第一章空间向量与立体几何 单元检测卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元检测卷，覆盖向量运算、空间角距离及立体几何证明计算，适配高中单元复习，注重数学思维与空间观念培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量垂直、法向量求距离、空间对称|基础概念辨析，强化数学眼光| |多选题|3|空间基底、线面关系、单位向量|多角度考查，培养推理意识| |填空题|3|向量共线、模长、四点共面|简洁设问，提升运算能力| |解答题|5|折叠问题证明与二面角、四棱锥体积与线面角、多面体面面角与距离|分层设计，综合应用空间向量解决立体几何问题，体现数学语言表达|

第一章空间向量与立体几何 单元检测卷 第I卷（选择题) 请点击修改第I卷的文字说明 一、单选题 1.已知向量a=62-,万=(，且a16,则x=（) A.-2 B.-1 c.0 D.1 2.已知经过点4,24)的平面“的法向量为=(1-1山，则点8(-232)到平面“的距离 为() A.2 B.3 C.3V2 D.25 3。在空间直角坐标系中，0为坐标原点，对空间中一点P(2-3,4) 则下列叙述正确的是 () A点P关于轴的对称点是(2-3，)B.点P关于平面0：的对称点是B(2,3) C,点P关于'轴的对称点是B(234)D.点P关于原点的对称点是(2,3，) 4.已知向量a=(23,4),6=(m,8),若i,则m+n的值为《) A.14 B.10 C.8 D.7 5.已知空间直角坐标系中的△ABC满足B=(0,2,BC-(-1,20）,则4C() A.6 B.3 c32 D.5 6.已知向量位6，是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是() 试卷第1页，共3页 A.a+b a a-b B.a+bB a-b C.a+b c a-b D.a+B.2a-B a-b 7.已知空间三点1-，2)，B(3,0-1),C(2,3-3 ,则向量B与CB的夹角为() 2π π A.6 B.3 C.3 D.6 8.已知向量8=(220，方=(10)，则5-正在方向上投影向量的陵长为《) A.1 B V3 C.3 D.2 二、多选题 9.下列命题中真命题的是() A.直线x=1的倾斜角不存在： B.若直线的方向向量 =01,-),平面a的法向量i=(,--),则川a: C.已知O为空间直角坐标系的原点，且11)，则点 (（1,2,3) 到直线OA的距离是 √2 D.如果向量a,6 与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么 ,b一定共线， 10.己知空间中三点AL,0,),B1,2,0),C(0,2,),则下列说法正确的是（) 25V5 0. A.与向量5方向相同的单位向量是( 5-5 1 B.B与BC夹角的余弦值是5 A(1,0,10 的平面的一个法向量为C,则该平面的方程为-2=0 BC C.经过点 试卷第2页，共3页 848 D.坐标原点O(00,0)关于平面ABC的对称点是(9'9'9 BCD-ABCD中，E为4D的中点，F为CD的中点，下列结论 CD 11.如图，在正方体 中，正确结论的是() D F E A D C B AD A,异面直线EF和A 所成的角为45” B EF// ABC 平面 BD⊥EF D.直线AF⊥平面BDE 第I工卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12.已知向量a=0,2,6=（-1l2),若(a-列)1a,则= 13.已知向量a=02,2,6=6,20,则a- 14.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，若M,A,B,C四点共面，O不 41 在该平面上，且OM=x0A+yoB-0C(x>0,y>0)则￥+y的最小值为一 试卷第3页，共3页 四、解答题 15.图1是边长为V2的正方形ABCD,将△ACD沿AC折起得到如图2所示的三棱锥 P-ABC,且 PB=V2 图1 图2 (I)证明：平面PAC⊥平面ABC: 55 AM (2)棱PA上是否存在一点M,使得二面角M-BC-A的余弦值为9，若存在，求出AP 的值；若不存在，请说明理由 16.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为梯形，BE⊥平面ABCD,BCIIAD, AB⊥BC,AB=1,BE=AD=3 试卷第4页，共3页 (I)若四棱锥E-ABCD的体积为2，求BC的长： (2)在(1)的条件下，求直线AC与平面CDE所成角的正弦值. 17.如图，在多面体 BC-4BG中，4A山平面4BC,B1AC,四边形 ACC 为矩形， AB//AB AB=-AC=AA=3AB=1D为BC的中点. A B D B ABI∥ ACD (1)求证： 平面 BCB (2)求平面心。与平面 ACD 夹角的余弦值； 试卷第5页，共3页 B ACD (3)求点到平面 的距离。 18.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，SA⊥平面ABCD, 若SA=4,AB=BC=2,AD=1,求： S A B (1)异面直线DC与SB所成角的大小： (2)直线SA与平面SDC所成角的大小； (3)二面角D-SC-B的大小； 试卷第6页，共3页 19.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，AD⊥DE,AFIDE, AF=2DE=2. B (I)证明：CE∥平面ABF; (2)若CE-V5 ,求二面角4-CF-B的正弦值 试卷第7页，共3页 第1章 空间向量与立体几何 单元检测卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 2．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，则，又平面的法向量为， 则点到平面的距离为. 3．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 4．已知向量，，若，则的值为（     ） A．14 B．10 C．8 D．7 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标运算公式可得，从而求得. 【详解】因为，所以，解得，所以. 5．已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 6．已知向量是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】根据共面定理逐一判断选项中的三个向量是否共面即可得出结论. 【详解】由向量是空间的一组基底可知不共面， 对于A，易知，即，，共面，可得A错误； 对于B，易知，即，，共面，可得B错误； 对于C，不存在实数对满足，因此，，不共面，可以作为基底，即C正确； 对于D，易知，即，，共面，可得D错误. 故选：C 7．已知空间三点，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知求出，进而根据数量积以及模的坐标运算，即可求出答案. 【详解】由已知可得，， 所以. 又， 所以． 故选：C. 8．已知向量，，则在方向上投影向量的模长为（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量投影向量的模长公式进行求解即可. 【详解】向量，，， 在方向上的投影向量的模长为， 故选：C 二、多选题 9．下列命题中真命题的是（   ） A．直线的倾斜角不存在； B．若直线的方向向量，平面的法向量，则； C．已知为空间直角坐标系的原点，且，则点到直线的距离是； D．如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线． 【答案】CD 【详解】对于A，直线的倾斜角为，A错误； 对于B，因为，故，则或，B错误； 对于C，由题意可知，则与同方向的单位向量为， 则点到直线OA的距离是，C正确； 对于D，如果向量，与任何向量不能构成空间向量的一个基底， 则向量，与任何向量均共面，那么，一定共线，D正确． 10．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（     ） A．与向量方向相同的单位向量是 B．与夹角的余弦值是 C．经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为 D．坐标原点关于平面的对称点是 【答案】AC 【分析】根据已知写出对应向量的坐标，应用单位向量的定义，夹角的坐标运算，点法式写出平面方程及对称性写出对称点判断各项的正误. 【详解】，，， 对于A：，与同向的单位向量为，正确； 对于B：， 则与夹角的余弦值为，错误； 对于C：由平面点法式方程，代入点A和法向量得，化简得，正确； 对于D：平面的法向量为，平面方程为， 设原点对称点为，则与平行，且中点在平面上，解得，错误. 11．如图，在正方体中，为的中点，为的中点，下列结论中，正确结论的是（   ）    A．异面直线和所成的角为 B．平面 C． D．直线平面 【答案】BC 【分析】可用几何法或建立空间直角坐标系来进行逐一判断. 【详解】    对于A：如图，连接，是棱的中点，是棱的中点，. 在正方体中，由且， 可得四边形为平行四边形，因此，则， 为异面直线与所成的角． 连接，易知为等边三角形，因此， 即异面直线与所成角为， 故A错误. 对于B：由选项A的解析过程可知， 又平面，平面， 平面， 故B正确. 对于C：不妨设正方体的棱长为2，并且以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因此. ， 故C正确. 对于D：同选项C建立相同的空间直角坐标系，因此有 假设平面成立，因为平面，则必有. 与不垂直，与假设矛盾，因此不垂直于平面. 故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明 三、填空题 12．已知向量，，若，则________． 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由已知， 因为，所以，解得. 13．已知向量，则______． 【答案】 【分析】根据题意先求，再根据模长的坐标运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 14．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 四、解答题 15．图1是边长为的正方形，将沿折起得到如图2所示的三棱锥，且. (1)证明：平面平面； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明： 如图，在图1中，连接,交于点, 因为边长是的正方形，则, 在图2中，则有,, 又，则,即, 因,故平面, 又平面,故平面平面； (2)存在，. 【分析】（1）在图1中，连接,交于点,证明，推得平面，由线面垂直即可证明面面垂直即得； （2）依题建系，写出相关点坐标，设，求出相关向量的坐标，利用空间向量夹角公式列出方程，求解即得. 【详解】（1）略 （2） 如图，由（1）已得平面，且， 则可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 由题意，, 假设在棱上存在点，满足,使得二面角的余弦值为， 则,又, 设平面的法向量为， 则故可取， 又平面的法向量可取为， ，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为. 16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面，，，，. (1)若四棱锥的体积为，求的长； (2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）这是一个逆向思考的问题，当已知四棱锥的体积时，只需把的长作为未知数代入梯形的面积公式即可； （2）本问首先以为坐标原点，建立空间直角坐标系，进而求出直线的方向向量和平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】（1）依题意可得梯形的面积：， 因为底面， 所以四棱锥的体积， 解得. （2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为， 则，即 取，得. 因为，所以. 故直线与平面所成角的正弦值为. 17．如图，在多面体中，平面，，四边形为矩形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)连接交于点， 因为四边形为矩形，所以点是的中点， 连接，又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）使用三角形中位线的性质与线面平行判定定理证明； （2）使用向量法计算； （3）使用向量法计算. 【详解】（1）略 （2）由题知，，，，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，， ，，设平面的一个法向量为，则 ，令，得，，， ,，设平面的一个法向量为，则 ，令，得，， 平面与平面夹角的余弦值为：. （3），平面的法向量为， 则点到平面的距离为：. 18．在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)二面角的大小； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，表示直线的方向向量，利用坐标法求异面直线所成角； （2）表示直线的方向向量及平面的法向量，利用坐标法可得线面角； （3）表示两平面的法向量，利用坐标法可得二面角. 【详解】（1） 如图建立空间直角坐标系， 则,,,,, 即，， ， 即异面直线与所成角为； （2）由（1）的，，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角为； （3）由（2）得平面的一个法向量为， 且，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 又二面角为锐二面角， 即二面角的余弦值为， 所以二面角的大小为. 19．如图，在多面体中，底面是边长为2的正方形，，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1) 取中点，连接、． 由题意知，，，则且， 所以四边形为平行四边形，则且， 又因为底面是正方形，则且， 所以且，则四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取中点，先证明，再根据线面平行的判定定理可证平面； （2）以为原点，，，所在的直线为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，再由向量的夹角公式计算其余弦值，再根据同角三角函数关系求其正弦值，可得结果， 【详解】（1）略 （2）因为底面是正方形，所以， 又因为，，所以， 又因为，所以， 又因为底面是正方形，所以， 根据题意知，，所以， 所以，即， 因为，，， 故以为原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方形边长为，， 则，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则即， 取，则，，即， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，，即， 设二面角的平面角为， 则，所以， 因此二面角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $