1.1 菱形的性质与判定 同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、中档综合、提升探究三层设计，覆盖菱形性质与判定全知识点，从单一应用到动态综合，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形边/角/对角线性质、面积计算|选择题考对角线性质（题2），填空题结合实际情境（停车场警示标识面积，题5）| |中档|性质与判定综合应用、简单推理|尺规作图判定菱形（题4），折叠问题求边长（题6），培养几何直观| |提升|多知识点综合、动态探究|解答题分小题递进（题13感知-探究-应用），结合动点与分类讨论（题7直角三角形存在性），发展创新意识与推理能力|

1.1《菱形的性质与判定》 一、单选题 1.如图，在菱形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE、DE,AE=AB,若∠B=72°，则 ∠AED 的度数为() E A.54° B.56 C.58° D.60 2.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.下列结论不一定正确的是() D B A.AB=BC B.O4=OC C.∠ABC=60° D.∠AOB=90° 3.如图，三星堆出土的铜眼形器可抽象为菱形ABCD,测得边长AB=30cm,∠ABC=60°，则 菱形ABCD的面积等于()cm2 A.450 B.450√2 C.450W5 D.900 4.小明利用菱形的性质与判定作∠AOB的平分线，作法如下：①以点O为圆心，任意长为半 径画弧，分别交OA,OB于点C,D:②分别以点C,D为圆心，OC长为半径画弧，两弧交于 点E.则下列说法错误的是( A ID B A.四边形OCED是菱形 B.OE平分∠AOB C.CE=DE=OC=OD D.OE=30C 二、填空题 5.如图，利民停车场地面上有一块菱形禁停警示标识ABCD,已知对角线AC=4m和BD=9m, 则这块警示标识的占地面积为m. 6.如图，将两张宽度均为2cm的纸条交叉重叠在一起，若∠DCE=60°，则AC的长为 <60° 7.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCO的边长为4，∠OAB=120°，菱形BNBM的顶点B 是线段OB上一个动点（不与O,B重合），连接AB',当△OAB为直角三角形时，点B的坐标 为 M B 8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120,AB=4,E是AB的中点.点F是线段BD上的动点，记 线段EF的长为a.有以下三个结论： C ①若F是线段BD的中点，则a=2; ②a的取值范围是1≤a≤2V7; ③若在菱形ABCD的内部存在点G,使得EG=EF,且∠GEF=90°，则a的取值范围是1≤a<2. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题 9.在学习了平行四边形和特殊的平行四边形后，八年级学习小组受到了启发，认为利用菱形 的性质和判定可以帮助我们完成一些尺规作图，对尺规作图作菱形展开了探究 (I)已知ABCD(AD>AB),点E,F分别在BC,AD上，利用尺规作图构造出菱形ABEF (要求：不写作法，保留作图痕迹)； (2)根据你的作法，四边形ABEF是菱形的依据是 10.如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点F,点E是BC边上一点，且BE=AF,连 接EF. A F D H E (1)求证：四边形ABEF是菱形； (2)连接AC交EF于点H,若∠CHE=90°，EF=5,CE=8,求AC的长. 11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点B作BE⊥BC交AC于点E,过 点D作DF⊥BC交BC于点F,交AC于点G,连接DE、BG. D (1)求证：四边形EBGD是菱形； (2)若BE=2,BC=4,求菱形EBGD的面积. 12.在菱形ABCD中，点G在对角线AC上，点E、F分别在边AB和AD上，连接EG,FG, 且BE=DF. A A A E M G B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：EG=FG (2)如图2，延长EG交BC延长线于点K,连接FK交CD于点M,若M为CD中点.求证： AE+2FD=BK (3)如图3，在(2)的条件下，若AC∥FK,∠BAC-∠BKE=45°，AB=10,求四边形ACKF的 面积. 13.【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PA0=∠B,AP,A0分别交边BC,CD于点P, Q 4 A C O D D 图① 图② 备用图 (1)【感知】如图①，若点P是边BC的中点，小明经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量 关系，请直接写出这个关系为； (2)【探究】如图②，当点P为BC边上任意一点时，判断上述结论是否仍然成立，请说明理 由； (3)【应用】若菱形纸片ABCD中，∠ABC=60°，AB=6cm,在BC边上取一点P,连接AP, 在菱形ABCD内部作∠PA0=60°，A0交CD于点，当AP=V30cm时，线段D0的长为 cm. 14.如图1，四边形ABCD是平行四边形，延长BC到E,使CE=BC,连接AC、DE. 图1 图2 (1)判断四边形ACED的形状，并说明理由. (2)如图2，若CD平分∠ACE. ①求证：四边形ACED是菱形； ②若AB=8,BC=5,直接写出四边形ACED的面积 15.如图，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,以EC、CF为 邻边作ECFG, D (I)求证：ECFG是菱形. (2)当EF=V2CE时，判断四边形ECFG的形状，并说明理由. (3)若∠ABC=120°，AB=6,AD=8,直接写出四边形ECFG的面积. 参考答案 一、单选题 1.A 解：，AE=AB,∠B=72°， ∴.∠AEB=∠B=72°， ,四边形ABCD是菱形， .AB=AD,AD∥BC, ∴·AE=AD,∠DAE=∠AEB=72°， ∠AED=∠ADE=2X80-∠D1E)-×80-729)=54, 2.C 解：在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD,故A正确，不符合题意； 对角线AC与BD相互垂直平分，则OA=OC,∠AOB=90°，故BD正确，不符合题意； ∠ABC 的大小不能确定，故C错误，符合题意， 3.C 解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H, .∠AHB=90°， .∠ABC=60°， ∴.∠BAH=90°-∠ABH=30°， BH-4B=15cm AH=VAB-BHE -15 /3em 四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=30cm; Sawunc -BC.AH=450/cm 4.D 解：由题意得OC=OD,OC=CE=DE, ∴.OC=CE=ED=DO ,故C正确； 六四边形OCED 菱形，故A正确； 平分<A0B OE ,故B正确； 如图，连接CD,则CD、OE相互垂直平分， A B oc-oB+cD 化简得40C2=0E2+CD2, .0E=V40C2-CD2 这里不知道LAOB的度数，无法推出OC2=CD2,即无法推出OE=V30C,故D错误. 二、填空题 5.18 解：菱形BCD的面积为：×ACx8D=18m). 6. 解：如图，过点C作CP⊥AD于P,作C⊥AB于Q: A D 60° B E 由题意知，AD∥BC,AB∥CD, .四边形ABCD是平行四边形； 两张纸宽度相同， .CP=CO=2cm; .AD.CP=AB.CO. .'AD=AB .四边形ABCD是菱形， ∴.AD=CD; AD∥BC, ∴.∠ADC=∠DCE=60°， ,△ACD是等边三角形， ∴AC=AD=2PD=2AP: CP=VAC2-AP:=3AP-2(cm) 解得： :Ac=2PD等5(em】 1. 解：菱形ABCO,∠OAB=120°， ∴OA=AB, :∠A0B=∠AB0-80-∠B40)=30. ①当∠0BA=90°时， ·∠AOB=30°，∠OBA=90°， 004 菱形ABCO的边长为4， .∴.0A=4, .B0=O1-AB2=VP-2=25 ·点的坐标为25,0) ②当∠0AB=90°时， ,∠A0B=30°，∠0AB=90°， .4B'=OB 2 设AB'=x,则OB=2x, .菱形ABCO的边长为4， ∴.0A=4, ∠OAB=90°， .'.OA2+AB=OB2. .4+2=(2x, 43 解得： =4v3 x3= 3, 3(舍)， :O8'= 3 8V3 ·点B的坐标为30 综上，点g的坐标为(25.0)或3,0 8.①② 解：四边形ABCD是菱形， .AB=AD=4 ~F是线段BD的中点，E是B的中点， ..EF 是△MBD的中位线， 六EF=)4D=2,即a=2,故①正确 2 “四边形 ABCD ∠BAD兰120° 是菱形， AB∥CD, 2iBCc=10-120-60,ABD-=ABc=×180°-1209）-=30， 2 2 当EF⊥BD时，a取得最小值，如图 E 在RAEr中，BE-号48= 2,∠EBF=30, :.EF-BE=1, 当点F与点D重合时，a取得最大值，如图 M B D(F) C 过点D作DM⊥AB交BA的延长线于点M, ∴.∠DAM=180°-∠BAD=60°∠M=90° ∴.∠ADM=90°-∠DAM=30°， AM-14D=2 2 DM-VADP-AM=23 :E是B的中点， :AE=BE=-AB=2 2 ∴.EM=AE+AM=4 在Rt△EMD中， ED=VEM'+DM2=42+(23'=V28=2万 .1≤a≤2W7 ，故②正确， 连接AC,CE,如图 B ,四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=4, .∠ABC=60°， ∴.△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC=4, ∠ACB=60° :E是MB的中点， CE⊥AB,BE=AE=2, CE-VAC-AE=2 当a=2时，取点F与点B重合此时E为AB中点，EF在AB上，EF=2,在CE上取EG=EF=2, ∴EG=EF,FE⊥EG, 此时点G在菱形的内部，如图 E B(F) G D 可以取， C ∴.a “结论国中4<2错误，故③错误， 综上所述，正确结论的序号是①②. 三、解答题 9.(1)如图， D (2)邻边相等的平行四边形是菱形. 依据如下： 由点E,F的取法可知AF=BE, “四边形 ABCD 是平行四边形， ∴.AF∥BE 四边形1BEF 是平行四边形， 又：AB=AF, 六四边形MBEF 菱形 10.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD‖BC, BE=AF, ∴.四边形ABEF是平行四边形， 又AD‖BC, ∴.∠AFB=∠CBF, .BF是∠ABC的平分线， ∴.∠ABF=∠CBF, ∴.∠ABF=∠AFB, ..AB=AF, ∴.四边形ABEF是菱形. (2)解：由(1)已证：四边形ABEF是菱形， ∴.AB∥EF,AB=BE=EF, .EF=5,CE=8, .AB=5,BC=BE+CE=EF+CE=13, 又.AB∥EF,∠CHE=90°， ∴.∠BAC=∠CHE=90°， 在Rt△ABC中，AC=VBC2-AB=132-S=12 11.(1)证明：四边形ABCD是菱形， .BD⊥ACOB=OD BE⊥BCDF⊥BC .BE∥DF 3 ∴.∠BEG=∠DGE .·∠BOE=∠DOG .△BOE≌aDOG(AAS) .BE=DG 小四边形 EBGD 是平行四边形， .BD⊥AC 四边形 BGD 是菱形； (2)解：BE=2,BC=4,BE⊥BC, .CE=VBE2+BC2=V22+42=25 CE⊥BD COBEC5.0x 1 2 :OB45 5, 2W5 5 5 :EG=20E=4V5 5, 1458516 ∴.菱形EBGD的面积为2 EG-BD=2×1 2555. 12.(1)证明：在菱形ABCD中，∠BAC=∠DAC,AB=AD, BE=DF .∴.AE=AF .AG=AG ∴.△AEG≌△AFG(SAS) ∴.EG=FG (2)证明：在菱形ABCD中，AD‖BC,AB=BC, M为CD 点， ∴.DM=CM '.DF II CK, ∴.∠FKC=∠DFK ∴.‘∠CMK=∠FMD, ∴.△FMD≌△CMK(AAS) ..FD=CK ·.BC+CK=BK, ∴，AB+FD=BKAE+BE+FD=BK ‘.BEFD, .∴.AE+2FD=BK. (3)解：如图，取AC中点，连接E0,连接EF交AC于点V, .∠BAC-∠BKE=45°，∠BAC=∠BCA, F B ∴∠AGE=∠CGK=∠BCA-∠BKE=45° 由(1)知△AEG≌△AFG, .∠AGF=∠AGE=45°， .∠EGF=90° 由(1)AE=AF,∠BAC=∠DAC, ∴.EF⊥ACEN=FN ∴.△ENG和△FNG均为等腰直角三角形，EN=NG. ACFK AFCK 四边形ACKF为平行四边形， :.AF-CK-DF=AE=BE=AB=5 2 E为MB中点， .EQ/BC E0-BC-4E-CK-5,AN-NO. ,∠EGQ∠CGK,∠QEG=∠GKC, .△EQG≌aKCG(AAS) :QG-GC-1CQ-14Q-AN-NQ-TEN 2 2 在RtAEN中，∠ANE=90°，EN=2AN, .AE2=AN2+EN2=25 :AN=5 EN=NF=25 AC=45 S四边形4CKr=AC·FN=4V5×2V5=40 13.(1)解：连接AC,如下图所示： B D ,四边形ABCD为菱形，且∠B=60°， ∴.∠BAD=120°，∠D=60° ∵AC 为菱形的角平分线， ∴.∠BAC=∠DAC=60° 故△BAC与△DAC为等边三角形， 即BA=AC=AD」 :点P为BC中点，∠PA0=∠B=60°， 故AP平分∠BAC ∴.∠BAP=∠PAC=∠CAQ=∠QAD=30° 在△ABP和△AD0中， ∠B=∠D AB=AD ∠BAP=∠QAD .△ABP=△ADQ(ASA) :.AP=AO (2)成立，理由如下： 连接AC,如下图所示： D》 由(1)，同理可得△BAC与△DAC为等边三角形， ∴.AC=AD,∠PCA=∠D '∠PAQ=∠CAD=60° .∠PAC+∠CAQ=∠DAQ+∠CAQ=60 .∠PAC=∠DAQ 在△PAC和△QAD中， 「∠PCA=∠D AC=AD ∠PAC=∠DAQ ∴△PAC=△QAD(ASA) .AP=AO (3)解：过点A作AE⊥BC交BC于点E,连接AC, 当点P在点E上方时，如下图所示： B 由0(2)得Pc=D0,E为BC中点， BC=AB=6cm .BE CE=3cm 由勾股定理得4E=VAB2-BE2=3V3cm AP=30cm .PE =AP2-AE2 =3cm 故PC=CE+PE=3+V5(em) :.DO=PC=3+3(cm) 当点P在点E下方时，如下图所示： B O D 同理可得PE=V3cm, PC=CE-PE=3-3(cm) ..DO=PC=3-3(cm) 综上，D0的长度为3+5(cm)或3-B(cm） 14.(1)四边形ACED为平行四边形，理由： “四边形 ABCD 是平行四边形， .AD=BC,AD∥BCAD∥CE ，即 .CE=BC .AD=CE 六四边形MCD 为平行四边形： (2)①证明：根据(1)可得四边形ACED为平行四边形， .AD‖CE ∴.∠DCE=∠ADC .CD ∠ACE 平分 ∴.∠DCE=∠ACD ∴.∠ACD=∠ADC, .AC=AD 3 小平行四边形 CED 为菱形； ②解：如图，连接AE交CD于点O, D B 根据①可得四边形ACED为菱形， 1 ∴，AE⊥CD, CO=CD 2 AE =20E “四边形 ABCD 是平行四边形， ∴.CD=AB=8 C0=.CD=4 CE=BC=5 ∴.OE=VCE2-C02=3 ∴.AE=2OE=6 6x8-24 :.菱形ACED的面积为 15.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BCAB∥DF .∠CEF=∠DAF∠BAF=∠DFA .AF 是∠B1D的平分线， .∠DAF=∠BAF ∴.∠CEF=∠DFA ∴CE=CF “四边形ECFG 平行四边形， “平行四边形 CFG 是菱形； (2)四边形ECFG是正方形，理由如下： 由(1)知CE=CF, 在△ECF中，CE2+CF2=CE2+CE2=2CE2, .EF =2CE ..EF2=2CE2 ∴.CE2+CF2=EF2 ∴.△ECF 是直角三角形，且BCF=90 “四边形 CFG 是菱形， 小四边形 CFG 是正方形； (3)解：四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC=AD=8 AD BC ∴.∠DAE=∠AEB 由(1)知，∠DAE=∠BAE, ∴，∠AEB=∠BAE ∴.BE=AB=6 ∴.CE=BC-BE=8-6=2 由(1)知，四边形ECFG是菱形， ∴.CF=CE=2 过点E作EH⊥CD于点H, G .∠EHC=90° .AB∥DC .∠DCE=180°-∠ABC=180°-120°=60° 在RtAEHC中，∠CEH=90°-∠ECH=90°-60°=30°， .CH-CE- x2=1, 1 ..EH =CE2-CH2=22-12=3 ·四边形BCFG的面积为 =CF×EH=2√3