24.1 一元二次方程&24.2 解一元二次方程-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（冀教版·新教材）

高效同步练习24 知识点①一元二次方程的定义以及一般形式 1.(3分)下列关于x的方程一定是一元二次方 程的是( ) A.ax2+bx+c=0 B.x2+1-x2=0 C.2+1-2 D.x2-x-2=0 2.（3分)一元二次方程2x2=x+3的二次项系 数、一次项系数、常数项分别是( A.2,-1,-3 B.2,1,3 C.2,0,-3 D.2,0,3 知识点②一元二次方程的解 3.(3分)下列各数是方程x2-x=12的根的 是() A.x=3 B.x=4 C.x=5 D.x=10 4.（3分)若关于x的一元二次方程x2+mx-3=0 的一个根是x=1,则m的值为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.（3分)已知x=1是关于x的方程x2+2ax+a2 =3的一个根，则代数式a2+2a的值为() A.-1 B.0 C.1 D.2 知识点③列一元二次方程 6.(3分)在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类 乘除捷法》中记载着这样一个问题：“直田积 八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问： 阔及长各几步？”也就是说：“一块长方形田地 的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这 块长方形田地的长、宽各多少步？”设长为x 步，则下列方程正确的是() A.x(x-12)=864 B.x(x+12)=864 C.x(12-x)=864 D.2(x+x+12)=864 易错点忽略二次项系数不为0的条件致错 7.(3分)若关于x的方程(m+1)xm+1+x-3=0 是一元二次方程，则m的值为 15分钟同步练习，精炼高效寺 1一元二次方程 8.(7分)一元二次方程ax2+bx+c=0 是1，且a,b满足b=√a-2+√2-a-1,求此一 元二次方程. 十四章 9.(7分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c =0,如果a,b,c满足3a-2b+c=0,我们就称这 个一元二次方程为美妙方程 (1)判断方程2x2-x-8=0是否为美妙方程， 并说明理由， (2)已知关于x的美妙方程ax2+2x+c=0的一 个根是-1，求这个美妙方程 (考点刀九年级数学上册 11 高效同步练习24.2 第1课时 知识点①用配方法解二次项系数为1的方程 1(6分)一元二次方程-y-0配方后可化 为() A(+分=1 第 一十四 c*= )2=3 4 D.(y-2 4 2.（3分)用配方法解一元二次方程x2-12x-5= 0,配方后得到(x-6)2=m,则m的值 是( A.31 B.41 C.14 D.37 3.（8分)用配方法解方程： (1)x2-4x-3=0. (2)x2-2x-5=0. 知识点②用配方法解二次项系数不为1的方程 4.（3分)用配方法解一元二次方程2x2+4x-5= 0时，将它化为(x+a)2=b的形式，则a+b的值 为( 9 7 A.8 B.2 C 2 0.2 5.(8分)解下列方程： (1)2x2-3x-6=0; 12 15分钟同步练习，精炼高效 解一元二次方程 配方法 易错点一元二次方程没有转化成(x+n)2=p的 形式就开始解方程 6.(3分)小刚用配方法解2x2-bx+a=0,得x2 3 2则6等于() =士 A.-6 B.-3 C.6 D.3 7.(3分)用配方法解一元二次方程时，往往先将 原方程转化为(x+a)2=b的形式.现如果用配 方法解一元二次方程x2-4x-2025=0,那么此 时a+b的值是 8.学习情境·过程性学习(9分)下面是小君同 学解一元二次方程3x2+8x-3=0的过程，请认 真阅读并完成相应的任务. 3x2+8x-3=0. 解：二次项系数化为1，得+-1=0， …第一步 配方，得2+8+ 3+(3)2-1=0, 4 …第二步 即(+1， …第三步 4 两边开方，得x+。=±1， …第四步 3 1 7 六X1=3*2=3 …第五步 (1)上面小君同学的解法中运用“配方法”将 该一元二次方程“降次”为两个一元一次方 程，体现了转化思想，其中“配方法”依据的一 个数学公式是 ； (2)上面小君同学的解题过程中，从第 步开始出现错误，写出正确的解答过程， [考点刀九年级数学上册 第2课时 知识点①一元二次方程根的判别式 1.（3分)一元二次方程x2-2x-5=0根的情况 为() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 2.（3分)若关于x的一元二次方程x2-4x+a=0 有两个相等的实数根，则实数a的值 为 知识点②用公式法解一元二次方程 3.（3分)用公式法解方程4x2+12x+3=0, 得() A.x=3±6 B.x=3±6 2 2 C.x=3±23 3±23 D.x= 2 4.(3分)若一元二次方程的根为x= -3±√32-4×2×1 ,则该一元二次方程可以 2×2 为() A.2x2+3x+1=0 B.2x2-3x+1=0 C.2x2+3x-1=0 D.2x2-3x-1=0 5.（7分)用公式法解方程：3x2-4x-8=0. 易错点)未对方程进行分类讨论导致漏解 6.（3分)关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1= 0有实数根，则飞的取值范围是( A.k>且k≠1 B.k≥且k≠1 1 C.k74 1 D.k≥4 15分钟同步练习，精炼高效寺 公式法 7.(8分)已知关于x的一元二次方程ax2+bx-2 =0(a≠0). (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是2，求代数式8a2+4b 的值. 8.（8分)已知关于x的一元二次方程b(x2-1)+ 2ax+c(x2+1)=0,其中a,b,c分别为△ABC三 边的长， (1)若x=-1是方程的根，试判断△ABC的 形状； (2)若方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状. (考点刀九年级数学上册 13 第3课时 知识点①用因式分解法解一元二次方程 1.（3分)一元二次方程x2-2x=0的两根分别 为() A.x1=x2=0 B.x1=x2=4 C.x1=0,x2=2 第 D.x1=2,x2=-2 令 2.（3分)关于x的一元二次方程的两根为x1= -1,x2=2,则这个一元二次方程可能是( A.(x+1)(x+2)=0 B.(x-1)(x-2)=0 C.(x+1)(x-2)=0 D.(x-1)(x+2)=0 3.(3分)如图，根据小明与DeepSeek的对话， DeepSeek在深度思考后，给出的答案 是( 有没有这样的数，先算这个数的平方，再 减去这个数的3倍，最后加上4，运算结 果是这个数的2倍？ A.1 B.4 c.-1 D.1或4 知识点②用合适的方法解一元二次方程 4.（3分)解方程5x2-9x+1=0最适当的方法 是() A.直接降次法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 5.(3分)定义新运算：对于任意实数m,n都有 m☆n=m2-mn+n,等式右边是常用的加法、减 法、乘法及乘方运算.例如：-3☆2=(-3)2 （-3)×2+2=17.若x☆4=1，求x= 易错点忽略方程成立的条件致错 2 6.（3分)若关于x的方程x2+2x-3=0与 x+3 有一个解相同，则a的值为( x-a A.1 B.1或-3 C.-1 D.-1或3 14 15分钟同步练习，精炼高效 因式分解法 7.(8分)下面是小明用因式分解法解一元二次 方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的 问题. 解一元二次方程：6x2-2x=1-3x 解：原方程可以化为：2x(3x-1)=-(3x-1) 第一步 两边同时除以(3x-1)得：2x=-1 第二步 1 系数化为1，得：x=- 第三步 2 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第 步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的 正确解题过程 8.文化情境·数学文化(8分)我国古代数学家 赵爽（公元3~4世纪）在其所著的《勾股圆方 图注》中记载过一元二次方程的几何解法，用 “拼”的方法完成了配方，例如：x2+2x-24=0, 可以变形为x(x+2)=24,用四个长为x+2、宽 为x、面积为24的矩形，拼成如图所示的大正 方形，利用大正方形的面积等于四个矩形的 面积加中间小正方形的面积可以得到(x+x+ 2)2=4×24+22 【模仿实践】 (1)用“拼”的方法解方程x2+5x-14=0,先变 形为 每个小长方形的长为 ,宽为 ,小正方形的面 积为 【深入探究】 (2)用“拼”的方法解方程2x2+5x=3,写出解 题过程 x+2 24 24x+2 x+224 24 x+2 (考点刀九年级数学上册答案详解详 高效同步练习23.1平均数与加权平均数 第1课时 算术平均数 1.B 2.D【解析】20-7-5=8（人）， 7×8+8×9+5×10 =8.9(分).故 20 选D. 3.C4.B5.D6.C7.D 8.解：(1)x=×(8.9+8.8+8.9+8.7)≈8.8（分）； (2)去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对 结果的影响. 第2课时加权平均数 1.D2.D3.B4.815.B 6,解：(1)甲的平均分是：85+89+81 =85(分)，乙的平均分是： 3 8+81+83=84(分).：85>84，“根据三项得分的平均分，甲同 W3 学排名靠前； (2)甲：85×209%+89×20%+81×60%=83.4（分），乙：88×20%+ 81×20%+83×60%=83.6(分).83.4<83.6，∴.乙同学排名 靠前. 高效同步练习23.2中位数与众数 1.B2.B 【易错提醒】确定一组数据的中位数的求法：注意找中位数的 时候一定要先排好顺序，如果数据有奇数个，则正中间的数据 即为所求：如果是偶数个，则找中间两位数的平均数。 3.A4.A5.56.A7.C 8.解：(1)1+1+1+3+6+1+11+2=26，平均数：(45000×1+18000×1 +10000x1+5500x3+5000x6+3400×1+3000×11+2000×2)×26 =6150(元)，中位数.3000+3400 3200(元)：众数为3000元. (2)乙的观点比较科学合理.用平均数来反映公司员工的月收 入水平受极端值的影响，只有3名员工达到平均水平」 9.B10.B11.B12.C 13.解：(1)684 （2),平均数相同，八年级成绩的中位数大于七年级，说明八 年级分数不低于88分的比较多，八年级成绩较好. 高效同步练习23.3四分位数与箱线图 1.D2.A 3.解：根据题意，先求这组数据的15%分位数和65%分位数.. 20x15%=3,所以m1,=7×(30+34)=32.:20×65%=13,所以 m65= 2×(53+55)=54,所以当x≤32时，空气质量为1星，当 32<x≤54时，空气质量为2星，当x>54时，空气质量为3星. 4.D 5.解：(1)10×50%=5，所以中位数为第5,6个数的平均数，即 o89491 =90,10×25%=2.5,所以第3个数为第一四分位， 2 即m25=70,10×75%=7.5,所以第8个数为第三四分位，即m5 =96: (2)如图所示： 09 70 60L 甲校 乙校 (3)根据箱线图和四分位数可知甲校成绩的中位数和乙校相 同，但甲校成绩明显比乙校的波动大， 高效同步练习23.4数据的方差 1.D2.B 3.A 【归纳总结】方差反映数据的离散程度，方差越大，数据的波动 越大，成绩越不稳定；方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定， 同步练习，精炼高效抓考 行·易错剖析 4.A5.A 6.解：(1)889 （2)乙成绩变化情况的折线如下： 10成绩/环 ---甲 8 -1--N 6-- 4 2 0 12345射击次序 (3)变小 (4)教练的理由是两人的平均成绩相同，而甲的成绩的方差 小，即甲的成绩较稳定. 高效同步练习23.5数据的分类 1.B 2.65,69,70 75,76,76,78,80,80,813.B4.24 5.解：将这组数据从小到大进行排列，得3.2,3.5,3.6,3.6,3.7， 3.8.将它们分成两组共有5种情况，如下： 分组 组内离差平方和 第一组1个，第二组5个 0.052 第一组2个，第二组4个 0.0725 第一组3个，第二组3个 0.107 第一组4个，第二组2个 0.1125 第一组5个，第二组1个 0.148 计算结果表明，第1个数据单独一组，后5个数据一组，组内离 差平方和最小，因此把螺丝帽按直径大小分成两组为{3.2}， {3.5,3.6,3.6,3.7,3.8. 高效同步练习23.6用样本推断总体 1.D 2.B【解折】0x(5x1+65x2+75×3+85×2+95×2)=77(分)， 故选B. 3.C4.A 5.解：(1)1588.596(2)280×10%+320× 3 -=76(人). 20 追梦第二十三章章末复习数据分析与统计估计 1.B2.A3.A4.D5.A6.D7.3 8.22【解析】由题可知，这五个数字为1,2,3,8,8.则这5个数 的和为1+2+3+8+8=22. 9.3010.86.5 11.解：(1)808280 (2)乙的总评成绩为84x3+82×3+80x4 81.8(分)，因为 3+3+4 81.8>81.4,所以乙排在甲的前面. 12.解：(1)6.576(2)乙 (3)选乙组参加决赛，理由如下：因为两组平均数相同，甲组 的方差大于乙组的方差，所以乙组的成绩比甲组稳定，故选 乙组参加决赛. 高效同步练习24.1一元二次方程 1.D 【知识点拨】一元二次方程需要满足的三个条件：1.是整式方 程；2.整理后的方程只含有一个未知数；3.整理后的方程未知 数的最高次数是2 2.A3.B 4.C【解析】把x=1代入方程x2+mx-3=0得1+m-3=0,解得m =2.故选C. 5.D【解析】小.x=1是关于x的方程x2+2ax+a2=3的一个根， ∴.1+2a+a=3,∴.a2+2a=2,故选D. 6.A 7.1【解析】小：关于x的方程(m+1)xm+1+x-3=0是一元二次 ∫m+1≠0 方程，{1+12解得m=1. 8.解：将x=1代入方程ax2+bx+c=0,得：a+b+c=0;又b= √a-2+√2-a-1,∴.a-2≥0,2-a≥0；∴.a=2,b=-1;则c=-a- 点 刀九年级数学上册 69 b=-1,'.此一元二次方程为：2x2-x-1=0. 9.解：(1)是美妙方程.a=2,b=-1,c=-8,3a-2b+c=6 (-2)+(-8)=0.故此方程为美妙方程. (2)将x=-1代入原方程，得a-2+c=0①..·此方程为美妙方 程，3a-4+c=0②，由①②得{8引，这个美妙方程为2+24 +1=0. 高效同步练习24.2解一元二次方程 第1课时配方法 1.B 2.B【解析】原方程移项，得x2-12x=5,配方，得x2-12x+62=5+ 62,即(x-6)2=41,.m=41.故选B. 3.(1)解：移项，得x2-4x=3.配方，得x2-4x+22=3+22,即(x-2) =7.两边开平方，得：x-2=±√7..x1=2+7,x2=2-√7. （2)解：移项，得x2-2x=5,配方，得x2-2x+1=5+1,即(x-1)2= 6,两边开平方，得x-1=±6，∴x1=√6+1,2=-√6+1. 4. 5解：1)移项，并将二次项系数化为1，得2=3.配方，得 23 +(子2=3+(，即(x》 两边开平方，得x 16 3 t7=3+y73 4*2= 4 （2)移项，并将二次项系数化为1，得2+7=3.配方，得+ 之+（宁=3+（宁尸，即(+》2-8两边开平方，得+ 16 =±=出=-2 3 6C【解桥：配方可得-名+（宁）2=（名）-受。 2心4=26=6.故选C 7.2027【解析】原方程移项，得x2-4x=2025,配方，得(x-2)2= 2029,与（x+a)2=b对比可得a=-2,b=2029,∴.a+b=-2+2029 =2027. 8.(1)完全平方公式 (2)二 解：移项，并将二次项系数化为1，得+=1，配方，得+ 8 =1+(子)3，即(x+)2=石 4 4 3+( 37 =9,两边开平方，得x+3 5 1 =±3心x=3x=-3. 第2课时公式法 1.C 【解题通法】用根的判别式判断一元二次方程根的情况的方法 先将一元二次方程化为一般形式，找到a,b,c的值，再计算b2- 4ac的值.若b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根；若b2- 4ac=0,则方程有两个相等的实数根；若b2-4ac<0,则方程无实 数根. 2.4【解析】由题知，b2-4ac=(-4)2-4×1×a=0,解得a=4. 3.A4.A 5.解：这里a=3,b=-4,c=-8,b2-4c=(-4)2-4×3×(-8)= 12>0,x=4±22427 2-2√7 2×3 —，px=一，22 3 6.D【解析】①当k-1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程 关于x的方程(k-1)2x2+(2k+1)x+1=0有实数根，b2-4ac =(2k+1)2-4×(k-1)2×1=12k-3≥0，解得k≥4；②当k-1= 0,即k=1时，方程为3x+1=0,有实数根综上，k的取值范围 是≥4故选D 7.(1)证明：关于x的一元二次方程为a2x2+bx-2=0(a≠0)，则 b2-4a2×(-2)=b2+8a2>0,∴.方程总有两个不相等的实数根； (2)解：由条件可知4a2+2b-2=0,即2a2+b=1,∴.8a2+4b= 4(2a2+b)=4×1=4. 8.解：(1).x=-1是一元二次方程b(x2-1)+2ax+c(x2+1)=0 的根，∴.-2a+2c=0,∴.a=c,∴.△ABC为等腰三角形. 70 同步练习，精炼高效抓考 (2).b(x2-1)+2ax+c(x2+1)=0,∴.(b+c)x2+2ax+(c-b)=0. .·方程有两个相等的实数根，∴.b2-4ac=4a2+4(b+c)(b-c)= 0,.a2+b2=c2,△ABC为直角三角形 第3课时因式分解法 1.C2.C3.D4.C 5.1或3【解析】x☆4=x2-4x+4=1,整理得x2-4x+3=0,因式分 解得(x-1)(x-3)=0,解得名1=1，x2三3. 6.C【解析】方程x2+2x-3=0因式分解，得(x+3)（x-1)=0,∴ +3x-ax≠-3且x≠a.将x=1代入得 2 1 x1=-3,x2=1. 2 1+31-a ∴.a=-1.故选C. 7.(1)二 (2)解：原方程可化为2x(3x-1)=-(3x-1),(2x+1)(3x-1)= 0,得2x+1=0或3x-1=0.x1=-2,*2=3 【易错点拨】当等号的左右两边有相同的因式时，不能同除以 这个相同的因式，容易造成漏解. 8.（1)x(x+5)=14x+5x25 (2)解：先变形为2x(2x+5)=6,如图， 2x+52x 每个小长方形的长为2x+5,宽为2x, 2x6 利用图形的面积关系得(2x+2x+5)2= 52 62x+5 2x+56 4×6+52,即(4x+5)2=49,..4x+5= 62x 士7；.x1=-3,x2=2 2x2x+5 高效同步练习24.3 一元二次方程根与系数的关系 1.D2.B3.A 4.C【解析】设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系得3t =3,解得t=1,即方程的另一个根是t=1.故选C. 5.6【解析】x1x2=2×3=c,则c=6. 22 6.-5【解析】由题意，知x1+x2=-2m+3,x1x2=m2+1. =1,∴.2(x1+x2)=x1x2,∴.2(-2m+3)=m2+1,解得m=1或m三 -5.由条件可知根的判别式b2-4ac=(2m-3)2-4(m2+1)= -12m+5≥0，解得m≤12 .m=-5. 7.2027【解析】因为a,b是方程x2+2025x-2026=0的两个实数 根，所以a2+2025a-2026=0,ab=-2026,a+b=-2025,则a2+ 2025a=2026,所以a2+2026a+b-ab=a2+2025a+a+b-ab=2026 +(-2025)-(-2026)=2027. 8.解：(1)由题意得，b2-4ac=(-4)2-4m≥0，.m≤4； （2)由题意得，x1+x2=4,x1x2=m.(x1x2)2=x1+x2+21,.m2= 4+21=25,解得：m=-5或m=5(舍)，∴.m=-5. 9.解：(1)原方程分解因式可得：（x-2)(x-1)=0,x-2=0或x-1 =0,所以x1=2,x2=1.x1=2x2,.方程x2-3x+2=0是“倍根 方程” （2)(x-2)(x-m)=0,x-2=0或x-m=0,解得x1=2,x2=m,由 条件可知2=2m或m=2×2,∴.m=1或m=4,当m=1时，m+ 2m+2=1+2+2=5:当m=4时，m2+2m+2=16+8+2=26.综上所 述，代数式m2+2m+2的值为26或5. (3)m的值为13或-11.【解析】设方程的两根分别为a、2a, 由根与系数的关系得a+2a=m-1,a·2a=32,解得a=4,m= 13或=-4，m=-11,所以m的值为13或-11. 高效同步练习24.4一元二次方程的应用 第1课时百分率问题 1.B2.D 【策略点拨】列一元二次方程求解平均变化率问题的一般策略 设基数为a,平均增长（下降）率为x,则一次增长（下降）后的 值为a(1±x),两次增长（下降）后的值为a(1±x)2. 3.20% 4.B【解析】设平均每次降价的百分率为x,根据题意得：64(1- x)2=36,解得：x1=0.25=25%,x2=1.75(不符合题意，舍去)， 即平均每次降价的百分率为25%.故选B. 5.20(1-x)2=14.45 6.解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均 增长率为x,根据题意得：3(1+x)2=4.32,解得：x,=0.2=20% x2=-2.2(不符合题意，舍去)：答：从10月份到12月份该品牌 新能源汽车销售量的月平均增长率为20%. 7.解：(1)50(1+p) (2)设第一年的年获利率为p,依题意，得50(1+p)(1+p+0.1) =66,整理，得p2+2.1p-0.22=0,解得p1=0.1,P2=-2.2(不合 点 刀九年级数学上册