4.1 投影-【追梦之旅 · 初中同步铺路卷】2026-2027学年九年级上册数学活页同步练习（北师大版·新教材）

高效同步纺 第1课时 投 知识点①投影与中心投影的概念 1.(3分)下列现象不属于投影的是( A.皮影 B.素描画 C.手影 D.树影 2.(3分)下列投影中，不是中心投影 的是( A.路灯下行人的影子 B.舞台上演员的影子 C.台灯下书本的影子 D.太阳光下旗杆的影子 知识点②影子或光源的确定 3.(8分)如图所示，快下降到地面的某伞兵在灯 光下的影子为AB,试确定灯源P的位置，并画 出竖立在地面上木桩的影子EF。（保留作图 痕迹，不要求写作法)》 知识点③中心投影的性质 4.生活情境·白炽灯(3分)在一间黑屋子里用 一盏白炽灯照射如图所示的球。当球向下移 动时，这个球在地面上的影子大小的变化情 况是( ) A.保持不变 B.越来越大 C.越来越小 D.不能确定 5.(3分)夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路 灯越近，旗杆的影子() A.越长 B.越短 C.一样长 D.随时间变化而变化 15分钟同步练习，精炼高效 习1投影 影与中心投影 6.(3分)如果在同一盏路灯下，小明与小强的影 子一样长，下列关于两个人个子的说法正确 的是( A.小明高 B.小强高 C.一样高 D.无法判断 7.(3分)如图，小明家客厅有一张直径为1.2 米，高0.8米的圆桌BC,在距地面2米的A处 有一盏灯，BC的影子为DE,依据题意建立平 面直角坐标系，其中点D的坐标为(2,0)，则 点E的坐标为( A.(3.8,0) B.(3.9,0) C.(4.1,0) D.(4,0) 8.(9分)如图，路灯G距地面5.6米，身高1.6 米的小方从距离灯的底部（点O)5米的A处， 沿OA所在的直线行走到点C时，人影长度增 长3米，求小方行走的路程。 第四章 0 B 考点BS九年级数学上册 41 第2课时 平 知识点①平行投影 1.(3分)一张正方形纸片在太阳光下的影子不 可能是( A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.线段 2.文化情境·传统文化(3分)如图所示的日晷 仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影 的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古 代较为普遍使用的计时仪器。晷针在晷面上 所形成的投影属于 投影。 【归纳总结】判断投影是平行投影的方法是看光线 是否是平行的。如果光线是平行的，所得到的投影 就是平行投影。 B D 第2题图 第3题图 第 3.（3分)如图，甲楼AB高16米，乙楼CD坐落 在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12点时， 物高与影长的比是1：√2。已知两楼相距即 (BD)为12米，那么甲楼的影子落在乙楼上的 高DE为 米。（结果保留根号） 知识点②正投影 4.(3分)若只增大物体与投影面之间的距离，则 其正投影( A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定 5.（3分)把一个正六棱柱如图摆放，光线由上向 下照射此正六棱柱时的正投影是( 42 15分钟同步练习，精炼高效 行投影与正投影 6.(3分)下面是一天中四个不同时刻两座建筑 物的影子，将它们按时间先后顺序排列，正确 的是( 南 ② 北 南 ③ ④ A.③①④② B.③④①② C.③②①④ D.②④①③ 7.(9分)如图，小亮利用所学的数学知识测量某 旗杆AB的高度。 (1)请你根据小亮在阳光下的投影，画出旗杆 AB在阳光下的投影； (2)已知小亮的身高为1.72m,在同一时刻测 得小亮和旗杆AB的投影长分别为0.86m和 6m,求旗杆AB的高。 考点BS九年级数学上册高效同步练习5图形的位似 第1课时位似多边形及其性质 1.B2.D3.C4.D5.B 6.解：(1)0 (2):△ABC与△DEF的相似比为】， 2,4C=3,4C1 DF2 DF=2AC=6: (3)△ABC与△DEF位似，∠E=40°，.∠ABC=∠E=40°， .∠0=20°，∴.∠BCF=∠ABC+∠0=40°+20°=60°。 7.解：(1)如图1，△A,C,B,即为所求； (2)如图2，点P即为所求。（画法不唯一） A B B: 图1 图2 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 1.A BC OB 1 2.C【解析】由题意，得BC=3,EFOB4BF=12,设0B= x,则0E=x+12,. 1=,解得x=4,经检验x=4是原方程 的解，且符合题意。∴.0E=4+12=16,∴.F(16,12)。故选C。 3.C 【方法点拨】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位 似中心，相似比为飞，那么位似图形对应点的坐标的比等于或 -k。 5.(6,4)6.(-1,1) 7.解：(1)Q (2)Γ 点C,的坐标为(3,0) p M (3)4 8.解：(1)如图，△A'B'C即为所求作： 2345678x 士118 (2)2:1 ☆问题解决活动：利用相似三角形测高 15.2【解析小：AB=6米，6- ,0A=3,0B=1.5米，0A=4.5米， 过点A作AG⊥BH交BH的延长线于点G,交OM于点N,则 0H/AG,:0B=1.5米，0H=1.2米，BH=√1.52-1.2= 0.9(*)。0HUAG,△BAG∞△B0H,.OB,即09 15,解得BG=3.6米，ON=HG=BG-BH=2.7米，又MN= 6 3-0.5=2.5(米)，.∴.0m=0N+MN=2.7+2.5=5.2(米)。 2.解：(1)作OB⊥DA于点B,.∠OBC=∠OBA=90°，∠GB0O= ∠FB0,.∠GBA=LFBC,∠FCB=90°，∠GAB=90°， △BCF∽△BAG,. 4G-A5,设AB=xm,则BC=(27-*)m, 1.6x AG=1.6m,CF=2m,.2=2.7-x 解得x=1.2,∴.AB=1.2m, BC=1.5m,.CD=4.8m,.BD=BC+CD=1.5+4.8=6.3(m), 同步练习，精炼高效抓考 LCAB=LEDB=90,△ABDE△BAG,.-∴3 1.6 ED,解得ED=8.4,即烟囱DE的高度为8.4m; (2)同(1)可知，∠BF,A=∠DFE,∠BF2A=∠CF2E,,∠BAE =∠DEA=∠CEA=90°，∴.△BAF,∽△DEF,△BAF2 AF BA AF2 BA ACEFEF-DE'EF-CE AF,=2.5m,AE=15m,FF= 0.5m,.F1E=15-2.5=12.5(m),AF2=AF1+F,F2=3m,F2E= 2.51.531.5 AB-A,=12m,1250E,2CE,解得DB=7.5m,CE= 6m,.∴.CD=DE-CE=1.5m。 追梦第三章章末复习图形的相似 1.B2.B3.C 4.A【解析】设正方形城池的边长为x步，则AE=CE= 2t,: AECD,.∴.∠BEA=∠EDC,.·∠ECD=∠BAE=90°，∴.Rt△BEA 1 Rt△EDC,ECC0,即40=2 AB AE 1810x=360。故选A。 、2 5.D【解析】由题意，得AB=AD=CD=6,∠A=∠D=90°，.·四边 形AEFG为正方形，EF=2,∴.AE=EF=AG=2,EF∥AG,∴.BE= 4,∠FEB=∠A,:∠EBF=∠ABH,.△BEF∽△BAH, EF AH 8B,即2=4,4H=3,“DH=3,由勾股定理得：CH=■ √CD+DH2=/32+62=35,故选D。 6.3 7.13【解析】：DE∥AC,.△D0E△COA,SADOESACOA=1: DE 1 BE DE 1 16,CA4,:DE/AC,△BDE△BMC,BCAC=4, BE 1 SABDE_BE_1 C3,Saw与Sa等高，小38CE万 8.4 9.解：(1)设 23=号=6，则a=2k,6=56,c=3张，又a+6+e= 30,∴.2k+5k+3k=30,解得k=3,∴.a=2k=2×3=6,b=5k=5×3 =15,c=3k=3×3=9,即a=6,b=15,c=9; (2)m2=ab=6×15=90,解得m=3√10或m=-3√10（舍去）， .线段m=3√10。 10.（1)证明：.四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，.EF⊥AM ∴.∠AFE=90°，∴.∠B=∠AFE,,BC∥AD,∴.∠AMB=∠EAF .·.△ABM∽△EFA。 (2)解：∠B=90°，AB=8,BM=6,∴.AD=AB=8,AM= √AB2+BM2=√82+62=10，.点F是AM的中点，.FA=FM AM BM 2AM=5,△ABM△EPA,EMA=1M BM 6=3DE-EA-AD=2 10×5_25 1 38=3 11.解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB,. △DEF∽△DCB,.∴. DE-DCEF=0.4m,DE=0.6m,AM= EF CB 0.4BC CD=21m,0.627BC=14,AB=AC+BC=1.5+14= 15.5(m),答：树AB的高度为15.5米。 12.解：(1)BE⊥DF (2)结论：(1)中的结论是否仍然成立。理由：设BE与CD相 CE CB 交于点G,“CF-CD'4BCE=90+LDCE=LDCF,△BCE ∽△DCF,∴.∠CBE=∠CDF,.∠CDF+∠DGE=∠CBE+ ∠BGC=90°，.BE⊥DF。 高效同步练习1投影 第1课时投影与中心投影 1.B2.D 3.解：如图所示灯源P、影子EF即为所求。 BS九年级数学上册 75 “ B FE 4.C5.B 6D【解析】在同一路灯下，由于小明和小强位置不确定，虽然 影子一样长，但无法判断谁的个子高。故选D。 7.D 8.解：AE⊥OD,G0⊥OD,.EA∥G0,∠EAB=∠GOB=90°。.∴. LAEB=∠OGB。∴△AEB△OGB,∴. AE -AB 1.6 G0B0'5.6 AB+5,解得AB=2m。~沿OA所在的直线行走到点C时，人影 AB 长度增长3米，∴DC=5m,同理可得△DFC∽△DG0,:C= 品副时8C解得4C=75,即小方行走的路程4C 5 为7.5m。 第2课时平行投影与正投影 1.C2.平行 3.(16-6√2)【解析】作FE⊥AB于点F,那么在Rt△AEF中， ∠AFE=90°，EF=BD=12米。物高与影长的比是1：2， AF 1 则AF= 2 EF=6W2米，故DE=FB=(16-6N2)米。 EF 4.C5.A 6.B 【知识拓展】在不同时刻的太阳光下，同一地点、同一物体的 影子不仅方向在改变，影子的长度一般也不同。从早晨到傍 ,物体影子的指向是：正西→西北→正北一→东北→正东（北 半球北回归线以北地区)。 一天之中，同一物体的影子的长度 的变化规律是：长→短→最短→短→长。 7.解：(1)如图所示，BC即为所求： (2)如图，DE,AB都垂直于地面，且光线Df ∥AC,.△DEF∽△ABC, BsC,即22 DE EF AB D 6,解得AB=12m。即旗杆AB的高 为12m。 高效同步练习2视图 第1课时几何体的三种视图及其画法 1.D2.B3.D 4.解： 主视图 左视图 俯视图 5.B6.B7.C 第2课时由三种视图确定几何体的形状 1.C2.B3.A 4.C【解析】由三视图确定该几何体是圆柱体，所以该圆柱体的 侧面积为2π×3=6π。故选C。 5.C6.A7.D 8.解：(1)这个几何体是圆柱； (2):该圆柱的底面直径为4cm,高为10cm,∴.S侧=πdh=π×4 ×10=40π(cm2) 追梦第四章章末复习 投影与视图 1.D2.D3.D4.C5.B6.A 7.中心投影8.不是9.3 10.解：（1)点P位置如图： (2)线段MQ如图。 A B C EF 11.解：(1)4 76 同步练习，精炼高效抓考 (2)如图所示： 10 左视图 (3)(2+8)×4÷2×2+8×10+2×10+5×10×2=240.故这个几何 体的表面积是240 12.解：(1)由主视图，俯视图可知a=2,d=f=1: (2)这个几何体最少2+3+1+1+1+1=9（个），最多2+3+3+3+ 1+1=13(个)： (3)左视图如图。 高效同步练习1认识二次函数 1.C2.A【变式】(1)a≠2(2)a=2且b≠-2 3.D 【归纳总结】确定二次函数的二次项系数、一次项系数及常数 项时，需要先把函数关系式化为一般形式，并且系数与常数项 一定要包含它们前面的符号。 4.B 5.B【解析】由题可知m-1≠0，且m2+1=2,则m=-1。故选B。 6.C7.B8.A9.C 高效同步练习2二次函数的图象 第1课时二次函数y=x2的图象与性质 1.A 2.C 【解析】C.图象的顶点是拋物线的最低点。故选C。 3.B4.B5.D6.B7.D 8.B【解析】点A关于Y轴的对称点A'的横坐标为1，连接A'B 与y轴相交于点C,点C即为使AC+BC最小的，点，当x=-1 时，y=-1,当x=-2时，y=-4,∴.点A'(1,-1),B(-2,-4),由 勾股定理得，A'B=√/(1+2)2+(-1+4)2=3√2。故选B。 9.1【解析D是抛物线的顶点，.点D是原点，D(0,O)。 :CD上x轴，C是一次函数图象上一点，点C是一次函数y= 2x+1与y轴的交点。当x=0时，y=2x+1=1,∴C(0,1),. CD=1-0=1。 10.解：(1)点A(2,a)在抛物线y=x2上，∴.a=2=4,∴.A点的 坐标为(2,4)； (2)0A=√22+4=25，当AP=A0=2√5，此时P点坐标为 （4,0);当0P=0A=2W5,此时P点坐标为(2W5,0)或(-2W5 0);当PA=P0时，设P(x,0),42+(x-2)2=x2,解得x=5,此 时点P坐标(5,0)，综上所述：使△OAP是等腰三角形则P点 坐标为(25,0)或(-25,0)或(4,0)或(5,0) 第2课时二次函数y=ax2的图象与性质 1.C 2.C【解析】根据题意，得a>0,a2-1=2,∴.a=√3。故选C。 3.84.C5.A6.B 7.3【解析】由平移，得新抛物线为y=x2-b,新抛物线经过，点 (1,-2),∴.-2=1-b,.b=3。 8.C9.C10.B 11 、 25sa≤ 4 ,【解析】四边形ABCD是正方形，.D(5,2), 当抛物线经过点B(2,5)时，则a=,当抛物线经过D(5,2) 时，a=25,观察图象可知弓 49 第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 1.B2.D3.A4.C5.C6.-2-3 7.B【解析】当h<2时，则x=2时，函数值y有最大值，故-(2- h)2=-1,解得h,=1,h2=3(舍去)；当2≤h≤5时，y=-(x-h) 的最大值为0，不符合题意；当>5时，则x=5时，函数值y有 最大值，故-(5-h)2=-1,解得h3=4(舍去)，h,=6。综上所述 h的值为1或6。故选B。 【解题技巧】第1步：找到抛物线的对称轴。第2步：在x的取 值范围内，判断二次函数的增减性。第3步：判断抛物线顶点 的横坐标是否在x的取值范围内。第4步：若抛物线顶点的 横坐标不在：的取值范围内，则从两个边界点中确定二次函 数的最值；若抛物线顶点的横坐标在x的取值范围内，则从顶 点、两个边界点中确定二次函数的最值。 BS九年级数学上册