2.3 一元二次方程根与系数的关系 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕一元二次方程根与系数的关系，通过基础巩固、中档提升、综合拓展三层设计，实现从概念理解到实际应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|选择1-4/填空11直接应用韦达定理求两根和与积，培养运算能力| |中档|根的性质与代数式变形|选择5-8/填空12-15结合根的特殊关系（相反数、倒数）及代数式转化，发展推理意识| |提升|综合应用与新定义探究|选择9-10/解答16-22（如菱形面积关联方程、“倍根方程”新定义），体现模型意识与创新意识|

2.3 一元二次方程根与系数的关系同步练习 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，是方程的两个实数根，那么的值为(    ) A. B. C. D. 2.若方程的两根分别是，，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为(    ) A. B. C. D. 4.已知是方程的一个根，则它的另一根是(    ) A. B. C. D. 5.若关于的一元二次方程的两实数根互为相反数，则的值为  (    ) A. B. C. D. 不能确定 6.若，是方程的两个实数根，则可以因式分解为(    ) A. B. C. D. 7.已知，是方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 8.若方程的两个根是和，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 10.若一个菱形的两条对角线的长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.已知一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为          ． 12.如果关于的一元二次方程的两个实数根互为倒数，那么的值是          ． 13.请写出一个关于的一元二次方程，使其一个根满足，另一个根满足，则这个一元二次方程可以是          ． 14.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值为          ． 15.若，是方程的两个根，则代数式的值为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： ； ． 17.已知关于的一元二次方程的一个根为，求另一个根和的值． 18.设，是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值． ． 19.关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围． 若，求的值． 20.已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 21.已知关于的一元二次方程，请你解答下列问题： 若，求证：此方程有实数根 设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 22.新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”例如，一元二次方程的两个根是和，则方程是倍根方程． 若一元二次方程是“倍根方程”，则           ； 判断方程是不是倍根方程？并说明理由； 若是倍根方程，求代数式的值． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13. 答案不唯一  14.   15.   16. 【小题】 方程的两根之和为，两根之积为 【小题】 方程的两根之和为，两根之积为  17. 另一个根为    18. 【小题】 解：由题意，得，． ． 【小题】 ．  19. 【小题】 关于的一元二次方程有两个实数根， ，且，解得． 【小题】 方程的两个实数根为，， ，． 又，，则， ，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，的值为．  20. 【小题】 ，，，，无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小题】 方程的两个实数根为，，，，即，  整理，得，的值为或．  21. 【小题】 证明：，，，，即，故此方程有实数根。 【小题】 证明：，方程有两个不相等的实数根，，即，由根与系数的关系得，，，，，故。  22. 【小题】 【小题】 方程不是“倍根方程”，理由如下：，，解得，，，方程不是“倍根方程”  【小题】 解方程，得，．方程两根是倍关系，或，当时，，即，代入，得；当时，，即，代入，得综上， 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $