25.5 相似三角形的判定-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（冀教版·新教材）

高效同步练习25.5 第1课时 利用两角 知识点)两角分别相等的两个三角形相似 1.（3分)如图，AD与BC相交于点O,要使 △AOB与△DOC相似，可添加的一个条件是 () A.∠A=∠D B.∠A=∠B C.∠C=∠D D.∠AOB=∠DOC A > D 第1题图 第2题图 2.(3分)如图，在正方形ABCD中，点E,M是边 AD,CD上的点，BE,BM与AC交于点F,G.如 第 果∠EBM=45°，那么下列错误的是() 一十五 A.△AEF∽△CBF B.△CMG∽△BFG C.△ABG∽△CMG D.△ABF∽△CBG 3.新趋势·开放性试题(3分)如图，已知△ABC 中，D是AB上一点，添加一个条件 可使△ABC∽△ACD. B4 第3题图 第4题图 易错点对应角不确定导致漏解 4.(3分)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC= 16cm,点P从A开始沿AB边向点B以 2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分 别从A、B同时出发，经过ts时△PBQ与 △ABC相似，那么t的值为() 或2 4 A.2 B. c号 5 D4或2 28 15分钟同步练习，精炼高效 相似三角形的 判定两个三角 5.(8分)如图，在 ⊥AB于点D,M在边AC上，BM与CD交于点 E,作MN⊥BM交AB于点N. (1)求证：∠BCD=∠A; (2)求证：△AMN△CBE. 6.数学思想·分类讨论(9分)如图，在矩形AB- CD中，AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的 速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动 点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点 B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒(0<t< 5).t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与 △ABC相似？ {考点小九年级数学上册 第2课时 利用两边和 知识点两边成比例且夹角相等的两个三角形 相似 1.（3分)如图，能使△ABC△AED成立的条件 是() A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED C.AC_AB “ADAE D BC AD EDAC 2.(3分)在△ABC和△DEF中，AB=AC,DE= DF,根据下列条件，一定能判断△ABC和 △DEF相似的是() AB AC AB AC A.DE DF B. DEEF C.∠B=∠D D.∠A=∠D 3.(3分)下列与图中的三角形相似的是() A.2 人75°2 2 30° D. 40° 2 1.5301.5 B 第3题图 第4题图 4.（3分)如图，AD∥BC,AC、DB相交于O点，点 台在极L,且品8则下列结论正确的 是() BE BO AO EO A. B. BA BD CBC C.△AOD≌△COB D.△AOE∽△BOC 25分钟同步练习，精炼高效 长角判定两个三角形相似 5.（3分)如图，已知点M、N分别在正方形ABCD 的边BC、cD上，BM=2,CM=4,CN=那么 可以判断△ABM与△MCN （选 填“相似”或“不相似”). D M B 第5题图 第6题图 6.新趋势·开放性试题(3分)如图，△ACD的三 个顶点均在1×4的网格的格点上，现任选三 个格点，组成一个格点三角形与△ACD相似 第 (不全等)，则这个格点三角形可以是 （写出一个即可)： 一十五章 7.(3分)如图，在四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD,且AC2=AB·AD,∠BCD=150°，则 ∠BAC= D 8.（7分)如图，已知点D,E分别在△ABC的边 AC,AB上，AE=2,AD=3,AC=4,AB=6.求证： △ADE∽△ABC. (考点刀九年级数学上册 29 9.（8分)下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的 两条边和另一个三角形的两条边对应成比 例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC和△DEF中，DEEF, AB BC ∠B=∠E 求证：△ABC∽△DEF. 请你完成此定理的证明过程， 第二十五章 10.(9分)如图，在菱形ABCD中，∠C=60°，AB =4,点E是边BC的中点，连接DE、AE、BD. (1)求DE的长； (2)点F为边CD上的一点，连接AF,交DE 于点G,连接EF,AF⊥EF.求证：△AGE ∽△DGF. 30 25分钟同步练习，精炼高效 11.(11分)【问题背景】 (1)如图1，已知△ABC∽△ADE.求证： △ABD∽△ACE. 【尝试应用】 (2)如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC= ∠DAE=90°，∠ADE=∠ABC=30°，AC与DE 相交于点F,点D在BC边上，BD ,0=3,求D CE 的值 【拓展创新】 (3)如图3，D是△ABC内一点，∠BAD= ∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4,AC=2V3, 直接写出AD的长 图2 图3 (考点刀九年级数学上册 第3课时 利用三边 和直角三角开 知识点①三边成比例的两个三角形相似 1.（3分)已知△ABC的三边长分别为6,7.5,9， △DEF的一边长为4cm,当△DEF的另两边 长是下列哪一组时，这两个三角形相 似() A.2,3 B.4,5 C.5,6 D.6,7 2.(3分)如图，△ABC顶点均在正 A 方形网格格点上，下列阴影部分 的三角形与△ABC相似的是( D 3.(3分)在如图所示的象棋盘（各个小正方形 的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要 使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三 角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成 的三角形相似，则“马”应落在( 马 1 相 车炮 A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 BC 4(3分)如图，若机。 AC ）AE 则△BAC ∽△DAE.括号里应填入 第4题图 第5题图 5.(3分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为 1,△ABC的顶点都在格点上，点P1、P2、P3、 P4、P,、A、C是△ABC边上的7个格点，请在这 7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶 点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意 的三角形共有 个 25分钟同步练习，精炼高效 判定两个三角形相似 形相似的判定 6.(3分)已知在△ABC和△DEF =3,AC=4,DE=6,EF=9,DF=12,则△ABC 与△DEF的关系是 （填“相似”或 “不相似”) 7.(8分)如图，已知0为△ABC内一点，D,E,F 分别是OA,OB,OC的中点. (1)求证：△DEF∽△ABC. (2)图中还有哪几对相似三角形？ 第二十五章 知识点②斜边和一条直角边成比例的两个直 角三角形相似 8.(7分)如图，已知AB=10,BC=8,DE=5,DF= 3,且∠C=∠F=90°，求证：△ABC∽△DEF (考点刀九年级数学上册 31 9.(7分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是 BC上一点，已知CD=1,AD=√5，AB=25.求 证：Rt△ADC∽Rt△BAC. 童 一十五 10.(9分)如图，在正方形ABCD中，点M,N分 别在AB,BC上，AD=4,AM=1,MN=3 4 (1)求证：△ADM∽△BMW; (2)DM与MN有什么位置关系？请说明 理由。 AM B 32 25分钟同步练习，精炼高效 11.(11分)如图1，在△ABC和△A'B'C中，D、 D分别是4"g上的一点沿份 D A'D' 图1 AD.'四①AD=AB②A ③△ADC∽A'D'C' ④ ⑤ △ABC∽A'B'C AC AB AC AB 图2 0)当品-瓷-经时，求证△4c △A'B'C.证明途径可用框图2表示，请填写 其中的“▲”部分 (2)当CD=4B=BC时，判断△ABC与 CDABB'C △A'B'C是否相似，并说明理由. (考点刀九年级数学上册BC,AG=BC,AB=CG=3.∠GAD=90°，∴.∠AEB=90°，在Rt △ABE中，由勾股定理可得：BE=√AB2-AE2=√5..·△AEB BE AB 1 ADEC,CE-CD=2CE=25 BC=BE+CE=35, AG=BC=35 高效同步练习25.5相似三角形的判定 第1课时利用两角判定两个三角形相似 1.A2.D 3.∠ADC=∠ACB(答案不唯一) 4.B【解析】由题意，得AP=2cm,BQ=4tcm..'AB=8cm,BC= 16cm,∴.BP=(8-2t)cm。①当∠BPQ=∠C时，，∠B=∠B, BP BQ 8-2t 4t 4△QBP△ABC,BGB168,解释E 5②当 BP BQ ∠BPQ=∠A时，LB=LB,.△PBQ△ABC,ABBC 8.2=牡，解得=2，综上所述，1的值为4或2，故选B。 5.证明：(1)∠ACB=90°，.∠BCD+∠ACD=90°.CD⊥AB, .∴.∠A+∠ACD=90°，∴.∠BCD=∠A; (2)LACB=90°，∠BMC+LCBE=90°：MN L BM, ∠AMN+∠BMC=90°，.∴.∠CBE=∠AMN,又由(1)可知：∠BCD =LA,.△AMN∽△CBE. 6.解：在Rt△ABC中，AC=√AB+BC2=10(cm).:∠PCQ= ∠ACB,当∠PQC=LB时，△CQP∽△CBA,则C=,即 10-2t 10 8,解得1=0， 13:当∠PQC=∠BMC时，△CQP~△CMB, 810解得1=25 则P-c,即10-24-t CB CA' 综上所述：为智或 25 s时，以PQ、C为顶点的三角形与△ABC相似. 第2课时利用两边和夹角判定两个三角形相似 1.C2.D3.C4.A 5.相似6.△ECA(答案不唯一) 7.30【解析1：AC2=AB·AD,∴ADAC AC AB AC平分∠BAD,. ∠BAC=∠CAD,.△ABC∽△ACD,.∠B=∠ACD,.∠B+ ∠ACB=∠ACD+∠ACB=∠BCD=150°，∴.∠BAC=180°-（∠B +∠ACB)=30°. AE1_AD又： 8.证明：AE=2,AD=3,AC=4,AB=6,六AC2AB ∠DAE=∠BAC,.·.△ADE∽△ABC. 9.证明：在DE上取点M,使ME=AB,过点M作MN∥DF交EF 于点N,则△MEN△DEF,DE-FE DE EF' ME NE AB BC ME=AB,∴ 、C-,BC-NE.LB=LE,△ABC≌△MEN(SAS),心 △ABC∽△DEF. 10.(1)解：四边形ABCD是菱形，CB=CD.∠C=60°， △CDB是等边三角形，.DB=DC=BC=AB=4.:点E是边 BC的中点，CE=2BC=2,DE1BC,DE=√DC-CE= /42-22=25. (2)证明：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC.,·DE⊥BC,AF ⊥EF,∴.∠DEC=90°，∠AFE=90°，∴.∠ADG=∠DEC=∠GFE AG DG =90°.又.∠AGD=∠EGF,∴.△AGD∽△EGF, EG FG DGFC:LAGB=LDGF,.△AGE△DGF AG EG 11.（1)证明：.·△ABC∽△ADE,. ABAD ∠BAC=∠DAE,. AC AE' ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE. (2)解：连接CE,设BD=t,则AD=√3BD=√3k..·∠BAC= ZDA,ZARG-LADE,△ABG心△ADE.A8AGA8 AE:LBAC=∠DAE,.LBAD=LCME,△ABD∽△ACE, A B_AG在△ABC中，LBAC=90°，LABC=30,AGC BDAB 同步练习，精炼高效抓考 ,CEAC√3 38D=34D BC.:.AB=BC,BDAB3CsY3 =3,cE 3.∠ADE=LABC,∠ABC=∠ACE,∠ACE=∠ADE.又： ∠AFD=∠EFC,.△ADF∽△ECF,CFEC DF AD 3. (3)解：AD的长为W5. 第3课时利用三边判定两个三角形相似 和直角三角形相似的判定 1.C2.A3.B4.DE 5.6【解析】设网格的边长为1.则AC=2√2，AB=4√2，BC= 2√0.连接P,P,AP,=2,AP,=22,P,P,=√0.“AC AB P.P.AP. =2,.△ACB△APP2·同理可找到△P2P4P5, △CP4P,△ACP1,△AP2P4,△APP,和△ACB相似，共6个. 【方法指导】在网格中利用三边长判定两个三角形是否相似的 步骤：“一排二算三判”.一排：将三角形的三边按长短顺序排 列；二算：分别计算它们对应边（长边对长边，短边对短边）的 比值；三判：根据比值是否相等来判断两个三角形是否相似. 6.相似 7.(1)证明：D,E、F分别是0A,0B,0C的中点，DB=2AB, C分c即6既g△DRAAIG (2)解：△ODF∽△OAC,△OEF∽△OBC,△ODE∽△OAB. 8.证明：DE=5,DF=3,∠C=∠F=90°，.EF=√DE2-DF= 4.:AB=10,BC=8,DE5 AB 10 。BC8 .AB BC =2,84=2,0EEP △ABC∽△DEF. 9.证明：，·∠C=90°，CD=1,AD=√5，∴.Rt△ACD中，AC= AD CD 1 VAD-CD=2:∠C=90°，AB=25,B1AC2.R △ADC∽Rt△BAC. 10.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB=AD=4,∠A=∠B =90..AM=1...BM=AB-AM=4-1=3,DM=VAD2+AM= 17,在Rt△ADM和Rt△BMN中，AD=4DMV17 'BM3MN=317= 4 AD DM 3 BMMN△ADM∽△BMN. (2)解：DM⊥MN.理由如下：.：△ADM∽△BMW,∴.∠ADM= ∠BMN.∠A=90°， .∠ADM+∠DMA=90°，∴.∠BMN+ ∠DMA=90°，.∠DMN=90°，.DM⊥MN. CD AC AD 11.解：(1) CD'A'C'A'D' ∠A=∠A 《2)△ABG与△ABC相似，理由如下：化，：40 AB =A'B'-A'D' AB即BDBD·BDAB AB4 BBD AB又：C0 AB C'D'AB= BC CD BD BC B'CCDB"DB'C△BDC∽△B'D'C,.LDBC= ∠D'B'C:又BC-AB B'CAB.△ABC△A'B'C 高效同步练习25.6相似三角形的性质 1.B2.B3.124.D5.C 6.60【解析】小.6：24=1：4，∴.(4+5+6)×4=60 7.B 8.4【解析】S△MBc:Sm边形BDc=1:3,SAABC:Sa42E=1:4. .SAE=BC)2 △ABC~△ADE,BC=2,六SADE /21 1 DE)DE)= 4,.DE =4 9.1:9 0.解：=△ABC∞△MBC,g=2,AB边上的中线CD= CD 1 4em,CD=C'D'=8cm; AB 1 (2):△ABC一△A'B'C,Ag=2,△ABC的周长为20m, 点 J刀九年级数学上册 73