25.4 相似三角形+25.5 相似三角形的判定 6大题型（分层作业练题型）数学新教材冀教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以“相似三角形判定”为核心，采用A/B/C组+拓展四层递进设计，从单一判定方法到综合应用再到中考链接，构建“基础巩固-能力提升-思维拓展-中考衔接”的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组 巩固过关|平行判定、两角相等、两边成比例及夹角、三边成比例等单一判定方法|选择/填空/解答题结合，聚焦基础考点，培养推理意识| |B组 能力进阶|判定方法综合应用、动态问题、作图与相似结合|含动点相似、面积计算等中档题，发展几何直观与运算能力| |C组 思维拔高|复杂图形相似、多解问题、跨知识整合|涉及格点三角形、运动时间分类讨论，提升创新意识| |拓展 链接中考|中考真题及模拟题|直接对接中考题型，强化应用意识与模型观念|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 25.4相似三角形+25.5相似三角形的判定 目录 分层作业 A组巩固过关 题型01平行判定相似 题型02两角相等判定相似 题型03两边对应成比例及夹角相等判定相似 题型04三边成比例判断相似 题型05相似三角形的判定综合 题型06补充条件使三角形相似 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01平行判定相似 1 1.C 2.A 40.75 3. 4. 3 题型02两角相等判定相似 5.B 6.C 7.相似 8.①②或①③ 题型03两边对应成比例及夹角相等判定相似 9.B 10.D 11.①②或①③ 1/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.证明：AB=6,AC=8,BD=2,CE=5, .AE=AC-CE=8-5=3,AD=AB-BD=6-2=4, :AE=3=1AD-4=1 .AB62'AC82 AE_AD_1 AB AC 2' .∠A=∠A, .△AED一△ABC. 题型04三边成比例判断相似 13.C 14.C 15.相似 l6.(1)证明：.D、E、F分别是OA、OB、OC的中点， DE=号AB,FE-BC,DF=AC,即沿B品AC立 DE_EF_DF_1 21 ∴.△DEF△ABC: (2)解：D、E、F分别是OA,OB,OC的中点， .DE-AB.EF-BC,DF-TAC.OG-20F,OA-20D,OB-20E, OF_OD_DF_1 OF_OE_EF_1 OD_OE_DE_1 OC-OAAC-2'OC-OB BC 2'OA OB AB 2' ∴△ODF~△OAC,△OEF一△OBC,△ODE一△OAB 题型05相似三角形的判定综合 17.C 18.D 19.是 20.△ACD和△CBD 题型06补充条件使三角形相似 21.D 22.D 23.∠ABC=∠D(答案不唯一) 24.∠AEF=∠C(答案不 唯一) 2/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.D 2.c 3.c 4月 5.3 6.3或4.8 7.解：EG=GH=HI=IF, EG=1. FG3' EH=FH, .AD‖BC, ∴.∠EDH=∠FBH, 在△DEH和△BFH中， i, ∴.△DEH≌△BFH AAS, ..DE=BF, .AD‖BC, ∴.△AEG一△BFG, AE_EG_1 BFFG 3' :AE=BF=号DE, 3 恶专 8.(1)证明：，四边形EFGH是矩形， .EH‖BC, ∴，△AEH一△ABC: (2)解：设正方形EFGH的边长为X,则EH=EF=x,AN=AD-EF=4-x. .△AEH一△ABC, 即4合解得x AN EH4-x_x ·ADBC, 5 2 :EH的长为5 9.(1)证明：BC2=CD·AC=6, BC_CD ∴ACCB 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠C=∠C, .∴△CBD-△CAB, (2)解：BC2=CD·AC=6,BD=AC=3, :.CD=2,BC=V6! .△CBD~△CAB, BD=CD=2 .ABCB石， :AB=36 2· C组 思维拔高 3. 3-3 1.D 2.B 3 4.② 5.解：在矩形ABCD中，∠B=90°， AC=VAB2+BC2=V62+82=10, 由题意，有AP=2t,CQ=t, ∴.PC=10-2t, .①当∠PQC=90时，如答图1， .'∠B=∠PQC=90°∠ACB=∠PCQ B 图1 .△PQC-△ABC, .co 10-2t_t C会BC,即10 .40 解得t=13秒： ②当∠CPQ=90°时，如答图2， 416 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D .∠ACB=∠QCP∠B=∠QPC 图2 .△CPQ~△CBA, .CP=CQ 10-2t-t ,BCAC,即8=10 解牙秒。 40.,25 综上所述，t为13秒与行秒时，△CPQ与△CAB相似. 拓展 链接中考 1.∠ADE=∠B(答案不唯一)· BD_BD 2.解：若选①CDCD 证明：，△ACD一△ACD, AD CD :∠ADC=∠ADC,ADCD ∴.∠ADB=∠ADB, BD_BD CD CD BD CD BD CD' AD_BD ·ADBD 又∠ADB=∠ADB, ∴.△ABD-△ABD BA BA 选择②CDCD,不能证明△ABD-△ABD. 若选③∠BAD=∠BAD, 证明：，△ACD一△ACD, 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠ADC=∠ADC,∴.∠ADB=∠ADB, 又，∠BAD=∠BAD, ∴.△ABD一△ABD. 3.(1)证明：连接PN,如图1， 在△PQN和△NMP中， PQ=MN,QN=PM,PN=NP, ∴.△PQN≌△NMP SSS, ∴.∠QPN=∠MNP, ∴.PM‖QN(内错角相等，两直线平行)· PHO zZ27777777777777777777777777 图1 (2)解：由题意，墙面l⊥地面，AB⊥OD,PQ⊥l,DB⊥L, ∴.PQ‖DB,AB‖CD ∴.∠PQB=∠DBQ=∠QPD=90°， ∴.四边形PQBD是矩形， ∴.PQ=BD=10 又.'∠AOB=∠COD,∠CDO=∠ABO=90°， .△OAB~△OCD, ABOB ·CDOD .AB=57,OB=OD-BD=190, ∴.CD=57 200=60: 190 .CD的长度为60cm, 616 分层作业 25.4 相似三角形+25.5 相似三角形的判定 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 题型02 两角相等判定相似 题型03 两边对应成比例及夹角相等判定相似 题型04 三边成比例判断相似 题型05 相似三角形的判定综合 题型06 补充条件使三角形相似 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 1．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、利用平行四边形的性质求解、利用两角对应相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】根据平行四边形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定进行分析即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴ ，， ∴ ， ∵， ∴，即，是一对特殊的相似， ∴相似的两个三角形共有6对． 2．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例线段、由平行截线求相关线段的长或比值、利用平行判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，关键是构造辅助线，通过平行线得到相似三角形，再利用相似比求解线段比例． 【详解】解：设每个小方格的边长为1，连接，． 由网格可知，与平行且， 易证， 因此， 即； 故选：A． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用平行判定相似 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. （25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上， ，若，，则_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型02 两角相等判定相似 5．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】已知条件，两边同时加上，可推出，也就是两个三角形已经有一组对应角相等了，再根据相似三角形的判定定理逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴，即， A．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； B．∵，，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，∴； C．∵的两组对应边，不是和的夹边，∴不能判定两个三角形相似； D．∵，且夹角，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，∴． 7. （26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用两角对应相等判定相似 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，结合已知可得，，由两角相等可证． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴，， ∴． 8. （2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 题型03 两边对应成比例及夹角相等判定相似 9．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【详解】解：A、，，由两角对应相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； B、，但对应成比例的两边的夹角不一定相等，无法得出剪下的阴影三角形与相似，符合题意； C、，，且，由两边对应成比例及夹角相等，可得出剪下的阴影三角形与相似，不符合题意； D、由，，可得出，不符合题意． 10. （26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】结合相似三角形的判定定理分析各选项即可． 【详解】解：如图， A、，， ， 不能判定和相似，不符合题意； B、，和不是对应边，不能判定和相似，不符合题意； C、，和不是对应角，不能判定和相似，不符合题意； D、，， ， 又， ，符合题意． 11．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【难度】0.59 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 12. 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 【答案】证明： ，，，， ，， ，， ， ， ． 【难度】0.75 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】根据题意可求出，，进而得到，结合，即可得证． 【详解】略 题型04 三边成比例判断相似 13. （25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 结合网格图与勾股定理，计算出每个三角形的三边长，利用三边对应成比例的判定定理判断相似三角形． 【详解】解：由网格图和勾股定理可得， ①中三角形的三边长为，，； ②中三角形的三边长为，，； ③中三角形的三边长为，，； ④中三角形的三边长为，，； ∵， ∴①和③中的三角形相似． 故选：C． 14. （25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 15. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 16. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 【答案】(1)证明：分别是的中点， ，，，即， ； (2)，， 【难度】0.65 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用三边对应成比例判定相似 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，推出，即可得证； （2）根据三角形的中位线定理，以及三边对应成比例的两个三角形相似，得到，，即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵D、E、F分别是的中点， ，，， ∴ ∴，，. 题型05 相似三角形的判定综合 17．如图，在中，点D、E分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、选择或补充条件使两个三角形相似、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】明确公共角是和的公共内角，这是判断相似的基础条件．逐个分析给出的条件：如果条件能得到两个三角形另一组对应角相等，或者得到夹的两组对应边成比例，那么可根据相似三角形的判定定理判断两个三角形相似．对应边成比例的条件需注意匹配的对应顶点关系，对应边需满足对应、对应的比例关系． 【详解】解：①由，则可判断； ②，则有，则可判断， 故不能确定； ③，，则可判断； ④，可化为，此时不确定，故不能确定； ⑤由，则可判断； 所以能满足的条件是：①③⑤，共3个， 故选C． 18．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理分别判断即可． 【详解】解：在图1中，三角形内角和为， ∴左三角形的第三个角：， ∴三个角为； 右三角形的第三个角：， ∴三个角为； 两个三角形只有一个角相等，三个角不对应相等， ∴图1的两个三角形不相似； 图2中和，和是对顶角， ∴； 夹对应角的边满足：，， 即， ∴图2的两个三角形相似． 19．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的两个三角形_______相似三角形（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【知识点】三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定综合 【分析】分别求出两个三角形的三个内角，再看是否有两角分别相等． 【详解】解：对于左边的三角形，已知两个角分别为和，根据三角形内角和为，可得第三个角为： ． 对于右边的三角形，已知两个角分别为和， ∵两个三角形有两个角分别相等， ∴这两个三角形是相似三角形． 故答案为：是 20. （25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两角对应相等判定相似 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 题型06 补充条件使三角形相似 21. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 22. （25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【详解】解：A、由可得：，即，则根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； B、由可得：，则根据“一个角对应相等且它们的夹边对应成比例的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； C、由根据“两个角对应相等的两个三角形相似”可判定，故不符合题意； D、由，不能判定，故符合题意． 23. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似的判定方法解答即可． 【详解】解：在和中，已知， 有以下三种情况： ①当时，； ②当时，； ③当时，． 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】由条件可知和有公共角，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，即可使得． 【详解】解：在和中，， 添加一组对应角相等可得，添加条件为：或； 添加和的两边对应成比例，可得，添加条件为； 因此添加的条件可以是：或或． B组 能力进阶 1. （25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、三角形角平分线的定义、利用平行判定相似 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 2. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【知识点】利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似、利用平行判定相似 【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解： ，， ，故①符合题意； ， ，不能判定，故②不符合题意； ③ ，且夹角， ，故③符合题意； ④ ， ， 不确定， 不能确定，故④不符合题意； ⑤ ，， ，故⑤符合题意； 综上所述，能满足的条件有个， 故选：C． 3. （25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两角对应相等判定相似、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 4. （2026·内蒙古通辽·二模）如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、利用平行判定相似 【分析】延长和交于点，作交于点，设，则，根据“三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形是矩形，从而，，利用，可得，可求，再根据角平分线的定义和平行线的性质，得，进而，利用勾股定理，列方程，求出，最后根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：延长和交于点，作交于点， 设，则， ，， ，即四边形是矩形， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ，即， ， 平分， ， ， ， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ，， ． 5. 如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 【答案】3 【知识点】公式法解一元二次方程、两直线平行同旁内角互补、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】设，则，分两种情况：①当时；②当时；分别得出x的方程，解方程得出的长，即可得出结论． 【详解】∵，， ∴， ∴， 设，则， 分两种情况： ①当时， 即， 解得：； ②当时， 即， 解得：或4， 综上，当或3或4时，与是相似三角形，共3个． 6. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 【答案】3或 【难度】0.65 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形——动点问题 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 7. （2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合、利用平行判定相似 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； (2)的长为 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、利用相似三角形的性质求解、利用平行判定相似 【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线判定三角形相似，再结合相似三角形的对应高的比等于相似比建立方程求解． （1）根据矩形对边平行的性质得到同位角相等，再依据两角分别相等的两个三角形相似，证明； （2）设正方形边长为未知数，结合正方形性质表示出相似三角形的对应高，利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程，求解得到正方形的边长即的长． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形的边长为，则，． ∵， ∴，即，解得， ∴的长为． 9. （2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【知识点】利用相似三角形的性质求解、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． C组 思维拔高 1．（25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】作角平分线(尺规作图)、利用平行四边形的性质求解、三角形角平分线的定义、利用平行判定相似 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定综合 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．由，，得，则，由，得，因为，所以，则，所以，则，进而可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 故选：B． 3． （2026·浙江温州·一模）如图，已知在中，，是上的高线，点是上的一点，交于点．过点作交于，连接，若，的面积为，则的面积为______． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一、相似三角形的判定与性质综合、利用平行判定相似 【分析】根据等腰三角形三线合一可得平分，， 根据平行线的性质结合角平分线的性质等量代换即可证得，设，则， 证明，根据相似三角形的对应边成比例可得的长，进而可得，的长，过点作交于点， 利用平行线分线段成比例定理求出的值，最后利用面积公式求解即可． 【详解】解：，是边上的高线，的面积为， 平分，， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ，即 整理得， ，， ， ，， 如图，过点作交于点， 是的中点， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ． 4. （25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 【答案】② 【知识点】利用三边对应成比例判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，即三边对应成比例的两个三角形相似. 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 计算“帅”“相”“兵”所在位置构成三角形的三边长度，依次设三边长度为a，b，c，根据勾股定理可得： 设“马”“车”“炮”所在位置构成三角形的三边长度分别为m，n，p， ①当“马”落在①时，       计算三边比例关系， 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故①错误； ②当“马” 落在②时，          计算三边比例关系： 所以三边成比例，则两三角形相似 ，故②正确； 当“马”落在时， 计算三边比例关系： 所以三边不成比例，则两三角形不相似，故错误； ④ 当“马”落在④时，          计算三边比例关系：       所以三边不成比例，则两三角形不相似，故④错误； 综上：②正确. 5. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形——动点问题、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1，   ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2，   ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 拓展 链接中考 1．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 【答案】∠ADE=∠B（答案不唯一）． 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】已知有一个公共角，则可以再添加一个角从而利用有两组角对应相等的两个三角形相似来判定或添加夹此角的两边对应成比例也可以判定． 【详解】解∶∵∠A=∠A， ∴根据两角相等的两个三角形相似，可添加条件∠ADE=∠B或∠AED=∠C证相似； 根据两边对应成比例且夹角相等，可添加条件证相似． 故答案为∶∠ADE＝∠B（答案不唯一）． 2．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【答案】 解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 3. （2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【难度】0.65 【知识点】根据平行线判定与性质证明、用SSS间接证明三角形全等（SSS）、根据矩形的性质与判定求线段长、相似三角形实际应用 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 25.4 相似三角形+25.5 相似三角形的判定 目 录 分层作业 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 题型02 两角相等判定相似 题型03 两边对应成比例及夹角相等判定相似 题型04 三边成比例判断相似 题型05 相似三角形的判定综合 题型06 补充条件使三角形相似 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 A组 巩固过关 题型01 平行判定相似 1．如图，点在的边的延长线上，连接分别交于F、G．图中相似的两个三角形共有（   ） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 2．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　　) A． B． C． D． 3．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 4. （25-26九年级上·四川广元·阶段检测）如图，在中，点，分别在，上， ，若，，则_____． 题型02 两角相等判定相似 5．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知，如图，下列条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 7. （26-27九年级上·全国·课后作业）在中，，；在中，，，那么与________（选填“相似”或“不相似”）． 8. （2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 题型03 两边对应成比例及夹角相等判定相似 9．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，已知，，，．将沿图中的剪开，则剪下的阴影三角形与不相似的是（     ） A． B． C． D． 10. （26-27九年级上·全国·课后作业）在和中，，，根据下列条件，一定能判断和相似的是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·四川乐山·一模）如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 12. 如图，在中，，，点、分别在线段、上，，，求证：． 题型04 三边成比例判断相似 13. （25-26九年级上·重庆·阶段检测）如图，在大小为的正方形网格中，是相似三角形的是（    ）． A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 14. （25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 15. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 16. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知O为内一点，D、E、F分别是的中点． (1)求证：． (2)图中还有哪几对相似三角形？ 题型05 相似三角形的判定综合 17．如图，在中，点D、E分别在边上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．已知如图1，2中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图1，2中的两个三角形，下列说法正确的是（     ） A．都相似 B．都不相似 C．只有图1相似 D．只有图2相似 19．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的两个三角形_______相似三角形（填“是”或“不是”）． 20. （25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 题型06 补充条件使三角形相似 21. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 22. （25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在与中，，添加下列一个条件不能使的是（     ） A． B． C． D． 23. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，点C在边上，只添加一个______条件，使得． 24．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，中，点E，F分别是上的点，连接，请你添加一个条件_______，使得． B组 能力进阶 1. （25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3. （25-26九年级上·河南许昌·期末）如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 4. （2026·内蒙古通辽·二模）如图，在四边形中，，，，的平分线交于点，且．点在的延长线上，连接．若，则线段的长为______． 5. 如图，，，，，，点是上的一个动点点不与点，重合，连接，若与是相似三角形，则满足条件的点个数为______． 6. （26-27九年级下·全国·课后作业）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 7. （2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 8．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段检测）如图，在锐角三角形中，边，高，矩形的顶点，分别在，上，，在上，与交于点． (1)试说明：； (2)若矩形是正方形，求的长； 9. （2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． C组 思维拔高 1．（25-26九年级下·广东湛江·期中）在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽滁州·期末）如图，点D是边上一点，且，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 3． （2026·浙江温州·一模）如图，已知在中，，是上的高线，点是上的一点，交于点．过点作交于，连接，若，的面积为，则的面积为______． 4. （25-26九年级上·全国·课后作业）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点为格点）中，根据“马走日”的规则，“马”落在位置________（填序号）处时，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似． 5. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 拓展 链接中考 1．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件_________，使． 2．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 3. （2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $