6.1 用树状图或表格求概率&6.2 用频率估计概率-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

9.A10.A11.m>312.x1=1,x2=-213.7 14.-15【解析】由题意得顶点在M处，点A横坐标为-3，设抛 物线的表达式为y=a(x+1)2+4,将点A坐标(-3,0)代入得0 =a(-3+1)2+4,解得a=-1。当x=-1时，y=a-b+c,顶点在N 处时，y=a-b+c取得最小值，顶点在N处，抛物线的表达式为 y=-(x-3)2+1,当x=-1时，y=a-b+c=-(-1-3)2+1=-15。 15.解：（1)如图所示； 4-3-2-1 563 -1-116-- (2)把(2，-4)，(1，-3)分别代入y=ax2+b1x1得4+2b=-4 a+b=-33 解得a=1,b=-4。 (3)y轴减小(4)-4<m<0。 第2课时用二次函数的图象解一元二次方程 1.C2.B3.-3.34.x<-1或x>45.1(答案不唯一) 6.C7.A 8.解：(1) -3-2 -1 01 -123 2-1 描点并连线，如图所示： 5-4-3-2H 2345花 （(2)x1≈0.7，x2≈-2.7。 ☆问题解决活动：怎样围面积最大 1.解：(1)根据题意得，S=x(10-x)=-x2+10x(0<x≤6)： (2)由(1)知，S=-x2+10x=-(x-5)2+25,当x=5时，S有最 大值，∴.当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m 和5m; (3):当菜园面积最大时，此时矩形菜园的长和宽分别为5m 和5m。由(1)知0<x≤6，∴.该方案围成面积最大时符合墙长 要求。 追梦第五章章末复习二次函数 1.B2.D3.A 4.B【解析】A.将点(-1,0)，(0，-3)，（2，-3)代入二次函数y= (a-b+c=0 a=1 ax2+bx+c(a≠0)，得{c=-3 ,解得 b=-2,∴.二次函数 (4a+2b+c=-3 (c=-3 解析式为y=x2-2x-3.1>0,该函数图象开口向上；B.抛 物线经过(0，-3)、(2，-3)，抛物线的对称轴为直线x=1,当这 两点(x1,-1),(x2,-2)在对称轴左侧时，x1<x2,在对称轴右侧 时，x1>x3,C.把(3,0)代入y=x2-2x-3,y=0,D.因为抛物线的 对称轴为直线x=1,且开口向上，所以当x>1时，y随x的增大 而增大，故选B。 5.C6.C7.x1=-3x2=5 8.220【解析】由图象是经过原点的一条抛物线的一部分，设抛 物线解析式为P=a2+b1,把（1,165)，（4,0)代入得 6+450解得{6=28超场线解折式为P55+20 (a+b=165 =-55(1-2)2+220。.-55<0,∴.当1=2时，P取最大值220， ∴.变阻器R消耗的电功率P最大为220W。 9.3【解析】已知图象过点（-1,0)，对称轴为直线x=2,由二次 函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， a<0,c>0。对称轴为直线x=2,x=2a =2,∴.b>0,b= -4a,∴.4a+b=0,①②正确；图象过点(-1,0)，对称轴为直线 x=2,.当x=-3时，y<0,.y=ax(-3)2-3b+c<0,即9a+c<3b, ③错误；.点A(-2,y1)、点B(2,y2)、点C(3,y3)在该函数图 78 同步练习，精炼高效抓考 象上，对称轴为直线x=2,∴.y1<y3<y2,④正确。 10.解：(1)C(0,3),即0C=3,又：BC=5.在Rt△B0C中，根 据勾股定理得OB=√BC2-OC2=4,即B(4,0); (2)把B(4,0)、C(0,3)分别代入y=kx+n(k≠0)中得 3 4h+=0,解得k=4,直线BC解析式为y=- 3 (n=3 4+3;把 (n=3 A(1,0)、B(4,0)、C(0,3)分别代人y=ax2+bx+c(a≠0)得 (a+b+c=0 as 3 4 16a+4b+c=0,解得 5。抛物线的解析式为y=子 (c=3 b=- c=3 4x+3; (3)在抛物线的对称轴上存在点P,使得以B,C,P三点为顶 点的三角形是直角三角形。“y=子- 4+3,x=-2a 三抛物线的对称轴为x=弓。设点P的坐标为(，m)。 ap=(4产m,Pc=((m-3,ac=25。①当 ∠P0B=90时，B=Pc+8c(4Pm=(3P4(am 3到+25，解科m=9A(3,号，②当∠Bc=-0时，心 =Pg+BCc(3)+(m-3)2=(4-克》户+m2+25,解得m -2P(3,-2》:③当∠BPC=90时，BC=PB+PC,即25 )2+m2+(3)+(m-3),解得m,=3+6, (45 2 ,m2 26R(325.3 3-2√6 53-2W6 )。综上，在抛物线 的对称轴上，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角 形的点P的坐标为R(月，9)，P,(,-2),B( p326 3+2W6、 11.解：(1)①4②可以 ③.h=4,k=5,.∴.设抛物线解析式为y=a(x-4)2+5,把x=0, y=1代入解析式a(0-4)2+5=1,解得a=-0.25,.抛物线解 析式y=-0.25(x-4)2+5; (2)>【解析】当y=2.75时，则-0.25(x-4)2+5=2.75,解得 x1=7,x2=1。接球时球越过球网，d1=7,在第二次接球 中，当y=2.75时，则-0.2(x-4.5)2+5.2=2.75,解得x1=1， x2=8。接球时球越过球网，d2=8,d2-d1=8-7=1>0。 高效同步练习1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求概率 1.C2.C3.D4.A5.A 6.解：(1) A (2)画树状图如下： 开始 EFGEFGEFGEFG 共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中晓慧 第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的结果只有 1种：(D,F),.晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园 春·雪》的概率为 12 第2课时利用概率判断游戏的公平性 1.B2.B3.A4.A5.A 6.解：(1)游戏不公平。 画树状图如下： BS九年级数学上册 开始 分444 345356457567 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中小明获胜 的有4种结果，小亮获胜的有8种结果，所以小明获胜的概率 12 了小亮获距的概率为号子。因此这个游戏是不公 为4、 2 平的，它对小亮比较有利： (2)设计新规则：两数之和为偶数时小明获胜，两数之和为5 时小亮获胜，游戏规则对小明和小亮均公平。·：小明获胜的 有4种结果，小亮获胜的有4种结果，∴.小明获胜的概率=小 亮获胜的概率= 3…游戏公平。 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 1A2.B3. 1 4. 5.A 12 2 6解：()片 (2)设蓝色3份分别为蓝1，蓝2，蓝3，红色为红，白色为白，列 表如下： 第2次 第1次 蓝1 蓝2 蓝3 红 白 蓝1（蓝1，蓝1）（蓝1，蓝2）（蓝1，蓝3）（蓝1，红）（蓝1，白） 蓝2（蓝2，蓝1）（蓝2，蓝2）（蓝2，蓝3）（蓝2，红）（蓝2，白） 蓝3（蓝3，蓝1）（蓝3，蓝2）（蓝3，蓝3）（蓝3，红）（蓝3，白） 红（红，蓝1）（红，蓝2）（红，蓝3）（红，红） (红，白) 白（白，蓝1）（白，蓝2）（白，蓝3) （白，红) （白，白) 共有25种情况，每种结果出现的可能性相同，而落在能配成紫 色的区域的结果有6种，故配成紫色的概率P=25: 6 高效同步练习2用频率估计概率 1.C2.C3.B 4D【解标1模到黑秩的频率为0子。设金中白桃子有三 10 枚，10+x 4,解得x=30。经检验：x=30是原方程的解，且 符合题意。∴.盒中白棋子共有30枚。故选D。 5.解：(1)0.44450 （2)如图所示； 4频率 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 01r 2004006008001000次数 (3)0.45 (4)0.45×360°=162°，360°-90°-162°=108°，答：表示《西游 记》区域的扇形圆心角约是108° 追梦第六章章末复习概率的进一步认识 1.D2.D3.A4.D5.A 6.20【解析】设估计盒子中大约有蓝球x个，根据题意得5中x 5 0.2,解得x=20,经检验x=20是原方程的解，故此盒中大约有 蓝球20个。 2 1.9 8.3 9解：(1 (2)如图所示： 开始 BCDACDABDABC 同步练习，精炼高效抓考 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中甲，乙两 1 同学都没有选择“A.机器人技术”的有6种，一概率为2=7 10.解：(1)0.33 (2)列表如下 乙 甲 1 2 3 1 (1,1) (2,1) (3,1) 2 （1,2) (2,2) (3,2) 3 （1,3) (2,3) (3,3) 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，甲赢的 结果有5种，乙赢的结果有4种，P(甲)=号，P(乙)=号。 4 45 :g<)“这个游戏对甲，乙两人是不公平的。 图书在版编目(CP）数据 追梦之旅.九年级数学/盛留霞编著.一-天津： 天津科学技术出版社 ISBN978-7-5576-7627-8 I.①追…Ⅱ.①盛…Ⅲ.①中学数学课-初中-习 题集V.①G634 中国版本图书馆CIP数据核字(2020)第056607号 追梦之旅.九年级数学 ZHUIMENGZHILU JIUNIANJI SHUXUE 责任编辑：曹阳 责任印制：刘形 出 版： 天津出版传媒集团 天津科学技术出版社 地 址：天津市西康路35号 邮 编：300051 名 话：(022)23332490 食 址：www.tjkjcbs.com.cn 发 行：新华书店经销 印 刷：新乡市春风印务有限公司 开本880×12301/16印张5字数150000 定价：18.00元 BS九年级数学上册 79高效同步练习1用树义 第1课时用树状图 知识点)用树状图或表格求概率 1.科技前沿(3分)某校课后服务期间开展AI 大模型体验活动，老师在电脑上下载了：豆 包、千问、元宝、文心一言四个不同的软件，小 美和小好两位同学各自任选其中一个体验， 则他们选择同一个AI的概率是() B 2.文化情境·传统文化(3分)豫剧是中国五大 戏曲剧种之一。某校开展“豫剧文化进校园” 活动，设置了“唱腔、身段、念白、脸谱”四种学 习项目，每名学生只能选择参加一种项日，则 甲、乙两名学生参加同种学习项目的概率是 () B.3 D.a 3.(3分)寒假期间，明明和茜茜计划去“只有河 南·戏剧幻城”游玩，景区有《李家村剧场》 《幻城剧场》《火车站剧场》三个主剧场，明明 茜茜各随机选择一个主剧场观看，则两人恰 好选择同一剧场的概率为() A.g R c 4.跨学科试题·历史(3分)“以史为鉴，可以知 兴替”，历史蕴含着国家与民族的共同记忆。 在四张形状、大小相同及质地无差别的卡片 上（如图），分别用图案表示了四个不同历史 事件：鸦片战争、十一届三中全会、五四运动、 抗美援朝。将卡片置于不透明的箱子中，摇 匀后随机抽取两张，则所抽取卡片中的事件 都发生于新中国成立以后的概率为() 抗美援朝 B. 0.2 15分钟同步练习，精炼高效专 犬图或表格求概率 或表格求概率 5.(3分)从分别标有数字 中随机抽取1张，放回后再抽取1张，两次抽 取的数字之和为偶数的概率是() A.2 D.4 6.(10分)为传承中华优秀传统文化，深入挖掘 中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情 怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发 展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读， 参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰 辞》（分别用A、B、C、D表示）中随机抽取一首 进行朗诵；第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹 葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分 别用E、F、G表示)中随机抽取一首进行讲解。 小明和晓慧都参加了诗词大赛。 (1)小明第一轮抽到《将进酒》的概 率是 (2)利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中 《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的 概率。 第六章 考点BS九年级数学上册 63 第2课时 利用概率判断游戏的公平性 知识点)利用概率判断游戏的公平性 5.(3分)小慧和小彤用4张同样规格的硬纸片 1.（3分)口袋里有相同的2个红球、4个白球和 做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样， 6个黑球，从口袋里摸出2个球，若两个都是 将它们背面朝上搅匀，游戏规则如下：随机抽 红色，则甲胜；若两个都是黑球，则乙胜。谁 取两张，如图2所示，如果两张硬纸片上的图 获胜的概率大( 形可拼成电灯或小人时，小慧获胜：如果两张 A.甲 B.乙 硬纸片上的图形可拼成房子或小山时，小彤 C.甲乙一样大 D.不能确定 获胜。则小慧获胜的概率和小彤获胜的概率 2.（3分)某口袋中有10个球，其中白球x个，绿 分别为( 球2x个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个 球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红 6合△△ 电灯小人房子 小山 获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则x的 图1 图2 值是() 11 A.1 B.2 C.3 D.4 A 2’2 B12 3’3 3.学科内融合(3分)A、B、C三名同学玩“抢凳 31 子”游戏。他们所站的位置围成一个△ABC, C.4'4 57 D.12'16 在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获 6.（10分)某口袋装有编号为1、2、3、4的四个小 胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的 球（除编号外都相同）。小明和小亮先后从袋 位置是在△ABC的() 中随机不放回地摸出一个球。 A.三边垂直平分线的交点 (1)现有游戏规则“两数之和为偶数时小明获 B.三边中线的交点 胜，反之小亮获胜”。你认为这个游戏规则公 C.三个内角角平分线的交点 平吗？说明理由； D.三边高的交点 (2)设计另外一个游戏规则，并说明新的游戏 规则对小明和小亮均公平。 4.跨学科试题·生物(3分)人类的遗传病是父 母传递给下一代而发生的疾病，了解其传代 规律及出现概率，有利于防止遗传病患儿的 出生，白化病是一种遗传病，它是一种隐性性 状，如果A是正常基因，a是白化病基因，设母 第 亲和父亲都携带成对基因Aa,他们有正常孩 子的概率是( B.1 D.1 4 64 15分钟同步练习，精炼高效抓考点BS九年级数学上册 第3课时 利用概 知识点利用概率玩“配紫色”游戏 1.（3分)学校联欢会设计了一个“配紫色”游 戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被 分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区 域所占的圆心角是120°。同学们同时转动两 个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另 个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得 游戏。若小李同学同时转动A盘和B盘，她 赢得游戏的概率是( 1 2 B.- D 6 蓝 120% 红 蓝 A盘 B盘 第1题图 第2题图 2.跨学科试题·物理(3分)色光的三原色是红、 绿、蓝，这三种颜色可以形成所有的颜色。若 从这三种颜色中随机选择两种不同的颜色进 行组合，则恰好可以得到黄色（红和绿混合的 颜色)的概率为( c D.g 3.(3分)用圆中两个可以自由转动的转盘做 “配紫色”游戏，分别转动两个转盘，若其中一 个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色 那么可配成紫色的概率是 红色蓝色 红 120° 蓝色红色 蓝色 转盘A 转盘B 第3题图 第4题图 4.(3分)小颖为学校联欢会设计了一个“配紫 色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出蓝 色即可配成紫色)。如图为两个可以自由转 动的转盘A,B,它们分别被分成面积相等的4 份和3份。游戏者同时转动两个转盘，转盘停 15分钟同步练习，精炼高效 率玩“配紫色”游戏 止时指针所指的颜色 率为 5.（3分)小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣 传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了 一个“配紫色”游戏：A,B是两个可以自由转 动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几 个扇形。同时转动两个转盘，如果其中一个 转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那 么可以配成紫色。若配成紫色，则小颖去观 看，否则小亮去观看。此规则( ) A.公平 蓝 红 蓝 B.对小颖有利 華 红 C.对小亮有利 A盘 B盘 D.公平性不可预测 6.(10分)小玲设计了一个配紫色的游戏，将如 图所示的正五边形ABCDE分成红、蓝、白三个 区域（每个区域除颜色外其他完全相同），点 0为正五边形的中心。规则如下：掷一枚质地 均匀的小球两次，记录小球停止后所在区域 的颜色，如果小球落在边界上或没有停留在 正五边形内部则不记录颜色，重新掷一次，直 到小球停留在正五边形区域内。如果两次记 录的颜色为“红色”和“蓝色”，则配成紫色。 (1)小玲第一次掷小球落在白色区域的概率 为 (2)请利用列表法或画树状图计算配成紫色 的概率。 第六章 考点BS九年级数学上册 65 高效同步练习2 知识点①频率与概率的关系 1.(3分)关于用频率估计概率，下列说法正确 的是( A.实验次数越少，频率越接近概率 B.频率一定等于概率 C.多次重复实验后，频率会逐渐稳定在概率 附近 D.抛一枚均匀骰子，实验10次有2次点数为 6,则点数为6的概率估计为0.2 知识点②用频率估计概率 2.(3分)下表是某一项实验中结果A出现的频 率统计表（表中频率精确到0.01），请估计在 一次实验中结果A出现的概率为( )(结 果保留小数点后一位)》 试验次数 40 100 200 400 1000 频数 26 78 158 323 801 频率 0.65 0.78 0.79 0.81 0.80 A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 3.(3分)在一个不透明的口袋中，装有若干个红 球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别， 摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再 放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸 到黄球的频率是0.2，则估计口袋中大约有 红球( A.8个 B.16个C.25个D.30个 4.文化情境·传统文化(3分)围棋起源于中国， 古代称之为“弈”，棋子分黑白两色。在一个 不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白 棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出 一枚棋子，记下它的颜色后再放回。不断重 第 复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到 黑棋，由此可估计盒中白棋子共有( A.170枚 B.60枚 C.50枚 D.30枚 66 15分钟同步练习，精炼高效 用频率估计概率 5.跨学科试题·语文(8分)在“世界读书日”来 临之际，某学校开展了“我因阅读而成长”的 赠书活动，如图，设置了一个可以自由转动的 转盘，并规定每位学生可获得一次转动转盘 的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就 可以获得一本相应的书籍，下表是活动中的 一组统计数据。 转动转盘 100 200 400 500 1000 的次数n 落在《红星 照耀中国》区 44 92 182 225 域的次数m 落在《红星 照耀中国》区 a 0.460.4550.450.45 域的频率m (1)上述表格中a= ,b= (2)画出获得《红星照耀中国》频率的折线统 计图。 (3)假如你去转动该转盘一次，你获得《红星 照耀中国》的概率约是 (结果保留 到小数点后两位)。 (4)在转盘中，表示《海底两万里》区域的扇形 圆心角是90°，则表示《西游记》区域的扇形圆 心角约是多少度？ 《海底两万里》 《红星照耀中国》 《西游记》 考点BS九年级数学上册