1.1菱形的性质与判定同步练习2026-2027学年九年级数学上册北师大版

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础概念辨析、中档性质应用到综合探究的三阶分层设计，实现从单一知识点到多能力融合的巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形定义、对角线性质等单一知识点|选择题直接考查性质（如对角线垂直平分），填空题强化基础计算（如已知对角线求高）| |中档|性质与判定综合应用|结合坐标系（菱形顶点坐标）、折叠（中点翻折求长度），需简单推理与运算| |提升|多知识点综合探究|解答题设置动点问题（如E、F滑动证全等）、跨图形综合（菱形与正方形重叠），培养空间观念与逻辑推理|

1.2菱形的性质与判定同步练习 一、选择题 1.下列关于菱形对角线的说法中，错误的是() A.对角线互相垂直 B.对角线所在直线是菱形的对称轴 C.对角线相等 D.对角线互相平分 2.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC的长 度等于) D A. 63米 B.6米 c.33米 D.3米 3.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(8,0，点A的纵坐标是2， 则点B的坐标是()】 A.4,2 B.4,-2 c.2,-6 D.2,6 4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,DE⊥AB于点E,连接OE,若 DE=3,BE=1,则∠AOE的度数是(O A.30 B.45° c.60 D.75 5.在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别为AD,DC上的动点，∠EBF=60°，点E 从点A向点D运动的过程中，AE+CF的长度() A.逐渐增加 B.逐渐减小 C.保持不变且与BF的长度相等 D.保持不变且与AB的长度相等 6.如图，要在平行四边形ABCD内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 甲：连接AC,作AC的中垂线交AD,BC于E,F,则四边形AFCE是菱形： 乙：分别作∠A与∠B的平分线AE,BF,分别交BC于点E,交AD于点F,则四边 形ABEF是菱形. 对于甲、乙两人的作法，可判断() A A.甲正确，乙错误B.甲错误，乙正确C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误 7.如图，在边长为10的菱形ABCD中，P为CD上一点，BP⊥CD,连接AP,若DP=4, 则AP的长为() A.12 B.2V34 C.14 D.241 8.如图为菱形ABCD与△ABE的重叠情形，其中D在BE上，若AB=17,BD=16, AE=25,则DE的长度为() B D A.8 B.9 c.11 D.12 9.如图，菱形ABCD中，∠A是锐角，E为边AD上一点，△ABE沿着BE折叠，使点A 的对应点F恰好落在边CD上，连接EF,BF,给出下列结论： ①若∠A=70°，则∠ABE=35°： ②若点F是CD的中点，则S6e=}S发AD 3 下列判断正确的是() D E C B A.①，②都对 B.①，②都错 C.①对，②错 D.①错，②对 二、填空题 10.如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是 ululalulluuXiululululululull 11.菱形的对角线长为6和8，则菱形的高为 12.如图四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，则∠BAD=· D 13.如图，在菱形ABCD中，E,和F分别是AB,AC的中点.若EF=2,则菱形ABCD的 周长是· E B 14.如图，在菱形纸片ABCD中，AB=3,∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中 点E处，折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上，则EF的长为一 D G A F 三、解答题 15.如图，DB‖AC,且DB=号AC,E是AC的中点. E B (1)求证：BC=DE: (2)若四边形ADBE是菱形，求∠ABC的度数. 16.如图，在菱形ABCD中，已知E是BC上一点，且AE=AB,∠EAD=2∠BAE. D B E (1)求∠BAD的度数： (2)求证：BE=AF. 17.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P为AC上一点，E为射线BC上一点，且 PD=PE.求证： B C E (1) ∠DPE=60 (2) AP=CE; (3)CP+CE=CD 18.如图，在菱形ABCD中，P是BC边上一点，连接AP,E,F是AP上的两点，连接 DE,BF,使得∠AED=∠ABC,∠ABF=∠BPF,求证： D (1)△ABF≌△DAE: (2)DE=BF+EF. 19.如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD于点E,CF⊥AB,交AB的延长线于点F. D (1)求证：AE=BF: (2)若点E恰好是AD的中点，AB=2,求BD的值. 20.已知点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上滑动（点P不与B,C重合），且 ∠PAQ=∠B (1)如图(1)，若AP⊥BC,求证：AP=AQ: 图(1) (2)如图(2)，若AP与BC不垂直，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立， 说明理由： 图(2) (3)如图(3)，若AB=4,∠B=60°，请直接写出四边形APCQ的面积. 图(3) 答案 一、选择题（共9题） 1.【答案】C 【解析】·菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分， .对角线所在直线是对称轴，故A,B,D正确，C错误. 2.【答案】A 【解析】·四边形ABCD为菱形，设对角线交点为O, .∴.AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=AD=24÷4=6(米)， .∠BAD=60°， ∴.△ABD为等边三角形， ∴.BD=AB=6(米)，OD=OB=3(米)， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA=√62-3=33（米）， 则AC=20A=63米. 0 C 3.【答案】B 【解析】连接AB交x轴于D, 则有AB⊥OC,OD=CD,AD=BD, 所以B4,-2. y 4.【答案】A 【解析】：四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,DO=BO, DE⊥AB,DE=V3,BE=1, ∴.BD=VDE2+BE2=2, .∴.D0=B0=1, ·DE⊥BA,DO=BO, .∴.EO=DO=BO=1, ∴.BE=BO=EO=1, ∴.△BEO是等边三角形， ∴.∠BOE=60°， .∠AOE=∠AOB-∠B0E=90°-60°=30°. 故选A. 5.【答案】D 【解析】连接BD, .四边形ABCD是菱形， .∴.AB=AD=CD .∠A=60°， ∴.△ABD是等边三角形， .AB=BD,∠ABD=60°， ,DC‖AB, ∴.∠CDB=∠ABD=60°， .∠A=∠CDB, .∠EBF=60°， :∠ABE+∠EBD=∠EBD+∠DBF, ∴.∠ABE=∠DBF, 在△ABE和△DBF中， ∠A=∠BDF, ∠ABE=∠DBF, AB=BD, .△ABE≌△DBF AAS, ∴.AE=DF .AE+CF=DF+CF=CD=AB. D 6.【答案】C 【解析】甲：如图1， EF垂直平分AC, 则有EA=EC,FA=FC, .∴.∠EAC=∠ECA, 又.AD‖BC, ∴.∠EAC=∠ACF, .∴.∠ECA=∠ACF, 又，AC⊥EF, ∴.CF=CE 故有AF=CF=CE=AE, 四边形AECF为菱形，故甲正确。 乙：如图2， 由题可知AE平分∠BAF,BF平分∠ABE, 则有∠FAE=∠BAE,∠ABF=∠EBF, 又AD‖BC, ∴.∠FAE=∠AEB, .∠BAE=∠AEB, 即AB=AF, ∴.AF=BE,AF‖BE 四边形ABEF为菱形， .甲、乙均正确. E 图】 图2 7.【答案】D 【解析】'四边形ABCD是菱形， ∴.AB=BC=CD=AD=10,AB‖CD, PD=4, ∴.PC=6, .PB⊥CD, ∴.PB⊥AB .∠CPB=∠ABP=90°， 在Rt△PCB中， .'∠CPB=90°，PC=6,BC=10, ∴.PB=BC2-PC2=8, 在Rt△ABP中， .∠ABP=90°，AB=10,PB=8, ∴.PA=AB+PB=2V41. 8.【答案】D 【解析】连接AC,设AC交BD于O点， .四边形ABCD为菱形， AC1BD,且B0=D0=16=8, 在△AOD中， .∠AOD=90°， ∴.A0=VAD2-0D2=172-82=15, 在△AOE中， .∠AOE=90°， ∴.0E=VAE2-A02=V252-152=20, 又OD=8, .DE=OE-OD=20-8=12. 0 9.【答案】A 【解析】①.'四边形ABCD是菱形， ∴.ABCD,∠C=∠A=70°， .BA=BF=BC, .∠BFC=∠C=70°， ∴.∠ABF=∠BFC=70°， :∠ABE=号∠ABF=35,故O正确。 ②如图，延长EF交BC的延长线于M, :四边形ABCD是菱形，F是CD中点， ∴.DF=CF,∠D=∠FCM,∠EFD=∠MFC, ∴.△2△CMF, .∴.EF=FM, S隧卷DE=Sa8:SA时 2 SAMBE' SABE 1S阳边8BcDE S菱形ABCD,故②正确， D --M 二、填空题（共5题） 10.【答案】菱形 【解析】如图，作AE⊥BG于E,作AF⊥CD于F, ABCD,AD BC, ∴.四边形ABCD是平行四边形， ,'AE=AF,，∠ABC=∠ADC,∠AEB=∠AFD, ∴.△ABE≌△AFD, ∴.AB=AD, .平行四边形ABCD是菱形. 2艾 B C 11. 【答案】 24 【解析】，'菱形两条对角线分别是8和6， .两对角线一半的长分别为4和3， ∴.菱形的边长=42+3=5， 设菱形的高为h, 则菱形的面积=5h三×8×6 解得h=24 12.【答案】60 【解析】'四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°， ∴.∠DCB=60°（菱形的每一条对角线平分一组对角）， .·四边形ABCD是菱形， ,.∠BAD=∠DCB=60°（菱形的对角相等）. 13.【答案】16 14.【答案】 21 【解析】如图，连接BE,BD .四边形ABCD为菱形，∠A=60°， .∴.AB=3=BC=CD,∠A=60°=∠C, ∴.△BCD是等边三角形， E是CD中点， DE-3-CE.BE LCD.2 EBC=30' .∴.BC=2CE=3, BE=BC2-CE-393 2 CD‖AB, .∴.∠ABE=∠CEB=90°， 由折叠可得AF=EF, EF2=BE2+BE2, EF2=2+3-EF, 4 ·EF=2 三、解答题（共6题） 15.【答案】 :DB-ACE是AC的中点 (1) .DB=CE,且DBAC, .四边形DBCE是平行四边形， .∴.BC=DE. (2).·四边形ADBE是菱形， .AB⊥DE, .DE‖BC, .AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°. 16.【答案】 (1),:四边形ABCD是菱形， ∴.ADBC, .∠AEB=∠EAD=2∠BAE. AE=AB, ∴.∠ABE=∠AEB=∠EAD=2∠BAE. 设∠BAE=X,则∠ABE=∠AEB=∠EAD=2X. .·∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°， ..2x+2x+x=180°， ∴.X=36°， ∴.∠BAD=∠BAE+∠EAD=36°+2×36°=108°. (2)由(1)得∠BAD=108°，∠AEB=2×36°=72°. .'四边形ABCD是菱形， .∴.AB=AD, ÷2ABD=2×180-108=36 由(1)知，∠BAE=36°=∠ABD, .'AF=BF, .∴.∠BFE=∠BAE+∠ABD=36°+36°=72°=∠AEB, ∴.BE=BF, ∴.BE=AF. 17.【答案】 (1)方法1： .'CB=CD,∠ACB=∠ACD,CP=CP, ∴.△PCB≌△PCD, ∴.PD=PB=PE, .∠PDC=∠PBC=∠E, .∴.∠DPE=∠DCE=60°. (2)连接PB,过点P作PF‖BE交AB于点F, 可得△APF是等边三角形，△PCE≌△BFP, ∴.CE=PF ∴.AP=CE」 (3)CP+CE=CP+AP=AC=CD. 【解析】 (1)方法2：过点P作PM⊥BC于点M,PN⊥CD于点N,则PM=PN, .PD=PE, ∴.Rt△PME≌Rt△PND, ∴.PDC=∠E, ∴.∠DPE=∠DCE=60°. 18.【答案】 (1).'四边形ABCD是菱形， ∴.AB=AD,AD‖BC. .∴.∠BPA=∠DAE. 又 .∠ABC=∠AED, ∠BAF+∠ABC+∠BPA=180°， ∠ADE+∠AED+∠DAE=180°， ∴.∠BAF=∠ADE. .∠ABF=∠BPF且∠BPA=∠DAE, ∴.∠ABF=∠DAE. 又AB=DA, .△ABF≌△DAE ASA. (2).'△ABF≌△DAE, ∴.AE=BF,DE=AF. AF=AE+EF=BF +EF, ∴.DE=BF+EF. 19.【答案】 (1).'四边形ABCD是菱形， .∴.AB=BC,AD‖BC, .∠A=∠CBF. .'BE⊥AD,CF⊥AB .∠AEB=∠BFC=90°， ∴.△AEB≌△BFC AAS, ∴.AE=BF. (2),E是AD的中点，且BE⊥AD, ∴.直线BE为线段AD的垂直平分线， ∴.BD=AB=2. 20.【答案】 (1),·四边形ABCD是菱形， .∠B+∠C=180°，∠B=∠D,AB=AD. .∠PAQ=∠B, .∴.∠PAQ+∠C=180°， .∠APC+∠AQC=180°. AP⊥BC, .∴.∠APC=90°， ∴.∠AQC=90°. ∠APB=∠AQD=90°， 在△APB和△AQD中， ∠B=∠D, AB=AD, ∴.△APB≌△AQD AAS, ∴.AP=AQ. (2)若AP与BC不垂直，(1)中的结论还成立.证明如下： 如图(I),作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为点E,F. 由(1)可得∠PAQ=∠EAF=∠B,AE=AF, .∠EAP=∠FAQ. ∠AEP=∠AFQ=90°， 在△AEP和△AFQ中， AE=AF, ∠EAP=∠FAQ, .∴△AEP≌△AFQ ASA, .'.AP=AQ. (3)四边形APCQ的面积为4V3. 【解析】 (3)理由：如图(2)，连接AC,BD交于点O,作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F. .∠ABC=60°，BA=BC, ∴.△ABC为等边三角形， .AE⊥BC, ∴.BE=EC, 同理，CF=FD, .四边形AECF的面积=号×四边形ABCD的面积， 由(2)得四边形APCQ的面积=四边形AECF的面积. AB=4,∠B=60°， 0A=AB=2,0B=RAB2-0A2=23, .四边形ABCD的面积为×23×4×2=8R3, ∴.四边形APCQ的面积为4V3. 图(2)