2.3一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专项练习-2026-2027学年 北师大版数学九年级上册

**基本信息** 以根与系数关系为核心，构建从概念理解到综合应用的递进训练体系，强化推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根与系数的关系的认识|5题|判断根的情况、选择根的结论、根据根和选方程|从韦达定理概念出发，理解根的基本关系| |直接利用根与系数的关系|4题|求代数式值、参数范围判断|直接应用定理解决基础计算与范围问题| |两根关系的变形|4题|平方和、倒数和等代数式变形|通过代数变形拓展定理应用维度| |参数问题|4题|含参数方程的根与系数关系综合应用|结合判别式，构建参数求解的逻辑链条|

（含解析）一元二次方程-根与系数的关系（韦达定理）专项练习-北师大版九年级上册 2026-2027学年-解析 法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程在的两根分别可表示为，， 那么可推得，这是一元二次方程根与系数的关系． 根与系数的关系的认识 1．关于的一元二次方程的根的情况是（  D   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（    D ） A． B． C． D． 【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根． ∴ ，． 3．下列方程的两个实数根的和为的是（ C    ） A． B． C． D． 【分析】根据判别式判断方程是否有两个实数根，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：A． ，，该方程有实根，，不符合题意； B． ，，该方程有实根，且，不符合题意； C． ，，该方程有实根，且，符合题意； D． ，，该方程无实根，不符合题意 4．已知方程，则下列说法正确的是（     B） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 【分析】一元二次方程的两个根，，则满足，． 【详解】解： 原方程为 ，移项整理得一般形式： ． 其中 ， ，， ∴ ，即方程有两个实数根， ∴两根之和为，两根之积为， 解方程得，， 故：，， 对比选项，只有B说法正确． 5．若关于的一元二次方程 的两根分别为 ，，则 ___ __， ___． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键，根据一元二次方程根与系数的关系，可直接计算两根之和与两根之积． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 直接利用根与系数的关系 1．若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（   B ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 2．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （  C   ） A． B． C． D． 【分析】根据一元二次方程两根异号的性质，结合根与系数的关系和判别式列不等式组求解即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵两根异号， ∴，， ∴，解得：． ∴a的取值范围是． 3．若是方程 的两个根，则 的值为（  C   ） A． B． C．1 D．0 【分析】先对所求代数式变形，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程 的两个根， ∴，． 整理所求代数式得：， ∴原式． 4．若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（ A     ） A．4 B． C． D． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵m、n是关于x的方程的两个根， ∴，， ∴， 故选A 两根关系的变形 1．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ B    ） A． B． C． D． 【分析】一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程，则，． 先利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：、是一元二次方程的两根， ∴，． ∴ ． 2．关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：___2_____；________； (2)； = (3)．=8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系，乘法公式的变形计算是关键． （1）确定一元二次方程二次项，一次项，常数项的值，根据根与系数的关系（）代入求值即可； （2）运用乘法公式变形计算即可求解； （3）根据分式的计算法则得到，代入计算即可． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 3．若方程的两个根是，，则的值为________． 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 4．若，是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1)；= (2)；= (3)； = (4)．= 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系，灵活运用完全平方公式以及分式加法法则是解题的关键． 利用根与系数的关系可得的值； （1）将所求式子先通分，然后代入的值进行计算即可； （2）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可； （3）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可； （4）将所求式子化为，然后代入的值进行计算即可． 【详解】（1）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （2）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （3）解：，是一元二次方程的两个根， ， ； （4）解：，是一元二次方程的两个根， ， ． 参数问题 1．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 答案(1)证明：∵原方程为， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)的值为或 【分析】（1）计算方程的根的判别式，判断判别式的符号即可证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根和与两根积，结合的条件，得到关于的一元二次方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入得：， 整理得， 解得或． 2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 答案(1)(2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，得判别式，解不等式即可得到的取值范围； （2）先根据根与系数的关系用表示和，再代入已知等式得到关于的方程，结合（1）中的范围筛选出符合条件的值即可； 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， 即， 展开整理得， 解得； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得，， ， 代入得， 整理得， 解得， ，， 不符合题意，舍去， ． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 答案(1)证明：对于一元二次方程根的判别式 展开化简得 ∵任意实数的平方为非负数 ∴，即 ∴该方程总有两个实数根． (2) 【分析】（1）通过计算一元二次方程的根的判别式，证明判别式恒大于等于，即可证明方程总有两个实数根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和，结合互为相反数的两数和为，列方程求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：设方程的两个实数根为 由一元二次方程根与系数的关系可得 ∵两个实数根互为相反数 ∴，即 解得． 4．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 答案(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $（含解析）一元二次方程-根与系数的关系（韦达定理）专项练习-北师大版九年级上册 2026-2027学年-原卷 法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程在的两根分别可表示为，， 那么可推得，这是一元二次方程根与系数的关系． 根与系数的关系的认识 1．关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的同号实数根 D．有两个不相等的异号实数根 2．已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列方程的两个实数根的和为的是（     ） A． B． C． D． 4．已知方程，则下列说法正确的是（     ） A．方程的两根之和是3 B．方程的两根之和是 C．方程的两根之积是2 D．方程的两根之差是 5．若关于的一元二次方程 的两根分别为 ，，则 ______， ______． 直接利用根与系数的关系 1．若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2．一元二次方程两根异号，则a的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 3．若是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C．1 D．0 4．若m、n是关于x的方程的两个根，则的值为（      ） A．4 B． C． D． 两根关系的变形 1．已知、是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 3．若方程的两个根是，，则的值为________． 4．若，是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)； (4)． 参数问题 1．关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根． (2)已知方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 2．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，． (1)求k的取值范围； (2)若，满足，求实数k的值． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根互为相反数，求的值． 4．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $