【一图多变】 号【延伸问3【变式题12.5【室式题211) (2)4 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角和 新知梳理 180 61 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x=20,则 3x=60,5x=100,∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：(1)35(2)：∠ADC= 80°，∠CAD=35°，∴.∠C=180°-∠ADC-∠CAD=65°..∠B=180°-∠BAC-∠C 45°. 基础过关 1.B2.C3.B4.B5.68°6.C7.160 能力提升 8.A9.60°10.26°11.解：(1)∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE,CD分别是∠BAC, ∠ACB的平分线，∴∠FAC=40°，∠FCA=20°.∴.∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°. (2)∠B=80°，.∠BAC+∠BCA=180°-∠B=100°.AE,CD分别是∠BAC,∠ACB 的平分线，∠FAC=合∠BAC,∠FCA=号∠CA.∴∠FAC+∠FCA=合（∠BAC+ ∠BCA)=50°...∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA)=130°， 思维拓展 12.(1)证明：：DE∥BC.∴.∠DAB=∠B,∠EAC=∠C.:∠DAB十∠BAC+∠EAC= 180°，.∠BAC+∠B+∠C=180°.(2)解：由(1)知∠DAB=∠ABC,∠EAC=∠ACB, :AF平分∠EAC,BF平分∠ABC,∠ABF=∠ABC,∠CAF=合∠EAC∴∠ABF+ ∠CAF-(∠ABC+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.:∠DAB+∠EAC+∠BAC- 180°，∠ABF+∠CAF+∠AFB+∠BAC=180°，·∠DAB+∠EAC=∠ABF+∠CAF+ ∠AFB.∴.∠AFB=(∠DAB十∠EAC)-(∠ABF+∠CAF)=(∠DAB+∠EAC) (∠DAB+∠EAC)=(∠DAB+∠EAC.“∠BAC=80.(∠DAB+∠EAO= 210-∠BAC)=50.∠AFB=50. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.A2.52°3.22.5°4.C5.证明：∠A+∠2+∠1+∠B=180°，∠A=∠2，∠1= ∠B,.2∠1+2∠2=180°，即∠1十∠2=90°..∠ACB=90°..△ABC是直角三角形. 能力提升 6.D7.C8.22.5°9.证明：：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.EP为∠BEF的平 分线，FP为∠EFD的平分线∠PEF=子∠BEF,∠PFE=子∠DFE,∠PEF+ ∠PFE=合（∠BEF+∠DFE)=90,∴△EPF为直角三角形. 方法技巧专题三角形的角平分线与高的夹角问题【一图多变·一题一课】 母题：解：：∠B=30°，∠ACB=110°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=40.AE平分 ∠BAC,∠BAE=合∠BAC=20.:AD是BC边上的商∠D=90.∴∠BAD=90 ∠B=60°..∠DAE=∠BAD-∠BAE=40°.【变式题1】解：(1)，∠B=36°，∠C=70°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=7.:AD平分∠BAC∠CAD=号∠BAC=37,:AEL BC,∠AEC=90°，∠CAE=90°-∠C=20°，.∠DAE=∠CAD-∠CAE=17°.(2)：AD 平分∠BAC,·∠CAD=号∠BAC=号(180-∠C-∠B).AE⊥BC,∠AEC=90 ∴∠CAE=90°-∠C.∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=2(180°-∠C-∠B)-(90°-∠C) =(∠C-∠B)=10.【变式题2】解：猜想：∠DEF=(∠C-∠B).证明如下：过点A -62 作AG⊥BC于点G.:EF⊥BC,AG∥EF,.∠DAG=∠DEF.易得∠DAG= (Zc ∠B∴∠DEF=(∠C-∠B.【拓展应用11)∠F=（∠C-∠B)(2)32 (3)22 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40° -60=80.:CE是∠ACD的平分线∠DCE=立∠ACD.:∠ACD=180-∠ACB= 180°-60°=120°，.∠DCE=60°，.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.B2.A【变式题】D3.604.85°5.解：AE∥BD,.∠ADB=∠1=95°.又 ∠ADB=∠C+∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 6.A7.D8.235°9.105°10.114°11.解：：DF⊥AB,∠BFD=∠AFE=90°， .∠B=90°-∠D=35°，∴∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE= 30°+90°=120. 思维拓展 12.解：(1)由条件可知∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°.CE平分∠ACD,.∠ACE= ∠ECD=68°.∴∠BAC=∠ACE+∠E=68°+36°=104°.(2)∠BAC=∠B+2∠E.证明如 下：：CE平分△ABC的外角∠ACD,∠ACE=∠ECD.:∠ECD=∠B+∠E,∴.∠BAC =∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E,即∠BAC=∠B+2∠E. 模型构建专题与三角形的双角平分线有关的常见解题模型【回归教材】 1.解：(1)∠C=70°，∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°.∠PAC=20°，∠PBC=40°， ∴∠PAB+∠PBA=110°-20°-40°=50°，∴.∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 50°=130°.(2)由(1)知，∠CAB+∠CBA=110°.：AP,BP分别为∠CAB,∠CBA的平分 线，∠PAB=号∠CAB,∠PBA=号∠CBA,∠PAB+∠PBA=合∠CAB+合∠CBA 号（∠CAB+∠CBA)=号X110=5,∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 55=125.2.30°3.解：BP平分∠ABC,·∠PBC=∠ABC.:CP平分∠ACD, ∴∠PCD=号∠ACD:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠D,∠P=∠PCD -∠PBC=合∠ACD-∠ABC=合（∠ACD-∠ABC)=合∠A,即∠P=3∠A 4.解：：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC十∠A,∴∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A 十∠ABC+∠A=180°十∠A.BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线，，∠PBC= 合∠EBC,∠PCB=合∠FCB,∠PBC+∠nCB=合（∠EBC+∠FCB) 2(180+∠A)=90+号∠A,∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=180-(90+合∠A) =90°-3∠A,即∠P=90°-∠A 模型构建专题利用“8字型”“飞镖型”转化求角度【教材延伸·通性通法】 1.140°2.210°3.解：解法一：设AB,CD交于点O.∠ABC=64°，∠BCD=46°， .∠COB=180°-∠ABC-∠BCD=70°.∴.∠AOD=∠COB=70°.易得∠AED=∠A+ ∠D十∠AOD=1I0°.解法二：连接AD.由题意，易得∠DAB+∠ADC=∠ABC+∠BCD 63