2.1 认识实数 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.1认识实数 知识归纳与题型总结 考点01 无理数 1. 无限不循环小数叫做无理数． 2. 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 考向01 无理数 【例1】下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的定义，只需根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，化简各选项后即可判断. 【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数. ∵ 是分数，属于有理数， ，是整数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 开平方开不尽，是无限不循环小数，是无理数； 考向02 无理数的大小估算 【例2】请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】通过平方数估算和的取值范围，即可找出两者之间的整数． 【详解】解：， ， 即， 又， ， 即， 因此介于和之间的整数为和． 即介于和之间的一个整数可以是． 【对点1】下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数和有理数的定义，根据定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数． B、，是整数，属于有理数． C、是有限小数，属于有理数． D、是分数，属于有理数． 【对点2】《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】C 【分析】找到与19相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质即可判断的范围． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ，即 ， ∴ 介于和之间． 考点02 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数．正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 考向01 实数概念理解 【例1】已知实数m，n满足，则________． 【答案】9 【详解】解：，且， ，， 解得，， ． 考向02 实数的分类 【例2】在实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据无理数和有理数的定义，逐个判断给出的实数，即可得到答案，用到的知识点为：无限不循环小数是无理数，整数和分数统称有理数． 【详解】解：∵ 整数和分数统称为有理数，无限不循环小数是无理数， ∴ 是分数，属于有理数，是整数，属于有理数，是整数，属于有理数， 是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 因此无理数是． 考向03 实数的性质 【例3】计算：________． 【答案】 【详解】解：． 【对点1】实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 【详解】解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． 【对点2】下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的集合． 选项A：是分数，属于有理数， 选项B：是有限小数，可化为分数，属于有理数， 选项C：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 选项D：，是整数，属于有理数． 【对点3】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是. 考点03 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 考向01 实数与数轴 【例1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴上点的位置确定 ，的正负性及绝对值的大小关系，进而判断各选项． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴， 故A、B、C错误，D正确． 【对点1】如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 【答案】D 【分析】估算出，可得在2和3的对应点之间，即可求解． 【详解】解：， ，即在2和3的对应点之间， 实数在数轴上的对应点可能是D点． 考点04 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 考点05 实数的运算 1. 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 2. 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 考向01 实数的大小比较 【例1】在下列给出的四个实数中，最大的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简选项A的绝对值，再根据实数大小比较的规则，比较四个数的大小，即可得到最大的数. 【详解】解：∵ ， 根据实数大小性质：负数小于0，0小于正数， 可得 ， ∴ 最大的实数是. 考向02 勾股数与无理数 【例2】如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，即可得到点D表示的数． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图得，， ∴， ∴点D表示的数是． 【对点1】下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵负数小于，小于正数，在四个选项的数中，只有是负数， ∴， ∴最小的数是． 【对点2】如图所示，数轴上有正方形，点A、B表示的数分别为和0，在数轴上找到点P，使得． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)写出P点表示的数为________． 【答案】(1)如图，点即为所求； (2)或. 【分析】（1）连接，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点即可； （2）根据两点间的距离即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为或. 一、选择题 1．如图，已知，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求得线段的长度，根据题意可得，再根据数轴与实数的对应关系，即可求解． 【详解】解：由题意可得，，则 根据勾股定理可得，， 根据题意可得，， 由实数与数轴的对应关系可得，点表示的数为． 2．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用夹逼法求得与的大小范围即可解答． 【详解】解：， ，即， ，即， ， ，即， ，即， ． 3．实数在数轴上的对应点位置如图所示，若，且是无理数，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数轴确定的取值范围，再结合以及是无理数这两个条件来确定的值即可． 【详解】解：由数轴可知， 所以， 因为，即， 选项A：，则，满足题意，且是无理数， 选项B：，不满足； 选项C：，则，不满足； 选项D：是分数，属于有理数，不满足是无理数这一条件． 4．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．点右侧 【答案】B 【分析】先估算出的范围，进而求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故表示数的点应在，之间． 5．如图，在数轴上最接近数对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算，再根据数轴找出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上最接近数对应的点是M． 6．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】通过举反例和反证法逐个判断四个推断的正误即可得到结果． 【详解】① 推断“两个无理数的和一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此①错误； ② 推断“两个无理数的积一定是无理数”，取无理数和，，是有理数，因此②错误； ③ 推断“一个有理数与一个无理数的和一定是无理数”，设是有理数，是无理数，假设为有理数，可得， ∵ 两个有理数的差仍为有理数， ∴ 为有理数，与是无理数矛盾，因此③正确； ④ 推断“一个有理数与一个无理数的积一定是无理数”，取有理数和无理数，，是有理数，因此④错误； 综上，正确的推断只有个． 7．关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 8．估计的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先估算的大小范围，再利用不等式性质求出的范围，即可得到结果． 【详解】∵，，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴的值在和之间． 9．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 10．如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，圆的半径性质.由题意可得，然后在中通过勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为，则，，，， ∵以点为圆心，为半径画弧，交于点， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 即， ∴， ∴． 二、填空题 11．规定：若实数，，满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则的值是__________． 【答案】20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确理解题目给出的新定义是解题关键，先根据新定义得到对应幂的关系，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， 故． 12．如图，点在数轴原点处，数轴上的点的坐标是3，过点作直线垂直于，在上截取，以点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点表示的数为________． 【答案】 【分析】先由得到是直角三角形，利用勾股定理求出斜边的长度；由作图可知，即可得到点在数轴上表示的数． 【详解】解：∵直线， ∴，为直角三角形， 由题意得：，，根据勾股定理： ， ∵以点为圆心，长为半径作弧交数轴正半轴于点， ∴， 因此数轴上点表示的数为． 13．如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出线段长度，然后结合数轴进行求解． 【详解】解：由勾股定理得， ∴点A表示的数为． 14．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的各个数位上的数字分别去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．若n是最大的“半和数”，则的值为______；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【分析】先根据“半和数”的定义和的最大值判断的值，再根据代入求解判断；根据“半和数”的定义和的最大值与最小值，将的可能值代入中判断即可． 【详解】解：∵n是最大的“半和数”， ∴， 则，即， ∵n是最大的“半和数”，各个数位上的数字均不为0且互不相等的整数， 当时，，符合题意， ∴， ∴去掉一个数位上的数字，得到的两位数为， ； 根据的定义可知，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵是一个整数，， 最大时，则要尽量大， 当时， 此时，，非平方数，不符合题意； ，，是平方数， ∴最大时，，则， ∴； 最小时，要尽可能地小， 当时， ，是平方数， ∴最小时，， 则， ∴的最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 15．如图，在中，，，P在边上运动．连接，若使长为整数的点共有12个，那么的面积是______________． 【答案】15 【分析】先估算出，，设点到的距离为，则，由内的正整数有、、、、、、、、，共个，且长为整数的点共有12个，，得出的长能为、、，且这三个长度的点只有一个，的长能为、、、，且这四个长度的点均有个，此时还差个点，进而得出的最短的长度为，此时，最后再由三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 设点到的距离为， ∵P在边上运动． ∴， ∵内的正整数有、、、、、、、、，共个，且长为整数的点共有12个，， ∴的长能为、、，且这三个长度的点只有一个，的长能为、、、，且这四个长度的点均有个，此时还差个点， ∴的最短的长度为，此时， ∴由勾股定理可得：， ∴的面积是． 三、解答题 16．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据大正方形面积＝空白部分面积+4个直角三角形的面积，通过计算得出的值； （2）由（1）可确定k的取值范围，再确定的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意，得， 即，解得或（舍去）． 因此的值为. （2）解：，即， ． ． 17．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 【答案】(1)2，； (2)，； (3)，； (4)． 【分析】（1）两个边长为1的小正方形面积和等于大正方形面积；由勾股定理求小正方形对角线； （2）圆半径为，原点右侧A为正数、左侧B为负数； （3）是圆的半径；用计算； （4）折叠后是、中点，利用中点公式求对应的数． 【详解】（1）解：小正方形面积：，两个小正方形总面积，因此拼成的大正方形面积为． 小正方形边长为，由勾股定理，对角线长． （2）解：圆半径等于小正方形对角线长． 点在原点右侧，故表示的数为； 点在原点左侧，故表示的数为． （3）解：是圆的半径，因此； 表示数字，即， ． （4）解：纸条沿对折，说明是线段的中点． ， 则点表示的数为． 18．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）求出正方形的边长可得结论； （2）根据正方形的对角线长为，求出点表示的数，可得结论． （3）利用分割法求出阴影部分的面积即可；再画出点即为所求． 【详解】（1）解：面积为2的大正方形的边就是原先边长为1的小正方形的对角线长， 小正方形的对角线长等于大正方形的面积的算术平方根，即； （2）解：圆心在数轴上表示的点，半径为正方形对角线长， 如图中小正方形对角线长为 ∴原点与之间的距离为， 点在圆心左侧， 因此点表示的数为； （3）解：阴影部分的面积， 正方形的边长为． 作图步骤（对应图）： 以数字所在的点为圆心，沿数轴向右取个单位，过该点作数轴垂线向上截取单位，连接所在的点和垂线端点，由上述得该长方形的对角线长为，以该长度半径画弧，与数轴的其中一个交点即为表示的点，图略 19．为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 【答案】这条河的宽度为米 【分析】根据勾股定理的逆定理，确定，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：米，米，米， ， 为直角三角形，且， 在中，米，米， 米， 米， 即这条河的宽度为米． 20．明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 【答案】(1)解：的三边长分别为，，， 且， ， ， 故． (2)①解： ， 故即； ②解：，理由是： ． ， ． ． ， ，． ． 即． ． (3)50 【分析】（1）利用勾股定理逆定理判定三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式求解即可； （2）①利用平方幂的非负性，建立不等式求解即可； ②利用非负性求解即可； （3）表示出面积，利用前面的不等式结论，结合，求得面积的最大值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：，． 如图， 在两邻边长分别为的矩形中，构造，其中，，． ． ， ． ．即面积的最大值为50． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・八年级上册数学暑期培优专项讲义 2.1认识实数 知识归纳与题型总结 考点01 无理数 1. 无限不循环小数叫做无理数． 2. 无理数的常见形式有以下几种： （1）开方开不尽的数的相应方根是无理数； （2）圆周率及一些含有的数,如2，等； （3）以无限不循环小数形式写出的数,如0.101 001 000 1…（两个1之间依次多一个0)等．注意无理数的小数部分位数无限；无理数的小数部分不循环；无理数不能表示成分数的形式． 考向01 无理数 【例1】下列实数中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 考向02 无理数的大小估算 【例2】请写出介于和之间的一个整数_________________．（写一个即可） 【对点1】下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【对点2】《九章算术》是现存最早、最完整的数学专著，全书共九章，因此得名，其第四章《少广章》中提出了世界上最早的开平方法即“开方术”，“开方术”能先估算出平方根的整数部分．利用“开方术”可以判断介于两个相邻的整数之间，这两个相邻的整数是（     ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 考点02 实数的概念及分类 1. 概念：有理数和无理数统称为实数． 2. 分类：实数有两种分类标准： （1）按定义分类：实数可分为有理数和无理数． 实数 有理数 0 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或循环小数 无限不循环小数 正整数 正分数 负整数 负分数 （2）按正负性分类：实数可分为正实数、0、负实数． 正整数 正分数 负整数 负分数 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 负有理数 负无理数 0 考向01 实数概念理解 【例1】已知实数m，n满足，则________． 考向02 实数的分类 【例2】在实数中，无理数是（     ） A． B． C． D． 考向03 实数的性质 【例3】计算：________． 【对点1】实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【对点2】下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【对点3】的相反数是（     ） A． B． C． D． 考点03 实数与数轴的关系 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数与数轴上的点一一对应. 考向01 实数与数轴 【例1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 【对点1】如图，实数在数轴上的对应点可能是点________． 考点04 实数范围内的有关概念 名称 性质 举例 相反数 若a与b互为相反数，则 的相反数是 倒数 若a与b互为倒数，则 2的倒数是 绝对值 任何实数的绝对值都是非负数，即 互为相反数的两个数的绝对值相等，即 考点05 实数的运算 1. 在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算． 2. 有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减．同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的． 考向01 实数的大小比较 【例1】在下列给出的四个实数中，最大的实数是（     ） A． B． C． D． 考向02 勾股数与无理数 【例2】如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【对点1】下列各数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【对点2】如图所示，数轴上有正方形，点A、B表示的数分别为和0，在数轴上找到点P，使得． (1)尺规作图，不写作法，保留作图痕迹； (2)写出P点表示的数为________． 一、选择题 1．如图，已知，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以的长为半径作弧，则弧与数轴正半轴的交点表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．已知，，下列与的大小关系中，正确的是（     ） A． B． C． D．以上都不对 3．实数在数轴上的对应点位置如图所示，若，且是无理数，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 4．如图，若数轴上的点，，，表示数，，，，则表示数的点应在（     ） A．，之间 B．，之间 C．，之间 D．点右侧 5．如图，在数轴上最接近数对应的点是（     ） A． B． C． D． 6．有下面四个推断： ①两个无理数的和一定是无理数； ②两个无理数的积一定是无理数； ③一个有理数与一个无理数的和一定是无理数； ④一个有理数与一个无理数的积一定是无理数． 上述推断中，正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 8．估计的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 9．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 10．如图，网格中小正方形的边长均为1，点都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．规定：若实数，，满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则的值是__________． 12．如图，点在数轴原点处，数轴上的点的坐标是3，过点作直线垂直于，在上截取，以点为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点表示的数为________． 13．如图，在中，，，以点O为圆心，以的长为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数为__________． 14．如果一个三位数各个数位上的数字均不为0且互不相等，满足，那么称这个三位数为“半和数”．如：三位数321，∵，∴321是“半和数”．把一个“半和数”n的各个数位上的数字分别去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为．若n是最大的“半和数”，则的值为______；若三位数m是“半和数”，且是一个整数，请求出所有符合条件的m的最大值与最小值的差为______． 15．如图，在中，，，P在边上运动．连接，若使长为整数的点共有12个，那么的面积是______________． 三、解答题 16．如图1，探究：把两个面积为的小正方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形，因此，可得大正方形的边长为．启发：把两个长为3、宽为2的长方形沿着虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图2所示的一个正方形． (1)求的值； (2)比较和的大小． 17．综合与实践：小谦在学完“无理数”后非常兴奋，想自己动手探索“如何在数轴上表示无理数”，于是按照课堂学习的过程，开展了下面的探索： 探索“如何在数轴上表示无理数” 工具准备：两张边长为1个单位长度的正方形卡纸；若干张白纸，铅笔，记号笔，剪刀，圆规等． 操作一：如图1，把两张边长为1个单位长度的正方形卡纸分别沿对角线裁开后拼成一个边长为的大正方形． (1)大正方形的面积为______；小正方形的对角线长为______． 操作二：如图2，在白纸上画出数轴，将边长为1个单位长度的正方形卡纸如图放置，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与坐标轴分别交于点，点． (2)点表示的数为______；点表示的数为______． 操作三：在上面数轴上用记号笔标出点的位置，表示数2的点记为，原点记为点，然后将数轴的正半轴剪下，得到如图3的“纸条”． (3)______；______； (4)如图4，将“纸条”沿着点对折，则点的对应点表示的数为______． 18．探究：如图，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，可以得到一个大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)若图所得到的大正方形面积为，即小正方形的对角线长为________； (2)如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为________． (3)观察图，每个小正方形的边长均为，图中阴影部分（正方形）的边长________；如图，请借鉴（2）中的方法在数轴上找到点，使点所表示的数为．（保留作图痕迹并标出必要线段长） 19．为测量河的宽度（垂直河岸），在地面上取参考点H，测得米，米，米，已知米，（M、P、N在同一直线上），求河宽（结果保留根号）． 20．明回看自己的《学习笔记》： 学习笔记 问题1： 已知的三边长分别为，，，求的面积． 思考1： 问题2： 在实数范围内因式分解：． 思考2： ． 思考3： 与的大小关系是确定的． 请与小明一起思考，完成下列问题： (1)写出“问题1”的解答过程； (2)①“思考3”中与的大小关系是________； ②当，时，与的大小关系是________，说明理由； (3)根据上面的活动经验，完成问题： 已知的三边长分别为，，，且．求面积的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $