14.2 三角形全等的判定（第4课时 用三角形全等进行尺规作图）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦“用三角形全等进行尺规作图”，核心知识点包括作一个角等于已知角（SSS原理）、过直线外一点作已知直线的平行线、已知两边及其夹角作三角形。课堂导入通过回顾SSS、SAS等全等判定方法，提出“用尺规作等角”的问题，搭建旧知到新知的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以全等三角形判定为逻辑基础，通过“作等角”核心作图带动拓展应用，如利用同位角相等作平行线、依据SAS作三角形，培养学生逻辑推理（数学思维）和几何直观（数学眼光）。规范作图步骤与痕迹书写，强化数学语言表达，分层练习（基础、巩固、拓展）助力学生提升动手与推理能力，也为教师提供清晰教学流程和丰富实例。

【新教材】人教版·八年级上册 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第4课时 用三角形全等进行尺规作图 1 2 3 熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤，理解作图原理是 SSS 判定三角形全等； 能够运用“作等角”的方法，完成过直线外一点作已知直线的平行线、已知两边及其夹角作三角形等尺规作图，规范书写作图流程； 经历尺规作图的探究与实操过程，感受全等三角形知识的应用价值，体会数形结合思想，提升动手操作与逻辑推理的数学核心素养. 学 习 目 标 这节课，我们就依托三角形全等的知识，学习基础的尺规作图，掌握作一个角等于已知角的方法，并且运用这项技能完成作平行线、作三角形等更多几何作图． 同学们，之前我们已经学会了SSS、SAS、ASA、AAS多种判定三角形全等的方法，还利用三边相等画出了全等三角形. 大家想一想，只用直尺和圆规，能不能凭空画出一个和已知角大小完全相同的角呢？ 导入新课 如图(1)所示，已知角∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB的大小． 思考：线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素．我们已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 新知探究 分析：对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的．如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，那么就说明可以用直尺和圆规确定∠AOB．进而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠AOB的对应角就是要求作的角． 显然，这样的三角形是容易作出的． 新知探究 5 如图(2)所示，在∠AOB的边OA，OB上分别取点C，D，连接C，D，得到△COD，∠AOB就是△COD的一个内角．再作出△C′O′D′(图(3))，使△C′O′D′≌△COD，则∠C′O′D′＝∠COD＝∠AOB． 为了作图方便，一般取OC＝OD． 由此我们得到作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法． 新知探究 作一个角∠A′O′B′等于已知角的方法． 作法：如图所示． （1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD为半径作弧，与上一步作的弧相交于点D′； （4）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 新知探究 与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图． 新知探究 例1：如图所示，已知直线AB及直线AB外一点C．利用直尺和圆规过点C作直线AB的平行线CD． 分析：我们知道，同位角相等，两直线平行.可以利用这个结论，过点C作直线AB的平行线CD.为此需要先作出截线，再作出相等的同位角. 作法：如图所示． （1）过点C作一条直线，与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠FCD＝∠CEB； （3）反向延长CD，得直线CD，则直线CD//AB. 还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图． 典例分析 例2：如图所示，已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB＝a，AC＝b，∠A＝∠α． 作法：如图所示． （1）作∠DAE＝∠α； （2）在射线AD上作AB＝a，在射线AE上作AC＝b； （3）连接BC，则△ABC就是所求作的三角形． 典例分析 10 基础训练 2．如图，已知点P在直线l外，按以下步骤作图：①在直线l上任取一点A，以点A为圆心，以AP的长为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；②以点P为圆心，以PA的长为半径作弧；③以点A为圆心，以PB的长为半径作弧，交前弧于点C，作直线PC．若，则的度数为________．  【解析】通过作图步骤得到线段相等关系，可以证明三角形全等，进而利用全等三角形对应角相等以及三角形内角和定理求解的度数即可；本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 解：如图，连接AC，由作图可得，， ∴在和中，∴，∴， ∵．∴，． 基础训练 用三角形全等进行尺规作图 ①核心作图：作一个角等于已知角 过直线外一点作已知直线的平行线； 已知两边及其夹角作三角形. 原理：借助 SSS 判定两个三角形全等，全等三角形对应角相等，从而作出等角 ③注意事项 尺规作图工具仅限：无刻度直尺、圆规； 作图本质：利用三角形全等，保证图形大小、形状完全一致； 作图要求：保留作图痕迹，规范书写步骤. ②作图拓展 新知总结 13 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 拓展提升 拓展提升 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第44页习题14.2第9题、第10题 选做题： 教材第45页习题14.2第16题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! 【解析】根据作图顺序进行求解即可． 解：根据作图可知，先作，然后作线段，再过点C作，即作，因此根据作图的已知条件为两角及一角的对边． 1．利用尺规作，作图痕迹如图所示，图中的数 字表示作圆弧的顺序，则此作图的已知条件是（     ） A．两边及夹角 B．两角及一角的对边 C．两角及夹边 D．两边及一边的对角 B 【解析】通过作图步骤痕迹得到角的等量关系，即可得出答案. 解：根据尺规作图的痕迹可知，， ， ． 1．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． C C 【解析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法．根据题中的图形，可以得到 ，，，再根据全等三角形的判定方法，求解即可． 解：由作图可知， ，，，则这个作图的依据是：两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即．故选C． 2．如图1，已知，，线段，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同 旁作，，与的另一边交于 点．则就是所作三角形，这样作图的依据 是（    ） A． B． C． D． 【解析】本题考查了利用全等三角形的判定与性质作全等三角形，点的坐标，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．根据全等三角形的性质和已知点的坐标画出图形，即可得出答案． 解：如图所示，有三个点符合， 点，，，， 与全等， ，， ，，． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，，，作，使与全等且不重合，则点C的坐标为____________________． 或或 解：点即为所作， 4．如图，点是的边延长线上一点，请使用尺规作图法在上方求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【解析】以点为圆心，任意半径画弧交于点，交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为长度画弧，两弧交于点，作射线，点即为所作． 5．如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 【解析】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键．（1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在一上，作即可；（2）分情况讨论，当点F在上方时，利用平行线的性质求出，再利用求解即可；当点F在下方时，利用邻补角的性质即可求解． 解：（1）以点O为圆心任意为半径画弧，交、于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交于点P，再以点P为圆心长为半径画弧形，与前弧相交于F，过作直线即可． ∵，， ∴， ∴， ∴． 5．如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． （2）如图， 当点F在上方时， ，， ．， ； 当点F在下方时，． 5．如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． $