重难点培优05 解三角形中的几何图形与证明（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦解三角形中的几何图形与证明核心考点，按知识重构（梳理形状判定、恒等式证明等基础）、题型精研（分五类题型讲技巧）、实战检测（分层练习）的逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“技巧通法+分层训练”为特色，如题型一用统一化原则转化边角条件培养数学思维，题型二通过边角互化提升推理能力，设置重难巩固与创新提升练习。助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径，提升应考能力。

重难点培优05 解三角形中的几何图形与证明（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 三角形形状的判定（★★★） 2 题型二 三角形中的恒等式证明（★★★★） 3 题型三 三角形与几何图形的综合（★★★★★）………………………………………………………………… …4 题型四 三角形特殊点的综合应用（★★★★★）………………………………………………… ……6 题型五 解三角形中的不等式证明（★★★★★） ……………………………………………… ……7 03 实战检测・分层突破验成效 8 重难知识巩固 8 创新能力提升 10 知识重构·重难梳理固根基 1. 三角形形状判定的基本方法 方法 操作 判定依据 边的关系 用余弦定理 的符号 锐角； 直角； 钝角 角的关系 利用三角形内角和 等腰； 等边； 直角 三角恒等式 或 （等腰或直角） 射影定理 等 化简混合边角条件 2. 三角形证明问题的三大策略 策略 适用场景 核心操作 边化角 条件含正弦/余弦的混合表达式 等，利用三角恒等变换 角化边 条件可转化为边的代数关系 ，配合余弦定理 向量法 涉及中线、角平分线等 3. 核心公式速览 (1) 中线长公式（阿波罗尼奥斯）： (2) 角平分线长度： (3) 角平分线定理： (4) 射影定理：（及其轮换） (5) 外接圆半径： (6) 内切圆半径： (7) 三角形“四心”速记：重心（中线交点，）、内心（角平分线交点，到三边等距）、垂心（高线交点）、外心（中垂线交点，） (8) 海伦公式：， 题型精研·技巧通法提能力 题型一 三角形形状的判定（★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 统一化原则：条件中若同时出现边和角的混合表达式，优先全部化为边（用余弦定理）或全部化为角（用正弦定理 ），消除混搭。 ② 角关系判定：利用 ，将 替换为 ，或 ，再通过恒等变形判断。核心等价条件： 或 （等腰或直角）； 。 ③ 边关系判定：用余弦定理判断最大角符号：若 （ 为最大边）则锐角；若 则直角；若 则钝角。若出现 或 等直接判定。 ④ 射影定理速解： 及轮换式可快速化简混合边角条件，如 恒成立，代入即可得出角的正弦值。 ⑤ 注意隐含范围：三角形内角均在 ，且满足 ，判断时需排除不合题意的解（如钝角三角形的角度范围限制）。 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状是（　　） A．等腰三角形　　　B．钝角三角形　　　C．直角三角形　　　D．不确定的 2.（2025·全国·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为（　　） A．锐角三角形　　　B．直角三角形　　　C．钝角三角形　　　D．等腰三角形 3．在中，若等式成立，则的形状是． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 4．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 题型二 三角形中的恒等式证明（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 边角互化桥梁：证明题无外乎“边化角”或“角化边”。 边化角：将 换为 等，利用三角恒等式（和差化积、积化和差、二倍角）化简； 角化边：将 换为 、，再代数变形。 ② 活用射影定理： 及其轮换在证明中可瞬间消去余弦项，极大简化。 ③ 内角代换：，，，将三个角转化为两个角，减少变量。 ④ 和差化积与积化和差：当出现 或 时，优先化为乘积形式，再结合 消元。 ⑤ 逆向思维：从结论出发，分析需要构造的等式，通过正余弦定理逐步匹配，必要时引入外接圆半径 或半周长 作为中间变量。 1.（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 3.已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 4.已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且． (1)证明：； (2)求的最大值． 题型三 三角形与几何图形的综合（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 几何关系数字化：画出示意图，将平行、垂直、角平分线、中线、高、内切圆、外接圆等几何条件翻译为边长、角度或面积等式。例如： 垂直勾股定理或斜率； 角平分线角平分线定理 或长度公式 ； 中线中线长公式或向量表示； 内切圆切线长相等、面积 。 ② 多三角形共桥：当图形被分割成多个三角形时，利用公共边、公共角、公共顶点角作为桥梁，分别在各个三角形中用正弦/余弦定理，联立方程消元。 ③ 建系法：对于含有特殊点（重心、内心、外心）或特殊图形（如双曲线轨迹）的问题，可建立平面直角坐标系，将几何条件转化为坐标方程，利用解析几何工具求解。 ④ 面积法：利用面积比（如等高三角形面积比等于底边比）或面积公式 ，配合已知条件建立比例关系，尤其适用于角平分线、中线交汇问题。 ⑤ 相似与比例：若图中存在相似三角形（如内切圆形成的切线三角形），直接利用相似比转移边长关系，避免复杂三角运算。 1．（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 3.（2026·河南·模拟预测·多选）设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（   ） A．以的长度为边能构成三角形 B．以的三条中线的长度为边能构成三角形 C．以的长度为边能构成三角形 D．若点G到的三边，，的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 4．（25-26高三下·安徽·阶段检测·多选）如图，在中，，的内切圆与相切于点，的面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值2 C． D．记的内心为，则 题型四 三角形特殊点的综合应用（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 四心核心性质： 重心 ：中线交点，（ 为中点），向量表示 ；重心将面积三等分。 内心 ：角平分线交点，到三边距离相等（均为内切圆半径 ），，角平分线定理及长度公式。 外心 ：中垂线交点，，利用圆周角定理，。 垂心 ：高线交点，（或 ），且 （若 为原点）。 ② 奔驰定理：若 为三角形内任意一点，则 ，其中 分别为 的面积。该定理可快速关联面积比与向量系数，常用于垂心、内心条件下的角度求解。 ③ 欧拉线：外心 、重心 、垂心 共线，且 。在涉及三者坐标或距离时，可利用此性质简化。 ④ 坐标法处理四心：建立坐标系，直接写出各心的坐标公式（如重心为顶点坐标平均值，外心为三边中垂线交点），再结合已知条件列方程。 ⑤ 角度转化：利用外心时，，；利用内心时，；利用垂心时，。这些角度关系可转化为正弦定理或余弦定理的应用。 1.（2026·福建福州·三模）中，，设为的内心，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025·湖南张家界·模拟预测）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西朔州·二模·多选）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 题型五 解三角形中的不等式证明（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 基本不等式法：余弦定理 结合 ，可得到边的上界/下界；同时利用 或 进行放缩。常见如证明 （Weitzenböck不等式）。 ② 正弦化角法：将边用 代替，目标不等式转化为关于角的正弦函数的不等式，利用 在 上的凸性、有界性或单调性求解。 ③ 琴生（Jensen）不等式：因为 在 上为凹函数，所以有 （或对于 利用凸性），可用于和式最大值。 ④ 换元法与函数单调性：将目标式表示为某一变量的函数（如令 或 ），通过求导或判别式确定最值，注意定义域范围。 ⑤ 等号成立条件：使用基本不等式时，务必检查等号成立条件（如 或 ），往往对应等边三角形或特殊三角形，可作为最终结论的验证。 ⑥ 配方法：将不等式两边作差，通过恒等变形为平方和形式，如 ，直接得到结论。 1．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 3．在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.在中，若等式成立，则的形状是． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 2．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3.（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·山东济南·阶段检测·多选）满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 5．（2026·湖南邵阳·二模·多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 6．（25-26高一下·上海·期中）已知在中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是______. 7．瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 创新能力提升 1．（2026·广东·模拟预测）和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，其中有，已知锐角内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求的最小值； (2)若，，求的面积S的取值范围． 2．（2026·上海·一模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． (1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； (2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 3.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若，，求b； (2)求的最小值，并判断取得最小值时三角形的形状． 4．（2026·重庆渝中·三模）在锐角 中，角 所对边分别为 且满足 . (1)求 ； (2)若的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 5．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，． (1)求A的大小； (2)若是等腰三角形，且，在AB边上有一点M，点N是的重心，，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优05 解三角形中的几何图形与证明（复习讲义） 内容导航（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 三角形形状的判定（★★★） 2 题型二 三角形中的恒等式证明（★★★★） 4 题型三 三角形与几何图形的综合（★★★★★）………………………………………………………………… …9 题型四 三角形特殊点的综合应用（★★★★★）………………………………………………… ……15 题型五 解三角形中的不等式证明（★★★★★） ……………………………………………… ……19 03 实战检测・分层突破验成效 25 重难知识巩固 25 创新能力提升 36 知识重构·重难梳理固根基 1. 三角形形状判定的基本方法 方法 操作 判定依据 边的关系 用余弦定理 的符号 锐角； 直角； 钝角 角的关系 利用三角形内角和 等腰； 等边； 直角 三角恒等式 或 （等腰或直角） 射影定理 等 化简混合边角条件 2. 三角形证明问题的三大策略 策略 适用场景 核心操作 边化角 条件含正弦/余弦的混合表达式 等，利用三角恒等变换 角化边 条件可转化为边的代数关系 ，配合余弦定理 向量法 涉及中线、角平分线等 3. 核心公式速览 (1) 中线长公式（阿波罗尼奥斯）： (2) 角平分线长度： (3) 角平分线定理： (4) 射影定理：（及其轮换） (5) 外接圆半径： (6) 内切圆半径： (7) 三角形“四心”速记：重心（中线交点，）、内心（角平分线交点，到三边等距）、垂心（高线交点）、外心（中垂线交点，） (8) 海伦公式：， 题型精研·技巧通法提能力 题型一 三角形形状的判定（★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 统一化原则：条件中若同时出现边和角的混合表达式，优先全部化为边（用余弦定理）或全部化为角（用正弦定理 ），消除混搭。 ② 角关系判定：利用 ，将 替换为 ，或 ，再通过恒等变形判断。核心等价条件： 或 （等腰或直角）； 。 ③ 边关系判定：用余弦定理判断最大角符号：若 （ 为最大边）则锐角；若 则直角；若 则钝角。若出现 或 等直接判定。 ④ 射影定理速解： 及轮换式可快速化简混合边角条件，如 恒成立，代入即可得出角的正弦值。 ⑤ 注意隐含范围：三角形内角均在 ，且满足 ，判断时需排除不合题意的解（如钝角三角形的角度范围限制）。 1.（2025·内蒙古赤峰·三模）在 中，角 的对边分别为 ，且 ，则 的形状是（　　） A．等腰三角形　　　B．钝角三角形　　　C．直角三角形　　　D．不确定的 【答案】 A 【解析】。条件化为 。，。，，故 。三角形为等腰三角形，选 A。 2.（2025·全国·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 的形状为（　　） A．锐角三角形　　　B．直角三角形　　　C．钝角三角形　　　D．等腰三角形 【答案】 B 【解析】射影定理： 恒成立。代入条件：，，，故 。直角三角形，选 B。 3．在中，若等式成立，则的形状是． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理得，即，故三角形为等边三角形. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查正弦定理解三角形，属于基础题. 4．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】中，， 已知等式变形得， ，即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 题型二 三角形中的恒等式证明（★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 边角互化桥梁：证明题无外乎“边化角”或“角化边”。 边化角：将 换为 等，利用三角恒等式（和差化积、积化和差、二倍角）化简； 角化边：将 换为 、，再代数变形。 ② 活用射影定理： 及其轮换在证明中可瞬间消去余弦项，极大简化。 ③ 内角代换：，，，将三个角转化为两个角，减少变量。 ④ 和差化积与积化和差：当出现 或 时，优先化为乘积形式，再结合 消元。 ⑤ 逆向思维：从结论出发，分析需要构造的等式，通过正余弦定理逐步匹配，必要时引入外接圆半径 或半周长 作为中间变量。 1.（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】（1）略（2）略（3）略 【解析】(1) ； (2)因为 ， 所以； (3). 2．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)证明：. (2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值. 【答案】（1）略(2)【难度】0.5 【解析】(1)因为，所以，即， 由正弦定理可得， 因为 ，即，所以， 所以，化简可得， 则，即， 所以或（舍去） 故 成立； （2）若，则，， 因为，所以，， 设，则， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 在中，，由正弦定理可得： ，即， 所以的面积为， 令， 则 因为，所以， 由余弦函数性质可知， 当，即时，有最大值为， 此时的面积有最小值为. 3.已知的外心为，为线段上的两点，且恰为中点. (1)证明： (2)若，，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）证明：设， 由余弦定理知：，， 由是外心知， 而， 所以， 即， 而，因此， 同理可知， 因此， 所以； （2）解：由（1）知， 由余弦定理知：，， 代入得， 设，则， 因此， 当且仅当时取到等号， 因此的最大值为. 4.已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且． (1)证明：； (2)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由余弦定理得， ，，， 为钝角，则均为锐角，，即； （2）， 令，为钝角，则， ， 当，即时，取最大值，且为. 题型三 三角形与几何图形的综合（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 几何关系数字化：画出示意图，将平行、垂直、角平分线、中线、高、内切圆、外接圆等几何条件翻译为边长、角度或面积等式。例如： 垂直勾股定理或斜率； 角平分线角平分线定理 或长度公式 ； 中线中线长公式或向量表示； 内切圆切线长相等、面积 。 ② 多三角形共桥：当图形被分割成多个三角形时，利用公共边、公共角、公共顶点角作为桥梁，分别在各个三角形中用正弦/余弦定理，联立方程消元。 ③ 建系法：对于含有特殊点（重心、内心、外心）或特殊图形（如双曲线轨迹）的问题，可建立平面直角坐标系，将几何条件转化为坐标方程，利用解析几何工具求解。 ④ 面积法：利用面积比（如等高三角形面积比等于底边比）或面积公式 ，配合已知条件建立比例关系，尤其适用于角平分线、中线交汇问题。 ⑤ 相似与比例：若图中存在相似三角形（如内切圆形成的切线三角形），直接利用相似比转移边长关系，避免复杂三角运算。 1．（2026·海南海口·一模）在中，已知，，外接圆面积为，则（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理解三角形 【分析】根据三角形外接圆的面积求出外接圆的半径，利用正弦定理求出，结合已知求出，进而求出. 【解析】设外接圆的半径， 外接圆面积为，，解得：， 由正弦定理, ，， ，即， ， ，即， ，， ，则， ，. 故选：B 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，已知，的角平分线交于点，且，则________． 【答案】 【解析】设， ， 因为，的角平分线交于点， 所以， 由正弦定理，得， 所以可得， 则由， 由正弦定理，得 ，或， 当时，因为，且， 所以解得，，负值舍去， 当时，，因为， 所以方程没有实数解， 综上所述：. 3.（2026·河南·模拟预测·多选）设的三个内角分别为A，B，C，重心为G，则（   ） A．以的长度为边能构成三角形 B．以的三条中线的长度为边能构成三角形 C．以的长度为边能构成三角形 D．若点G到的三边，，的距离分别为，则以的长度为边能构成三角形 【答案】ABD 【解析】由正弦定理可知， 所以以的长度为边能构成三角形，故A正确， 设三条中线分别为AD，BE，CF，则有， 因为，所以，即三个向量可构成闭合回路， 所以以的三条中线AD，BE，CF的长度为边能构成三角形，故B正确， 显然当时，，故C错误， 因为，所以， 所以，所以以的长度为边能构成三角形，故D正确． 4．（25-26高三下·安徽·阶段检测·多选）如图，在中，，的内切圆与相切于点，的面积为，则下列说法正确的是（    ） A． B．为定值2 C． D．记的内心为，则 【答案】ACD 【解析】  如图1，设的内切圆与分别相切于点. 对于A，根据内切圆的性质，得， 则， 而，所以，则，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理得①， 又，即，得， 代入①中，得，所以， 所以. 故，故B错误. 对于C，以的中点为原点，为轴建立如图2所示的平面直角坐标系， 则，，由， 结合双曲线的定义知，点在以为焦点，以为顶点的双曲线右支上， 其方程为. 设，则，即. 当时，， 而， 故. 又，所以. 当时，，所以，故，依然满足. 综上所述，，故C正确. 对于D，若的内心为，则等价于点在双曲线的右支上. 如图2，不妨设，则，又， 故. 由，， 联立解得交点， 则，即点满足，故D正确. 题型四 三角形特殊点的综合应用（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 四心核心性质： 重心 ：中线交点，（ 为中点），向量表示 ；重心将面积三等分。 内心 ：角平分线交点，到三边距离相等（均为内切圆半径 ），，角平分线定理及长度公式。 外心 ：中垂线交点，，利用圆周角定理，。 垂心 ：高线交点，（或 ），且 （若 为原点）。 ② 奔驰定理：若 为三角形内任意一点，则 ，其中 分别为 的面积。该定理可快速关联面积比与向量系数，常用于垂心、内心条件下的角度求解。 ③ 欧拉线：外心 、重心 、垂心 共线，且 。在涉及三者坐标或距离时，可利用此性质简化。 ④ 坐标法处理四心：建立坐标系，直接写出各心的坐标公式（如重心为顶点坐标平均值，外心为三边中垂线交点），再结合已知条件列方程。 ⑤ 角度转化：利用外心时，，；利用内心时，；利用垂心时，。这些角度关系可转化为正弦定理或余弦定理的应用。 1.（2026·福建福州·三模）中，，设为的内心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的内心，所以， 可设，则有， ，在中，由正弦定理得①， 同理在中，由正弦定理得②，①②相比得， 即，得， 因为，所以，由①可得. 2.（2025·湖南张家界·模拟预测）奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则.设是内一点，的三个内角分别为，，，若，且为的垂心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 延长交于，延长交于， 根据奔驰定理 结合题设，可得面积比，其中 ，，， 是 的垂心， 所以，所以， 所以，所以，因此 ， 同理 ，， ，， ，， 在 中由正弦定理得， 代入 ，，得，得 同理 ，即 ， 由三角形面积公式：，同理得，， 所以： 因为， 所以 ， 在三角形内，故为锐角三角形，设 ，，（）， 在中，因为， 得， 所以，，解得， 所以. 3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，，O为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，由正弦定理， 得， 即， 而，所以， ∵， 由正弦定理，得， ∴，而， ∴，∴， 因为，所以，∴． 设的外接圆半径为，则， ∴，而， ∴， 故选：C 4．（2026·山西朔州·二模·多选）在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（    ） A． B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得，又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 题型五 解三角形中的不等式证明（★★★★★） 【技巧通法·提分快招】 ① 基本不等式法：余弦定理 结合 ，可得到边的上界/下界；同时利用 或 进行放缩。常见如证明 （Weitzenböck不等式）。 ② 正弦化角法：将边用 代替，目标不等式转化为关于角的正弦函数的不等式，利用 在 上的凸性、有界性或单调性求解。 ③ 琴生（Jensen）不等式：因为 在 上为凹函数，所以有 （或对于 利用凸性），可用于和式最大值。 ④ 换元法与函数单调性：将目标式表示为某一变量的函数（如令 或 ），通过求导或判别式确定最值，注意定义域范围。 ⑤ 等号成立条件：使用基本不等式时，务必检查等号成立条件（如 或 ），往往对应等边三角形或特殊三角形，可作为最终结论的验证。 ⑥ 配方法：将不等式两边作差，通过恒等变形为平方和形式，如 ，直接得到结论。 1．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 【答案】(1)（2）略 【解析】（1） ， 因为，所以， 所以由，或 ， 由， 由，显然不成立，所以； (2)由（1）可知：， 所以 ，因为， 所以， ， 由，设，， 设， 则，令， 因为，所以解得， 当时，函数，所以函数在上单调递增， 当时，函数，所以函数在上单调递减， 因为，所以函数在时，值域为， 即当时，， 于是当时，. 2．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足 (1)证明： (2)求的内切圆半径r的取值范围； (3)若的内切圆上有一点P，求点P到A，B，C三点的距离的平方和的最大值. 【答案】（1）略(2)(3) 【解析】(1) 由​，得​，​，结合已知， 由余弦定理得，化简得​， 所以 要证，即证， 因为，等价于，即， 又，即，解得， 所以 ，故成立，得证； （2）三角形面积​，内切圆半径​， 代入化简得​，， 是开口向下的二次函数，对称轴​，最大值为​，且， 故的取值范围是； （3）当​时，得​，​，三边长满足， 则为直角三角形，为直角，内切圆半径， 建立坐标系，如图所示 则，，，内心， 内切圆方程：， 设，则，即， 平方和， 展开化简得​， 由内切圆的范围​，当时最大，最大值为. 3．在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【答案】（1）略（2）略 【解析】(1)由正弦定理知，，若，则，即． （ⅰ）若A，，则由在单调递增，得． （ⅱ）若，，则，此时， 由在单调递增，得，显然不成立，舍去． （ⅲ）若，，必有成立. 综上，在中，若，则. (2) 由在上单调递减，若，则， 由余弦定理得，，则， 所以， 即， 即， 而，，所以． 所以在中，若，则. 4．（2025·甘肃武威·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】（1）略(2) 【解析】(1)证明：由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以， 所以的最大值为. 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1.在中，若等式成立，则的形状是． A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理得，即，故三角形为等边三角形. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查正弦定理解三角形，属于基础题. 2．若中，，则此三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】中，， 已知等式变形得， ，即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 3.（2026·江苏镇江·模拟预测）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 4．（25-26高一下·山东济南·阶段检测·多选）满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 5．（2026·湖南邵阳·二模·多选）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 【答案】ACD 【解析】A：因为，则，可得， 因为，则，，可得，所以，故A正确； B：由正弦定理，得，， 则，解得， 因为是边AC的中点，则，且， 可得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； C：因为 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； D：因为，，则，即，，， 因为，则，即，解得，故D正确. 6．（25-26高一下·上海·期中）已知在中三条边上的高分别为，则该三角形的形状是______. 【答案】钝角三角形 【解析】不妨设的三边上对应的高的长度分别为， 由，则， 设，， 则， 而，则为钝角，故为钝角三角形. 7．瑞士数学家欧拉在1765年提出定理：任意三角形的外心、重心和垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线也被称为欧拉线．已知在中，，，且，设的外心为O，重心为G，垂心为H，若，则实数________；________． 【答案】 3 或 【解析】如图1，设中点为，，垂足为， 则，. 根据重心的性质可知， 所以有， 整理可得， 所以，，； 由已知在中，，，且， 根据正弦定理可得， . 又，所以有或. 当时，，则. 且由余弦定理可知， ， 代入可得，， 整理可得， 解得（舍去）， 所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系， 则，，，. 不妨设， 则，. 因为， 所以，， 即有， 解得，所以. 又，，， 所以. 所以，， 所以，. 又由欧拉定理可知，， 所以，； 当时，，则. 且由余弦定理可知，， 代入可得，，整理可得， 解得（舍去），所以. 如图1，，，，. 建立直角坐标系，则，，，. 不妨设，则，. 因为，所以，， 即有， 解得，所以. 又，，，所以. 所以，，所以，. 又由欧拉定理可知，，所以，. 故答案为：3；或. 【点睛】思路点睛：根据正弦定理得出或.然后分类讨论，建立坐标系，求出点的坐标，进而得出答案. 8．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 分别取边，，的中点，，， 因为为锐角的外心，根据中垂线易知， 同理，，， 所以， 同理，． 由题意得，即，于是． 因为为锐角三角形， 所以，所以， 同理，，即． 令，由，得，则且，解得． 又，所以． 又，所以，所以， 又，所以， 又，所以. 创新能力提升 1．（2026·广东·模拟预测）和差化积公式，包括正弦、余弦和正切的和差化积公式，是三角函数中的一组恒等式，其中有，已知锐角内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求的最小值； (2)若，，求的面积S的取值范围． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为 ， 又根据题意， 则， ， ， 则（舍）或， 由，有，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）在中，由正弦定理有，则，， 则 ， 由函数在上单调递减，，则， 有， ∴， 综上，的面积的取值范围是. 2．（2026·上海·一模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． (1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； (2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 【答案】(1)16(2) 【解析】（1）设挖去的三角形的外接圆半径，面积为， 直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径，面积为， 因为外接圆半径之比为1:2，所以，故， 计算得，又因为，故，根据正弦定理得： ； （2）直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，斜边， 设直角边为，满足， 若绕旋转：体积； 若绕旋转：体积； 若绕旋转：斜边上的高，体积； 因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时， 即几何图形体积的最小值的最大值为. 3.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若，，求b； (2)求的最小值，并判断取得最小值时三角形的形状． 【答案】(1)；(2)的最小值为，此时△ABC为等边三角形. 【解析】（1）解：因为， 所以，即 由正弦定理得， 又，，解得； （2）解：由（1）可知，所以， 所以，当且仅当时等号成立，此时的最小值为， 又，所以， 又，所以△ABC为等边三角形． 4．（2026·重庆渝中·三模）在锐角 中，角 所对边分别为 且满足 . (1)求 ； (2)若的角平分线交 于点 ，求 的最小值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为， 故， 整理得，而为锐角三角形， 故，故，故. （2）因为， 所以， 而，故， 故，即， 故，故， 当且仅当时等号成立， 此时, 故,故此时三角形为锐角三角形， 故的最小值为. 5．（25-26高三上·福建厦门·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，． (1)求A的大小； (2)若是等腰三角形，且，在AB边上有一点M，点N是的重心，，求． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由可得， 由正弦定理可得， 又因为， 所以可得， 且，则，可得，即， 又因为，所以； （2）取BC的中点D，连接AD，    由题意，，点N是的重心， 可知，，则， 由题意， 则， 在中，由正弦定理可得， 所以，即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $