第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元卷，通过单选、多选、填空及解答题，覆盖向量运算、空间角等核心知识，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量平行、垂直、夹角、投影向量|基础概念辨析，强化空间观念| |多选题|3|四点共面、向量夹角、对称点|多角度考查，培养推理意识| |填空题|3|点到直线距离、向量运算|聚焦计算能力，落实数学思维| |解答题|5|向量化简、长度计算、线线角、线面角、面面角|综合应用，体现数学语言表达，适配单元核心素养|

第一章空间向量与立体几何单元测试卷 学校 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.已知a=(2,0.6=(-2,00,若2a+6与ka+36平行，则k=（) A.2 B.1 C.6 D.3 2.已知a=(2-l3),6=(4,l),若a1i,则=（) A26 B V26 C.5 D.0 3.已知空间单位向量a,6的夹角为60°，则(a+b列6=（) 1 √5 3 A.2 B.2 C.1 D.2 4.对于任意空间向量ā，b,c,下列说法正确的是(). A.若a⊥b,bLc,则a⊥c B.a-(b+c)=a.B+a.c C,若a-6<0,则a,6的夹角是钝角D.(a-b)e=d6-c) 3 5.已知向量a=(2,元，1)，b=(山，-l,-2),且向量ā与6夹角的余弦值为6，则2的值为() A.-5 B-V5 c v5 D.5或5 6,已知空间向量4=(？，-)，平面“的一个法向量为=30,4)，则向量口在平面a上的投影向量是 () A.（-41,3) c.(4,-1,-3) 7.如图，空间四边形 MBC中，0A=d.0B=6,0C=C,点M在O1上，且OM=2M,点N为BC 试卷第1页，共3页 的中点，设 M=a+h+c,则+y+2=() M A.3 B.1 D. 8.如图，在正方体 BCD-ACD中，下列各式运算结果为D的是() D A B A.AD-44+AB B.BC+BB+CD C.AD-AB-DD D.BD-44+DD 二、多选题 9.已知向量a=1,0,6=0,1),6=(2刘，则下列结论正确的是（) A.向量ā与向量6的夹角为6 B.a-B)Ld C.(a+B)lla 》向在向6t版影有侵0引 10.下面四个结论中正确的是（) A.若对空间中任一点O:有OP-。O1+OB+0c,则P4B.C四点共面 6 3 B.若a-6>0,则向量a6的夹角是锐角 试卷第2页，共3页 C.点P(-123)关于0平面对称的点的坐标是-12-3) D.已知向量a,6满足同=2，后-2=4，且(6+2-6=0，则-2 ABCD-ABCD BC 11.如图，点P在正方体 的面对角线心上运动(P点异于点B、点)，则下列判断不 正确的有() D B A B P-ACD A.三棱锥 的体积不变 B.异面直线BD与1所成角为45° AB C.存在点P使得PDL平面 ACD 13 D.直线AP与平面ADCB所成角的正弦值的取值范围是2’4 三、填空题 12.已知空间中三点410,0），B(0,1-)C(-1-12 ,则点C到直线AB的距离为 13.设空间向量0=(，-山，-3)，6=(6,0，-)，若（a-)1ā，则1的值为 14.若a=(,0),6=(0,22）,则im(a,6）= 四、解答题 15.已知平行六面体ABCD-ABC"D',化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： 试卷第3页，共3页 D B B ()B+D+ 2 DDi-AB+BC 3)B+D+DD-BC) 16,在平行六面体ABCD-4BCD中，AB=AD=l,A4=2,∠BMD=∠BM4=∠DMM=3,M是CC的 中点 C A B M BD ①)求的长： BD,·AM (2)求 试卷第4页，共3页 17.已知向量0=0,5-06-(23 （若a+b1a-30,求的值 (2)以坐标原点0为起点作 OA=a,OB=b ,求点O到直线4B的距离 I8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD,AB=AP=2,E为棱PB的 中点， (I)求直线PD与CE所成角的余弦值： (2)求直线CE与平面PCD所成角的正弦值； (3)求点D到直线CE的距离. 试卷第5页，共3页 19.如图，在矩形ABCD中，AB=2BC,P、Q分别为线段AB、CD的中点，EPI平面ABCD D (I)求证：AQM平面CEP: (2)求证：平面AEQ1平面DEP: (3)若EP=AP=a,求平面QAE与平面PAE的夹角的余弦值 试卷第6页，共3页 第1章 空间向量与立体几何 单元测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，若与平行，则（   ）． A．2 B．1 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算及共线向量的坐标表示求解. 【详解】由，得，， 而与平行，则，所以. 故选：C 2．已知，，若，则（   ） A． B． C．5 D．0 【答案】B 【分析】由向量垂直得，得，再计算向量的模即可． 【详解】依题意得，，得，解得， 则， 所以， 故选：B 3．已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 4．对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 5．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（   ） A．-5 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据模长坐标公式及空间向量数量积坐标公式计算夹角余弦值求解参数. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，显然，解得. 故选:B. 6．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 7．如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的基本定理将用、、表示出来，可得出、、的值，即可得解. 【详解】连接，如下图所示：    因为为的中点，所以， 因为点在上，且，则， 所以， 易知、、不共面，故，，所以. 故选：A. 8．如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 二、多选题 9．已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10．下面四个结论中正确的是（   ） A．若对空间中任一点，有，则四点共面 B．若，则向量的夹角是锐角 C．点关于平面对称的点的坐标是 D．已知向量满足，且，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量基本定理的推理可判断A；举出特例判断B；根据空间直角坐标系中点的特征判断C；根据向量模长的计算以及数量积的运算可判断D. 【详解】对于A，由于对空间中任一点，有， 而，故四点共面，A正确； 对于B，当同向时，，此时向量的夹角为0，不是锐角，B错误； 对于C，点关于平面对称的点的坐标是，C正确； 对于D，向量满足，且， 则，且， 解得，D错误， 故选：AC 11．如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（    ） A．三棱锥的体积不变 B．异面直线BD与所成角为 C．存在点P使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用线面平行，结合体积计算判断A；求出异面直线夹角判断B；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断C；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，，平面， 平面，则平面，而点P在上运动， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积不变，A正确； 对于B，在正方体中，，为正三角形， 直线BD与所成角等于与夹角，B错误； 对于C，在正方体中，建立如图所示直角坐标系，令正方体的棱长为1， 设，， ，，， ，即与不垂直，而平面，因此与平面不垂直，C错误； 对于D，由正方体的性质知：平面， 即平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值， 由，得，因此，D错误． 三、填空题 12．已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_______， 【答案】 【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】，，， ，， 则点C到直线AB的距离为. 故答案为：. 13．设空间向量，，若，则的值为_____________． 【答案】8 【分析】由向量的坐标运算求得，然后通过向量垂直数量积为零建立方程，解得的值. 【详解】，， 所以， ∵， ∴，即，∴. 故答案为：8. 14．若，则__________. 【答案】 【分析】根据夹角公式算出，进而求出正弦值. 【详解】根据夹角公式，， 注意到，则， 于是. 故答案为： 四、解答题 15．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    16．在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 17．已知向量. （1）若，求的值; （2）以坐标原点为起点作，求点到直线的距离. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算与平行满足的性质求解即可； （2）先求在上的投影，再根据勾股定理求解即可 【详解】（1），                         ∵ ∴，即，                                解得.                                                 （2）由条件知， ∴                                               故在上的投影为 ，又 ∴点到直线的距离. 18．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点．    (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】建立空间直角坐标系（1）求出向量与坐标，由向量夹角余弦公式可得答案； （2）求出平面的法向量，由向量法求解即可； （3）由空间向量法，求点到直线距离公式可得答案. 【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则. 故，，则直线与所成角的余弦值为： ； （2）由（1）， 设平面法向量为，则， 则可取，又，则直线与平面所成角的正弦值为： ； （3）由（1），，又， 则到直线的距离为：.    19．如图，在矩形中，，、分别为线段、的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)在矩形中，且， 因为、分别为线段、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，从而， 又因为平面，平面，所以平面. (2)因为平面，平面，所以， 连接，因为四边形为矩形，所以，，且， 因为、分别为、的中点，所以，， 又因为，所以，且， 故四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. (3) 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接，证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （3）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面的夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为四边形为正方形，所以， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的一个法向量为，，， 则，取得， 易知平面的一个法向量为，， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $