25.2.1 配方法 第2课时 教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦配方法解一元二次方程，课堂导入通过复习直接开平方法解方程和完全平方公式填空，搭建新旧知识支架，衔接直接开平方法与完全平方公式，为配方原理探究铺垫。 亮点在于分层探究与核心素养融合，通过填空观察规律培养数学眼光（抽象能力），分层例题（二次项系数是否为1）和根的分类讨论发展数学思维（推理意识、运算能力），特色作业创编题目与感悟提升数学语言表达（应用意识）。帮助学生夯实步骤、培养严谨习惯，为教师提供完整逻辑闭环和分层资源，提升教学效率。

第二十五章 一元二次方程 25.2.1 配方法 第2课时   一、教材分析 《用配方法解一元二次方程》是一元二次方程章节核心课时，承接直接开平方法，是推导求根公式的基础，也是后续学习二次函数顶点式、二次不等式的关键铺垫. 它首次系统渗透转化化归核心数学思想，衔接整式乘法中完全平方公式，打通代数式变形与方程求解的知识壁垒，在初中代数知识体系中起到承上启下的枢纽作用，同时为中考一元二次方程综合题型、函数综合题提供必备解题工具. 本节课遵循循序渐进的编排逻辑：首先复习直接开平方法，引出无法直接配方的普通一元二次方程，提出转化需求；以x2＋6x＋4＝0为例，探究移项后补常数构造完全平方式的思路，提炼配方法定义；接着分层例题教学，先二次项系数为1的配方，再二次项系数不为1的配方步骤，归纳标准化解题流程；随后分类讨论(x+n)2 = p三种取值下根的情况，完善方程解的认知；最后配套填空、解方程练习巩固基础，形成“旧知铺垫——提出问题——探究方法——归纳步骤——分类总结——巩固应用”完整逻辑闭环.   二、教学目标 1. 理解配方法原理，熟练掌握一元二次方程配方求解步骤，能判断配方后方程有无实数根. 2. 理解配方补常数的本质，灵活处理二次项系数不为 1 的配方变形，规避移项、分数运算易错点. 3. 经历配方探究全过程，体会转化思想，提升代数式变形与逻辑运算能力. 4. 在繁琐方程变形中培养严谨细致的计算习惯，感受数学变形之美，增强迎难而上的解题自信心.   三、教学重难点 重点：理解配方法原理，熟练掌握一元二次方程配方求解步骤，能判断配方后方程有无实数根. 难点：理解配方补常数的本质，灵活处理二次项系数不为 1 的配方变形，规避移项、分数运算易错点.   四、教学过程 · 复习回顾 问题1：用直接开平方法解下列方程： (1)36x2=1； (2) (x+2)2+3=52. 解：(1) x2= x= x1=， x2= (2) (x+2)2=49 x+2= 即 x+2=7，或x+2=－7 x1=5， x2=－9 问题2：你还记得完全平方公式吗?填一填. (1) a2+2ab+b2=_________； (2) a2 – 2ab+b2=_________. 答：(a+b)2；(a – b)2 师生活动：教师出示两道直接开平方法习题，学生独立演算、上台板书；再出示完全平方公式填空，学生口头作答，师生共同订正纠错. 设计意图：复习直接开平方法与完全平方公式，夯实配方法所需基础，搭建新旧知识桥梁，为新课配方法解方程做好铺垫. · 探究新知 活动：探究用配方法解一元二次方程 问题3：填一填并思考：等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？你发现了什么规律? 师生活动：教师出示填空引导学生观察、小组交流，总结配方规律；示范配方法解方程步骤，抛出设问引发思考，学生跟读梳理流程、互动答疑. 1 x2 + 2x+___= ( )2； ② x2 + 8x + ___ = ( x + ____ )2. 答： 规律总结 通过观察可以发现，对于二次项系数为 1 的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式. 问题4：尝试用你发现的规律解方程 x2＋6x＋4＝0？ 分析：要把方程x2＋6x＋4＝0转化为像(x＋3)2＝5这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式，然后直接(开平方法)降次解方程. 解方程 x2＋6x＋4＝0 1 移项 x2＋6x＝－4 （二次项和一次项在等号左边，常数项移到等号右边.） 2 配方 x2＋6x＋9＝－4＋9 （两边加，即9，使左边配成x2＋2mx＋m2的形式→两边同时加上一次项系数一半的平方） 3 左边写成完全平方式 (x＋3)2＝5 4 求解 x1＝－3＋，x2＝－3－ （正数的平方根有两个） 5 验证 可以验证，－3±是方程x2+6x+4 =0的两个根. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 总结：基本思路：将一般式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 转化为(x+n)2 = p 的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解． 核心思想：配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 问题5：为什么在方程x2＋6x＝－4的两边加9？加其他数可以吗？ 答：根据完全平方公式：9是一次项系数6一半的平方，加9刚好与x2＋6x能够配成一个完全平方式： x2＋6x＋9＝ (x＋3)2．所以不能加其他数． 总结：配方法关键：把握二次项系数为1的完全平方式的特点： 常数项等于一次项系数一半的平方 . 设计意图：由填空提炼配方规律，结合例题拆解配方法步骤，渗透转化降次思想，理解配方原理，掌握二次项系数为1时配方法解题流程. 问题6：解下列方程： (1) x2－8 x＋1＝0； (2) 2 x2＋1＝3 x； (3) 3 x2－6 x＋4＝0． 师生活动：教师分层出示三类例题，分步板书示范；学生独立演算后互评，师生共同归纳四步解题流程，梳理易错点并纠错巩固. 分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. (2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1.为此，方程的两边都除以2. (3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. 解：(1)移项，得 x2－8x＝－1． 配方，得 x2－8x＋42＝－1＋42， (x－4)2＝15． 由此可得 x－4＝± ， x1＝4＋，x2＝4－． (2)移项，得 2x2－3x＝－1． 二次项系数化为1，得x2－x＝－． 配方，得 x2－x＋＝－＋， 由此可得 x－＝±， x1＝1，x2＝ ． (3)移项，得 3x2－6x＝－4． 二次项系数化为1，得 x2－2x＝－． 配方，得 x2－2x＋12＝－＋12， (x－1)2＝－． 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根． 总结：配方法解一元二次方程的步骤： (1)移：把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边； (2)化：把二次项系数化为1； (3)配：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开：利用直接开平方法求出方程的解. 注意：配方时易出现的错误：(1)移项时忘记变号；(2)系数化为1时漏项；(3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 设计意图：分层例题覆盖不同题型，掌握二次项系数不为1的配方方法，区分有无实数根情况，完整固化配方法解题步骤. 问题7：将一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2 = p 形式后，它的根和 p 有什么关系？ 师生活动：教师抛出核心问题引导学生结合上题自主讨论，分组归纳p的三种取值对应根的情况，师生共同梳理结论，齐读巩固规律. 答：一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)²=p 的形式，那么就有： (1)当 p ＞ 0时，方程有两个不等的实数根：x1＝－n＋，x2＝－n－； (2)当 p = 0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－n； (3)当 p ＜ 0时，因为对任意实数x，都有( x + n )2 ≥ 0 ，所以方程无实数根. 设计意图：从配方结果分类探究根的情况，建立平方非负性与方程实数根的关联，为后续判别式学习铺垫，培养分类讨论思想. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师出示两道配方法典型例题，引导学生回顾配方步骤，板书示范解题思路；巡视观察学生演算情况，针对性纠错点拨. 学生独立动笔完成配方运算，对比形式确定参数、求解代数式最值，之后交流核对答案，梳理配方法易错点. 例1 用配方法将方程转化为的形式，则的值为(     ) A. B. C. D. 分析：， ， ． 与  比较， 得，， 故选：． 答案：B 例2 设，为实数，求代数式的最小值． 解： ． ，， 的最小值为， 即代数式的最小值为．  设计意图：巩固一元二次方程配方变形技巧，拓展利用配方求代数式最值，深化完全平方非负性理解，夯实配方法核心知识点，提升学生代数式变形与逻辑运算能力. · 课堂练习 【教材练习】 1.填空： (1) x2+10x+ =(x+ )2 (2) x2–12x+ =(x– )2 (3) x2+5x+ =(x+ )2 (4) x2x+ =(x– )2 分析：对于ax²+bx+c，先把一次项系数除以2，得数填右边括号；再将这个数平方，结果就是横线上要补的常数项. 答：（1）25；5；（2）36；6；（3）；； （4）；. 2.解下列方程： (1) x2 +10x+9=0； (2) x2－x－=0； (3) 3x2+6x－4=0； (4) 4x2－6x－3=0； (5) x2+4x－9=2x－11； (6) x(x+4)=8x+4. 解：(1)移项，得 x2+10x=－9 配方，得 x2 +10x+52= － 9+52 (x+5)2=16 由此可得 x+5=4. x1=－1，x2=－9. (2)移项，得 x2－x= 配方，得 x2－x+= (x)2=2 由此可得 x= . x1=，x2=. (3)移项，得 3x2+6x=4 二次项系数化为1，得 x2+2x= 配方，得 x2 +2x+12= +12 (x+1)2= 由此可得 x+1=. x1=－1，x2=－1. (4)移项，得 4x2－6x=3 二次项系数化为1，得 x2－x= 配方，得 x2－x+= (x)2= 由此可得 x= . x1=，x2=. (5)移项，得 x2+2x=－2 配方，得 x2 +2x+12= － 2+12 (x+1)2=－1 ∵ (x+1)2 ≥0，而－1＜0， ∴原方程无实数根. (6)去括号，得x2+4x=8x+4 移项，得 x2－4x=4 配方，得 x2－4x+22=4+22 (x－2)2=8 由此可得 x－2= . x1=，x2=. 师生活动：教师出示教材分层练习题，先点拨配方凑常数项的方法，示范解方程完整步骤，针对二次项系数不为1、无实数根题型重点讲解. 学生先独立填空夯实配方基础，逐题用配方法解方程，完成后小组核对，订正易错步骤. 设计意图：分层巩固配方法基础，熟练移项、化二次项系数、配方全套流程，区分有、无实数根情况，查漏补缺运算漏洞，扎实掌握配方法解一元二次方程. 【限时训练】 1.用配方法解一元二次方程，下列步骤正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  2.若一元二次方程的两根分别为，，且，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， 移项得：， ， 即， ，， 解得：，， 一元二次方程式的两根为、，且， ，， ， 故选D． 3.若关于的方程与有一个解相同，则的值为________。 【答案】  【解析】解：由得 ，， 中， 方程与有一个解相同，这个解是， ，得， 故答案为：. 4.用配方法解方程时，可将方程变形为的形式，则方程的解是          ． 【答案】，  【解析】解：原方程变形为， 配方得，即， ，， 方程， 即为，变形得，即， ，即，． 5.阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出的值． 【问题】解方程：． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设，则有，原方程可化为， 【续解】． 【答案】解：配方，得，，即，． ，，则有， 配方，得，解得，． 经检验，是原方程的解．  师生活动：学生独立完成限时训练，自主运用配方法、换元法解题；教师巡视批改，针对配方易错步骤、分式方程增根、换元取值范围等误区集中讲评，指名口述解题思路，订正错题. 设计意图：巩固配方法解一元二次方程核心解法，渗透换元转化思想，辨析易错细节，提升学生方程变形、验根与综合运算能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是配方法？ 3.利用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 4.配方法的关键是什么？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：探寻配方法的多元应用与本质内涵 任务：1.自主创编 3 道二次项系数为 1、3 道二次项系数不为 1 的一元二次方程，完整写出每道题配方求解步骤，同步标注移项、系数化 1、配方添常数等步骤易错点. 2.思考总结：配方法核心是什么，解方程为什么要先构造完全平方式，写下简短感悟. 要求：1.书写步骤规范完整，符号、分数运算准确； 2.创编题目要有代表性，感悟不少于三句话； 3.对比直接开平方法，说明配方法是如何实现 “降次” 转化的，整体作业条理清晰，独立探究完成，杜绝照搬答案. 学科网（北京）股份有限公司 $