第一章 空间向量与立体几何 单元测试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 人教版A版选择性必修一空间向量与立体几何单元卷，通过基础概念辨析、几何体向量运算及综合证明题，考查逻辑推理与空间观念，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间向量概念（如单位向量性质）、向量垂直（如向量坐标运算）、正方体中向量夹角|基础概念辨析，结合简单几何体| |多选题|3/18|四棱锥线线角与线面角（如第9题）、平行六面体向量运算（如第10题）|多角度考查空间关系，培养批判性思维| |填空题|3/15|共面向量定理（第12题）、空间四边形中点向量数量积（第13题）|聚焦核心定理应用，强调运算准确性| |解答题|5/77|三棱锥长度与异面直线角（第15题）、四棱锥线面平行及线面角（第19题）|分层设计三问，综合空间向量与立体几何证明，体现高考命题趋势|

第一章空间向量与立体几何单元测试卷 (人教版A版选择性必修一) 一、单选题（每题5分，共40分） 1.下列关于空间向量的说法正确的是() A.空间中任意两个单位向量都相等 B.空间中零向量的方向是确定的 C.空间中相反向量的模长相等 D.空间中共线的向量必在同一条直线上 2.如图，在三校裤c-O1B中，G为B的中点，孤-兮C,则G () A.0+08+OC B.0+08-1Oc 04+108-10c 104+L0B-10c 1 c.-6 2 3 D.6 3 6 3.已知向量a=k3）,6=(01m),若a5,则() A.x=1 B.ym=3 C.y=3m D.m=3y 4.已知空间向量i=(-2,12)6=6,-2,,若/6，则实数x=（) A.-5 B.5 C.-4 D.4 5.对于任意空间向量ā，b,c,下列说法正确的是() A.若a/1b且b/1e,则a1/ B.a(B+c)=a.B+a.c C.若.b=ac,且a≠0，则b=c D.(a.b)e=a(6-c 6.已知向量历=亿0-2，c=(Q2,-2）,a=(x22）,平面48C的法向量为可，则w 的值为() A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图，在正方休ABCD-4BCD中，点P满足D-号丽，则向量行与DE夹角的 余弦值为() 试卷第1页，共3页 2V30 2V30 √30 V30 A.15 B.15 C.15 D.20 8.如图，圆锥的轴截面PAB是等边三角形，C是底面圆周上一动点，D是PA的中点，则 直线CD与PB所成角的余弦值的取值范围是() √65 B 62 C. 22 D 二、多选题（每题6分，共18分） 9.如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，且侧棱均相等，E为棱PA的中点，线段BC 上的点F满足 F=BC(0<λ<1) ,记直线PF与AB所成的角为，直线PF 与平面ABCD所成的角为B,二面角P-BC-A的平面角为Y,则下列结论正 确的有() A.若FF∥平面PCD,则= B.a<B C.B≤ D.AC·PF>BD.PA ABCD-ABC D 10.如图，平行六面体 中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的 夹角都是60°，则下列说法中正确的是() D BD=-AB+AD+AA A B B BD =6 √6 C.BD与AC所成角的余弦值为3 D.D在方向上的投影向量是；4C 11.在空间直角坐标系中，已知点 ,10,B(L,02).C(2-l,5)D1,-2,4),则下列结论正 确的是() 试卷第2页，共3页 A AB=(0,-1,2) B.A,B,C三点共线 c.BC=厅 D.AD⊥BC 三、填空题（每题5分，共15分） 12.已知01,0B,0 是空间不共面的三个向量，P是空间的任意一点，且向量O 满足 OP=x0A+yOB+z0C ,若P在平面ABC上，则+y+ 13.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E,F分别是BC,AD的中点， 则AE.CF的值为 14.已知三棱锥P-ABC,PA=PB=AB=BC=AC=1,点M为△PAB内部一点，若 PM1BC,BM LAC,且4Sau=3a,则PC= 四、解答题(5个小题，共77分) 15(15分).如图，在三棱锥P-ABC中，若AB=AC=3,AP=4, ∠BAC=∠PAC=∠BAP=6O°，点D为棱BC上一点，且CD=2BD,点M为线段AD的中 点 M B (1)求PM的长度； (2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值. 试卷第3页，共3页 16(15分).如图，在平行六面体 BCD-ABGD中，M为GD中点， AB=AD=4=I,∠BAD=∠A4B=∠AAD=60°，设B=a,AD=b,=C,以 {a,5为空间的一个基底. D M C B A 1)用基底位，6，表示向量A,并求出线段AM的长度： AP (②)直线AM与平面ABD交于点P求AM的值 17(13分).己知空间三点 4-2,02）,B-1,2）C-3,0,设0=B,i=4C a求61a6 (②若向量a+6与ka-2b 互相垂直，求实数k的值 试卷第4页，共3页 ABC-AB,C 2,D AA 18(17分).已知正三棱柱 的底面边长为为中点。 A A A4=2 (1)若 BC,⊥B,DC ,证明： 平面 (②)若AC与CD交于点M,BD与AB交于点N,直线MN与平面ABC夹角的余弦值为3， ABC-ABC 求三棱柱 的体积. 19(17分).如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形， 平面PAD⊥L平面ABCD,E为PD的中点. D B (I)证明：PB∥平面EAC: 试卷第5页，共3页 (2)证明：平面ABE⊥平面PCD: (3)求AC与平面PCD所成角的正弦值. 试卷第6页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 6 6 7 8 9 10 答案 C C D B B A C ACD AD 题号 11 答案AC 12.1 1 13.21-0.5 212 14.2/2 15.【详解】c1)因为M为线段AD的中点，CD=2BD,所以4M-D,BD-BC, PM-Pi+ANi-Pi+DP+(BD)-PA+G 所 -m+丽+a+c列小-m+-+c =-AP+AB+上AC 6 又因为d.丽=AC=3x4xeos60=6,丽AC-3×3xc0s60 2, 所以 p网-+兮石和-而可--c+,号衣+(ad (2)由(1)得 mc-（+号+若cc=-.ac+号4c+(cj =-o∠Pac+ccosB∠ac+名ac =4x3x+1 3x3x3x 1x32=-3, 6 答案第1页，共2页 PM·AC os(PM,AC 3247 所以 PMAC 4啊x3 47, 2v47 即异面直线PM与AC所成角的余弦值为47· AB=a,AD=b,AA=c 16.【详解】(1)由题意， 因为M为 CD 的中点， 所以4M=40+0G=6+a 所以AM=4+4M=c+万+)a=a+6+c 2 2 因为6Hd=1,且a-6=5,c=6-a=11xeos60- 2, +1=17 所G以AMF-79-+6+a+B++ab+ac+2b-c1+1+ 22 4. 所以 ii 2,即线段AM的长度为2· (2)设 =孤=+6+ā+6+证 因为点P在平面 ABD 上， 所以P关于基底位，6， 的系数之和为1， 即+入+元1，解得2 5 AP 2 所以AM5 17.【详解】(1)由题意， a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2) 答案第2页，共2页 故6外=+0+4=5 a-b=1,1,0)(-1,0,2)=-1+0+0=-1 (2)因ka+b与ka-2b互相垂直，则(ka+列(ka-2)=0 其中=1+1=0=2=1+0+4=5 即1a-ka-6-26=22+k-10=0 解得6=3或=月 18.【详解】(1)连接 BC BC B.CNBC=O ,且 连接D0 因为在正三棱 ABC-ABC中， 底面边长为2,14=2 所以侧面都是边长为2的正方形， BCCB,,BC⊥BC 所以在正方 中， DB=DC O BC 又因为 为 中点， 所以DBC BC 等腰三角形，D0是底边 中线， DO⊥B,C 所以 又因为 BC DOC_B,DCmB,C∩DO=O 广面 ,且 所以 C⊥BDC 面 答案第3页，共2页 0 B (2)法一：几何法 DN DM 连接BC,由DBDC,可得：MN IIBC, 记BC与平面48C所成角为“，由 C上平面 ABC BC是BC在平面MBC上的投影，则 BC =∠CBC cosa=cos∠CBC=6=3】 根据线面角的定义， BC 2 cosa= 在RtABCC中，由BC3且BC=2,则BC,=3, 由勾股定理得：CC=√BC-BC-V32-2=V5 =%=525=5 所以 4 法二.向量法 以4为坐标原点，A为产辅。A为 A y “为2轴，过作轴垂直 B ,建立空间直角坐标系， 15,h 设A4=h,结合图形对称性可知： MN= 1 V31 则 333h 由题可知平面ABC的法向量i=(0,0,1), 记MN与平面ABC所成角为0， 答案第4页，共2页 1 nMN 则sinB=cos元，MN M四 h2+ 11 Vh2+4 √h2+4’ 39 sin=v1-cos20= 由题意可知 3, 5 /三113”角辉导中 (取正)， 39 h=5 以P=S-h= x22×V5=√15 所 4 ZA D M B,主 19.(I)连接BD,交AC于点F,连接EF, DX- C 四边形 为正方形， 是 的中点， B ABCD ..F BD 又E为PD的中点，.EFPB 又PBC平面EAC,EFc平面EAC,∴.PB∥平面EAC: (2):底面ABCD为正方形，.CD⊥AD :平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, .CD⊥平面PAD,AEc平面PAD,AE⊥CD, 又△PAD是正三角形，E为PD的中点，AE⊥PD, :CD∩PD=D,CD,ADC平面PCD, .AE⊥平面PCD 答案第5页，共2页 :AEC平面ABE,平面ABE⊥平面PCD (3)取AD的中点O,连接PO, 因为PA=PD,所以PO⊥AD, 又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PADA底面ABCD=AD,POC平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD, 如图，建立空间直角坐标系O-2, ZA 8p4-nm-a则aa4go0jcga0小(ad c-(oac-(gam-(05】 设=(，，)是平面PCD的法向量， 25+a-2=0 n89=0 nPD=0 令=1，解得=5y=0,乃=(5,0， AC. 3a6 设AC与平面pCD所成角为。，则血一 AC √2a.24 答案第6页，共2页