1.3 集合的基本运算 专项培优训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以集合运算为核心，通过五层级题型构建从概念到综合应用的递进训练，注重抽象能力与推理能力的培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交集、并集运算|10题|基础运算与元素个数判断|从集合基本概念到简单运算，形成运算直觉| |补集运算|10题|全集与补集关系应用|拓展运算维度，建立全集意识| |交并补混合运算|10题|多步运算与集合关系判断|整合基础运算，提升逻辑推理能力| |Venn图应用|10题|图形表示与实际问题（容斥原理）|实现数与形转化，培养几何直观| |参数求解|11题|根据运算结果反求参数范围|深化运算可逆性，发展数学思维严谨性|

高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 1.3 集合的基本运算 高频考点归纳 题型一：交集、并集的概念及运算 题型二：补集的概念及运算 题型三：交、并、补的混合运算 题型四：Venn图的综合应用 题型五：根据交、并、补的运算结果求参数 题型一 交集、并集的概念及运算 1．（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】， ， ，即中的元素个数为. 2．（26-27高三上·重庆巴南·开学考试）已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合，，则. 3．（2026·湖南株洲·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的定义可得结果． 【详解】因为集合，， 则． 4．（25-26高一上·四川成都·期中）集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 【答案】A 【详解】，故A正确； ，故B错误； 集合可以表示为，其中， 即集合可描述为形式，故C错误； 集合A有6个元素，子集总数为，故D错误． 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为，， 所以，，，． 6．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】， 则，，则AB正确. 7．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 【答案】5或10 【分析】根据给定条件求出，再按分类讨论求解. 【详解】由集合，得，， 当时，或，则或； 当时，或，则或， 当时，，，有两个元素，不合题意； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为； 当时，，，有一个元素，符合题意， 则，元素之和为， 所以元素之和为5或10． 8．（25-26高二·全国·暑假作业）设，，，则________，________． 【答案】 【分析】直接由集合的交集的定义及并集的定义运算可得. 【详解】由，，，如图： ，． 9．（25-26高一上·安徽淮北·阶段检测）已知全集，集合，或．求，； 【答案】或， 【详解】集合，或   则或，. 10．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合． (1)当时，求． (2)当时，求． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）解一元二次方程组求解集合，然后利用并集运算求解即可； （2）分类讨论求解集合B，然后利用交集运算求解即可． 【详解】（1）当时，， 又，所以； （2），即， 当时，，此时； 当时，， 若时，，此时； 若时，，此时； 若且且，，，此时； 综上，当时， ；当时， ； 当且时， . 题型二 补集的概念及运算 11．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，全集，而集合， 所以 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 集合由中满足的元素构成， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， ：，故， 所以，则. 13．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 14．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为全集，则集合为. 15．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，则下列选项中属于的元素有（    ） A．e B．2 C．0 D．－3 【答案】AB 【分析】根据解得，再根据补集的定义解得，再逐一判断即可. 【详解】由可得， 则， 因为，，， 故选：AB． 16．（专题01集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）（多选）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由交集、并集的概念判断A、C；由补集和子集的概念判断B、D. 【详解】，， 则，，则A、C正确， 又，， 则，则B、D错误 故选：AC. 17．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 【答案】3 【详解】因为， 所以， 又，所以， 则集合中有3个元素. 18．（25-26高一上·河北·期中）已知全集，则实数___________． 【答案】 【分析】根据题意，结合补集的运算，以及元素与集合的关系，列出方程组，即可求解. 【详解】由全集， 可得或，解得. 故答案为：. 19．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）全集 或，求 a. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用补集的定义及相等集合列式求解. 【详解】由全集 ，得或， 而 或，因此，所以. 20．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合， (1)求； (2)若全集，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义运算即可. （2）根据补集及并集的定义运算即可. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为，所以， 所以. 题型三 交、并、补的混合运算 21．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，故. 22．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】全集，而，则 因此，所以集合. 23．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，, 其中组成了所有整数， 则, 24．（2026高一·全国·专题练习）若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 因为，，，， ，， 则集合 ， 故A、B、C错误，D正确. 25．（25-26高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据集合的运算法则和性质依次判断即可. 【详解】若，则，故A正确； 若，则，故B错误； 若，则，所以，故C正确； 若， 可知包含于，故，故D正确， 故选：ACD. 26．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 27．（24-25高一上·山东青岛·阶段检测）（多选）设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，作出韦恩图，结合图形可得集合A、B，根据真子集的定义和并集的定义与运算即可判断CD. 【详解】由题意知， 作出韦恩图，如图，    由图可知，故A正确，B错误； 所以集合的真子集个数为个，故C正确； ，故，故D正确. 故选：ACD 28．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______． 【答案】 【分析】根据集合交并补的运算结果以及集合间的关系求解即可. 【详解】由，则，又，所以. 故答案为：. 29．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 30．（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据集合交集、并集运算可直接得出结果； （2）由补集定义以及混合运算法则即可求出结果. 【详解】（1）集合，， 利用数轴分别表示出全集及集合，，如下图： 则， . （2）依题意可得， ， 所以， . 题型四 Venn图的综合应用 31．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 32．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 33．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. 34．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 35．（2025高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 36．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 【答案】BC 【分析】应用容斥原理求出三项都参加的同学人数，即可得答案. 【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学， 则，，， 又，， 所以， 所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人． 故选：BC 37．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】阴影部分位于集合内，且不属于与的交集，即阴影部分为“中除去的部分”. 【详解】选项A：表示“的全部”与“中的补集”的并集，包含了外的部分区域，与阴影部分不符，故A错误； 选项B：表示“中的补集”，就等于阴影部分，故B正确； 选项C：表示“以为全集时，的补集”，就等于阴影部分，故C正确； 选项D：表示“中的补集”与的交集，就等于阴影部分，故D正确； 故选：BCD 38．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可. 【详解】对于A，由图可知，故A错误； B、C、D均正确， 故选：BCD 39．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素，结合集合描述法即可得结果； （2）分析可知，根据题意结合集合间的运算求解即可； （3）分析可知，且，结合题意即可得结果. 【详解】（1）由Venn图可知：集合表示在集合内去掉集合的元素， 所以. （2）由题意可知：， 因为，， 则，， 所以或. （3）因为，，可知， 则，且， 又因为，可得， 所以实数的取值集合为. 40．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合中的元素个数与容斥原理 集合中元素的个数：（card是英文cardinal基数的缩写） 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则. 看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔､钢笔､橡皮､笔记本､方便面､汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔､铅笔､火腿肠､方便面共4种，两次一共进了几种货？ 回答两次一共进了种，显然是不对的，让我们试着从集合的角度考虑这个问题 用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，就有： 圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水， 圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面 这里.求两次一共进了几种货，这个问题指的是求.这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是，之间有什么关系呢？ 可以算出一般地，对任意两个有限集合，有 再来看一个问题.学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生是球类运动会参赛的学生 那么是两次运动会都参赛的学生是所有参赛的学生， . 所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.我们也可以用Venn图来求解. 在上图中相应于的区域里先填上，再在中不包括的区域里填上 ，在中不包括的区域里填上最后把这三个数加起来得17，这就是.这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三个以上集合的并､交的问题）更能显示出它的优越性.对于有限集合，你能发现之间的关系吗？通过一个具体的例子，算一算. 有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合，如 我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少.你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？ 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理. 1.两个集合的容斥原理 用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.一般地，对于任意两个有限集合，有. 如图所示： 2.三个集合的容斥原理 一般地，对于任意三个有限集合，有根据阅读材料作答下列问题： (1)某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有__________人. (2)已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②； ③；④. 注：其中分别表示中元素的个数. ①如果集合中只有一个元素，那么__________； ②如果集合中有3个元素，则有序集合对的个数是__________. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，只选择舞蹈和唱歌的人数为，只选择舞蹈和体育的人数为，只选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求. （2）①依题意可得集合中有4个元素，则，即可得解；②分析可得，即可列出集合，从而得解. 【详解】（1）如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． （2）①如果集合中只有一个元素，则集合中有个元素， 由，可得，即； ②如果集合中有个元素，则集合中有个元素， 所以，， 即， 所以, 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上有序集合对的个数是个. 题型五 根据交、并、补的运算结果求参数 41．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得的取值范围. 【详解】因为集合， 所以， 由于， 所以. 故选：A. 42．（22-23高三上·山西·阶段检测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 43．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 44．（25-26高一上·新疆·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为集合或，，且，则，故. 故选：A. 45．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 46．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】ABC 【分析】A解即可；B根据列不等式组；C根据，再分类讨论即可；D假设可得，再根据以及即可求出. 【详解】若，则，得，故A正确； 若，则，则，得，故B正确； 若，则， 若为空集，则，得； 若不为空集，则，，，得， 综上，，故C正确； 若，则，，且，由C选项可知，， 假设，则，得，故， 综上，，故D错误； 故选：ABC 47．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 48．（25-26高三下·上海·阶段检测）集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据题意，得到，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，所以集合， 又因为集合，，且， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 49．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据并集、交集的定义求解即可； （2）分、两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，又， ，． （2）由， 若，则，解得； 若，则或，解得. 综上所述，实数的取值范围为． 50．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 51．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得； （2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求得. 【详解】（1），. 因为，所以，则， 即，解得或. 验证：当时，， 则，满足题意； 当时，， 则，不满足题意. 综上可知，若，则，此时. （2）若，则，又， ①当时，则关于的方程没有实数根， 则，解得， 故当时，满足题意； ②当，即时， 若集合中只有一个元素，则， 即当时，，，满足题意； 若集合中有两个元素，则， 即当时，要使，则， 所以和是方程的两根， 则由韦达定理得，解得，满足条件. 综上所述，或. 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期同步考点专项训练（人教A版） 1.3 集合的基本运算 高频考点归纳 题型一：交集、并集的概念及运算 题型二：补集的概念及运算 题型三：交、并、补的混合运算 题型四：Venn图的综合应用 题型五：根据交、并、补的运算结果求参数 题型一 交集、并集的概念及运算 1．（2026·陕西·三模）已知集合，，则中的元素个数为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（26-27高三上·重庆巴南·开学考试）已知集合，，则（      ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·一模）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·四川成都·期中）集合，集合，下面说法正确的是（    ） A．两个集合的交集是 B．两个集合没有并集 C．B集合的元素无法用这种形式表示出来 D．集合A有6个子集 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段检测）（多选）设集合，，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东惠州·阶段检测）（多选）已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 7．（2026高三下·重庆·竞赛）设集合，其中为实数．令集合，若恰有一个元素，则的元素之和为________． 8．（25-26高二·全国·暑假作业）设，，，则________，________． 9．（25-26高一上·安徽淮北·阶段检测）已知全集，集合，或．求，； 10．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）已知集合． (1)当时，求． (2)当时，求． 题型二 补集的概念及运算 11．（25-26高一下·广西南宁·期末）设全集，集合，则（     ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知全集，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二下·浙江温州·学业考试）已知全集，集合，则集合为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）（多选）已知集合，集合，则下列选项中属于的元素有（    ） A．e B．2 C．0 D．－3 16．（专题01集合与逻辑（期末复习讲义）高一数学上学期湘教版）（多选）（多选）已知集合，，，则（　　） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·陕西榆林·期末）已知全集，集合，则集合中元素的个数为_________. 18．（25-26高一上·河北·期中）已知全集，则实数___________． 19．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）全集 或，求 a. 20．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合， (1)求； (2)若全集，求. 题型三 交、并、补的混合运算 21．（25-26高一下·贵州遵义·期中）设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·广东揭阳·期末）已知全集，且，则集合（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一下·河南新乡·期末）设全集，集合，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2026高一·全国·专题练习）若全集，，，则集合等于（ ） A． B． C． D． 25．（25-26高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知是两个非空的集合，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 27．（24-25高一上·山东青岛·阶段检测）（多选）设全集，集合，，若，，，则（   ） A． B． C．真子集的个数31 D． 28．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合为集合的非空子集，且，若，则______． 29．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 30．（25-26高一上·广西梧州·期末）已知全集，集合，， (1)求，； (2)求，. 题型四 Venn图的综合应用 31．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 32．（2026·广东广州·三模）已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 33．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 34．（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 35．（2025高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 36．（24-25高一上·云南昆明·期中）（多选）某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（    ） A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人 C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人 37．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）（多选）如图矩形表示集合，两个椭圆分别表示集合，，则图中的阴影部分可以表示为（   ） A． B． C． D． 38．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）（多选）已知U是全集，集合A，B的关系如图所示，则（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高一上·福建福州·期中）对于非空数集，定义的运算结果为图中的阴影部分表示的集合，定义    (1)结合Venn图，请用集合的描述法表示； (2)若，，求； (3)若，，且，求实数的取值集合． 40．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）集合中的元素个数与容斥原理 集合中元素的个数：（card是英文cardinal基数的缩写） 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则. 看一个问题，某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔､钢笔､橡皮､笔记本､方便面､汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔､铅笔､火腿肠､方便面共4种，两次一共进了几种货？ 回答两次一共进了种，显然是不对的，让我们试着从集合的角度考虑这个问题 用集合表示第一次进货的品种，用集合表示第二次进货的品种，就有： 圆珠笔，钢笔，橡皮，笔记本，方便面，汽水， 圆珠笔，铅笔，火腿肠，方便面 这里.求两次一共进了几种货，这个问题指的是求.这个例子中，两次进的货里有相同的品种，相同的品种数实际就是，之间有什么关系呢？ 可以算出一般地，对任意两个有限集合，有 再来看一个问题.学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生是球类运动会参赛的学生 那么是两次运动会都参赛的学生是所有参赛的学生， . 所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.我们也可以用Venn图来求解. 在上图中相应于的区域里先填上，再在中不包括的区域里填上 ，在中不包括的区域里填上最后把这三个数加起来得17，这就是.这种图解法对于解比较复杂的问题（例如涉及三个以上集合的并､交的问题）更能显示出它的优越性.对于有限集合，你能发现之间的关系吗？通过一个具体的例子，算一算. 有限集合中元素的个数，我们可以一一数出来.而对于元素个数无限的集合，如 我们无法数出集合中元素的个数，但可以比较这两个集合中元素个数的多少.你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？ 在计数时，要保证无一重复，无一遗漏，这种计数的方法称为容斥原理. 1.两个集合的容斥原理 用表示有限集合中元素的个数，例如：，则.一般地，对于任意两个有限集合，有. 如图所示： 2.三个集合的容斥原理 一般地，对于任意三个有限集合，有根据阅读材料作答下列问题： (1)某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有__________人. (2)已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②； ③；④. 注：其中分别表示中元素的个数. ①如果集合中只有一个元素，那么__________； ②如果集合中有3个元素，则有序集合对的个数是__________. 题型五 根据交、并、补的运算结果求参数 41．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 42．（22-23高三上·山西·阶段检测）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 43．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 44．（25-26高一上·新疆·期中）已知集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．（2026高一·全国·专题练习）（多选）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 46．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）已知集合 ，则（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 47．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 48．（25-26高三下·上海·阶段检测）集合，集合，若，则实数的取值范围是__________. 49．（25-26高二下·山西阳泉·期末）已知集合，集合． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 50．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 51．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设集合，. (1)若，求的值及集合； (2)若为实数集，且，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $