14.2 三角形全等的判定(第4课时 尺规作图)课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦全等三角形判定的尺规作图应用，核心内容包括作等角、过直线外一点作平行线及已知条件作三角形。课堂导入通过复习全等三角形定义、性质及判定定理，搭建知识支架，将作角问题转化为构造全等三角形，衔接后续作图应用。 其亮点在于以转化思想和逻辑推理为核心，通过作等角（SSS全等证明）、作平行线（转化为等角构造）等实例，培养几何直观与空间观念。采用合作探究、中考真题体验，小结系统梳理作图原理，助力学生提升推理能力，为教师提供结构化教学流程与丰富资源。

14.2 三角形全等的判定 第4课时 神奇的尺规作图 第十四章 全等三角形 人教版八年级上册 1.7.2013 ‹#› 学习目标 壹 技能一：神笔马良 —— 仅用无刻度直尺和圆规，精准复刻已知角的大小与形状，掌握基础尺规作图的核心逻辑。 贰 技能二：隔空连线 —— 突破空间限制，学会过直线外任意一点，利用尺规作出该直线的平行线，理解平行线判定的几何原理。 叁 技能三：建筑师的蓝图 —— 依据“两边及其夹角”或“两角及其夹边”的已知条件，精准构建三角形，培养几何直观与逻辑推理能力。 1.7.2013 同学们，这节课我们将解锁三项超酷的新技能！首先，我们要学会像神笔马良一样，用尺规画出一个一模一样的角。接着，我们将掌握“隔空连线”的技巧，过直线外一点画出它的平行线。最后，我们将变身小小建筑师，根据给定的条件画出精确的三角形。准备好了吗？让我们开始吧！ ‹#› 学习目标 一 变身“转化大师”：掌握将复杂的画平行线问题，转化为画相等角的简单问题，领悟化繁为简的核心数学思想。 二 学会“类比学习”：通过对比两种画三角形的方法，发现思路共性，学会举一反三，提升知识迁移与快速学习的能力。 三 建立“几何直观”：在亲手作图的实践中深化对几何图形的理解，逐步培养敏锐的空间感知力与强大的空间想象能力，夯实几何学习基础。 1.7.2013 这节课不仅仅是动手画图，更重要的是锻炼我们的数学思维。我们将学会如何把一个复杂问题转化成简单问题来解决，也就是“转化思想”。我们还会通过类比学习，触类旁通。最重要的是，亲手作图会帮助我们建立强大的几何直观和空间想象能力。这节课，不仅动手，更要动脑！ ‹#› 本节课探险地图 1 复习引入 2 合作探究 3 典例分析 4 巩固练习 5 归纳总结 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 1.7.2013 ‹#› 复习引入 全等三角形 定义 性质 判定 核心定义： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点为对应顶点。 性质一：对应边相等 全等三角形的三组对应边长度完全一致 性质二：对应角相等 全等三角形的三组对应角角度完全相同 边边边 (SSS) 三组对应边分别相等的两三角形全等 边角边 (SAS) 两边及其夹角对应相等的两三角形全等 ASA/AAS：两角及一边对应相等，亦可判定全等。 核心价值：全等判定是尺规作图与几何证明的重要依据。 1.7.2013 在开始新的冒险之前，我们先来回顾一下老朋友——全等三角形。大家还记得吗？全等就是能完全重合，它们的对应边和对应角都相等。我们学过的SSS, SAS, ASA, AAS这些判定方法，就是我们今天作图的“魔法咒语”，非常重要！ ‹#› 合作探究 思考：我们已经掌握了用尺规作一条线段等于已知线段的方法，那能否用同样的工具，画出一个和已知角完全相等的角呢？比如黑板上的∠AOB，如何在作业本上复刻出一模一样的∠A'O'B'？ 类比线段作图，尝试复刻∠AOB的构成 关键思路：把“画角”转化为“作全等三角形” 1.7.2013 同学们，我们已经会用尺规画一条一样长的线段了。那更进一步，我们能不能画一个一模一样大的角呢？这就是我们今天要解决的核心问题。大家可以先思考一下，刚刚复习的全等三角形知识，能在这里帮上什么忙吗？是不是可以把画角的问题，变成画一个全等三角形的问题呢？ ‹#› 合作探究 探究核心：我们已经掌握了作一条线段等于已知线段的尺规作图方法，那么如何利用尺规作一个角等于已知角∠AOB呢？其实这个问题可以转化为我们熟悉的全等三角形知识来解决。 01. 转化视角：把已知角∠AOB看作是一个三角形的一个内角，构建包含该角的基础三角形。 02. 全等作图：用尺规画出与原三角形全等的新三角形，利用全等三角形的对应角相等，得到与∠AOB相等的角。 1.7.2013 好，现在我们就来挑战这个核心任务：如何用尺规作一个角等于已知角。核心思路非常巧妙，就是利用我们刚刚复习的全等三角形。我们把要复制的角，看作是一个三角形的一个内角，然后用尺规画出一个和它全等的三角形，这样新三角形的对应角就和原来的角相等了。 ‹#› 合作探究 一步步教你作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB 【第一步：在已知角上画弧截取】 将圆规针尖置于已知角∠AOB的顶点O，张开任意长度画弧，交OA于C，交OB于D，截取包含角度信息的圆弧。 【第二步：画新角的一边并复制弧长】 先作射线O'A'，保持圆规半径不变，将针尖置于O'，画弧交O'A'于C'，完成新角一边的弧长复制。 关键：全程保持圆规半径不变！ 1.7.2013 现在，请大家拿出直尺和圆规，跟我一起操作！第一步，在已知角上，以顶点为圆心画弧，截取出一段包含角度信息的圆弧。第二步，画一条新的射线作为新角的一边，然后用同样的半径，在新射线上画出一段弧。这两步的关键是保持圆规的半径不变。 ‹#› 合作探究 一步步教你画一个相等的角（续） 【第三步：确定新角的另一边】 1. 调整圆规，使针尖对准点C，铅笔尖对准点D，量取弧CD对应的弦长； 2. 保持圆规张开的角度不变，将针尖移到点C'上画弧，与第二步所画的弧相交于点D'。 【第四步：完成新角】 用直尺连接点O'和点D'，并延长成射线O'B'，此时得到的∠A'O'B'即为与∠AOB相等的角。 思考：为何这样作角相等？ 1.7.2013 接下来是第三步，我们要量取已知角上那段弧的弦长，也就是CD的长度，然后在新画的弧上，以C'为圆心，截取同样的长度，得到交点D'。最后一步，连接O'和D'，我们就得到了和原来一模一样的角！大家都学会了吗？ ‹#› 原理解析 思考：为什么这样画出来的角就一定相等呢？我们可以通过三角形全等进行严谨证明。 证明思路：连接C'D'和CD，在△C'O'D'和△COD中： ① O'C' = OC（作法第二步，同半径）；② O'D' = OD（作法第一步、第二步，同半径）；③ C'D' = CD（作法第三步，同弦长）。 结论推导： 由SSS判定得△C'O'D' ≌ △COD，根据全等三角形对应角相等，故∠A'O'B' = ∠AOB。 全等判定(SSS) 1.7.2013 大家可能会问，为什么这样画就一定相等呢？这背后有严谨的数学证明。我们连接C'D'和CD，会发现△C'O'D'和△COD的三条边都对应相等，也就是SSS。所以这两个三角形全等，它们的对应角自然也就相等了。看，数学就是这么严谨！ ‹#› 典例分析 例4：已知直线AB及直线AB外一点C，如何利用直尺和圆规，过点C作这条直线的平行线CD？ 思路核心利用“同位角相等，两直线平行”的判定定理，将作平行线的问题转化为作一个角等于已知角的问题，先构造截线得到同位角，再作等角即可。 关键步骤解析：第一步，过点C作截线与AB相交，得到一个同位角；第二步，以点C为顶点，利用尺规作图的方法，作一个角等于这个同位角。这样画出的射线所在的直线CD，就是所求的平行线。 1.7.2013 学会了作一个角等于已知角，我们就能解决一个经典问题：过直线外一点作平行线。大家想想，怎么判断两条直线平行？对了，同位角相等！所以，我们可以先画一条截线，创造一个同位角，然后在点C处作一个相等的同位角，这样新画的线就和原来的直线平行了。这就是“转化思想”的应用！ ‹#› 典例分析 作法：结合图示完成平行线绘制，步骤如下 (1) 画截线：过点C任意作一条直线，使其与直线AB相交于点E，构建相交线基础。 (2) 作等角：以点C为顶点、CE为一边，作∠FCD = ∠CEB，利用尺规作图保证两角相等。 (3) 得平行：反向延长射线CD得到直线CD，根据“同位角相等，两直线平行”，证得直线CD // 直线AB。 1.7.2013 具体作法很简单。第一步，过点C画一条截线，与AB交于E点。第二步，利用我们刚学的方法，在C点作一个角等于∠CEB。第三步，延长得到直线CD。根据同位角相等，两直线平行，我们就成功画出了平行线！ ‹#› 典例分析 例5：已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α。 分析思路：此问题对应全等三角形判定的SAS（边角边）方法。只需先画出∠A=∠α，再在角的两边分别截取AB=a、AC=b，最后连接BC，即可得到所求三角形。 作图关键步骤：1. 作角：先作∠MAN=∠α；2. 截边：在射线AM上截取AB=a，在射线AN上截取AC=b；3. 连线：连接BC，△ABC即为所求作的三角形。 1.7.2013 接下来挑战一个更复杂的任务：已知两边和它们的夹角，如何画出这个三角形？这其实就是我们学过的SAS判定方法的逆用。我们只需要先画出那个角，然后在角的两条边上用圆规量取指定的长度，最后连接起来，三角形就完成了。 ‹#› 典例分析 例5：已知线段a、b和角∠α，求作△ABC，使AB=a，AC=b，∠A=∠α。 【第一步：画角】 作一个角∠DAE，使它等于已知的∠α，确定三角形的夹角。 【第二步：截边】 在射线AD上截取线段AB，使AB=a；在射线AE上截取线段AC，使AC=b，确定三角形的两条邻边。 【第三步：连接成形】 用直尺连接点B和点C，所得的△ABC即为满足条件（SAS）的所求作的三角形。 1.7.2013 作法非常清晰。第一步，画一个等于∠α的角。第二步，在角的两条边上，分别截取长度为a和b的线段AB和AC。第三步，连接BC。这样，一个满足SAS条件的三角形就画好了。大家检查一下，是不是完全符合要求？ ‹#› 巩固练习 01.如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ） 选项分析： A. ∠DAE = ∠B —— 正确，由尺规作图痕迹可知，AE作的是等于∠B的角，同位角相等。 B. ∠EAC = ∠C —— 正确，由AE∥BC（同位角相等），根据平行线性质，内错角相等。 C. AE ∥ BC —— 正确，因为∠DAE = ∠B，满足“同位角相等，两直线平行”的判定定理。 D. ∠DAE = ∠EAC —— 错误，∵AB>AC ∴∠C > ∠B，而∠EAC=∠C，∠DAE=∠B，故∠EAC > ∠DAE。 答案：D 1.7.2013 好了，现在是小试牛刀时间！请看第一题。根据图中的作图痕迹，我们可以判断出AE是用来作一个角等于∠B的。所以A选项正确。既然同位角相等，那么AE就平行于BC，C选项也正确。根据平行线的性质，内错角∠EAC和∠C相等，B选项也正确。因为题目告诉我们AB>AC，所以角C大于角B，那么∠EAC就大于∠DAE，所以D选项是错误的。 ‹#› 作法引导： (1)作射线BA，为后续构造角提供基础； (2)以A为顶点，利用尺规作图作∠DAF = ∠ABC（同位角相等）； (3-4)反向延长射线AF，所得直线AF即为过点A且平行于BC的直线。 02.如图，已知△ABC，要求使用直尺和圆规作一条直线，使这条直线经过顶点A，并且与边BC互相平行。 小试牛刀 1.7.2013 第二题，要求我们过点A作BC的平行线。这和我们的例4非常像。我们可以把AB当作截线，然后在点A处作一个角等于∠ABC，这样形成的同位角相等，直线自然就平行了。大家看，只要掌握了基本方法，就能解决各种变式问题。 ‹#› 巩固练习 03.用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于∠α，∠β，且这两个角的夹边长度等于已知线段a。 ▍ 核心思路：ASA 判定 本题考查三角形全等的“角边角”（ASA）判定定理的作图应用。关键在于先确定夹边，再分别在夹边两端构造对应角度，利用角度两边的交点确定第三个顶点。 STEP 01 定夹边 作一条线段 AB，使线段 AB 的长度严格等于已知线段 a 的长度。 STEP 02 作一角∠α 以点 A 为顶点，以 AB 为一边，作∠PAB = ∠α，得到射线 AP。 STEP 03 作一角∠β 以点 B 为顶点，以 BA 为一边，作∠QBA = ∠β，得到射线 BQ。 STEP 04 得终解 记射线 AP 与 BQ 的交点为点 C，则△ABC 即为所求作的三角形。 1.7.2013 第三题，已知两角和它们的夹边，作三角形。这考察的是ASA（角边角）判定定理的实际作图应用。解题的关键步骤是：首先画出确定长度的夹边AB；然后在夹边的两个端点A和B处，分别利用尺规作图法作出对应的角度∠α和∠β；最后两条角度边的延长线会交于一点C，连接三点即可得到符合要求的三角形ABC。 ‹#› 归纳总结 本节课核心知识回顾：基本作图与几何应用 基石 【基本作图】作一个角等于已知角 核心原理：利用“SSS（边边边）”三角形全等判定定理，通过尺规截取相等的三边，构造全等三角形，从而得到相等的角。这是几何作图中最基础、最核心的技能，是后续复杂作图的基础。 应用 01. 过直线外一点作平行线：依据“同位角相等，两直线平行”，利用基本作图构造相等的同位角，从而画出平行线。 02. 已知两边及其夹角作三角形：依据“SAS（边角边）”全等判定，先作角，再截取两边长度，完成三角形的作图。 03. 已知两角及其夹边作三角形：依据“ASA（角边角）”全等判定，先作边，再在边的两端作对应角，两角的另一边相交得到三角形。 核心原理 SSS 全等 关键逻辑 转化思想 1.7.2013 课程过半，我们来总结一下今天的核心知识。我们学习了一个基本作图：作一个角等于已知角，它的原理是SSS。基于这个基本技能，我们解决了三个应用问题：作平行线、根据SAS作三角形、根据ASA作三角形。大家看，所有复杂的作图，都是由基本作图组合而成的。 ‹#› 归纳总结 尺规作图的核心思想与方法 思想 逻辑推理 每一步操作必有依据，依托全等三角形判定定理，拒绝主观臆断，构建严谨的几何证明体系。 转化思想 将复杂陌生的作图问题（如作平行线），拆解转化为简单熟悉的基础问题（如作等角），化繁为简。 数形结合 通过圆规截取、直尺画线实现图形的移动与复制，以直观的图形操作解决抽象的几何数量关系问题。 价值 培养严谨的数学思维，让作图过程有迹可循、有理可依，是几何证明的重要基石。 掌握化归技巧，能够触类旁通，解决更复杂的几何构图问题，提升问题解决的迁移能力。 实现数与形的相互转化，用直观图形辅助抽象思考，是连接代数与几何的关键桥梁。 严谨基石 以形解数 化繁为简 1.7.2013 除了具体的方法，我们更要理解尺规作图背后的数学思想。首先是逻辑推理，每一步都要有根据。其次是转化思想，把不会的问题变成会的问题。最后是数形结合，用图形的操作来解决数学问题。掌握了这些思想，你就掌握了打开几何大门的金钥匙！ ‹#› 01.（2024·北京）如图是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法。该方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB，其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是（ ） A.三边分别相等的两个三角形全等 (SSS)，尺规作图中通过截取等长线段，使三边对应相等，符合SSS判定定理。 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 (SAS)，本题作图未直接体现夹角作为已知条件。 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 (ASA)，作图过程未涉及角的度量与转移作为前置条件。 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 (AAS)，与尺规作角的作图逻辑不符。 真题体验 答案：A 1.7.2013 现在我们来感受一下中考真题。这道2024年北京的中考题，直接考察了我们今天学习的“作一个角等于已知角”的原理。我们回顾一下证明过程，三条边对应相等，所以判定依据是SSS。答案选A。这说明我们今天学的内容非常重要！ ‹#› 真题体验 02.（2020·陕西）已知△ABC，AC>AB，∠C=45°。请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC=45°。（保留作图痕迹，不写作法） 解题关键：以B为顶点，BC为一边作∠PBC=∠C=45°，角的另一边与AC交点即为P。 分析思路 1. 以点B为顶点，BC为一边，作∠PBC=∠C（45°）； 2. 该角的另一边与AC的交点即为所求点P。 核心依据 利用“作一个角等于已知角”的尺规作图基本方法，构造等角关系确定点的位置。 1.7.2013 再来看一道作图题。这道题要求我们在AC边上找一点P，使得∠PBC等于45度。因为已知∠C也是45度，所以我们只需要以B为顶点，BC为一边，作一个45度的角，它的另一边与AC的交点就是点P。这也是利用了“作一个角等于已知角”的基本方法。 ‹#› 小结梳理 尺规作图 基本尺规作图 综合尺规作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 核心原理：所有复杂的综合作图均由基本作图组合而成，其理论依据是三角形全等判定（SSS、SAS、ASA）。 已知三边作三角形(SSS) 过直线外一点作这条直线的平行线 已知两边及其夹角作三角形(SAS) 已知两角及其夹边作三角形(ASA) 1.7.2013 课程最后，我们来梳理一下今天的知识体系。尺规作图分为基本作图和综合作图。基本作图是“作一条线段等于已知线段”和“作一个角等于已知角”。而所有复杂的综合作图，比如作平行线、根据SAS或ASA作三角形，都是由这些基本作图组合而成的，它们的核心原理都是三角形的全等。 ‹#› 布置作业 必做题：教材习题14.2 第9、10题 要求：严格按照尺规作图的步骤操作，务必保留清晰的作图痕迹。 1 探究性作业：小小数学家 自主查阅相关资料，深入了解尺规作图的起源背景、发展历史进程以及它在数学发展中的重要作用与价值。 推荐学习资源： 经典著作《几何原本》；百度百科尺规作图词条；各类数学科普类专业网站。 2 1.7.2013 今天的课就快结束了，这里是大家的课后作业。必做题请大家认真完成，巩固今天所学。探究性作业则鼓励大家去了解尺规作图的历史和文化，推荐大家读一读《几何原本》，感受数学的魅力。希望大家能在课后继续探索尺规作图的无穷奥秘！ ‹#› 谢谢观看！ 人教版八年级上册 1.7.2013 今天的课程到此结束，感谢同学们的积极参与和认真思考。希望大家都能掌握尺规作图的精髓，在几何的世界里自由翱翔。同学们再见！ ‹#› $