暑期预习讲义（第10讲）——位似图形与投影、三视图（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

暑期预习讲义（第10讲）——位似图形与投影、三视图（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 （一）位似图形（相似进阶考点） 3 （二）投影三大类型（易混淆辨析） 3 （三）三视图核心规则 3 （四）高频易错点汇总 4 三.经典题型精析 4 【题型 1】位似图形判断与性质计算 4 【题型 2】平面直角坐标系位似变换 5 【题型 3】投影类型辨析 6 【题型 4】三视图识别与还原 8 【题型 5】投影与相似（综合） 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握位似图形的定义、性质，能准确判断位似图形、找到位似中心、进行图形放大缩小。 2. 区分平行投影、中心投影、正投影三种投影，掌握影子变化规律。 3. 理解三视图定义，掌握主视图、左视图、俯视图的画法与识图规则。 4. 能根据三视图还原几何体，实现立体图形与平面视图的相互转化。 预习重难点 重点：位似图形的性质与坐标变换、三种投影的区分、三视图的识别与绘制。 难点：位似中心不唯一的辨析、中心投影影子变化、三视图长对正/高平齐/宽相等的规范应用。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 1. 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线__________，对应边互相平行（或共线），那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做__________。 2. 位似图形一定是__________图形，但相似图形__________是位似图形。 3. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为，点的位似对应点坐标为__________或__________。 4. 投影分为两类：__________投影和__________投影。 5. 平行投影中，光线__________；中心投影中，光线__________。 6. 平行光线________照射投影面产生的投影叫做正投影，正投影是特殊的________投影。 7. 几何实际测量三大模型：__________、__________、__________。 8. 三视图包含：__________、__________、__________。 9. 三视图绘制三大原则：__________、__________、__________。 10. 看得见的轮廓线画__________，看不见的轮廓线画__________。 预习填空参考答案 1. 相交于同一点、位似中心 2. 相似、不一定 3. 、 4. 平行、中心 5. 互相平行、交于一点 6. 垂直、平行 7. 影子测高法、标杆测高法、镜面反射测距法 8. 主视图、左视图、俯视图 9. 长对正、高平齐、宽相等 10. 实线、虚线 二.教材知识梳理解读 （一）位似图形（相似进阶考点） 1. 核心定义 同时满足两个条件：①图形相似；②对应顶点连线交于同一点（位似中心）、对应边平行。 2. 位似核心性质 ① 对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比）； ② 对应边平行、对应角相等； ③ 位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形所有性质（周长比=位似比，面积比=位似比平方）。 3. 坐标位似规律（必考） 原点位似，相似比：同向位似，反向位似。 （二）投影三大类型（易混淆辨析） 1. 平行投影 光线平行（太阳光），同一时刻，不同物体高度与影长成正比。 2. 中心投影 光线汇聚一点（路灯、台灯），物体离光源越近影子越短，离光源越远影子越长。 3. 正投影 平行光线垂直投影面，投影能真实反映物体形状大小，三视图本质都是正投影。 （三）三视图核心规则 1. 视图定义 主视图：从正面看；左视图：从左面看；俯视图：从上面看。 2. 黄金三原则（做题万能依据） 长对正：主、俯左右长度对齐； 高平齐：主、左上下高度对齐； 宽相等：俯、左前后宽度相等。 3. 画图规范 可见轮廓实线，不可见轮廓虚线，尺寸比例统一。 （四）高频易错点汇总 1. 相似≠位似，位似必须满足顶点连线共点； 2. 平行投影影长正比，中心投影影长无固定比例； 3. 三视图必须严格遵守“长对正、高平齐、宽相等”； 4. 位似变换面积比依然是位似比的平方。 三.经典题型精析 【题型 1】位似图形判断与性质计算 【例题1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段检测）已知，如图，五边形． （1）以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 【变式1】（2026·福建龙岩·二模）如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【变式2】（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是___________________． 【变式3】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． （1）在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） （2）与的相似比是 ； （3）将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 思路总结：位似是特殊相似，直接套用相似比例规律：线周同比、面积平方。 【题型 2】平面直角坐标系位似变换 【例题2】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； （2）设与的周长分别为、，则________． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【变式3】（2025九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出； （2）点坐标为 ； （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ． 思路总结：原点位似务必考虑正负两种情况，不漏解。 【题型 3】投影类型辨析 【例题3】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； （2）如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【变式1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西萍乡·二模）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：投影中的数学． （1）如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； （2）如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 思路总结：点光源（灯、蜡烛）→中心投影；自然平行光（日、月）→平行投影。 【题型 4】三视图识别与还原 【例题4】（24-25七年级上·四川泸州·期末）把边长为1厘米的5个相同正方体摆成如图的形式． （1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； （2）求该几何体的表面积； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________小正方体． 【变式1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）下面图示的四个物体中，正视图如图所示的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是________． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）已知有一个由几个小立方块所搭成的几何体，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； （2）若要保持该几何体从正面、左面、上面看到的形状图都不变，则还能增加小立方块的个数为_______个． 思路总结：熟记常见几何体三视图，结合“长对正、高平齐、宽相等”判断。 【题型 5】投影与相似（综合） 【例题5】（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． （1）求灯柱的高度； （2）请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025九年级·全国·专题练习）光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 4．（2022·浙江温州·三模）如图是一个“T”字形零件，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，该空心圆柱体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   6．（22-23九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 7．（2022·浙江湖州·模拟预测）小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26六年级上·山东济南·期中）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从左面和上面看到的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 13．（25-26八年级下·全国·期末）是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 14．（25-26九年级上·河南开封·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 15．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 16．（2025·广东广州·一模）一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是______． 17．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是______（填序号）； （2）这个几何体的左视图是______（填序号）； （3）这个几何体的俯视图是______（填序号）． 18．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体． （1）请分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图； （2）这个几何体的表面积为 （包括底面积）； （3）若使得该几何体的俯视图和左视图不变，则最多还可以放 个相同的小正方体． 22．（本小题满分10分）（2026·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在轴上找一点，使得的长度最小； （2）以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形． 【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k． 【实验初探】 （1）如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为_____． 【实验制作】 （2）如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点． ①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H； ②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——位似图形与投影、三视图（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.预习目标与填空 1 预习目标 1 预习重难点 2 课本原文预习填空 2 二.教材知识梳理解读 3 （一）位似图形（相似进阶考点） 3 （二）投影三大类型（易混淆辨析） 3 （三）三视图核心规则 3 （四）高频易错点汇总 4 三.经典题型精析 4 【题型 1】位似图形判断与性质计算 4 【题型 2】平面直角坐标系位似变换 7 【题型 3】投影类型辨析 10 【题型 4】三视图识别与还原 15 【题型 5】投影与相似（综合） 18 四.同步自测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 27 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 31 一.预习目标与填空 预习目标 1. 掌握位似图形的定义、性质，能准确判断位似图形、找到位似中心、进行图形放大缩小。 2. 区分平行投影、中心投影、正投影三种投影，掌握影子变化规律。 3. 理解三视图定义，掌握主视图、左视图、俯视图的画法与识图规则。 4. 能根据三视图还原几何体，实现立体图形与平面视图的相互转化。 预习重难点 重点：位似图形的性质与坐标变换、三种投影的区分、三视图的识别与绘制。 难点：位似中心不唯一的辨析、中心投影影子变化、三视图长对正/高平齐/宽相等的规范应用。 课本原文预习填空 结合课本自主填空，夯实概念，扫清预习盲区 1. 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线__________，对应边互相平行（或共线），那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做__________。 2. 位似图形一定是__________图形，但相似图形__________是位似图形。 3. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，相似比为，点的位似对应点坐标为__________或__________。 4. 投影分为两类：__________投影和__________投影。 5. 平行投影中，光线__________；中心投影中，光线__________。 6. 平行光线________照射投影面产生的投影叫做正投影，正投影是特殊的________投影。 7. 几何实际测量三大模型：__________、__________、__________。 8. 三视图包含：__________、__________、__________。 9. 三视图绘制三大原则：__________、__________、__________。 10. 看得见的轮廓线画__________，看不见的轮廓线画__________。 预习填空参考答案 1. 相交于同一点、位似中心 2. 相似、不一定 3. 、 4. 平行、中心 5. 互相平行、交于一点 6. 垂直、平行 7. 影子测高法、标杆测高法、镜面反射测距法 8. 主视图、左视图、俯视图 9. 长对正、高平齐、宽相等 10. 实线、虚线 二.教材知识梳理解读 （一）位似图形（相似进阶考点） 1. 核心定义 同时满足两个条件：①图形相似；②对应顶点连线交于同一点（位似中心）、对应边平行。 2. 位似核心性质 ① 对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比）； ② 对应边平行、对应角相等； ③ 位似图形是特殊的相似图形，具备相似图形所有性质（周长比=位似比，面积比=位似比平方）。 3. 坐标位似规律（必考） 原点位似，相似比：同向位似，反向位似。 （二）投影三大类型（易混淆辨析） 1. 平行投影 光线平行（太阳光），同一时刻，不同物体高度与影长成正比。 2. 中心投影 光线汇聚一点（路灯、台灯），物体离光源越近影子越短，离光源越远影子越长。 3. 正投影 平行光线垂直投影面，投影能真实反映物体形状大小，三视图本质都是正投影。 （三）三视图核心规则 1. 视图定义 主视图：从正面看；左视图：从左面看；俯视图：从上面看。 2. 黄金三原则（做题万能依据） 长对正：主、俯左右长度对齐； 高平齐：主、左上下高度对齐； 宽相等：俯、左前后宽度相等。 3. 画图规范 可见轮廓实线，不可见轮廓虚线，尺寸比例统一。 （四）高频易错点汇总 1. 相似≠位似，位似必须满足顶点连线共点； 2. 平行投影影长正比，中心投影影长无固定比例； 3. 三视图必须严格遵守“长对正、高平齐、宽相等”； 4. 位似变换面积比依然是位似比的平方。 三.经典题型精析 【题型 1】位似图形判断与性质计算 【例题1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段检测）已知，如图，五边形． （1）以点A为位似中心，作出五边形右边的位似图形五边形，使五边形与五边形的位似比为2；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若五边形的周长为，则五边形的周长为_____． 【答案】（1）解：如图，五边形即为所求作的图形； ． （2） 【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质的应用，掌握位似图形的性质并应用于画图是解本题的关键； （1）在的延长线上截取，在的延长线上截取，连接，，同法得到，，再顺次连接，，，，即可； （2）直接利用位似图形的周长比等于位似比即可得到答案． 解：（1）略 （2）∵五边形与五边形的位似比为2； ∴五边形与五边形的周长比为2； ∵五边形的周长为， ∴五边形的周长为． 【变式1】（2026·福建龙岩·二模）如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】B 【分析】根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 解：∵， ∴， ∴与的位似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为． 【变式2】（24-25九年级下·四川成都·阶段检测）如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是___________________． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为： 【变式3】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，在的正方形网格图中，与的顶点都在小正方形的格点上，且这两个三角形关于点位似． （1）在图中标出位似中心点；（保留作图痕迹） （2）与的相似比是 ； （3）将平移到的内部得到，在图中画出（的顶点均在小正方形的格点上） 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）；（3） 如图，即为所求， ． 【分析】本题考查了作图—平移变换，找位似中心，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接、、，交点即为所求； （2）由图可得，，结合相似三角形的性质即可得解； （3）根据平移的性质作图即可得解． 解：（1）略 （2）解：由图可得：，， 故与的相似比是； （3）略 思路总结：位似是特殊相似，直接套用相似比例规律：线周同比、面积平方。 【题型 2】平面直角坐标系位似变换 【例题2】（2026·安徽芜湖·一模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． （1）以坐标原点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，使与位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出； （2）设与的周长分别为、，则________． 【答案】（1）如图， 即为所求， （2） 【分析】（1）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据位似的性质得到，相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 解：（1）略 （2）解：以坐标原点为位似中心，将缩小为原来的得到． ，相似比为，即周长比为． 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·期末）在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． 【变式2】（25-26九年级下·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． 【变式3】（2025九年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，每个小正方形的边长为1，以原点为位似中心，在第一象限内，对进行位似变换，得到（点，，分别对应点，，），且与的相似比为．其中点坐标为． （1）画出； （2）点坐标为 ； （3）线段上一点经过变换后对应的点的坐标为 ． 【答案】（1）画图见详解；（2）；（3） 【分析】本题考查位似变换的性质，核心是掌握位似中心在原点时，位似图形对应点的坐标与相似比的关系． （1）先确定各顶点的坐标，根据位似中心在原点、相似比及在第一象限内的要求，计算出各顶点的坐标，再描点连线画出图形； （2）利用位似变换的坐标规律，将点的坐标乘以相似比的，得到点的坐标； （3）根据原点为位似中心的位似变换坐标规律，直接推导线段上任意点变换后的坐标． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵与关于原点位似，且相似比为，， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵以原点为位似中心，位似变换的缩放比例为， ∴线段上一点经过变换后对应的点的坐标为； 故答案为：． 思路总结：原点位似务必考虑正负两种情况，不漏解。 【题型 3】投影类型辨析 【例题3】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． （1）请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； （2）如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】（1）解：所求图形，如图所示； （2） 【分析】（1）连接，延长交于点P，连接，延长交于点，点P，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 解：（1）略 （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 【变式1】（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 【变式2】（2026·江西萍乡·二模）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：投影中的数学． （1）如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； （2）如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】（1）①如图，投影，即为所求；②3，； （2）①如图，灯泡P即为所求； ② 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 解：（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 思路总结：点光源（灯、蜡烛）→中心投影；自然平行光（日、月）→平行投影。 【题型 4】三视图识别与还原 【例题4】（24-25七年级上·四川泸州·期末）把边长为1厘米的5个相同正方体摆成如图的形式． （1）画出该几何体的主视图、左视图、俯视图； （2）求该几何体的表面积； （3）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的左视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________小正方体． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）2 【分析】（）直接利用三视图的画法进而得出答案； （）利用几何体的形状进而得出其表面积； （）利用左视图和俯视图不变，得出可以添加的位置； 此题主要考查了画三视图以及几何体的表面积，正确得出三视图是解题的关键． 解：（1）解：如图即为所求， （2）几何体表面积： （平方厘米）； （3）解：在俯视图的相应位置添加小正方体，如图所示， 最多可以再添加个小正方体． 【变式1】（24-25六年级下·山东泰安·期末）下面图示的四个物体中，正视图如图所示的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 解：从左到右第一、第三和第四的物体的主视图均为： 第二个的物体的主视图为： 【变式2】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是________． 【答案】圆柱 【分析】本题考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 解：∵主视图和左视图是长方形， ∴几何体是柱体， ∵俯视图是圆， ∴该几何体是圆柱． 故答案为：圆柱． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）已知有一个由几个小立方块所搭成的几何体，如图是从上面看到的这个几何体的形状图，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． （1）分别画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图； （2）若要保持该几何体从正面、左面、上面看到的形状图都不变，则还能增加小立方块的个数为_______个． 【答案】（1）如图所示： （2）1 【分析】本题考查几何体的三视图； （1）直接利用俯视图中所标数字进而得出主视图以及左视图； （2）直接利用主视图、左视图、俯视图得出还能增加小立方块的个数． （1）解：从正面看，左边有3个小正方形，中间有2个，右边有1个；从左面看，左边有2个小正方形，中间有3个，右边有2个． （2）解：∵在空白处添加会改变从上面看到的形状，在前面的正方体上添加会改变从正面看到的形状，从左边的正方体上添加会改变从左面看到的形状， ∴只能在最中间的一个小正方体上添加，并不能超过前面和左面的高度， ∴还能增加1个小立方块，如图所示： 故答案为：1． 思路总结：熟记常见几何体三视图，结合“长对正、高平齐、宽相等”判断。 【题型 5】投影与相似（综合） 【例题5】（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【答案】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． 【变式1】（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【分析】如图，延长，交的延长线于点，同一时刻物高与影长成比例，可得，再证明，根据相似三角形的性质列式解答即可． 解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【变式2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【分析】本题是在平行投影下考查了相似三角形的知识在实际中的应用，证明相似三角形并根据“相似三角形的对应边成比例”确定树高与两个影长的数量关系是解题的关键. 根据题意，画出示意图，证明，进而可得，即，代入数据可得答案. 解：根据题意，作， 树高为，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 代入数据可得， （负值舍去）． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·河南南阳·期末）如图，南阳白河国家湿地公园有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和，点N，B，C在同一条直线上．测得长度为，的影长为． （1）求灯柱的高度； （2）请画出标杆的影子，并直接写出的长度． 【答案】（1）灯柱的高度为；（2）标杆的影子如图所示；的长度为 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，即可求解； （2）根据求解即可． （1）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴灯柱的高度为； （2）解：同理可证明， ∴ ∴， 解得， ∴的长度为． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2025九年级·全国·专题练习）光线由上到下照射，下列立体图形的正投影不是圆形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正投影的形状判断，掌握根据立体图形的形状和投影方向，分析正投影的形状是解题的关键． 分别分析每个立体图形在光线由上到下照射时的正投影形状，找出正投影不是圆形的图形． 解：A、球的正投影是圆形，不符合题意； B、圆柱的正投影是圆形，不符合题意； C、圆锥的正投影是圆形，不符合题意； D、正方体的正投影是正方形，不是圆形，不符合题意． 故选：D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）如图四边形与四边形是位似图形，位似比为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的知识；结合题意，根据位似图形的性质，得，可得，进一步即可得到答案． 解：∵四边形与四边形是位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是（   ） A．点M B．点N C．点E D．点F 【答案】C 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键． 解：如图所示： ∵对应点的连线交于点， 点为位似中心， 故选：C． 4．（2022·浙江温州·三模）如图是一个“T”字形零件，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】几何体的主视图就是从几何体的正面观察到的平面图形，根据几何体的形状画出主视图即可． 解：从“T”字形零件的正面观察应是三个矩形， 如下图所示： 5．（23-24九年级上·重庆南岸·阶段检测）如图，该空心圆柱体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线， 故选：A． 【点拨】本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线． 6．（22-23九年级下·重庆南岸·开学考试）如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质可得，相似比为，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为． 7．（2022·浙江湖州·模拟预测）小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答． 本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形． 解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C． 8．（25-26六年级上·山东济南·期中）由一些大小相同的小正方体搭成的几何体从左面和上面看到的形状图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多为（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】该题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查；如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案； 根据从上面看到的图形确定第一层的个数，然后根据从左面看到的图形确定最多的小正方体的个数即可； 解：从上面看，第一层有3个小正方体， 从左面看第二层最多有3个小正方体， 故最多有个小立方体， 故选：C． 9．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）如图是由6个大小相同的小立方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：这个几何体的俯视图是． 10．（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 12．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点拨】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 13．（25-26八年级下·全国·期末）是由以原点O为位似中心扩大2倍得到的，已知点，那么点C的坐标是_____________． 【答案】或/或 【分析】利用位似变换的坐标性质即可求解． 解：由题意可得，位似中心为原点，点是点在位似变换后的对应点，位似比为， 已知点坐标为，根据以原点为位似中心的位似变换的坐标规律， 有，， 或者，， ∴点的坐标为或． 14．（25-26九年级上·河南开封·期末）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中蜡烛（竖直放置），经小孔所成的像，蜡烛距离纸筒的距离为，则纸筒的长度为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．设纸筒的长度为，根据光学原理，得到，得到，继而得到，即可求解． 解：设纸筒的长度为，根据光学原理，得到， ∴， ∴，即， 解得． 即纸筒的长度为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·陕西宝鸡·阶段检测）比赛当天下午，小颖先参加了校运动会女子米短跑比赛，一段时间后又参加了女子米接力比赛，如图是小刚在同一位置为小颖拍摄的两张比赛照片，则小颖参加米接力赛的照片是___（填“甲”或“乙”，小颖处于北半球）． 【答案】甲 【分析】本题考查了平行投影，根据从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长，即可求解，熟练掌握平行投影的特征是解题的关键． 解：根据平行投影的规律，可知从早晨到傍晚，物体的影子的指向是：西西北北东北东，影长由长变短，再变长， ∵比赛是在下午进行的，先参加比赛，再参加比赛， ∴甲照片是参加时照的，乙照片是参加时照的， 故答案为：甲． 16．（2025·广东广州·一模）一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是______． 【答案】球体/正方体 【分析】本题主要考查由三视图确定几何体的形状，具有较强空间想象能力及对立体图形的认识成为解题的关键． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看据此即可解答． 解：一个立体图形的主视图、左视图、俯视图完全相同，则这个立体图形可以是球体（或正方体）． 故答案为：球体或正方体． 17．（25-26九年级下·全国·课后作业）如图是由五个相同的正方体搭成的几何体． （1）这个几何体的主视图是______（填序号）； （2）这个几何体的左视图是______（填序号）； （3）这个几何体的俯视图是______（填序号）． 【答案】 ③ ⑤ ② 【分析】本题考查三视图．根据三视图的定义判断即可． 解：这个几何体的主视图是③，左视图是⑤，俯视图是②． 故答案为：③，⑤，②． 18．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知：如图三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C为位似中心，在网格中画出，使与位似，且与的位似比为2：1，此时点的坐标为_____．    【答案】 【分析】先画出图形，再根据图形可得的坐标． 解：如图，为所作；点的坐标为．    故答案为． 【点拨】本题考查的是位似变换的作图，坐标与图形，熟练的利用位似的性质进行作图是解本题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·浙江宁波·期末）在图1与图2中分别作出一个位置不同的三角形，使得其与关于坐标原点位似，且其边长是的边长的两倍． 【答案】解：如图1，如图2所示，即为所求作． 【分析】本题考查了作图——位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B的横纵坐标都乘以2（或）得到对应点的坐标，然后描点并连接即可． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】图见分析 【分析】本题考查中心投影，连接并延长，交点即为光源的位置，连接，作，交于点，即为所求． 解：如图，点即为所求，线段即为所求． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图是由7个棱长为1的小正方体搭成的几何体． （1）请分别画出这个几何体的主视图、左视图和俯视图； （2）这个几何体的表面积为 （包括底面积）； （3）若使得该几何体的俯视图和左视图不变，则最多还可以放 个相同的小正方体． 【答案】（1）见分析；（2）30；（3）3 【分析】（1）根据三视图的画法画出相应的图形即可； （2）三视图面积的2倍加被挡住的面积即可； （3）根据左视图，俯视图得出需要的最少的小立方体的个数． （1）解：如图所示： （2）解：这个几何体的表面积为； （3）解：保持俯视图不变，左视图不变的情况下， 还可以再添加3个立方体，如图所示： 22．（本小题满分10分）（2026·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）在轴上找一点，使得的长度最小； （2）以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】（1）见详解；（2）见分析 【分析】（1）利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点，连接对称点与C，与x轴交点即为所求P点． （2）位似变换中，位似中心为原点，相似比为2，则各顶点坐标乘以（第三象限为负）． （1）解：作点A关于x轴的对称点A′（0,-3），连接A′C，与x轴交于点P，则点P即为所求． （2）解：∵ 位似中心为原点O，相似比为2，且在第三象限， ，即， ，即， ，即， 在网格中描出三点，顺次连接即可得． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． （1）求路灯的高度； （2）小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； （3）小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】（1）米；（2）米；（3）1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 解：（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·广东深圳·期末）【实验目的】利用位似作一个三角形的内接正方形． 【实验原理】如图1，在射线，，上分别取点D，E，F，使，，，连接D，E，F，则与位似，相似比为k． 【实验初探】 （1）如图2，将一铅笔笔尖固定在一根橡皮筋的一端Q处，另一端O固定在图形外．拉动铅笔，使标记好的中点P沿图形的边缘运动．当点P沿周长为的图形运动一周时，笔尖Q点经过的路径长为_____． 【实验制作】 （2）如图3，在正方形网格中，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度直尺可作出的内接正方形，使得点H在上，点M，N在上，点G在上．小明取一个格点正方形，D在上，E，F在上，以点B为位似中心，连接并延长交于点G，点G即为所求作正方形的一个顶点． ①请以点C为位似中心，求作出正方形的另一个顶点H； ②若网格中每个小正方形的边长为1，求正方形的边长． 【答案】（1）16；（2）①解：如图，取一个格点正方形，以点C为位似中心，连接并延长交于点H，点H即为所求作正方形的一个顶点， ② 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的判定和性质． （1）根据位似图形的性质即可解答； （2）①结合题干中的作法，画出另一个顶点H即可； ②过点A作于点，交于点J，根据相似三角形的性质，得到，列方程即可解答． （1）解：点是的中点， 两个图形的相似比为， 笔尖Q点经过的路径长为， 故答案为：； （2）解：如图，过点A作于点，交于点J， ∴， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴. 设边长为x，则，， ∴， 解得， 即正方形的边长为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $