25.2.1配方法（第2课时 配方法）（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦配方法解一元二次方程，涵盖二次项系数为1和不为1的方程求解，通过回顾完全平方公式、配方凑形及直接开平方法导入，衔接旧知搭建学习支架，梳理从特殊到一般的解题脉络。 此资料以分层探究为特色，从二次项系数为1的方程入手，逐步突破系数不为1的变形难点，引导学生归纳“化、移、配、整、开、解”六步流程，培养推理意识与运算能力，结合配方结果判断根的情况渗透模型意识，助力学生建立转化思想，教师使用可提升教学效率，夯实方程解法基础。

25.2.1配方法（第2课时 配方法）（教学设计） 1.教学内容 本节课时是人教版2024版九年级上册第二十五章《一元二次方程》，第二节《降次----解一元二次方程》，25.2.1配方法（第2课时 配方法）.核心内容为直用配方法解二次项系数为1和二次项系数不为1的一元二次方程.学生在第一课时已掌握直接开平方法、简单的配方变形，本节课在此基础上，系统归纳配方法解一元二次方程的完整步骤，突破二次项系数不为1的配方难点，同时结合配方结果判断方程根的情况，是衔接直接开平方法与公式法的核心过渡课时. 2. 内容解析 配方法是解一元二次方程的基础通法，是推导求根公式的核心依据，也是后续学习二次函数配方变形、最值求解的重要工具.本节课承接第一课时“完全平方配方填空、简单直接开平方法解方程”的基础，从特殊方程延伸至一般一元二次方程，实现了一元二次方程解法的系统化、通用化，在本章知识体系中起到承上启下的关键作用.本节课知识层层递进：先巩固二次项系数为1的方程配方解法，再突破二次项系数不为1的化简配方难点，最后归纳通用解题步骤、拓展根的判别雏形，渗透降次转化的核心数学思想，帮助学生建立“复杂方程标准化、标准化方程配方降次”的解题思维. 基于以上分析，本节课的教学重点为：掌握用配方法解一元二次方程的通用步骤，能熟练求解二次项系数为1和不为1的一元二次方程. 1. 教学目标 (1)熟练掌握用配方法解二次项系数为1、不为1的一元二次方程的完整步骤；能通过配方变形将一元二次方程化为的标准形式，并根据的取值判断方程根的情况. （2）经历“观察方程、变形化简、配方凑形、开方求解”的探究过程，归纳配方法通用解题流程，提升代数变形、归纳总结和逻辑推理能力. （3）体会数学转化思想的简洁性，感受代数变形的逻辑性和规律性；通过分层探究、合作交流，增强自主探究意识和数学学习自信心. 2.目标解析 目标1通过基础例题、变式练习，让学生精准掌握配方核心——方程两边加一次项系数一半的平方，突破二次项系数化1的关键步骤，彻底掌握配方法解题范式，为后续求根公式推导筑牢基础. 目标2通过对比不同类型一元二次方程的解法差异，引导学生自主归纳步骤、辨析易错点，培养学生举一反三、规范解题的数学能力，提升代数运算的准确性. 目标3全程渗透“二次降一次”的转化思想，让学生理解配方法的本质是化未知为已知（将普通一元二次方程转化为可直接开方的方程），培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 九年级学生已具备整式变形、完全平方公式、直接开平方法解方程的基础能力，第一课时已初步感知配方的思路，对“凑完全平方式”有简单认知.但学生存在明显薄弱点：一是代数恒等变形意识薄弱，配方、移项、系数化1时容易出现符号错误、漏乘漏加；二是思维固化，对二次项系数不为1的复杂方程，不会主动化简转化为熟悉的形式；三是步骤规范性差，解题跳步、格式混乱，难以系统归纳通用方法.同时，九年级学生具备一定的自主探究和小组合作能力，适合通过分层例题、对比探究、纠错练习突破难点，掌握规范解题流程. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：二次项系数不为1时，先将二次项系数化为1的变形操作； 配方时准确确定“一次项系数一半的平方”，保证方程变形的恒等性；根据配方后常数项的正负，判断一元二次方程根的三种情况. 创设情景，引入新课 1.回顾完全平方公式：. 2.配方凑形： 3. 提问：如何用直接开平方法解方程. (设计意图：唤醒学生旧知，巩固“一次项系数一半的平方”的配方核心规律，回顾直接开平方法的解题逻辑，为本节课复杂方程的配方变形搭建知识支架，实现新旧知识无缝衔接.) 探究点1 探究二次项系数为1的方程配方解法 活动1：用配方法解方程 . 追问1：能否将方程转化为，转化的关键是什么？ 学生交流讨论：可以转化，关键是将方程左边转化为一个完全平方式. 追问2：怎样将方程转化为左边转化为一个完全平方式，右边为0的形式？你能说出理由吗？ 学生交流讨论：1. 移项：将常数项移到方程右侧，得； 2.配方：两边加一次项系数一半的平方，得. 3.凑完全平方：； 4.开方求解：解得， 师生小结：二次项系数为1的方程，配方核心是移项后，两边加一次项系数一半的平方. （设计意图：从简单熟悉的方程入手，让学生完整经历配方解题流程，初步建立规范解题步骤，理解配方的本质是凑完全平方式，突破基础认知.） 探究点2 探究二次项系数不为1的方程配方解法 活动2：用配方法解方程. 追问1：此方程与例上面讲的方程有何不同？ 二次项系数不为1 追问2：如何转化为熟悉的方程形式？并解方程. 学生自主解题： 1. 化系数为1：方程两边同时除以2，得； 2. 移项：； 3. 配方：两边加，得； 4. 开方求解：解得，. （设计意图：通过对比设问，引发学生认知冲突，自主发现“二次项系数不为1需先化简”的关键步骤，突破本节课核心难点，掌握复杂方程的转化思路.） 探究点3：归纳配方法通用解题步骤 活动3：结合上面两例题，归纳配方法解一元二次方程的步骤. 学生交流讨论： 1. 化：二次项系数化为1（方程两边同除以二次项系数）； 2. 移：常数项移到方程右边； 3. 配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 4. 整：左边写成完全平方形式，右边合并常数项； 5. 开：根据平方根的意义开平方； 6. 解：解两个一元一次方程，得出方程的根. （设计意图：通过小组合作归纳，将零散的解题过程系统化、流程化，培养学生归纳概括能力，帮助学生形成标准化解题思维.） 探究点4：探究方程根的情况 活动4：配方后方程为，的取值对根有什么影响？ 学生交流讨论，师生共同总结： 1. 当时，方程有两个不相等的实数根，； 2. 当时，方程有两个相等的实数根； 3. 当时，方程无实数根. (设计意图：延伸配方的应用价值，初步渗透根的判别知识，为后续课时学习埋下伏笔，完善学生的知识体系.) 典型例题 例１.解下列方程: (1); (2) ; (3). 【分析】(1)方程二次项系数为1,直接运用配方法. (2)方程二次项系数为2,移项、两边同除以2,再用配方法. （3）类似（2）运用配方法. 【详解】解:（1）移项，得. 配方，得. 由此可得， 即. （2）移项，得. 二次项系数化为1，得 配方，得. 由此可得， 即. （3）移项，得. 二次项系数化为1，得 配方，得. 原方程无实数解. （设计意图：落实本节课重点知识，规范解题书写过程，提升学生分析问题、解决问题能力.） 课本课堂练习（P8）第1题、第2题（1、2、3）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.阅读下面的材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，原方程可化为，用配方法解得，． 当时，，，； 当时，，，． 综上所述，原方程的解为，，，． (1)根据材料解方程：； (2)已知实数，满足，求的值． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 用配方法解得，． 当时，，无实数根； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为，． （2）解：令，则原方程可化为，， 解得，即． ∴． ∴的值为7． (设计意图:强化本节课核心知识的拓展．) 1．（2025.包头·校考期中）解方程： 【详解】： 解得． 2．（2025.阿克苏校考）解方程：； 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 或， 解得，. 3．（2025·青浦·八年级校考期中）配方法解方程： 【详解】解：     ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4.（2025宁国校考）用配方法解方程，判断方程根的情况. 【详解】解：解题过程：移项得，配方得(， ∵ 平方数非负，，∴ 方程无实数根. （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.知识与技能：（1）配方法适用所有一元二次方程，分为二次项系数为1和不为1两种题型；（2）通用六步解题法：化系数→移项→配方→整理→开方→求解；（3）可通过配方后为，正负判断一元二次方程根的三种情况. 2. 思想方法：本节课核心运用转化思想，将陌生的一般一元二次方程，转化为熟悉的可直接开平方法求解的完全平方方程，实现“降次求解”，这是解方程的核心思想. 3. 易错提醒：（1）二次项系数不为1时，必须先整体除以二次项系数，再配方，不可直接配方；（2）配方时，必须方程两边同时加常数，只加左边会破坏方程恒等性；（3）加的常数是化简后一次项系数一半的平方，注意区分原系数和化简后的系数；（4）移项务必变号，开平方时不要遗漏正负号；（5）配方后右边为负数时，直接判定无实数根，无需继续求解. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题25.2第1（1、2），课堂练习2（3、4、5）. 探究性作业：课本习题25.2第1（3、4）. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 25.2.1配方法（第2课时 ） 一、核心依据 二、解题步骤 三、根的情况 四、易错警示 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $