专题05 一元二次方程根的分布问题6种常见考法归类（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以6类根分布考法为框架，构建"条件-步骤-速记"三维方法体系，实现从基础判别到综合应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根在R上的分布|1例+3变式|判二次项系数+判别式，小充分大必要|从方程类型判断切入，奠定根个数基础| |零分布|1例+3变式|同根看和积+判别，异号只看乘积|特殊点(0)分布，深化韦达定理应用| |k分布|1例+3变式|开口方向+判别式+对称轴+端点值，跨k仅需f(k)符号|从特殊点到任意常数k，实现分布问题一般化| |区间上分布|1例+3变式|全在区间：判别+对称轴+两端点；单根在区间：端点异号|区间约束强化，培养数学建模意识| |区间外分布|1例+3变式|跨区间口诀：同号端点值（开口定符号）|逆向思维训练，提升逻辑推理能力| |综合问题|1例+4变式|模型匹配+不等式组求解+二次项系数检验|整合前五类方法，发展综合应用能力|

专题05 一元二次方程根的分布问题6种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01一元二次方程根在R上的分布 题型02一元二次方程根的零分布 题型03一元二次方程根的k分布 题型04一元二次方程根在区间上的分布 题型05一元二次方程根在区间外的分布 题型06根分布综合问题 ▌题型01 一元二次方程根在R上的分布 解题必备条件 1.方程是一元二次方程： 2.有两个不等实根： 3.有两个相等实根： 4.无实数根： 5.存在实数根（至少一个）： 解题步骤 ① 先判断二次项系数是否为0，区分一次/二次方程； ② 二次方程直接算判别式，列不等式求参数范围； ③ 充分/必要条件判断：小范围大范围（小充分，大必要）。 速记 管根的个数， 保证是二次方程。 【例1】（2026高一·安徽滁州·阶段检测）“”是“关于的方程有两个不等实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2026高一·福建莆田·阶段检测）已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是__________. 【变式1-2】（2026高一·江苏南京·阶段检测）设为实数，若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是___________. 【变式1-3】（2026高一·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______． ▌题型02 一元二次方程根的零分布 情况1：两个不等正根 情况2：两个不等负根 情况3：一正一负根（跨0） 只需： 原理：两根乘积小于0，必然一正一负，自动满足 ，不用额外算判别式。 情况4：一正一负，负根绝对值更大 情况5：至少一个负根 分类讨论： ① 一次方程（）：直接解看根正负； ② 二次方程：分「两负根」「一负一正根」两种情况取并集。 速记 同根看和积+判别，异号只看乘积。 【例2】（2026高一·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【变式2-1】（2026高一·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【变式2-2】（2026高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． ▌题型03 一元二次方程根的k分布 设常数 ，（开口向上，开口向下同理变号） 情况1：两根都大于 情况2：两根都小于 情况3：一根小于k，一根大于k（跨k） 仅需： 原理：抛物线在 处穿过x轴，必然一左一右，自动 。 解题步骤 1.确定开口方向 ； 2.都大于/都小于k：判别式+对称轴+端点函数值三条件； 3.跨k：只列 。 【例3】（26-27高一·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【变式3-1】（2026高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 【变式3-3】（2026高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． ▌题型04 一元二次方程根在区间上的分布 条件：，两根 补充：区间内只有一个根（有且仅有一根在） 额外验证：根刚好等于区间端点的特殊情况。 速记 两根全在区间内：四边约束（判别式、对称轴、左右端点）； 只有一根在区间：两端点函数值异号。 【例4】（2026高二·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【变式4-1】（26-27高一·全国·暑假作业）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【变式4-2】（2026高一·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【变式4-3】（2026高一·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围． ▌题型05 一元二次方程根在区间外的分布 模型：一根，一根 开口向上 ，只需： 图像逻辑：、 两处函数图像都在x轴下方，抛物线两端向上，零点必然分居区间两侧。 通用跨区间口诀 两根分开在区间两边，区间两端函数值同负（开口上）/同正（开口下）。 【例5】（26-27高一·全国·暑假作业）关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【变式5-1】（2026高一·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【变式5-2】（2026高一·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． ▌题型06 根分布综合问题 1.设二次函数，标注开口； 2.翻译题意，匹配上面5种模型，列出全部不等式： (1)两根同正负：韦达+； (2)都大于/小于常数k：对称轴+； (3)跨某点k：； (4)两根全在区间内：对称轴+两端点； (5)两根分居区间两侧：两端点同号； 3.解不等式组，取交集；多种情况（至少一负根、区间有解）取并集； 4.检验二次项系数，排除一次方程干扰。 【例6】（2026高二·河北保定·期末）为何值时，关于的方程的两根： (1)都为正数根； (2)异号且负根绝对值大于正根； (3)一根大于2，一根小于2； (4)两根都在区间上. 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【变式6-4】（2026高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程根的分布问题6种常见考法归类 ▌题型01 一元二次方程根在R上的分布 【例1】【答案】D 【分析】根据“关于的方程有两个不等实根”解出的范围，进而判断即可. 【详解】因为关于的方程有两个不等实根， 所以，解得或， 所以“”是“关于的方程有两个不等实根” 既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式1-1】【答案】 【分析】根据存在性命题为真，知一元二次方程有解，列出不等式即可得解. 【详解】因为，关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得， 故答案为： 【变式1-2】【答案】 【分析】依题意可得，再解一元二次不等式即可； 【详解】解：因为关于的一元二次方程没有实数根， 所以，即，解得，即 故答案为： 【变式1-3】【答案】 【分析】根据一元二次方程的性质，列出不等式组，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，关于的一元二次方程有实数根， 则满足，解得，且， 所以实数的取值范围是. 故答案为： ▌题型02 一元二次方程根的零分布 【例2】【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-1】【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 【变式2-2】【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 【变式2-3】【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． ▌题型03 一元二次方程根的k分布 【例3】【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 【变式3-1】【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 【变式3-2】【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (2) 【分析】（1）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）求出方程的两根，根据已知条件可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，由可得， 方程的两根分别为、， 当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，即当时，解原不等式可得； 当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为关于的方程有两个不等实根、，则，且， 由，可得，， 所以，即，等价于，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3-3】【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. ▌题型04 一元二次方程根在区间上的分布 【例4】【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 【变式4-1】【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 【变式4-2】【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 【变式4-3】【答案】 【分析】根据方程的所在的区间，得到不等式组，解出即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令，则，解得 ▌题型05 一元二次方程根在区间外的分布 【例5】【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 【变式5-1】【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【变式5-2】【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故选：B． 【变式5-3】【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． ▌题型06 根分布综合问题 【例6】【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】根据判别式的符号确定方程根的个数，再根据根的分布情况对每一小问进行分析即可： （1）满足判别式大于等于零，且两根之和、两根之积都大于零； （2）满足判别式大于零，且两根之和、两根之积都小于零； （3）满足判别式大于零，处的函数值小于零； （4）满足判别式大于等于零，0和2处的函数值都大于零，且对称轴在之间； 【详解】（1）设函数， 方程有两根设为，对称轴.，由. 解得或； 由题意可得， 解得或. （2）由题意可得，解得. （3）由题意可得，即，解得. （4）由题意可得，即，解得或. 【变式6-1】【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图象与轴交点的位置讨论方程根的情况． 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为． 两根都大于0，如图1所示，则，解得． （2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得． （3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得． 【变式6-2】【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 【变式6-3】【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】（1）对于方程， 两个不同的正根，且设两根分别为,，则， 即，解得. 故有两个不同的正根的范围为. （2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则， 即，解得. 故有两个不同的负根的范围为. （3）令，一个根在内，另一个根在内， 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内的范围为. （4）两个不同的根都大于，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. （5）两个不同的根都小于1，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都小于1，则的范围为. （6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得； 故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为. （7）两个不同的根都在内， 即，即，解得， 故两个不同的根都在内，则的范围为. （8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内， 则，即，解得. 当时，方程两根为，符合， 故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为. （9）一个根小于2，一个根大于4； 则，即，解得. 故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为. （10）一个根在内，另一个根在内； 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内，则的范围为. （11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大， ，即，解得. 故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为. （12）在内无实根： 即或或或， 即或或或， 解得或， 故在内无实根时，则的范围为. 【变式6-4】【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 【分析】（1）（2）结合题意利用判别式和韦达定理建立不等式，求解参数范围即可. （3）（10）先将原问题转化为二次函数的零点问题，利用零点存在性定理建立不等式，求解参数范围即可. （4）（5）（6）（7）（8）（9）（11）利用一元二次方程的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于方程， 若有两个不同的正根，则设两根为， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 综上，可得的范围是. （2）对于方程， 若有两个不同的负根，则设两根为， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 综上，可得的范围是. （3）对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时，，则，解得， 而，，故，解得， 综上，可得的范围是. （4）对于方程，令， 若两个不同的根都大于，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. （5）对于方程，令， 若两个不同的根都小于1，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. （6）对于方程，令， 若一个根大于1，一个根小于1，则，解得， 综上，可得的范围是. （7）对于方程，令， 若两个不同的根都在内， 可得，解得或， 而，解得，则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. （8）对于方程，令， 若有两个根，有且仅有一个根在内， 可得， 或者方程一个根为0另一个根在内， 或者方程一个根为2另一个根在内， 而，， 由，解得， 当方程一个根为0时，此时另一个根为3，3不在内，不合题意； 当方程一个根为2时，此时另一个根为，在内，符合题意； 综上，可得的范围是. （9）对于方程，令， 若一个根小于2，一个根大于4， 则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. （10）对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时， ，则，解得或， ，故，解得， 综上，可得的范围是. （11）对于方程， 若有一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则设两根为，且， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 因为，所以可得，得到， 则，可得， 得到，即即可， 故，解得或， 综上，可得的范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程根的分布问题6种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型01一元二次方程根在R上的分布 题型02一元二次方程根的零分布 题型03一元二次方程根的k分布 题型04一元二次方程根在区间上的分布 题型05一元二次方程根在区间外的分布 题型06根分布综合问题 ▌题型01 一元二次方程根在R上的分布 解题必备条件 1.方程是一元二次方程： 2.有两个不等实根： 3.有两个相等实根： 4.无实数根： 5.存在实数根（至少一个）： 解题步骤 ① 先判断二次项系数是否为0，区分一次/二次方程； ② 二次方程直接算判别式，列不等式求参数范围； ③ 充分/必要条件判断：小范围大范围（小充分，大必要）。 速记 管根的个数， 保证是二次方程。 【例1】（2026高一·安徽滁州·阶段检测）“”是“关于的方程有两个不等实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据“关于的方程有两个不等实根”解出的范围，进而判断即可. 【详解】因为关于的方程有两个不等实根， 所以，解得或， 所以“”是“关于的方程有两个不等实根” 既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式1-1】（2026高一·福建莆田·阶段检测）已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据存在性命题为真，知一元二次方程有解，列出不等式即可得解. 【详解】因为，关于的一元二次方程有实数根， 所以， 解得， 故答案为： 【变式1-2】（2026高一·江苏南京·阶段检测）设为实数，若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】依题意可得，再解一元二次不等式即可； 【详解】解：因为关于的一元二次方程没有实数根， 所以，即，解得，即 故答案为： 【变式1-3】（2026高一·全国·课后作业）若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的性质，列出不等式组，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，关于的一元二次方程有实数根， 则满足，解得，且， 所以实数的取值范围是. 故答案为： ▌题型02 一元二次方程根的零分布 情况1：两个不等正根 情况2：两个不等负根 情况3：一正一负根（跨0） 只需： 原理：两根乘积小于0，必然一正一负，自动满足 ，不用额外算判别式。 情况4：一正一负，负根绝对值更大 情况5：至少一个负根 分类讨论： ① 一次方程（）：直接解看根正负； ② 二次方程：分「两负根」「一负一正根」两种情况取并集。 速记 同根看和积+判别，异号只看乘积。 【例2】（2026高一·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式2-1】（2026高一·上海宝山·期末）已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】令，根据条件得，即可求解. 【详解】令，其图象开口向上， 又方程有一正根一负根，则， 解得， 故答案为：. 【变式2-2】（2026高三·全国·一轮复习）方程有一正根和一负根的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理和研究一元二次方程的根或结合一元二次函数的图象特点求出的范围，最后结合充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】方法1：因为方程有一正根和一负根， 则，得， 所以条件成立的一个充分不必要条件为． 方法2：设， 因为方程有一正根和一负根， 所以或，解得， 所以条件成立的一个充分不必要条件是． 故选：C． 【变式2-3】（2026高一·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是_____． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． ▌题型03 一元二次方程根的k分布 设常数 ，（开口向上，开口向下同理变号） 情况1：两根都大于 情况2：两根都小于 情况3：一根小于k，一根大于k（跨k） 仅需： 原理：抛物线在 处穿过x轴，必然一左一右，自动 。 解题步骤 1.确定开口方向 ； 2.都大于/都小于k：判别式+对称轴+端点函数值三条件； 3.跨k：只列 。 【例3】（26-27高一·全国·暑假作业）已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. 【变式3-1】（2026高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）“”是“关于x的方程的两根都大于1的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】判别式： ，解得或， 对称轴在右侧： 对称轴，解得， 再由：恒成立， 所以两根都大于1的充要条件是， ，推不出，因此充分性不成立， ，可推出，因此必要性成立， 因此""是"方程的两根都大于1"的必要不充分条件. 【变式3-2】（2026高一·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论关于的不等式的解集； (2)若关于的方程有两个不等实根、，且，求的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. (2) 【分析】（1）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）求出方程的两根，根据已知条件可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，由可得， 方程的两根分别为、， 当时，即当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，即当时，解原不等式可得； 当时，即当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）因为关于的方程有两个不等实根、，则，且， 由，可得，， 所以，即，等价于，解得或， 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3-3】（2026高一·吉林·期中）已知关于的一元二次方程有两个不等根，，且满足，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】设，结合题意分析可得，运算求解即可. 【详解】设， 由题意可知：的零点为，且， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. ▌题型04 一元二次方程根在区间上的分布 条件：，两根 补充：区间内只有一个根（有且仅有一根在） 额外验证：根刚好等于区间端点的特殊情况。 速记 两根全在区间内：四边约束（判别式、对称轴、左右端点）； 只有一根在区间：两端点函数值异号。 【例4】（2026高二·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 【变式4-1】（26-27高一·全国·暑假作业）已知关于x的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】若，则方程化为，只有一个解，与题意不符； 若，， 方程一根小于1，一根大于1且小于2，则大致图象： 所以，解得，即的取值范围是. 【变式4-2】（2026高一·浙江宁波·强基计划）关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 【变式4-3】（2026高一·全国·专题练习）关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围． 【答案】 【分析】根据方程的所在的区间，得到不等式组，解出即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令，则，解得 ▌题型05 一元二次方程根在区间外的分布 模型：一根，一根 开口向上 ，只需： 图像逻辑：、 两处函数图像都在x轴下方，抛物线两端向上，零点必然分居区间两侧。 通用跨区间口诀 两根分开在区间两边，区间两端函数值同负（开口上）/同正（开口下）。 【例5】（26-27高一·全国·暑假作业）关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 【变式5-1】（2026高一·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【变式5-2】（2026高一·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故选：B． 【变式5-3】（2026高三·全国·专题练习）已知关于的一元二次方程的一根小于，另一根大于，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】通过对二次方程进行因式分解，求得方程的根，根据题意即可求解. 【详解】由，因式分解得， 故方程两根为和， 则由题意得， ∴． ▌题型06 根分布综合问题 1.设二次函数，标注开口； 2.翻译题意，匹配上面5种模型，列出全部不等式： (1)两根同正负：韦达+； (2)都大于/小于常数k：对称轴+； (3)跨某点k：； (4)两根全在区间内：对称轴+两端点； (5)两根分居区间两侧：两端点同号； 3.解不等式组，取交集；多种情况（至少一负根、区间有解）取并集； 4.检验二次项系数，排除一次方程干扰。 【例6】（2026高二·河北保定·期末）为何值时，关于的方程的两根： (1)都为正数根； (2)异号且负根绝对值大于正根； (3)一根大于2，一根小于2； (4)两根都在区间上. 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】根据判别式的符号确定方程根的个数，再根据根的分布情况对每一小问进行分析即可： （1）满足判别式大于等于零，且两根之和、两根之积都大于零； （2）满足判别式大于零，且两根之和、两根之积都小于零； （3）满足判别式大于零，处的函数值小于零； （4）满足判别式大于等于零，0和2处的函数值都大于零，且对称轴在之间； 【详解】（1）设函数， 方程有两根设为，对称轴.，由. 解得或； 由题意可得， 解得或. （2）由题意可得，解得. （3）由题意可得，即，解得. （4）由题意可得，即，解得或. 【变式6-1】（2026高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图象与轴交点的位置讨论方程根的情况． 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为． 两根都大于0，如图1所示，则，解得． （2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得． （3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得． 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）根据判别式符号以及韦达定理列不等式求解； （2）利用求解； （3）函数在的函数值的符号列不等式求解； （4）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解； （5）利用求解； （6）根据判别式符号以及区间端点处函数值符号列不等式求解； （7）分三种情况讨论，区间端点处函数值符号列不等式求解. 【详解】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】（1）对于方程， 两个不同的正根，且设两根分别为,，则， 即，解得. 故有两个不同的正根的范围为. （2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则， 即，解得. 故有两个不同的负根的范围为. （3）令，一个根在内，另一个根在内， 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内的范围为. （4）两个不同的根都大于，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. （5）两个不同的根都小于1，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都小于1，则的范围为. （6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得； 故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为. （7）两个不同的根都在内， 即，即，解得， 故两个不同的根都在内，则的范围为. （8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内， 则，即，解得. 当时，方程两根为，符合， 故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为. （9）一个根小于2，一个根大于4； 则，即，解得. 故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为. （10）一个根在内，另一个根在内； 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内，则的范围为. （11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大， ，即，解得. 故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为. （12）在内无实根： 即或或或， 即或或或， 解得或， 故在内无实根时，则的范围为. 【变式6-4】（2026高三·全国·专题练习）已知方程，在下列条件下，求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) 【分析】（1）（2）结合题意利用判别式和韦达定理建立不等式，求解参数范围即可. （3）（10）先将原问题转化为二次函数的零点问题，利用零点存在性定理建立不等式，求解参数范围即可. （4）（5）（6）（7）（8）（9）（11）利用一元二次方程的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】（1）对于方程， 若有两个不同的正根，则设两根为， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 综上，可得的范围是. （2）对于方程， 若有两个不同的负根，则设两根为， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 综上，可得的范围是. （3）对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时，，则，解得， 而，，故，解得， 综上，可得的范围是. （4）对于方程，令， 若两个不同的根都大于，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. （5）对于方程，令， 若两个不同的根都小于1，可得，解得或， 则，解得，，解得， 综上，可得的范围是. （6）对于方程，令， 若一个根大于1，一个根小于1，则，解得， 综上，可得的范围是. （7）对于方程，令， 若两个不同的根都在内， 可得，解得或， 而，解得，则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. （8）对于方程，令， 若有两个根，有且仅有一个根在内， 可得， 或者方程一个根为0另一个根在内， 或者方程一个根为2另一个根在内， 而，， 由，解得， 当方程一个根为0时，此时另一个根为3，3不在内，不合题意； 当方程一个根为2时，此时另一个根为，在内，符合题意； 综上，可得的范围是. （9）对于方程，令， 若一个根小于2，一个根大于4， 则，解得， 则，解得， 综上，可得的范围是. （10）对于方程，令， 若一个根在内，另一个根在内， 则的一个零点在内，另一个零点在内， 由零点存在性定理可得，， 此时， ，则，解得或， ，故，解得， 综上，可得的范围是. （11）对于方程， 若有一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则设两根为，且， 由韦达定理得，， 可得，解得或， 而，解得，而，解得， 因为，所以可得，得到， 则，可得， 得到，即即可， 故，解得或， 综上，可得的范围是. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $