期末专题02 不等式性质、基本不等式、一元二次不等式（考点串讲+专项训练）（精选33题）-【百强名校好题】2026年高一数学（上）期末终极冲刺（人教A版必修第一册）

期末专题02 不等式性质、基本不等式、一元二次不等式 百强名校-考点串讲 例1．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)下列命题中，正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 例2．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)（多选）已知实数，则（   ） A． B． C． D． 例4．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知，则取得最小值时的的值为（    ） A． B． C． D． 例5．(24-25高一上·黑龙江大庆第一中学·期末)已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例6．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 例7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)若，则的最大值为 ． 例8．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)（多选）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 例9．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数的值域为. (1)求； (2)若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围. 例10．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)已知函数（）. (1)若对一切实数x都成立，求k的取值范围； (2)若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围. 百强名校-真精练 一、不等式的性质 1．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若，则的取值范围是 ． 2．(24-25高一上·北京海淀区·期末)若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 二、基本不等式 4．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 6．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 7．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为18 B．当时，的最小值为 C．当时，ab的最小值为 D．当时，的最小值为 8．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 9．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知函数，若，，且，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D．4 10．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知（a，b，），且，则（   ） A． B．存在a，c使得 C．不存在a，c使得 D． 11．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)（多选）“计算是数学大厦的根基”，下列计算中正确的是（    ） A．若，则 B．不等式的解集为 C．若，则 D．若，则的最小值为 12．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为 . 三、一元二次不等式 13．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)关于x的一元二次方程的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 15．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知集合且，集合，命题，命题. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)当，且时，求实数的取值范围． 19．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数. (1)若为偶函数，解不等式：； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 四、其他不等式 20．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 21．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 23．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)设集合，，则（ ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末专题02 不等式性质、基本不等式、一元二次不等式 百强名校-考点串讲 1．(24-25高一上·湖北华中师范大学第一附属中学·期末)下列命题中，正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举说明判断A；利用不等式的性质判断B；作差判断CD. 【详解】对于A，取，满足，而，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得 ，D正确. 故选：BCD 2．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的信息，利用不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，，，A错误； 对于B，，，则，B错误. 对于C，由，得，C正确； 对于D，，D错误； 故选：C 3．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)（多选）已知实数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断ABCD的正误. 【详解】对于A，因为， 当且仅当时等号成立，故A正确； 对于B，，故， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故C成立； 对于D，因为，故，故， ，当且仅当时等号成立， 故D成立， 故选：ACD. 4．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知，则取得最小值时的的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由，得， ， 当且仅当即即时，等号成立. 故选：D 5．(24-25高一上·黑龙江大庆第一中学·期末)已知函数，若，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】对任意的，，即恒成立， 所以，函数的定义域为， 因为， 所以，， 所以，，故函数为奇函数， 当时，函数、均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为外层函数为增函数， 由复合函数法可知，函数在上为增函数， 由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，可得， 又因为，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为8. 故选：D. 6．(24-25高一上·福建福州第一中学·)已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 7．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)若，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】由已知可知，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，时取等号． 故答案为： 8．(24-25高一上·陕西西安交通大学附属中学·期末)（多选）关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 9．(24-25高一上·河北石家庄石家庄二中教育集团·期末)函数的值域为. (1)求； (2)若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦函数的性质求解； （2）不等式可化为，根据得到，再由求解. 【详解】（1）解：， ， ，故 （2）不等式可化为 ，方程两根为，且不等式解集， ，即 则有. 10．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)已知函数（）. (1)若对一切实数x都成立，求k的取值范围； (2)若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先对二次项系数进行讨论，只有当时与当且时才能恒成立，进而求得结果. （2）分析得出只有当开口向下且，才能满足题意，求解即可. 【详解】（1）当时，显然成立； 当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方，即， 得； 当时，二次函数的图象开口向上， 一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，. （2）易知函数的对称轴为直线，且， 函数在区间上有两个不相等的零点，须函数开口向下，所以， 且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 又结合二次函数的图象与性质以及零点存在性定理， 需要满足在区间的最大值大于0，即，且即可， 即，解得， 综上所述，. 百强名校-真精练 一、不等式的性质 1．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式性质得到，进而得到取值范围. 【详解】，故， 故，故. 故答案为：. 2．(24-25高一上·北京海淀区·期末)若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于B，由，，因此，B错误； 对于D，由，得，，D错误. 故选：C 3．(24-25高一上·辽宁五校联考·期末)已知a，b均为正实数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 二、基本不等式 4．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 5．(24-25高一上·北京清华大学附属中学·期末)已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】由基本不等式求最小值． 【详解】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 6．(24-25高一上·四川绵阳中学·期末)已知，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据条件得，代入，利用基本不等式，即可求解最小值，得到答案. 【详解】，，可得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. 故选：D. 7．(24-25高一上·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）若实数a，b满足，，则下列说法正确的为（    ） A．当时，的最大值为18 B．当时，的最小值为 C．当时，ab的最小值为 D．当时，的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式的变形，结合整体法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】A，当时，，，， 当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确； B，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时，，有最小值，最小值为，选项B正确； C，当时，，则， 当时，， 当且仅当时等号成立，此时，无解； 当时，， 当且仅当时等号成立，此时， 解得或，故ab有最小值为，选项C错误； D，当时，，， 则，当且仅当或时等号成立， 有最小值，最小值为，选项D正确. 故选：ABD. 8．(24-25高一上·黑龙江哈尔滨第三中学校·期末)（多选）设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析计算即可. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 9．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知函数，若，，且，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 又，所以，所以， 又函数在单调递减，所以，所以，， 所以 ，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 10．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知（a，b，），且，则（   ） A． B．存在a，c使得 C．不存在a，c使得 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式逐项推理判断即可. 【详解】对于A，由，，得，则，A正确； 对于B，由，，得，则，， 若存在，使得，则，与已知相矛盾，B错误； 对于C，由，得，，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 11．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)（多选）“计算是数学大厦的根基”，下列计算中正确的是（    ） A．若，则 B．不等式的解集为 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用作差法及不等式的性质判断A，利用零点分段法解绝对值不等式，即可判断B，利用特殊值判断C，利用乘“1”法及基本不等式判断D. 【详解】对于A：因为， 所以，所以， 则，故A正确； 对于B：不等式，即， 即或或， 解得或或， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C：当时，显然满足，但是，故C错误； 对于D：因为，，所以， 所以， 当且仅当，即，时取等号，故D正确. 故选：ABD 12．(24-25高一上·江苏常州高级中学·期末)已知，，当时，不等式恒成立，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由题意得到有相同的零点，即，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，当时，函数是增函数，函数是减函数， 所以函数有相同的零点， 否则，存在，与题意矛盾， 从而，即， 所以，等号成立当且仅当时成立， 综上所述，所求为8. 故答案为：8. 三、一元二次不等式 13．(24-25高一上·辽宁大连第二十四中学·期末)关于x的一元二次方程的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由方程的解集和根与系数关系得的关系，并由得a的正负，代入不等式后即可求解. 【详解】∵关于x的一元二次方程的解集为， ，即，，即. ， 即，即，解得. 故选：A. 14．(24-25高一上·广东华南师范大学附属中学·期末)已知命题，使命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】命题p为真命题时，求得，结合充分与必要条件的定义可判断每个选项的正误. 【详解】由，得，解得， 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个必要不充分条件可以是，故A正确； 所以命题p为真命题的一个充要条件可以是，故B错误； 因为真包含于，所以命题p为真命题的一个充分不必要条件可以是，故C错误； 由得不出，同时也得不出， 所以命题p为真命题的一个既不必要又不充分条件可以是，故D错误. 故选：A. 15．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据分式不等式的解法求出集合A，利用数形结合的思想解集合，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，得，即， 得，解得， 所以； 由，得， 作出函数与直线的图形，如图， 由图可知不等式的解集为， 即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 16．(24-25高一上·福建莆田第一中学·期末)已知条件；条件，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式，根据条件得到真包含关系，从而得到不等式，求出答案. 【详解】，设， 或，设或， 是的充分不必要条件，故是的真子集， 故或，解得或， 故选：B 17．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知集合且，集合，命题，命题. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求得集合和， ，进而可求得； （2）根据给定条件可知集合是集合的真子集，根据包含关系列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，故， 又因为， 所以. （2）因为是的充分不必要条件，故是的真子集， 又且， 所以（等号不同时成立），解得， 综上，实数的取值范围是. 18．(24-25高一上·广东深圳宝安区·期末)已知集合. (1)当时，求； (2)当，且时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解指数不等式，化简集合；再解一元二次不等式，化简集合，最后求并集即可； （2）先由将中不等式化为，讨论，，三种情况，分别求集合，再由交集为空集，即可求出结果. 【详解】（1）由，解得， 当时，即为， 即为，， ． （2）， 当，即时，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，则，不合题意； 综上所述，实数的取值范围是． 19．(24-25高一上·重庆第一中学校·期末)已知函数. (1)若为偶函数，解不等式：； (2)已知函数在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知，函数的图象关于直线对称，由二次函数的对称性可求得的值，然后利用一元二次不等式的解法解不等式即可； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为函数为偶函数，即， 所以，函数的图象关于直线对称，所以，，可得， 所以，， 由可得，解得， 因此，不等式的解集为. （2）由于的图象为开口向上，对称轴为直线，讨论如下： 若即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，可得，解得（舍）； 若即，此时函数在上为增函数， 则，合乎题意. 综上，. 四、其他不等式 20．(24-25高一上·湖南长沙第一中学·期末)下列命题是真命题的是（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．与是同一个函数 C．不等式的解集为 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据存在命题得否定判断A；根据定义域不同判断B；求分式不等式的解集判断C；根据不等式的性质判断D. 【详解】由存在量词命题的否定知，“，”的否定是“，”，故A正确； 由，知的定义域为，由或，知的定义域为，所以不是同一个函数，故B错误： 由得，解得：，故不等式的解集是，故C正确； 由不等式的性质，，又，所以，故D正确. 故选：ACD. 21．(24-25高一上·重庆南开中学校·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合后利用交集的定义可求. 【详解】，. 所以， 故选：C. 22．(24-25高一上·安徽合肥第一中学·期末)已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 23．(24-25高一上·重庆西南大学附属中学校·期末)设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对数函数性质化简集合，再根据交集的定义求，根据补集的定义求结论. 【详解】由函数有意义，可得，故， 所以，又， 所以， 所以. 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $