第2章解一元二次不等式和基本不等式自主训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以四步流程与三原则为核心方法体系，通过分类题型构建初高中数学衔接的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解一元二次不等式|3类题型+典例|化正→求根→看图→写解集四步流程，结合因式分解/求根公式/图像法|从二次函数图像与方程根的关系推导解集，衔接初中因式分解与二次函数基础| |基本不等式|5类题型+典例|一正二定三相等原则，涵盖直接套用、和定积最大、1的代换、凑配定值等技巧|从核心公式推导推论，通过题型变式构建“公式→推论→应用”逻辑链，培养数学抽象与运算能力|

2026年高一上学期初高中数学衔接内容 人教版A必修第一册第2章-解一元二次不等式和基本不等式自主训练 解析 真题答案 （2025年广东春季高考.10）已知，且，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 解：因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立，所以的最大值为. 选B （2025年广东春季高考.16） 解不等式的解集为______． 【答案】 解：，则或，即该不等式的解集为或. （2026年广东春季高考.9）已知，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 解：因为，，所以，当且仅当，即，时等号成立.选C （2026年广东春季高考.16）不等式的解集为______． 【答案】 解：∵，∴，∴,即不等式的解集为． 一、解所有一元二次不等式： 1化正：整理为 ax²+bx+c > 0（或 <、≥、≤）的标准形式，保证二次项系数 a>0（若 a 为负，两边乘 - 1，不等号方向反转）， 2求根：解方程 ax²+bx+c = 0，得到两个根 x₁、x₂（默认 x₁<x₂）， 3看图：a >0 时抛物线开口向上，图像在 x 轴上方对应>0，下方对应<0， 4写解集：大于取两边，小于取中间；带等号则根处取等号。 题型1.缺项（直接因式分解 / 开方） 特点：缺少一次项或常数项，无需复杂计算，直接提公因式或开平方即可求根。 1.不等式 的解集为_______ 答案：2} 解析：2 2.不等式 的解集为_______ 答案：3} 解析：3 3.不等式 的解集为_______ 答案：} 解析：， 题型2.一般二次三项式型（十字相乘 / 求根公式） 特点：完整的二次三项式，先用十字相乘法或求根公式求出方程的根，再写解集。 4.不等式 的解集为_______ 答案：} 解析：, 5.不等式 的解集为_______ 答案：} 解析：，得 题型3.判别式 Δ<0 恒成立型 特点：二次式无法因式分解，计算判别式，说明抛物线与 x 轴无交点；开口向上时恒正，开口向下时恒负。 6.不等式 的解集为_______ 答案： 解析：恒成立，所以解集是R 7.不等式 的解集为_______ 答案： 解析：恒成立，所以 的解集是 二、基本不等式（均值不等式） 核心公式：对任意正数，有 ，当且仅当时等号成立。 推论（和定积最大）： 解题三原则：一正（变量为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（验证等号能取到） 题型1.积定和最小（直接套用） 特点：两项相乘后变量消去，乘积为定值，直接用公式求最小值。 8.设 ，则 的最小值为_______ 答案： 解析：，，当且仅当 取等号.最小值 题型2.和定积最大 特点：已知两正数的线性和为定值，求乘积的最大值，用 “和定积最大” 推论。 9.已知 ，，则 的最大值为_______ 答案： 解析：,得12 当且仅当即取等号，最大值 题型3. “1 的代换”（乘 1 法） 特点：已知两变量和为 1（或定值），求分式和的最小值，是高一高频考点。 10.已知 ，，则 的最小值_______ 答案： 解析： 当且仅当时取等号，最小值是 题型4.凑配定值（凑项法） 特点：分母含变量的一次式，通过给变量加 / 减常数，凑出与分母相同的项，构造 “积为定值”。 11.设 ，求 的最小值_______ 答案： 解析： ，当且仅当，时取等号， 最小值是 题型5.根号下二次式求最值 特点：先对根号内的式子用基本不等式求最值，再开根号得到最终结果。 12. 的最大值为_______ 答案： 解析： 最大值是 暑假预习学习建议 1. 先补初中基础，再学高中内容 这两部分内容极度依赖初中基础，建议先花 2-3 天巩固： 熟练掌握十字相乘法因式分解（解二次不等式的核心工具）； 复习一元二次方程的求根公式、判别式； 回忆二次函数的图像（开口、对称轴、与 x 轴交点）。 2. 一元二次不等式学习重点 把 “化正→求根→看图→写解集” 的流程练成本能，尤其注意二次项系数为负时要变号，这是高一最常见的错题点； 重点区分 Δ>0、Δ=0、Δ<0 三种情况的解集差异，不要死记硬背，结合图像理解。 3. 基本不等式学习重点 吃透 “一正二定三相等”，每道题做完都要验证等号是否能取到； 重点攻克 “1 的代换” 和 “凑配定值” 两类题型，这是高一月考、期中的必考高频题； 初期做题可以按 “先判断题型→对应方法→计算→验证等号” 的步骤来，避免跳步出错。 4. 练习节奏建议 每天练题，保持手感，不追求速度，优先保证正确率； 错题单独整理，标注错误原因（比如忘记变号、忽略等号条件），开学前再复盘一遍。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一上学期初高中数学衔接内容 人教版A必修第一册第2章-解一元二次不等式和基本不等式自主训练 真题 （2025年广东春季高考.10）已知，且，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 （2025年广东春季高考.16） 解不等式的解集为______． （2026年广东春季高考.9）已知，若，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. （2026年广东春季高考.16）不等式的解集为______． 一、解所有一元二次不等式： 1化正：整理为 ax²+bx+c > 0（或 <、≥、≤）的标准形式，保证二次项系数 a>0（若 a 为负，两边乘 - 1，不等号方向反转）， 2求根：解方程 ax²+bx+c = 0，得到两个根 x₁、x₂（默认 x₁<x₂）， 3看图：a >0 时抛物线开口向上，图像在 x 轴上方对应>0，下方对应<0， 4写解集：大于取两边，小于取中间；带等号则根处取等号。 题型1.缺项（直接因式分解 / 开方） 特点：缺少一次项或常数项，无需复杂计算，直接提公因式或开平方即可求根。 1.不等式 的解集为_______ 2.不等式 的解集为_______ 3.不等式 的解集为_______ 题型2.一般二次三项式型（十字相乘 / 求根公式） 特点：完整的二次三项式，先用十字相乘法或求根公式求出方程的根，再写解集。 4.不等式 的解集为_______ 5.不等式 的解集为_______ 题型3.判别式 Δ<0 恒成立型 特点：二次式无法因式分解，计算判别式，说明抛物线与 x 轴无交点；开口向上时恒正，开口向下时恒负。 6.不等式 的解集为_______ 7.不等式 的解集为_______ 二、基本不等式（均值不等式） 核心公式：对任意正数，有 ，当且仅当时等号成立。 推论（和定积最大）： 解题三原则：一正（变量为正数）、二定（和或积为定值）、三相等（验证等号能取到） 题型1.积定和最小（直接套用） 特点：两项相乘后变量消去，乘积为定值，直接用公式求最小值。 8.设 ，则 的最小值为_______ 题型2.和定积最大 特点：已知两正数的线性和为定值，求乘积的最大值，用 “和定积最大” 推论。 9.已知 ，，则 的最大值为_______ 题型3. “1 的代换”（乘 1 法） 特点：已知两变量和为 1（或定值），求分式和的最小值，是高一高频考点。 10.已知 ，，则 的最小值_______ 题型4.凑配定值（凑项法） 特点：分母含变量的一次式，通过给变量加 / 减常数，凑出与分母相同的项，构造 “积为定值”。 11.设 ，求 的最小值_______ 题型5.根号下二次式求最值 特点：先对根号内的式子用基本不等式求最值，再开根号得到最终结果。 12. 的最大值为_______ 暑假预习学习建议 1. 先补初中基础，再学高中内容 这两部分内容极度依赖初中基础，建议先花 2-3 天巩固： 熟练掌握十字相乘法因式分解（解二次不等式的核心工具）； 复习一元二次方程的求根公式、判别式； 回忆二次函数的图像（开口、对称轴、与 x 轴交点）。 2. 一元二次不等式学习重点 把 “化正→求根→看图→写解集” 的流程练成本能，尤其注意二次项系数为负时要变号，这是高一最常见的错题点； 重点区分 Δ>0、Δ=0、Δ<0 三种情况的解集差异，不要死记硬背，结合图像理解。 3. 基本不等式学习重点 吃透 “一正二定三相等”，每道题做完都要验证等号是否能取到； 重点攻克 “1 的代换” 和 “凑配定值” 两类题型，这是高一月考、期中的必考高频题； 初期做题可以按 “先判断题型→对应方法→计算→验证等号” 的步骤来，避免跳步出错。 4. 练习节奏建议 每天练题，保持手感，不追求速度，优先保证正确率； 错题单独整理，标注错误原因（比如忘记变号、忽略等号条件），开学前再复盘一遍。 学科网（北京）股份有限公司 $